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专题 09 一次函数实际应用的三种考法
类型一、方案问题问题
例．为了落实“乡村振兴”政策， 两城决定向 两乡运送水泥建设美丽乡村，已知
两城分别有水泥200吨和300吨，从 城往 两乡运送水泥的费用分别为20元/吨
和25元/吨；从 城往 两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现 乡需要水
泥240吨， 乡需要水泥260吨．
(1)设从 城运往 乡的水泥 吨．设总运费为 元，写出 与 的函数关系式并求出最少
总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设， 城运往 乡的运费每吨减少 元，这时 城运往
乡的水泥多少吨时总运费最少？
【答案】(1) ，最少总运费为10040元；
(2) 城运往 乡200吨，总运费最少．
【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性
质，求出最小值；
（2）先列出 城运往 乡的运费每吨减少 元时，总费w用关于x的函数关系式，
再分类讨论，分别求出最小值．
【详解】（1）设从 城运往 乡肥料 吨，则运往 乡 ，
从 城运往 乡肥料 吨，则运往 乡 吨，
设总运费为 元，根据题意，
则： ．
，
随 的增大而增大，
当 时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．
答： 与 的函数关系式为 ，
最少总运费为10040元；
（2）设减少运费后，总运费为 元，
则：
，
分以下三种情况进行讨论：
①当 时， ，
此时 随 的增大而增大，当 时， ；．
②当 时， ，
不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；
③当 时， ，
此时 随 的增大而减小，
当 时， ；
综上可得：
当 时， 城运往 乡0吨，总运费最少；
当 时，无论从 城运往 乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；
当 时， 城运往 乡200吨，总运费最少．
【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关
键．
【变式训练1】哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从
伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、
小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：
车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆）
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)两种货车各有多少辆？
(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥
化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆
大货车、8辆小货车前往鹤岗地．
【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此
即可列方程或方程组即可求解；
（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此
即可写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的
范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方
案．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得
16x+10（20-x）=248，
解得x=8，
20-x=20-8=12．答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地
的小货车是（9-a），运往鹤岗地的小货车是（3+a），
w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]
=70a+10850，
则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）；
根据题意得：16a+10（9-a）≥120，
解得a≥5，
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8 且为整数．
∴a=5，6，7，8，共有4种方案，
∵w=70a+10850，
k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，W最小．
答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3
辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地．
【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意
义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应
的函数值．
【变式训练2】某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其
中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版
费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表．
印数a（千册）
彩色（元/张） 2.1 2
黑白（元/张） 0.8 0.5
（1）若印制2千册，则共需多少元？
（2）该校先印制了x千册纪念册，后发现统计失误，补印了y（ ）千册纪念册，且补
印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同．
①用含x的代数式表示y．
②若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？
【答案】（1）28600元；（2）① ；②101200元．
【分析】（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页
的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案．（2）①分 和 两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得
到答案；②先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算
即可．
【详解】解：（1）∵印制的册数为2千册，
∴彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每
张，黑白页的页数=2000×6=12000页，
∴需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），
故一共需要28600元；
（2）①第一种情况当 时，
，
，即 ，
∵ ，
∴ 即 ；
第二种情况当 时，
，
即 ，
∴ ，
②设两次一共需要印刷的册数为m，需要的钱数为W，则 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
故当 ， 时所需要的的钱数最少为101200元．
【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况
