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专题 08 期中-几何综合大题必刷（压轴题）
1．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O
重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速
度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况：
①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
①当OE平分∠BOD时，∠BOE＝ ∠BOD，
即9°t﹣60°﹣3°t＝ （60°﹣3°t），
解得t＝12；
②当OF平分∠BOD时，∠DOF＝ ∠BOD，
即9°t﹣300°＝ （3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
2．如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
（1）填空：∠OBC+∠ODC＝ 180 ° ；
（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：
（3）如图2：若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，判断BF与DG的位置关系，并说
明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
在四边形OBCD中，∠C＝∠BOD＝90°，
∴∠OBC+∠ODC＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
故答案为180°；
（2）证明：延长DE交BF于H，如图1，
∵∠OBC+∠ODC＝180°，
而∠OBC+∠CBM＝180°，
∴∠ODC＝∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE＝∠FBE，
而∠DEC＝∠BEH，
∴∠BHE＝∠C＝90°，
∴DE⊥BF；
（3）解：DG∥BF．理由如下：
作CQ∥BF，如图2，
∵∠OBC+∠ODC＝180°，∴∠CBM+∠NDC＝180°，
∵BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，
∴∠GDC+∠FBC＝90°，
∵CQ∥BF，
∴∠FBC＝∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ＝90°，
∴∠DCQ＝∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG．
3．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线 AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝
45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点
E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板 OMN 绕点 O 按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝
5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度
数
（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转
的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒
10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过 9 秒后边
OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
（2）如图②，∵∠CON＝5∠DOM
∴180°﹣∠DOM＝5∠DOM，
∴∠DOM＝30°
∵∠OMN＝60°，
∴MN⊥OD，
∴MN∥BC，
∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°；
（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）＝75°，
或270°﹣（60°﹣45°）＝255°，
所以，t＝75°÷5°＝15秒，
或t＝255°÷5°＝51秒；
所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差为90°，
所以90°÷（20°﹣10°）＝9秒，
故答案为：9．
4．【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角
i叫做入射角，反射光线与法线的夹角 r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下
的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别
位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推
得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝ ，入射光线AB经过两次反射，得到
反射光线CD． α
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ 180 ° ﹣ 2 ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝α，则 与 之间满足的
等量关系是 ＝ 2 a ． β α β
β
【答案】数学问题：见解析；（1）180°﹣2 ；（2） ＝2a．
【解答】解：如图1，∵OM⊥ON， α β
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
【尝试探究】
（1）如图2，在△OBC中，∵∠MON＝ ，
∴∠2+∠3＝180°﹣ ， α
∵∠1＝∠2，∠3＝α∠4，
∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2 ，
α故答案为：180°﹣2 ；
（2）如图4，B＝2aα，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°﹣2∠2，
∠BCD＝180°﹣2∠3，
∴∠D＝∠MBC﹣∠BCD
＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠3﹣∠2）＝∠ ，
∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝βa，
∴ ＝2a．
故β答案为： ＝2a．
5．已知AB∥CβD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、
NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG
＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图 3，若点 E 是 AB 上方一点，连接 EM、EN，且 GM 的延长线 MF 平分
∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝ ，
∵GK∥AB，AB∥CD， α
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝ ，
∵GK∥AB，∠BMG＝α30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝ ，
∵AB∥CD， α
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝ ，
∴∠MGN＝30°+ ，∠αMPN＝60°﹣ ，
∴∠MGN+∠MPαN＝30°+ +60°﹣ ＝α90°；
α α
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝ ∠CNG＝90°﹣ y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣ y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣ y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝105°，
∴2（90°﹣ y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
6．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了
两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，
灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒 2 度，灯 B 转动的速度是每秒 1 度．假定主道路是平行的，即
PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 6 0 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯
