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专题 08 整式中规律探索的三种考法
类型一、数字类规律探索问题
例1．将一列有理数 ，2，3，4， ，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规
律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理
数____，2022应排在A、B、C、D、E中____的位置．正确的选项是（ ）
A． ，A B．30，D C．29，B D． ，A
例2．一组按规律排列的式子： ， ， ， 那么第 个式子是
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】找规律：观察算式
；
；
；
；
…
(1)按规律填空
；
．
(2)由上面的规律计算： （要求：写出计算过程）【变式训练2】观察下列等式：
， ， ，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
(1)猜想并写出 ______．
(2)计算下列各式的计算结果： ．
(3)探究并计算： ．
【变式训练3】对于实数 ，规定 ，例如 ，
，那么计算
的结果是
．
类型二、图表类规律探索问题
例1．为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备
用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图
所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6 ．
（1）按图示规律，第一个图案的长度 ，第二个图案的长度．
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数 与走廊的长度 之间的关系
．
例2．如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“
”的个数为 ，第2幅图中“ ”的个数为 ，第3幅图中“ ”的个数为 ， ，以
此类推，若 （ 为正整数），则 的值为 ．
【变式训练1】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有个 ★．
【变式训练2】观察与思考：我们知道 ，那么
结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下
列问题：； ； ； ；
(1)规律观察： ；
(2)推算概括：用含n的式子表示出 的值；
(3)拓展应用：求 的值．
【变式训练1】我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，
数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面
图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数．
【分析思路】
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成
几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．
如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用 表示第n个图形钢管总数）．
【解决问题】
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像
的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．
， ___________．
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给
图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发
现的规律：___________， ___________， ___________， ___________．
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________．
【变式训练2】用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：
(1)第5个图案有 张黑色小正方形纸片；
(2)第n个图案有 张黑色小正方形纸片；
(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？
类型二、程序类问题
例．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是
4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2023次输出的结果是 ．
【变式训练1】按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整
数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式训练2】按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（ ）
A．x＝3，y＝1 B．x＝2，y＝2 C．x＝2，y＝3 D．x＝0，y＝1.5
【变式训练3】按图示的程序计算，若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为67，则x
的值是（ ）
A．2或7 B．2或22 C．2或22或7 D．2或12或22
课后训练
1．定义一种对正整数 的“ ”运算：①当 为奇数时，结果为 ；②当 为偶数时，
结果为 其中 是使 为奇数的正整数 ，并且运算可以重复进行，例如，取 ，
则：若 ，则第 次“ 运算”的结果是( )
A． B． C． D．
2．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为 ，我们发现第一次输出的结果为
，第二次输出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（ ）A． B．2 C． D．
3．将正整数1至1050按一定规律排列如图所示，从表中任取一个 的方框，方框中九
个数的和可能是（ ）．
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
… … … … … … …
A．2025 B．2018 C．2016 D．2007
4．如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个
菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第9个图形的菱形个数为（ ）
A．73 B．81 C．91 D．109
5．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，
5，12，22…为五边形数，则第7个五边形数是（ ）
A．62 B．70 C．84 D．108
6．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3个正方形，
图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正
方形的个数是（ ）A．31 B．32 C．63 D．64
7．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个小正
方形，第②个图形中有5个小正方形，第③个图形中有11个小正方形，…，按此规律排列
下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（ ）个
A．40 B．49 C．55 D．71
8．如图1， 是 的直径，点B、C、D将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号
1、2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3号
两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2，称
为“1次换序”．接着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学
之间，再把最右边的5号同学调出，站到1号和4号两位同学之间，得到图3，称为“2次
换序”．以此类推……；若从图1开始，经过“n次换序”后，得到的顺序与图1相同，则
n的值可以是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