进行分析求解．
【变式训练3】某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
每车限载人数
车型 租金（元/辆）
（人）
商务车 6 300
轿 车 4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为
多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前
往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【答案】（1）租用一辆轿车的租金为 元．（2）租用商务车 辆和轿车 辆时，所付租
金最少为 元．
【分析】（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．
（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以
及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二
则需要利用枚举法求解本题．
【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为 元．
由题意得： ．
解得 ，
答：租用一辆轿车的租金为 元．
（2）方法1：①若只租用商务车，∵ ，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为 （元）；
②若只租用轿车，∵ ，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为 （元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车 辆，租用轿车 辆，租金为 元．
由题意，得
由 ，得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，且 为整数，
∵ 随 的增大而减小，
∴当 时， 有最小值 ，此时 ，综上，租用商务车 辆和轿车 辆时，所付租金最少为 元．
方法2：设租用商务车 辆，租用轿车 辆，租金为 元．
由题意，得
由 ，得 ，∴ ，
∵ 为整数，∴ 只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：
不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为 （元）；
租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为 （元）；
租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为 （元）；
租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为 （元）；
租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为 （元）；
租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为 （元）；
由此可见，最佳租车方案是租用商务车 辆和轿车 辆，
此时所付租金最少，为 元．
【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求
列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类
讨论思想解答本题．
类型二、利润问题
例．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．
某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓
球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
丘乓球拍（元/套） 45
羽毛球拍（元/套） 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需
花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购
进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（ ），
羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才
能获利最大？【答案】(1)a的值为35，b的值为40
(2)①y与x的函数关系式为 ，x的取值范围为： ；②当
时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当 时，乒乓球拍购
进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当 时，无论购多少套，只要满足
，利润都是 ．
【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和
3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可；
（2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球
拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值
范围；
②根据总利润 乒乓球拍的利润 羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求
最值．
【详解】（1）根据题意： ，
解得 ，
答：a的值为35，b的值为40；
（2）①由题意得：
，
∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，
∴ ，
∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，
∴ ，
解得： ，
则x的取值范围为： ，
∴y与x的函数关系式为 ，x的取值范围为： ；
②由题意得： ，
∵ ，
∴当 即 时，y随x的增大而减小，
∴当 时，y有最大值 ，
∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；
当 时，即 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值 ，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；
当 时，无论购多少套，只要满足 ，利润都是 ．
【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等
量关系列出函数解析式和列出方程组．
【变式训练1】为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙
两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金
额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种
产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低
于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额
一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并
为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的
进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不