转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过
C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD
的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°× ＝60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
7．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，
OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化
规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝ ∠AOC＝ ×80°＝40°；
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝ ∠AOC＝ ×80°＝20°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．
8．如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的
度数．
（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？
并证明你的结论．
（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写
出∠ACB与∠ADB之间的数量关系： ∠ ADB ＝ 90 ° ﹣ ACB ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝ ACG，∠2＝ ，
∴∠ADB＝ （∠ACG+∠BCG）＝ ∠ACB；
∵∠ACB＝100°，
∴∠ADB＝50°；
（2）如图2，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，∴∠1＝ MAC，∠2＝ EBC，
∴∠ADB＝∠1+∠2＝ （∠MAC+∠EBC）＝ （180°﹣∠NAC+180°﹣∠FBC）＝
（360°﹣∠ACB），
∴∠ADB＝180°﹣ ∠ACB；
（3）如图3，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝ MAC，∠2＝ ∠CBF，
∵∠ADB＝360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB＝360°﹣ ∠MAC﹣（180°﹣
∠CBF）﹣∠ACB＝360°﹣ （180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣ ∠BCG）＝90°﹣
∠ACB．
∴∠ADB＝90°﹣ ACB．
故答案为：∠ADB＝90°﹣ ACB．9．（1）【问题】
如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？
请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝ ，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交
于点G，用含有 的式子表示∠G的度数． α
α
【答案】（1）55°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）∠EGF＝ ．
【解答】解：（1α）如图1，过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴CD∥PQ．
∴∠CFP+∠FPQ＝180°
∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，
又∵PQ∥AB，
∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝ ∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝ ∠CFP，同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝ （∠P+∠AEP）＝ （ +∠AEP），
α
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝ （ +∠AEP）﹣∠HGE＝ + ∠AEP﹣∠HGE＝
． α α
10．α如图，已知直线 AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点 P作
PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分
∠ECF．
（1）若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．
（2）在点 P 的运动过程中，是否存在这样的情形，使 ？若存在，求出
∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，
∴∠ECQ＝80°，
∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴ ＝ ∠ECQ＝40°；
②∵AB∥CD
∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，∴∠EGC+∠ECG＝80°
又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，
∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°
∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝ （80°﹣40°）＝20°，
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；
（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，
①当点G、F在点E的右侧时，
则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，
∵∠ECD＝80°，
∴4x＝80°，
解得x＝20°，
∴∠CPQ＝3x＝60°；
②当点G、F在点E的左侧时，
则∠ECG＝∠GCF＝x，
∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，
∴180°﹣3x＝80°+x，
解得x＝25°，
∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，
∴ ，∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．
11．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．
（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝ ∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的
度数；
（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求 的值．
【答案】（1）∠BED+∠D＝120°；
（2）100°；
（3） ＝ ．
【解答】解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°，
证明：如图①，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE＝∠D，
∵∠ABE＝120°，
∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，
∴∠D+∠BED＝120°；
（2）如图②，∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝ ∠CDE，
即∠CDE＝3∠CDF，
设∠BEF＝ ，∠CDF＝ ，
∴∠DEF＝α2 ，∠DEB＝β3 ，∠CDE＝3 ，∠EDF＝2 ，
由（1）知：α∠BED+∠CDEα＝120°， β β
∴3 +3 ＝120°，
∴ α+ ＝β40°，
∴α2 +β2 ＝80°，
∴∠αEFβD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2 +2 ）＝180°﹣80°＝100°，
答：∠EFD的度数为100°； α β
（3）如图③，
∵BG⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∵∠ABE＝120°．
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，
∵∠CDE＝4∠GDE，
∴∠GDE＝ ∠CDE，
∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，∴∠G+30°＝∠E+ ∠CDE，
由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，
∴∠CDE＝120°﹣∠E，
∴∠G+30°＝∠E+ （120°﹣∠E），
∴∠G＝ ∠E，
∴ ＝ ．
12．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①若∠4＝36°，求∠2的度数；
