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专题 08 圆的最值模型之阿氏圆模型
一、模型说明
背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k
（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发
现，故称“阿氏圆”.
P
A B O
模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：△BOP∽△POA， ，∴对于圆上任意一点P都有 .
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，
则需
【技巧总结】计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得 的值最小，解决步骤具体如下：
①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比
③在OB上取一点C，使得 ，即构造△POM∽△BOP，则 ，
④则 ，当A、P、C三点共线时可得最小值
二、例题精讲
例1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接
AP，BP，求：
① ，
② ，
③ ，
④ 的最小值．
【答案】① ；② ；③ ；④ ．
【分析】①在CB上取点D，使 ，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证 ，即可
得出 ，从而推出 ，说明当A、P、D三点共线时， 最小，最小值即
为 长．最后在 中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由 ，即可求出结果；
③在CA上取点E，使 ，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证 ，即可得出，从而推出 ，说明当B、P、E三点共线时， 最小，最小值即为 长．
最后在 中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由 ，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使 ，连接CP、DP、AD．
∵ ， ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当A、P、D三点共线时， 最小，最小值即为 长．
∵在 中， ．
∴ 的最小值为 ；
②∵ ，
∴ 的最小值为 ；
③如图，在CA上取点E，使 ，连接CP、EP、BE．∵ ， ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当B、P、E三点共线时， 最小，最小值即为 长．
∵在 中， ．
∴ 的最小值为 ；
④∵ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三
点共线时线段最短是解答本题的关键．
例2．如图，正方形 的边长为4， 的半径为2， 为 上的动点，则 的最大值是
．【答案】2
【分析】解法1，如图：以 为斜边构造等腰直角三角形 ，连接 ， ，连接 、 ，
推得 ，因为 ，求出 即可求出答案．
解法2：如图：连接 、 、 ，在 上做点 ，使 ，连接 ，证明 ，
在 上做点 ，使 ，连接 ，证明 ，接着推导出 ，最后证
明 ，即可求解．
【详解】解法1
如图：以 为斜边构造等腰直角三角形 ，连接 ， ，
∴ ， ，
四边形 正方形
，
又 ，在 与 中
，
故答案为：2．
解法2
如图：连接 、 、
根据题意正方形 的边长为4， 的半径为2
，
在 上做点 ，使 ，则 ，连接
在 与 中
，，则
在 上做点 ，使 ，则 ，连接
在 与 中
，
，则
如图所示连接
在 与 中
， ，
故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题
关键．
例3．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ ．连接CP，将线段PC绕点P逆时针
旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则 DQ+CQ的最小值为 ．
【答案】5
【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得 即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明
△QAE∽△DAQ得EQ＝ QD，故 DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝ ，cos∠PCQ＝ ，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝ ，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，∵ ， ，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴ 即EQ＝ QD，
∴ DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴ ，
∴ DQ+CQ的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键
在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
例4．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按
逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝ ，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；
（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；
（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝ AD，从而得到
当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴ ，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝ ，
∴BD+ AD＝ ；
②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝ ，
AD＝ ＝ ，
∴BD+ AD＝ ，综上所述，BD＋ AD的值 或 ；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，
∵CD＝ ，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM•CA，
∴ ＝ ，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴ ＝ ＝ ，
∴DM＝ AD，
∴BD+ AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，
最小值 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角
函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
例5．如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点，且 ， 的平分线 交 轴于点 ，过点 且垂直于 的直线 交 轴于点 ，
点 是 轴下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 的横坐标为 ，当 时，求 的值；
（3）当直线 为抛物线的对称轴时，以点 为圆心， 为半径作 ，点 为 上的一个动点，
求 的最小值．
【答案】（1）y x2 x﹣3；（2） ；（3） ．
【分析】对于（1），结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
对于（2），在Rt△OAC中，利用三角函数的知识求出∠OAC的度数，再利用角平分线的定义求出
∠OAD的度数，进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P，H，F的坐标，再利
用两点间的距离公式可完成解答；对于（3），首先求出⊙H的半径，在HA上取一点K，使得HK=14，此
时K（- ， ）；然后由HQ2=HK·HA，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=
AQ，进而可得当E、Q、K共线时， AQ+EQ的值最小，据此解答.