低于15000元，求a的最大值．
【答案】(1) ．
(2) ；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润
最大为24000元．
(3) 的最大值为 ．
【分析】（1）分当 时，当 时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当 时，当 时，分别列出 与 的函数
关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后， 与 的关系式，并根据利润不低于15000，可得出 的取
值范围．
【详解】（1）当 时，设 ，根据题意可得， ，
解得 ，；
当 时，设 ，
根据题意可得， ，
解得 ，
．
．
（2）根据题意可知，购进甲种产品 千克，
，
当 时， ，
，
当 时， 的最大值为 ；
当 时， ，
，
当 时， 的最大值为 （元 ，
综上， ；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，
利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，
，
当 时， 取得最大值，
，解得 ．
的最大值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
【变式训练2】某电脑经销商，今年二，三月份 型和 型电脑的销售情况，如下表所示：
型（台） 型（台） 利润（元）
二月
15 20 4500
份
三月
20 10 3500
份
（1）直接写出每台 型电脑和 型电脑的销售利润分别为____________；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中 型电脑的进货量不超过 型电
脑的2倍．设购进 型电脑 台，这100台电脑的销售总利润为 元．
①求 与 的关系式；
②该商店购进 型、 型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进 型
电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使
这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）100元，150元；（2）①y=-50x+15000；②购进34台A型电脑和66台B型
电脑的销售利润最大；（3）①当0＜m＜50时，购进34台A型电脑和66台B型电脑的销
售利润最大；②m=50时，购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③
当50＜m＜80时，购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题
意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y=-50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y=-50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-50）x+15000，分三种情况讨论，
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=15000，③当50＜m＜80
时，m-50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得 ,
解得
故答案是： 100元，150元．
（2）①据题意得，y=100x+150（100-x），
即 与 的关系式为y=-50x+15000，
②据题意得，100-x≤2x，
解得x≥ ，
∵y=-50x+15000，-50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-50）x+15000， ≤x≤60，且x为整数，
分三种情况讨论：
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m=50时，m-50=0，y=15000，
∵ ≤x≤60，且x为整数，
∴34≤x≤60，且x为整数，
即商店购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解
题的关键是根据一次函数的增减性质进行判断．
【变式训练3】今年两会，李克强总理点赞“地摊经济”称，地摊经济、小店经济是就业
岗位的重要来源，鼓励通过线上线下一体销售．据统计，武汉王家湾夜市和虎泉夜市等多
家夜市自五一假期以来，人流量、经济流通收入同比增长 ，服装行业的增长最为迅
速．记者了解到，两家夜市主要服装进货来源是佛山和广州两家服装批发厂，其中某种服
装的进货价格如下：
佛山服装批发
广州服装批发厂
厂
虎泉夜市 15元/件 24元/件
王家湾夜市 18元/件 30元/件
虎泉夜市现需服装 件，王家湾夜市需 件，最多可从佛山服装批发厂调进 件，
剩余的则从广州服装批发厂进货，若虎泉夜市从佛山进货 件，两家夜市的进货总费用为
元．
（1） (括号内写出 的取值范围)；
（2）请你设计一种进货方案使两家夜市的进货总费用最少，并计算此时的最少费用；
（3）六月份开始，广州服装厂与两家夜市签订长期协议，对虎泉夜市进货单价统一降低
元，对王家湾夜市进货单价统一降低 元，其中 ，试求此时两家夜市最少进货总
费用 关于 的函数关系式．
【答案】（1）3x+240000（2000≤x≤5000，x为自然数）；（2）虎泉夜市在佛山服装厂进
货2000件，在广州服装厂进货3000件，王家湾夜市在佛山服装厂进货8000件，最少费用为246000元；（3） ．
【分析】（1）分别用x表示出两家夜市从两地进货的数量，再将利润相加即可；
（2）根据一次函数的性质得到当x=2000时进货总费用最少；
（3）分当0＜a＜3时，当a=3时，当0＜a＜3时三种情况，根据一次函数的增减性得出表
达式即可．
【详解】解：（1）由题可知，虎泉夜市从佛山进货x件，则在广州服装批发厂进货
（5000-x）件，
王家湾夜市在佛山服装批发厂进货（10000-x）件，从广州服装批发厂进货[8000-（10000-
x）]件，
∵王家湾夜市最多向佛山服装批发厂进货8000件，而佛山服装批发厂可供货10000件，
∴虎泉夜市最少要向佛山服装批发厂进货10000-8000=2000件，
最多可向佛山服装批发厂进货5000件，且为使题目有意义，x需为自然数，
∴W=15x+24×（5000-x）+18×（10000-x）+30×[8000-（10000-x）]
=3x+24000（2000≤x≤5000，x为自然数），
故答案为：3x+240000；
（2）由（1）可知，进货总费用W随x增大而增大，
∴当x=2000时总费用最少，
最小费用为W=246000，
即虎泉夜市在佛山服装厂进货2000件，在广州服装厂进货3000件，
王家湾夜市在佛山服装厂进货8000件，
此时总费用最少为246000元；
（3）由题意可得，
最少进货总费用y=15x+（24-a）×（5000-x）+18×（10000-x）+（30-2a）×[8000-（10000-
x）]
=（3-a）x-1000a+240000
当0＜a＜3时，3-a＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=2000时，进货总费用最少，且为-3000a+246000，
当a=3时，y=237000，
当3＜a≤10时，3-a＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=5000时，进货总费用最少，且为-6000a+255000，
综上所述，最少进货费用y与a的函数关系式为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题时要理解题意，列出相应的函数表达式，有一定难度，属于中考常考题．