②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试探究∠GEH与∠EFD的数量关
系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4＝36°；
②位置关系是：EM∥FN．理由：
由①知，∠1＝∠3＝∠2＝∠4，
∴∠MEF＝∠EFN＝180°﹣2∠1，
∴∠MEF＝∠EFN
∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）
（2）关系是：∠EFD＝2∠GEH．理由：
∵EG平分∠MEF，∴∠MEG＝∠GEH+∠HEF①
∵EH平分∠AEM，
∴∠MEG+∠GEH＝∠AEF+∠HEF②
由①②可得：
∴∠AEF＝2∠GEH，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GEH．
13．已知M、N分别为直线AB，直线CD上的点，且AB∥CD，E在AB，CD之间．
（1）如图1，求证：∠BME+∠DNE＝∠MEN；
（2）如图2，P是CD上一点，连PM，作MQ∥EN，若∠QMP＝∠BME．
试探究∠E与∠AMP的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，作 NG⊥CD 交 PM 于 G，若 MP 平分∠QME，NF 平分
∠ENG，若∠MGN＝m°，∠MFN＝n°，直接写出m与n的数量关系 4 n ﹣ m ＝ 270 ° ．
【答案】4n﹣m＝270°．
【解答】解：（1）过E作EG∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠BME＝∠MEG，∠DNE＝∠GEN，
∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN，
∴∠BME+∠DNE＝∠MEN；（2）∠E＝∠AMP．
理由：∵AB∥CD，
∴∠BMP+∠MPD＝180°，∠MPD＝∠AMP，
∵MQ∥EN，
∴∠QME+∠E＝180°，
∵∠QMP＝∠BME．
∴∠QME＝∠BMP，
∴∠E＝∠MPD，
∴∠E＝∠AMP；
（3）如图3，
在（2）的条件下，∠AMP＝∠E，
∵∠QMP＝∠BME，
∴∠AMQ＝∠DNE，
∵MP平分∠QME，
∴∠PMQ＝∠PME＝∠BME，
∵NG⊥CD，NF平分∠ENG，
∴∠FNG＝∠ENF，
若∠MGN＝m°，∠MFN＝n°，∠PMQ＝∠PME＝∠BME＝y°，∠AMQ＝∠DNE＝x°，
∠FNG＝∠ENF＝z，
则m＝x+y+90°，n＝x+y+z，x+2z＝90°，x+3y＝180°，
解得4n﹣m＝270°．
故答案为4n﹣m＝270°．
14．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接 CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝
45°，求证：CF平分∠BCD．（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线
AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求 的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝ ＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝ ．
综上， 的值是5或 ．
15．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动
点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．
（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板
的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点
G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：
① 的值不变；②∠GEN﹣∠BDF的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）结论① 的值不变是正确的，
设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴ ＝ ＝2（定值），
即 的值不变，值为2．16．已知AB∥CD，解决下列问题：
（1）如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．
（2）如图②，若∠ABP＝ ∠ABE，∠CDP＝ ∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系
并说明理由．
（3）如图③，若∠ABP＝ ∠ABE，∠CDP＝ ∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数
（直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
又∵∠BED＝100°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣100°＝260°，
又∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝ （∠ABE+∠CDE）＝ ×260°＝130°，
∴∠P＝360°﹣130°﹣100°＝130°；
（2）3∠P+∠BED＝360°；如图②，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，
又∵∠ABP＝ ∠ABE，∠CDP＝ ∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝ （∠ABE+∠CDE）＝ ×（360°﹣∠BED）＝240°﹣ ∠BED，
∴∠P＝360°﹣∠BED﹣（240°﹣ ∠BED）＝120°﹣ ∠BED，
即3∠P+∠BED＝360°；
（3）∠P＝ ．
如图③，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
同理可得，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，
又∵∠ABP＝ ∠ABE，∠CDP＝ ∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝ （∠ABE+∠CDE）＝ （360°﹣m°），
∴四边形PDEB中，∠P＝360°﹣ （360°﹣m°）﹣m°＝ ．17．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若
∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，
①求证：∠ABF＝∠AFB；
②求∠CBE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过B作BG∥CN，
∴∠C＝∠CBG
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＝90°﹣∠ABG，
∴∠C＝90°﹣∠ABG，
∵BG∥CN，AM∥CN，
∴AM∥BG，
∴∠DBG＝90°＝∠D，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABG，
∴∠ABD＝∠C；（2）①如图2，设∠DBE＝∠EBA＝x，则∠BCN＝2x，∠FCB＝5x，
设∠ABF＝y，则∠BFC＝1.5y，
∵BF平分∠DBC，
∴∠FBC＝∠DBF＝2x+y，
∵∠AFB+∠BCN＝∠FBC，
∴∠AFB+2x＝2x+y，
∴∠AFB＝y＝∠ABF；
②∵∠CBA＝90°，AF∥CN，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF＝180°，
∴ ，
∴ ，
∴∠CBE＝3x+2y＝3×15°+2×30°＝105°．
18．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，
连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝ 、∠PQC＝ ，求∠NPQ的度数（用含 ， 的式子表示）；
（2）过点Q作QαE∥PN交PMβ的延长线于点E，过E作EαF平β分∠PEQ交PQ于点F，
如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接 EN，如图③，若∠NEF＝ ∠PMA，求证：NE平分
∠PNQ．【答案】（1） + ；
（2）EF⊥PQ；α β
（3）证明过程见解答．
【解答】解：（1）过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠MPR＝∠PMA＝ ，∠RPQ＝∠PQC＝ ，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠αRPQ＝ + ， β
∵PQ平分∠MPN， α β
∴∠NPQ＝∠MPQ＝ + ；
（2）如图②，EF⊥PαQβ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝ + ，
∵QE∥PN， α β
∴∠EQP＝∠NPQ＝ + ，
∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，