【详解】（1）由题意A（ ，0），B（﹣3 ，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x ），把C（0，﹣3）代入得到a ，∴抛物线的解析式为y x2 x﹣3．
（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC ，∴∠OAC＝60°．
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为y x
﹣1，由题意P（m， m2 m﹣3），H（m， m﹣1），F（m，0）．
∵FH＝PH，∴1 m﹣1﹣（ m2 m﹣3）
解得m 或 （舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为 ．
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（ ，0），H（ ，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO OA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC 2，AH＝2FH＝4，∴QH CH＝1，在HA上取一点K，使得HK
，此时K（ ）．∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴ ．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴ ，∴KQ AQ，∴ AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、
K共线时， AQ+QE的值最小，最小值 ．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求
二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的
关键.
【变式训练1】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则 PA＋PB的最小值
为 ．
【答案】
【分析】 PA＋PB＝ （PA＋ PB），利用相似三角形构造 PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，OP＝r＝ BC＝2，OB＝ r＝2 ，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝ ，
∵ ， ，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴ ，
∴PI＝ PB，
∴AP＋ PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋ PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝ BI＝1，
∴AE＝AB−BE＝3，∴AI＝ ，
∴AP＋ PB最小值＝AI＝ ，
∵ PA＋PB＝ （PA＋ PB），
∴ PA＋PB的最小值是 AI＝ ．故答案是 ．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
【变式训练2】．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，进而证明 ,则在点P运动的
任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜
DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得 ．
【详解】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，
， ，，
在△PDM中，PD-PM＜DM，
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形 是正方形，
在 中， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造 是解题的关键．
【变式训练3】．问题提出：如图①，在 中， ， ， ，⊙C的半径为2，P
为圆上一动点，连接AP、BP，求 的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使
，则 ．又 ，所以 ∽ ．所以 ．
所以 ，所以 ．
请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中， ， ， ， ，P是 上一点，
求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）13．
【分析】（1）根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使 ，即可证明 ∽ ，得到 ，即
，所以 的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度．
（3）延长OC到E，使 ，连接PE，OP，即可证明 ∽ ，得到 ，即
，所以 的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度．
【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时， 最小，最小值
．
故答案为： ．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使 ，
则有 ，
∵ ，∴ ∽ ，得 ，
∴ ，故 ，
仅当B、P、D三点共线时，
的最小值 ．
（3）延长OC到E，使 ，连接PE，OP，
则 ，∵ ，
∴ ∽ ，∴ ，
∴ ，∴ ，仅当E、P、B三点共线时，
，
即 的最小值为13．
【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出 ∽
和 ∽ 是解题的关键．本题较难．
【变式训练4】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线
y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC
面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+ PA的值
最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等
于18；（3）PC+ PA的最小值为 ，理由详见解析.
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成 ABC与 ABM；由点A、B、C坐标求 ABC面积；设点M横坐标为m，
过点M作x轴的垂线段MH，则能△用m表△示MH的长，进而求 ABM的△面积，得到 ABM面积与m的二次
函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得△最大值，进而求点△M坐标和四边形AMBC
的面积最大值．
（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有 ，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证 PBD∽△ABP，得 等于相似比 ，进而得PD＝ AP，所以当C、P、D在
△
同一直线上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x ＝1，x ＝5
1 2
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5），∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S ＝ AB•OC＝ ×4×5＝10
ABC
△
∵点M为x轴下方抛物线上的点，∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S ＝ AB•MH＝ ×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
ABM
△
∴S ＝S +S ＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
四边形AMBC ABC ABM
△ △
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD，∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2，∴
∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP
∴ ，∴PD＝ AP，∴PC+ PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+ PA的最小值为
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断
与性质.