类型三、行程问题
例．数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道
上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分
别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是
两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中
为折线段．请结合图像回答下列问题：
(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；
(2)在 时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时
的速度．
①图2中m的值为___________．
②请求出在 时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．
【答案】(1)50
(2)①120，②7或
【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；
（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、
时间、路程的关系式求解即可；
②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停
止运动那一刻为分界点．
【详解】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，
∴乙机器人行走的速度为 (米/分)；
故答案为：50．
（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，
依题意得： ，
解得 ，甲机器人行走的总路程为： (米)，
甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程： (米)，
时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程： (米)，
∴ ，
故答案为： ．
②∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，
∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，
当 时，甲乙两机器人的距离为： （米），
当甲到达终点C时， （分），乙到达终点C时， （分）
当 时，
当 时，
当 时，
，解得
解得
甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确
题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式训练1】有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺
次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时
到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y
（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前2分钟的速度是______米/分钟；
(2)已知线段 轴，前3分钟甲机器人的速度不变．
①求甲机器人在3～4分钟的这段时间的速度是多少米/分？
②请直接写出在整个运动过程中，两机器人相距28m时x的值______．【答案】(1) ，
(2)① 米/分 ②两机器人出发 分钟， 分钟， 分钟时相距 米
【分析】（1）结合图象可得A、B两点的距离，甲机器人前2分钟的速度；
（2）①根据 ，乙机器人始终以 米/分钟的速度行走，即可得；②分情况讨论，
当 时， ，当 时， ，当 时，
设甲、乙两机器人之间的距离y米与他们的行走时间x分钟之间函数解析式为 ，
将点 和点 代入 ，计算即可得函数解析式为 ，令 ，
得 ，进行计算即可得．
【详解】（1）解：由图象可知，A、B两点之间的距离是 米，
甲机器人前2分钟的速度为： （米/分），
故答案为： ， ；
（2）解：①∵ ，乙机器人始终以 米/分钟的速度行走，
∴甲、乙机器人的速度都是 米/分钟；
②当 时，
解得， ，
当 时，
，
当 时，设甲、乙两机器人之间的距离y米与他们的行走时间x分钟之间函数解析式
为 ，
将点 和点 代入 ，得
解得， ，
即函数解析式为 ，
令 ，得 ，，
即两机器人出发 分钟， 分钟， 分钟时相距 米．
故答案为：1.2或2.8或4.6.
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，
掌握一次函数的图像与性质，数形结合．
【变式训练2】．一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所
示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过
一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分
钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间
的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数
关系，请你根据图象信息，解答下列问题：
(1)学校与劳动基地之间的距离为________千米；
(2) ________，B点的坐标是________．
(3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通
讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围．
【答案】(1)15；(2)2.7；
(3) 和
【分析】（1）根据函数图象求出学生队伍的速度，即可求出距离；
（2）根据通讯员比学生队伍早18分钟到达基地建立等式求解；
（3）先求出通讯员的函数解析式，然后求学生的函数解析式，然后进行分类讨论，分两种
情况进行讨论即可解答．
【详解】（1）解：学生队伍的速度是 （千米 小时），
所以 （千米），
故答案为：15；
（2）解：由图 （小时），
由题意得，通讯员返回时的速度是 （千米 小时），
所以点 即 ；故答案为：2.7； ；
（3）解：当 时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数
关系为 ，
把 代入可得 ，
；
当 时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为
，
把 、 两点代入得， ，
解得 ， ，
；
当 时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为
，
把 、 两点代入得， ，
解得 ， ，
；
综上， 与 的关系式为 ．
设 的关系式为 ，
由题意得， ，
①当 时， ，
解得 ，即 ；
②当 时， ，解得 ，
此时通讯员与学生队伍相遇，相遇点坐标为 ，即相遇后他们的距离小于3千米，
∵ ，解得 ，即 ；
综上： 和 ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出解析式，然后分类讨论求解．
【变式训练3】A， 两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往
地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 地联系． 地收到消息后立即派货车乙从