α β∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），
∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE
＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE
＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，
∵∠NEF＝ ∠AMP，
∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE＝ ∠AMP，
即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，
∴∠NQE+2∠QNE＝180°，
∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，
∴∠QNE＝∠NEQ，
∵QE∥PN，
∴∠PNE＝∠QEN，
∴∠PNE＝∠QNE，
∴NE平分∠PNQ．
19．如图1，AB∥CD，G为AB、CD之间一点．
（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：EG⊥FG；
（2）如图2，若∠AEP＝ ∠AEF，∠CFP＝ ∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平
分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明
你的结论；（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G
作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）108°；
（3）∠FGQ＝ ∠EHF．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵GE平分∠AEF，GF平分∠EFC，
∴∠AEG＝∠FEG＝ ∠AEF，∠CFG＝∠GFE＝ ∠CFE，
∴∠FEG+∠GFE＝90°，
即EG⊥FG；
（2）∵分别过M，N作MG∥AB，NH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MG∥NH∥CD，
∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠MFC，∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠NFC，
∴∠EMF＝∠AEM+∠MFC，∠ENF＝∠AEN+∠NFC，
同理：∠EPF＝∠AEP+∠PFC，
∴∠EMF+∠ENF＝∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，
∵EM平分∠AEN，FN平分∠MFC，∴∠AEM＝ ∠AEN，∠NFC＝ ∠MFC，
∴∠EMF+∠ENF＝ ∠AEN+ ∠MFC+∠MFC+∠AEN＝ （∠MFC+∠AEN），
∵∠AEP＝ ∠AEF，∠CFP＝ ∠EFC，
∴∠MFC+∠AEN＝ （∠AEF+∠EFC）＝ ×180°＝72°，
∴∠EMF+∠ENF＝ （∠MFC+∠AEN）＝ ×72°＝108°；
（3）∠FGQ＝ ∠EHF．
证明：∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠CFH＝180°，
∵GQ⊥MF，
∴∠FGQ＝90°﹣∠GFQ，
∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，
∴∠GFE＝ ∠EFH，∠QFE＝ ∠CFE，
∴∠GFQ＝ ∠CFH＝ （180°﹣∠EHF）＝90°﹣ ∠EHF，
∴∠FGQ＝90°﹣（90°﹣ ∠EHF）＝ ∠EHF．
20．如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H分别是直线
AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI与HI交于点I．（1）如图1，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，
求∠EIH的度数．
（2）如图2，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF＝ ，∠CHG＝ ，
其他条件不变，求∠EIH的度数． α β
（3）如图 3，点 G在点 E的右侧，点 H也在点 F的右侧，∠GHC 的平分线 HJ交
∠KEG的平分线EJ于点J．其他条件不变，若∠AEF＝ ，∠CHG＝ ，求∠EJH的度
数． α β
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：如图1，过点I作IM∥AB，
∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，
∴∠AEI＝35°，∠CHI＝30°，
∵IM∥AB，
∴∠MIE＝∠AEI＝35°，
∵AB∥CD，IM∥AB，
∴IM∥CD，
∴∠MIH＝∠CHI＝30°，
∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝35°+30°＝65°；
（2）解：如图2，过点I作IM∥AB，∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝ ，∠CHG＝ ，
α β
∴∠AEI＝ ，∠CHI＝ ，
∵IM∥AB，
∴∠MIE＝∠AEI＝ ，
∵AB∥CD，IM∥AB，
∴IM∥CD，
∴∠MIH＝∠CHI＝ ，
∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝ + ；
（3）解：如图3，过点J作MN∥AB，
∵∠AEF＝ ，
∴∠KEB＝α，
∵EJ平分∠αKEB，HJ平分∠CHG，∠KEB＝ ，∠CHG＝ ，
α β
∴∠JEG＝ ，∠JHF＝ ，
∵MN∥AB，
∴∠MJE＝∠JEG＝ ，∵AB∥CD，MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴∠NJH＝∠CHJ＝ ，
∴∠EJH＝180°﹣∠MJE﹣∠NJH＝180°﹣ ﹣ ．
21．如图 1，已知直线 EF 分别与直线 AB，CD 相交于点 E，F，AB∥CD，EM 平分
∠BEF，FM平分∠EFD
（1）求证：∠EMF＝90°．
（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：
3，求∠N的度数．
（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点
Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠FEM＝ ∠BEF，∠EFM＝ ∠DFE，
∴∠FEM+∠EFM＝ ×180°＝90°，
∴∠EMF＝90°．
（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，
∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，
∴∠EFM＝90°﹣4x，
∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，∵∠MFE＝∠MFD，
∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），
∴x＝15°，
∴∠MFN＝15°，
∴∠N＝90°﹣15°＝75°
（3）如图3，∵GQ⊥FM，
∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．
∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．
∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，
又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝ （∠HFE+∠EFD）＝ ∠HFD，
∴∠HFD＝2∠GFQ．
又∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠HFD＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，
即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．
22．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交
AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，
①若∠GAB＝36°，则∠MCD＝ 63 ° ．
②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是 2 ∠ MCD ﹣∠ GAB ＝ 90 ° ．
（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成
立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，
并说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵AG⊥AC，∠GAB＝36°，
∴∠CAH＝90°﹣36°＝54°，
