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专题 08 圆的最值模型之阿氏圆模型
一、模型说明
背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k
（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发
现，故称“阿氏圆”.
P
A B O
模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：△BOP∽△POA， ，∴对于圆上任意一点P都有 .
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，
则需
【技巧总结】计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得 的值最小，解决步骤具体如下：
①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比
③在OB上取一点C，使得 ，即构造△POM∽△BOP，则 ，
④则 ，当A、P、C三点共线时可得最小值
二、例题精讲
例1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接
AP，BP，求：
① ，
② ，
③ ，
④ 的最小值．
例2．如图，正方形 的边长为4， 的半径为2， 为 上的动点，则 的最大值是
．例3．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ ．连接CP，将线段PC绕点P逆时针
旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则 DQ+CQ的最小值为 ．
例4．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按
逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝ ，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．
例5．如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点
，且 ， 的平分线 交 轴于点 ，过点 且垂直于 的直线 交 轴于点 ，点 是 轴下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 的横坐标为 ，当 时，求 的值；
（3）当直线 为抛物线的对称轴时，以点 为圆心， 为半径作 ，点 为 上的一个动点，
求 的最小值．
【变式训练1】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则 PA＋PB的最小值
为 ．
【变式训练2】．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则
的最大值为 ．【变式训练3】．问题提出：如图①，在 中， ， ， ，⊙C的半径为2，P
为圆上一动点，连接AP、BP，求 的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使
，则 ．又 ，所以 ∽ ．所以 ．
所以 ，所以 ．
请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中， ， ， ， ，P是 上一点，
求 的最小值．
【变式训练4】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线
y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC
面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+ PA的值
最小，请求出这个最小值，并说明理由．
三、课后训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动
点，连接AP、BP，则 AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．2．如图所示， ，半径为2的圆 内切于 ． 为圆 上一动点，过点 作 、 分
别垂直于 的两边，垂足为 、 ，则 的取值范围为 ．
3．如图，在 中，点A、点 在 上， ， ，点 在 上，且 ，点 是
的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为 ．
4．如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与 相切，点P为圆B上任一动点，
则 的最小值是 ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接
AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣ PC的最大
值为 ．
7．如图，在Rt 中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 上任意一
点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 ．
8．如图，点A、B在 上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝
4，动点P在 上．求2PC＋PD的最小值．9．已知 与 有公共顶点C， 为等边三角形，在 中， ．
(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为 ，求 的值；
(2)如图2， ， A、E、D三点共线，连接 、 ，取 中点M，连接 ，求证： ；
(3)如图3， ， ，将 以C为旋转中心旋转，取 中点F，当 的值最
小时，求 的值．