地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙
上，随后以相同的速度返回B地，两辆货车离开各自出发地的路程 （千米）与时间
（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
货车甲离开 地的时间/ 0.1 0.8 1.6 3
货车甲离开 地的距离/ 5 ________ 80 ________
(2)填空：
①事故地点到 地的距离为________千米；
②货车乙出发时的速度是________千米/小时；
③货车乙赶到事故地点时，为________时________分；
④货车乙从事故地点返回 地时间为________时________分．
(3)请直接写出货车乙在整个运输过程中的路程 关于时间 的函数解析式．
【答案】(1)40，80
(2)①120；②80；③11，6；④12，54
(3)
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”可得结果，结合函数图象以及题意可得货车甲离
开 地 小时时的路程不变化即可求解；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）由待定系数法可求出函数解析式．
【详解】（1）解：货车甲出发时的速度是：80÷1.6＝50千米/小时，0.8×50=40千米
根据函数图像可知当 时，货车货车甲离开A地的距离没有变化
货车甲离开 地的时间/小时 0.1 0.8 1.6 3
货车甲离开 地的距离/千米 5 40 80 80
故答案为：40，80；
（2）①根据函数图象可知，事故地点距离A地80千米
则事故地点到 地的距离为200-80=120千米；
故答案为：120②根据图象可知 千米/小时
货车乙出发时的速度是80千米/小时；
故答案为：80
③11，6；④12，54
③货车乙赶往事故地所需时间为：（200−80）÷80＝1.5小时，
2.6＋1.5＝3.1小时，
所以货车乙赶到事故地点时，为11时6分；
故答案为：11，6
④货车乙开始返回的时间为：3.1＋ ＝3.4小时，
货车乙返回到达B地的时间：3.1＋ ＋1.5＝4.9小时，
货车乙从事故地点返回 地时间为12时54分．
故答案为：12，54
（3）货车乙赶往事故地所需时间为：（200−80）÷80＝1.5小时，
2.6＋1.5＝3.1小时，
货车乙开始返回的时间为：3.1＋ ＝3.4小时，
货车乙返回到达B地的时间：3.1＋ ＋1.5＝4.9小时，
当1.6≤x≤3.1时，设函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx＋b，得
，
解得：
，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x−128（1.6≤x≤3.1）；
y＝120（3.1＜x≤3.4）；当3.4＜x≤4.9时，设函数表达式为y＝mx＋n（m≠0），
把（3.4，120），（4.9，0）代入y＝mx＋n，得
，
解得： ，
∴y关于x的函数表达式为y＝−80x＋392（3.4＜x≤4.9）；
综上所述， ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲
乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．
课后训练
1．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，
已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A、B城往C、D两乡运
肥料的平均费用如下表. 现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨.
A城(出) B城(出)
C乡(人) 20元/吨 15元/吨
D乡(人) 25元/吨 30元/吨
（1）A城和B城各多少吨肥料？
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并写出自变
量x的取值范围；
（3）由于更换车型，使B城运往D乡的运费每吨减少a元(a＞0)，其余路线运费不变，若
C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，求a的最大整数值.
【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）y=10x+9800，60≤x≤260（3）a
的最大整数值为6.
【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或
方程组得答案；
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨
数，从B城运往C乡肥料吨数，及从A城运往C乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输
费用，得一次函数解析式；
（3）列出当B城运往D乡的运费每吨减少a（a＞0）元时的一次函数解析式，利用一次函
数的性质讨论，根据总费用不低于10040元，列出不等式求其整数解得结论．
【详解】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨根据题意，得
解得
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，则从B城运往C乡（300-x）吨
从A城运往D乡肥料（260-x）吨，则运往C乡（x-60）吨
如总运费为y元，根据题意，
则：y=20（x-60）+25（260-x）+15（300-x）+30x=10x+9800，
由于函数是一次函数，k=10＞0，
∴60≤x≤260
故答案为y=10x+9800，60≤x≤260
（3）从B城运往D乡肥料x吨，由于B城运往D乡的运费每吨减少a（a＞0）元，
所以y=20（x-60）+25（260-x）+15（300-x）+（30-a）x=（10-a）x+9800，分两种情况：
①当0＜a＜10时，∵10-a＞0
∴y随着x的增大而增大，∵60≤x≤260
∴当x=60时，运费最少；
∵C、D两乡的总运费最小值不少于10040元
∴（10-a）x+9800≥10040
即（10-a）×60+9800≥10040
解得a≤6，故a的最大整数值为6.
②当10＜a＜30时，∵10-a＜0
∴y随着x的增大而减小，∵60≤x≤260
∴当x最大时，运费最少．即当x=260时，运费最少．
∴（10-a）×260+9800≥10040
解得a≤ ，故a的最大整数值为0
综上，a的最大整数值为6.
故答案为a的最大整数值为6.
【点睛】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是
关键．注意到（3）需分类讨论，并且需注意D乡需要化肥260吨和总费用不低于10040的
条件.
2．武胜县白坪—飞龙乡村旅游度假村橙海阳光景点组织 辆汽车装运完 三种脐橙共 吨到外地销售.按计划， 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须
装满.根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐橙品种
每辆汽车运载量（吨）
每吨脐橙获得（元）
设装运 种脐橙的车辆数为 ，装运 种脐橙的车辆数为 ，求 与 之间的函数关系
式；
如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 辆，那么车辆的安排方案有几种？
设销售利润为 （元），求 与 之间的函数关系式；若要使此次销售获利最大，应
采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.