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH＝∠DCH，
∵AB∥CD，
∴∠AHC＝∠DCH，
∴∠ACH＝∠AHC＝ （180°﹣∠CAH）＝ ×126°＝63°，
故答案为：63°；
②∠GAB与∠MCD之间的数量关系是2∠MCD﹣∠GAB＝90°；
理由：∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH＝∠DCH，
∵AB∥CD，
∴∠AHC＝∠DCH，
∴∠ACH＝∠AHC，
设∠ACH＝∠AHC＝∠MCD＝ ，∠GAB＝ ，
则∠AGC＝∠AHC﹣∠GAB＝α﹣ ， β
∵GA⊥AC， α β
∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC＝90°，即 + ﹣ ＝90°，
∴2 ﹣ ＝90°，即2∠MCD﹣∠GAB＝90°；α α β
故答α案为β ：2∠MCD﹣∠GAB＝90°；
（2）上述∠GAB与∠MCD之间的数量关系不成立，应该为2∠MCD+∠GAB＝90°，
理由：∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH＝∠DCH，
∵AB∥CD，
∴∠AHC＝∠DCH，∴∠ACH＝∠AHC，
设∠ACH＝∠AHC＝∠MCD＝ ，∠GAB＝ ，
则∠AGC＝∠AHC+∠GAB＝ +α ， β
∵GA⊥AC， α β
∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC＝90°，即 + + ＝90°，
∴2 + ＝90°，即2∠MCD+∠GAB＝90°．α α β
23．已α知β：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．
（1）如图1，∠BME，∠E，∠END的数量关系为 ∠ E ＝∠ BME + ∠ END ；（直接
写出答案）
（2）如图2，∠BME＝m°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ的度
数．（用含m的式子表示）
（3）如图3点G为CD上一点，∠BMN＝n•∠EMN，∠GEK＝n•∠GEM，EH∥MN交
AB于点H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含n的式子表示）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过点E作l∥AB，
∵AB∥CD，
∴l∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BME，∠2＝∠DNE，
∵∠MEN＝∠1+∠2，
∴∠E＝∠BME+∠END，
故答案为：∠E＝∠BME+∠END；
（2）如图2，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴ ，
∵EQ∥NP，∴ ，
∵∠MEN＝∠BME+∠END，
∴∠MEN﹣∠END＝∠BME＝m°，
∴∠FEQ＝∠NEF﹣∠NEQ
＝ ，
＝
＝ m°；
（3）n∠GEH＝∠GEK﹣∠BMN．
如图3，∵∠BMN＝n•∠EMN，∠GEK＝n•∠GEM，
∴ ， ，
∵EH∥MN，
∴ ，
∵∠GEH＝∠GEM﹣∠HEM，
＝ ，
∴n∠GEH＝∠GEK﹣∠BMN．24．如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点
（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；
（2）如图（2），若∠BAP＝ ∠BAC，∠DCP＝ ∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平
分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，当∠BAQ＝ ∠BAP，∠DCQ＝ ∠DCP，H为AB上一动点，
连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，
问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求
其取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，
∴∠CAP＝ ∠CAB，∠ACP＝ ∠ACD，
∴∠CAP+∠ACP＝ （∠BAC+∠ACD）＝ ×180°＝90°，
∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，
即AP⊥CP；
（2）∠E+∠F＝108°．证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC+∠DCA＝180°，
∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵∠BAP＝ ∠BAC，∠DCP＝ ∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，
∴∠BAE＝ ∠BAC，∠DCF＝ ∠DCA，
∴∠AEC＝ ∠BAC+ ∠ACD，∠AFC＝ ∠BAC+ ∠DCA，
∴∠AEC+∠AFC＝ ∠BAC+ ∠ACD+ ∠BAC+ ∠DCA＝ ∠ACD+ ∠BAC＝
（∠BAC+∠DCA）＝ ×180°＝108°；
（3）如图，过Q作QE∥AB，
∵AB∥CD，
QE∥CD，
∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，
∴∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，
由（1）可得∠BAP+∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ＝ ∠BAP，∠DCQ＝ ∠DCP，
∴∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ＝ ∠BAP+ ∠DCP＝ （∠BAP+∠DCP）＝30°，
∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，
∴∠K＝ ∠AQH，
∵QM是∠CQH的平分线，
∴∠MQH＝ ∠CQH，
∵∠MQH是△MQK的外角，
∴∠M＝∠MQH﹣∠K＝ ∠CQH﹣ ∠AQH＝ （∠CQH﹣∠AQH）＝ ∠AQC＝
30°＝15°，
即∠QMK的大小不变，是定值15°．
25．如图1，AB∥CD．G为AB、CD之间一点．
（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：EG⊥FG；
（2）如图2．若∠AEP＝ ∠AEF，∠CFP＝ ∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平
分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明
你的结论；
（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G
作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系；并证明你的结论．
【答案】（1）见解答过程；
（2）120°，见解答过程；
（3）∠EHF＝2∠FGQ，见解答过程．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠EFC＝180°，
∵GE平分∠AEF，GF平分∠EFC，
∴∠GEF＝ ∠AEF，∠EFG＝ ∠EFC，
∴∠GEF+∠GFE＝ （∠AEF+∠EFC）＝90°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝90°，
∴EG⊥FG；
（2）解：∠M+∠N＝120°，
证明：过点M作MH∥AB，过点N作NK∥CD，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥MH∥NK∥CD，∠AEF+∠EFC＝180°，
∴∠AEM＝∠EMH，∠HMF＝∠MFC，∠AEN＝∠ENK，∠KNF＝∠NFC，
∴ ∠ EMF ＝ ∠ EMH+∠ HMF ＝ ∠ AEM+∠ MFC ， ∠ ENF ＝ ∠ ENK+∠ KNF ＝
∠AEN+∠NFC，
∵∠AEP＝ ∠AEF，∠CFP＝ ∠EFC，EM平分∠AEP，FN平分∠MFC，
∴∠AEM＝ ∠AEF，∠NFC＝ ∠EFC，
∴∠EMF＝ ∠AEF+ ∠EFC，∠ENF＝ ∠AEF+ ∠EFC，
∴∠EMF+∠ENF
＝ ∠AEF+ ∠EFC+ ∠AEF+ ∠EFC
＝ ∠AEF+ ∠EFC
＝ （∠AEF+∠EFC）
＝120°；（3）解：∠EHF＝2∠FGQ，
证明：∵GQ⊥FM，
∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ，
∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，
∴∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝ （∠HFE+∠EFC）＝ ∠HFC，
∴∠HFC＝2∠GFQ，
∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠HFC＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFC＝180°﹣2∠GFQ＝2∠FGQ．