三、课后训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动
点，连接AP、BP，则 AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP PA，可得 AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴ ，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴ ，
∴PM PA，
∴ AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM 5 ，
∴ AP+BP≥5 ，
∴ AP+BP的最小值为5 ．
故选：B．
2．如图所示， ，半径为2的圆 内切于 ． 为圆 上一动点，过点 作 、 分
别垂直于 的两边，垂足为 、 ，则 的取值范围为 ．【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作 于 ，作 于 ，如
图所示，通过代换，将 转化为 ，得到当 与 相切时， 取
得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范
围．
【详解】解：作 于 ，作 于 ，如图所示：
， ，
，
，
，
，
，
，
当 与 相切时， 取得最大和最小，①连接 ， ， ，如图1所示：
可得：四边形 是正方形，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，即 ；
②连接 ， ， ，如图2所示：
可得：四边形 是正方形，
，
由上同理可知：在 中， ，
，
在 中， ，，即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知
识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
3．如图，在 中，点A、点 在 上， ， ，点 在 上，且 ，点 是
的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长 到 ，使得 ，连接 ， ，利用相似三角形的性质证明 ，求
的最小值问题转化为求 的最小值．求出 即可判断．
【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ．
， ， ，
，
，
，
，
，
，，
又 在 中， ， ， ，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造相似三角形解决问题．
4．如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与 相切，点P为圆B上任一动点，
则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据
等腰直角三角形的性质得到BH AC ，接着证明△BPD∽△BCP得到PD PC，所以PA PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA 的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴AC BA＝2 ，
∴BH AC ，
∴BP ，
∵ ， ，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴ ，
∴PD PC，
∴PA PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD ，
∴PA+PD的最小值为 ，
即PA 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线
段PD PC．也考查了等腰直角三角形的性质．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接
AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .
【答案】
【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将 转化为DE，从而求得
的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4∴
∵∠ECD=∠ACD
∴△DCE∽△ACD
∴
∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB
∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB
∴
在Rt△ECB中，EB=
∴
∴2AD+3DB=
故答案为： ．
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣ PC的最大
值为 ．
【答案】5
【详解】分析: 由PD− PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD− PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵ ， ，∴ ，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，
∴ ，∴PG＝ PC，
当点P在DG的延长线上时，PD− PC的值最大，最大值为DG＝ ＝5．
故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似
三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于
中考压轴题．
7．如图，在Rt 中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 上任意一
点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 ．
【答案】 ．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明 ，推出 ＝ ＝ ，
推出PT＝ PB，推出 PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝ AT•AB，
∴ ＝ ，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴PT＝ PB，
∴ PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt 中，
∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝ ＝ ，
∴ PB+PC≥ ，
∴ PB+PC的最小值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．如图，点A、B在 上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝
4，动点P在 上．求2PC＋PD的最小值．
【答案】
【分析】连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．由题意易证 ，即得出 ，从
而得出 ，由此可知当P、D、E三点共线时， 最小，最小值为DE的长，最后
在 中利用勾股定理求出DE的长即可．
【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．
∵C是OA的中点，
∴ ．
∴在△OPC和△OEP中， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，.
∴当P、D、E三点共线时， 最小，最小值即为DE的长，如图，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当
P、D、E三点共线时， 最小，最小值为DE的长是解答本题的关键．
9．已知 与 有公共顶点C， 为等边三角形，在 中， ．
(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为 ，求 的值；
(2)如图2， ， A、E、D三点共线，连接 、 ，取 中点M，连接 ，求证： ；(3)如图3， ， ，将 以C为旋转中心旋转，取 中点F，当 的值最
小时，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）延长 到T，使得 连接 ，过点D做 于N，证明 ，
得出 ， ，证明 为等边三角形，设 ，得出
，求出x的值即可得出答案；
（2）延长 到 使得 ，连接 、 ，证明 ，得出 ，证明
为 的中位线，得出 ，即可证明结论；
（3）连接 ，过点A作 于点G，以点C为圆心， 为半径作圆，在 上截取 ，
连接 ，证明 ，得出 ，即 ，得出 ，
连接 与 交于一点，当点F在此点时， 最小，即 最小，过点M作 于
点N，过点A作 于点Q，求出 ， 即可得出答案．
【详解】（1）解：延长 到T，使得 连接 ，过点D做 于N，如图所示：∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ，
四边形 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵四边形ABDC的面积为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
（2）证明：延长 到 使得 ，连接 、 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵A为 中点，M为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，连接 ，过点A作 于点G，以点C为圆心， 为半径作圆，在 上截取，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点F为等边三角形 的边 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的长度为定值，
∴在 旋转时，点F在以C为圆心， 为半径的圆上运动，∴如图，连接 与 交于一点，当点F在此点时， 最小，即 最小，过点M作
于点N，过点A作 于点Q，
，
，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，
特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出
取最小值时，点F的位置．