【答案】（1） ；（2）5种；（3）装运 种脐橙 车， 种脐橙 车， 种脐
橙 车时，获利最大，最大利润为 元.
【分析】(1)利用“车辆数之和=20”这个等量关系进行列式即可；
(2)关系式为：装运每种脐橙的车辆数≥4；
(3)总利润为：装运A种脐橙的车辆数×6×1200+装运B种脐橙的车辆数×5×1600+装运C种脐
橙的车辆数×4×1000，然后按x的取值来判定．
【详解】解：（1）根据题意，装运 种脐橙的车辆数为 ，装运 种脐橙的车辆数为 ，
那么装运 种脐橙的车辆数为 ，
则有： ，即：
（2）由 知，装运 三种脐橙的车辆数分别为
由题意得：
解得 ，
因为 为整数，
所以 的值为 ，所以安排方案共有 种.
（3）
的值随 的增大而减小
要使 利润最大，则 ，
故选方案为：装运 种脐橙 车， 种脐橙 车， 种脐橙 车.
（元）
答：当装运 种脐橙 车， 种脐橙 车， 种脐橙 车时，获利最大，最大利润为元.
故答案为（1） ；（2）5种；（3）装运 种脐橙 车， 种脐橙 车， 种脐
橙 车时，获利最大，最大利润为 元.
【点睛】解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系．确定x
的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．
3．甲、乙两地相距200千米，货车从甲地出发，行驶1小时后在途中的丙地出现故障，技
术人员乘轿车以100千米/小时的速度从甲地赶来维修（沟通时间忽略不计）．到达丙地修
好车后以原速原路返回，同时货车改变速度前往乙地．两车距乙地的路程 （千米）与货
车驶时间 （小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题．
（1）货车出现故障前后的速度分别为______、______千米/小时；
（2）货车在丙地停留了______小时；
（3）求图中线段 的函数关系式：
（4）轿车出发后，又过了______小时，两车相距路程为40千米．
【答案】（1）50，60；（2）1.5；（3） ；（4） 或 ．
【分析】（1）根据题意，货车行驶路程为50千米，用时1小时，计算速度即可；求出轿
车往返用时间，根据图像，轿车总耗时为2小时，可确定修理时间，确定点C对应的时间，
可求后来的速度；
（2）货车等待的时间为轿车来时用时加上修理用时；
（3）确定点C（ ，150），点G（3，200），利用待定系数法求解即可；
（4）分两种情形即货车出故障等待时，两车相距40千米即轿车行驶了10千米；轿车修好
货车返回时，两车相距40千米，利用函数解析式表示即可.
【详解】（1）根据题意，货车行驶路程为50千米，用时1小时，
∴速度为= =50千米/小时；
∵轿车往返用时间为2× =2× =1小时，根据图像，轿车总耗时为2小时，
∴修理用时1小时，∵货车等待的时间为轿车来时用的 小时加上修理用1小时，
∴点C对应的时间为 ，
∴后来的行驶的速度为150÷（5- ）=60千米/小时；
故答案为：50、60千米/每小时；
（2）轿车来用时 = 小时，修理用时1小时，
∴货车等待的时间为轿车来时用的 小时加上修理用1小时即 +1= 小时，
∴货车在丙地停留了 小时
故答案为： ；
（3）根据题意，得点C（ ，150），点G（3，200），
设直线CG的解析式为y=kx+b,
∴ ，
解得
∴直线CG的解析式为y=100x-100;（2.5≤x≤3）；
（4）当轿车未到达时，两车相距50千米，故两车相距40千米即轿车行驶了10千米，
∴用时间为： = ；
当轿车返回时，两车相距40千米，
设直线CD的解析式为y=mx+n,
∴ ，
解得
∴直线CD的解析式为y=-60x+300;
∴100x-100-（-60x+300）=40，
解得x=∴用时间为： -1= ；
∴轿车出发后，又过了 或 小时，两车相距路程为40千米．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了函数图像问题，一次函数解析式确定，分类思想，准确理解函数图像，
从中获得正确的解题信息是解题的关键.