26．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图1所示，求证：OB∥AC；
（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，此时
∠EOC的度数等于 40 ° （直接写出答案即可）；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之
发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（4）在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，求此时
∠OCA度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，
又∵∠B＝∠A，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，
∴∠BOA＝80°，
∵OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠EOF＝ ∠BOF，
∵∠FOC＝∠AOC＝ FOA，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝ ∠BOF+ ∠FOA＝ ∠BOA＝40°；
故答案为：40°；
（3）结论：∠OCB：∠OFB 的值不发生变化．
理由为：∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2；
（4）由（1）知：OB∥AC，
∴∠OCA＝∠BOC，
由（2）知设：∠BOE＝∠EOF＝ ，∠FOC＝∠COA＝ ，
∴∠OCA＝∠BOC＝2 + ， α β
∴∠OEB＝∠EOC+∠αECβO＝ + + ＝ +2 ，
∵∠OEB＝∠OCA， α β β α β
∴2 + ＝ +2 ，
∴ α＝β，α β
∵α∠AβOB＝80°，
∴ ＝ ＝20°，
∴α∠OβCA＝2 + ＝40°+20°＝60°．
27．如图1，ABα∥βCD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF
＝80°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN
﹣ ∠ FNM 的 值（3）如图 3，EG 在∠AEO 内，∠AEG＝m∠OEG；FH 在∠DFO 内，∠DFH＝
m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN﹣∠ENM＝80°，直接写
出m的值．
【答案】（1）280°；
（2）50°；
（3）m＝4．
【解答】（1）证明：过点O作OG∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝80°，
∴∠BEO+∠DFO＝280°；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图所示：
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
∵∠BEO+∠DFO＝280°
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝280°，
∴x﹣y＝50°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）
＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y
＝x﹣y
＝50°，
故∠EMN﹣∠FNM的值为50°；
（3）如图，设直线FH与EG交于点K，FH与AB交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠AHF＝∠HFD，
∵∠AHF＝∠EKH+∠HEK＝∠EKH+∠AEG，
∴∠HFD＝∠EKH+∠AEG，
∵∠EKH＝∠NMF﹣∠ENM＝80°，
∴∠KFD＝80°+∠AEG，
即∠KFD﹣∠AEG＝80°，
∵∠AEG＝m∠OEG，FH在∠DFO内，∠DFH＝m∠OFH．
∴∠CFO＝180°﹣∠DFH﹣∠OFH＝180°﹣∠HFD﹣ ∠HFD，
∠AEO＝∠AEG+∠OEG＝∠AEG+ ∠AEG，
∵∠BEO+∠DFO＝280°，∴∠AEO+∠CFO＝80°，
∴∠AEG+ ∠AEG+180°﹣∠HFD﹣ ∠KFD＝80°，
即（ ）（∠KFD﹣∠AEG）＝100°
∴ ，
解得m＝4．
28．已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够
大的直角三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使
得∠ENF＝∠ENC．
（1）转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME的
度数；
（2）转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME
的度数．
（3）转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示，∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝45°，
∵∠ENF＝∠ENC，
∴∠ENM＝ （180°﹣45°）＝67.5°，
又∵∠E＝90°，
∴∠EMN＝22.5°，
∴∠AME＝45°﹣22.5°＝22.5°；（2）如图2所示，设ME与FN交于点H，AB与FN交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠AGN＝∠FND＝60°，
∵∠ENF＝∠ENC，
∴∠ENF＝ （180°﹣60°）＝60°，
又∵∠E＝90°，
∴∠EHN＝30°＝∠GHM，
∴∠AME＝∠AGN﹣∠GHM＝60°﹣30°＝30°；
（3）由AB∥CD，∠E＝90°，可得∠CNE＝90°﹣∠AME，
由∠ENF＝∠ENC，可得∠FND＝180°﹣2∠CNE＝180°﹣2（90°﹣∠AME）＝
2∠AME，
故∠FND与∠AME之间的数量关系为：∠FND＝2∠AME．
29．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图 2，点 M 在直线 AB，CD 之间，连接 GM，HM，求证：∠M＝
∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点
N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2 ，∠CHM＝ ，则∠N＝2 ，∠M＝2 + ，
α β α α β
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴ ，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2 +90°﹣ ＝90°+ ，
α α α
∵ ，∴ ，
∴∠FGN＝2 ，
过点H作HTβ∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2 ，∠GHT＝∠FGN＝2 ，
∴∠GHM＝∠MHTα+∠GHT＝2 +2 ， β
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHαT＝β +2 +2 ＝2 +3 ，
∵AB∥CD， β α β α β
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+ +2 +3 ＝180°，
∴ + ＝α30α°，β
∴α∠GβHM＝2（ + ）＝60°．
30．如图1，BC⊥AαFβ于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图 2，点 P 从点 A 出发，沿线段 AF 运动到点 F 停止，连接 PB，PE．则
∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重
合的情况）？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵∠A+∠1＝90°，
∴∠B＝∠1，
∴AB∥DE．
（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．
31．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线
交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝
4∠HFM，直接写出 的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥GH；
（2）如图2，过点N作NK∥CD，
∴KN∥CD∥AB，
∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，
设∠4＝x，∠7＝y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM＝90°，
∴180°﹣2x+2y＝90°，
∴x﹣y＝45°，
∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，
（3）
∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，
∴x＝ ，
∴x﹣y＝ ﹣y＝45°
∴y＝27°，x＝72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，
∴ ，
故答案为 ．
32．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF
交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD
于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝ ，∠EGF＝ ．
①当点G在点F的右侧时，若 ＝56°，求 的度α数； β
②当点G在运动过程中， 和 β之间有怎样α的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
α β
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠MEF，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠EMF，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，∵AB∥CD， ＝56°，
∴∠AEG＝124°， β
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝ ∠FEG，∠MEF＝ ∠AEF，
∴∠MEH＝ ∠AEG＝62°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°，
即 ＝28°；
α
②分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时， ＝ ．
α β证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝180°﹣ ，
又∵EH平分∠FEGβ，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝ ∠FEG，∠MEF＝ ∠AEF，
∴∠MEH＝ ∠AEG＝ （180°﹣ ），
又∵HN⊥ME， β
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣ （180°﹣ ）＝ ，
β β
即 ＝ ；
α
如图3，当点G在点F的左侧时， ＝90°﹣ ．
证明：∵AB∥CD， α
∴∠AEG＝∠EGF＝ ，
又∵EH平分∠FEG，βEM平分∠AEF，
∴∠HEF＝ ∠FEG，∠MEF＝ ∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝ （∠AEF﹣∠FEG）
＝ ∠AEG
＝ ，
又∵βHN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即 ＝90°﹣ ．
α33．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直
线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝
∠PHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，
Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N
在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小
于180°的角）
【答案】（1）证明过程详见解答部分；
（2）160°；
（3）点 N 在点 B 左侧，∠MNB 和∠PHM 的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．
【解答】（1）证明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB，
∴∠PEB＝∠PHD，
∴AB∥CD；
（2）解：过点Q作QK∥AB，如图，
则∠GQK＝∠EGF，
由（1）知：AB∥CD，
∴QK∥CD，
∴∠HQK＝∠CHQ，
∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK
＝∠EGF+∠CHQ，
∵GF平分∠PGB，
∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，
∵PH平分∠QHD，
∴∠QHD＝2∠PHD，
∵∠PGB+∠P＝∠PHD，
∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，
∵2∠GQH+∠P＝120°，
∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，
∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC，
∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC，
∵∠QHC＝180°﹣∠QHD，
∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD），
解得∠QHD＝160°；
即∠QHD的度数为160°；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM
＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下：
在（2）的条件下，∠PHD＝ ∠QHD＝80°，
若点M在PG的延长线上，
或
∵AB∥CD，
∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∠HEN＝∠CHP＝100°，
∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°，
∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°或∠MNB+∠PHM＝∠CHN+∠PHM＝180°
+∠CHP＝280°．
若点M在PG上，
∵AB∥CD，
∴∠HEN＝∠PHD＝80°，
∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN，
∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°；
若点M在GP的延长线上，∵AB∥CD，
∴∠HEN+∠PHD＝180°，
∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°，
∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE，
∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°．
综上所述，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或
∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．
34．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG
上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE
交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的
度数．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）∠EDN的度数为45°．
【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠BED，
∴∠ADE＝∠BED，
∴AD∥BE；
（2）证明：过点E作EH∥BD，
∴∠DEH＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEH，
∵BD∥FG，∴EH∥FG，
∴∠HEN＝∠ENG，
∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，
∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）解：设∠BDM＝2x，
∵DM平分∠BDE，
∴∠BDM＝∠MDE＝2x，
∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，
∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，
∵DE⊥EN，
∴∠DEN＝90°，
由（2）得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，
∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，
∵DN平分∠PDM，
∴∠MDN＝ ∠PDM＝ （180°﹣∠BDM）＝ （180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，
∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣（90°﹣3x）＝7x﹣90°，
∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，
∴180°﹣8x﹣3x＝7x﹣90°，
解得：x＝15°，
∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，
∴∠EDN的度数为45°．
35．综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），
PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）∠DPC＝ 75 ° ；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板∠PAC绕点P逆时针旋转，转速为
10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有
PC∥DB成立；
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN．处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为
2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当∠CPD
＝∠BPM，求旋转的时间是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°；
（2）如图1，此时，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；
（3）设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，
∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣
（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，
当∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，
解得：t＝25，
∴当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是25秒．
36．已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．
（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P＝∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若∠P＝∠PFD﹣∠BEP，求证：AB∥CD；
（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，求 的
值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，
∴∠BEP＝∠1，∠2＝∠PFD，
∵∠EPF＝∠1+∠2，
∴∠EPF＝∠BEP+∠PFD；
（2）∵∠BGP是△PEG的外角，
∴∠P＝∠BGP﹣∠BEP．
∵∠P＝∠PGB﹣∠BEP，
∴∠PFD＝∠PGB，
∴AB∥CD；
（3）由（1）的结论∠EPF＝∠BEP+∠PFD＝90°，
设∠PFD＝x，则∠BEP＝90°﹣x，
∵∠PEG＝∠BEP＝90°﹣x，
∴∠AEG＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，则 ＝ ＝2．
37．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁
安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回
转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A
转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，
且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 6 0 °；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯
转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线
到达BQ之前，转动的时间为 6 0 或 14 0 或 10 0 秒．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°× ＝60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，A灯旋转30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠CBP＝t，
又∵∠ACB＝120°
∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，
解得：t＝60（舍去），
或120＝2t﹣180+t，
解得t＝100，
如图4中，当∠ACB＝120°时，
∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，
∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，
∴t＝140，
综上所述，满足条件的值为60或140或100秒．
故答案为：140或100．38．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：
过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ MN ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ A ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ DGM （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D
三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，
∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等；
（2）∠AGD＝∠A﹣∠D．理由见解析；
（3）42°．
【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．
（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，∴∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，
∴∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，
∵AH平分∠GAE，
∴∠BAG＝2∠BAH＝108°，
∴∠AGM＝108°，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．
39．如图1，直线AB、CD被直线EF截，分别交AB于点G，交CD于点H，∠AGE与
∠EHC互补．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点P在直线AB、CD内部直线EF上，点M、N分别在直线AB、CD上，
连接PM、PN，点K在∠PMB的角平分线上，连接KN，若∠MKN＝180° ∠MPN，
求证：∠PNK＝∠CNK；
（3）如图3，在（2）的条件下，点O为AB上一点，连接ON、MN，MN平分∠PNO，
若∠MNK：∠PMK＝2：7，2∠MKN﹣∠PNO＝180°，求∠NOM的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠AGE与∠EHC互补，
∴∠AGE+∠EHC＝180°，
∵∠AGE+∠EGB＝180°，
∴∠EGB＝∠EHC，
∴AB∥CD；
（2）证明：过点P作PQ∥AB，∴∠AMP＝∠MPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠DNP＝∠NPQ，
∴∠MPN＝∠AMP+∠DNP，
∵MK平分∠PMB，
∴∠PMK＝∠BMK，
同理，过点K作KR∥AB，
∴∠MKN＝∠BMK+∠CNK，
∵∠MKN＝180°﹣ ∠MPN，
∴∠BMK+∠CNK＝180°﹣ （∠AMP+∠DNP）
＝180°﹣ （180°﹣∠BMK﹣∠PMK+180°﹣∠CNK﹣∠PNK）
＝ （∠BMK+∠PMK）+ （∠CNK+∠PNK）
＝∠BMK+ ∠CNK+ ∠PNK
∴ ∠CNK＝ ∠PNK，
∴∠CNK＝∠PNK．
（3）∵∠MNK：∠PMK＝2：7，
∴设∠MNK＝2 ，∠PMK＝7 ，∠PNK＝∠CNK
∴∠PNM+2 ＝α∠CNK α
∵MN平分∠αPNO，∴∠PNM＝∠MNO，
∴∠CON＝∠CNK﹣∠ONK＝∠PNM+2 ﹣（∠MNO﹣∠MNK）＝4 ，
α α
∵2∠MKN﹣∠PNO＝180°，∠MKN＝180°﹣ ∠MPN，
∴2（180°﹣ ∠MPN）﹣∠PNO＝180°，
∴∠MPN+∠PNO＝180°，
∴PM∥NO，
∴∠NOM＝∠PMG，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠CON＝4 ，
∵∠PMK＝∠OMK＝7α，∠PMG+∠PMK+∠OMK＝180°，
∴4 +7 +7 ＝180°， α
∴ α＝10α°，α
∴α∠NOM＝40°．
40．已知，AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，且点E为射线FG上一点．
（1）如图1：当点E在线段FG上时，连接AE、DE，易得∠AED＝∠EAF+∠EDG．
小明给出的理由是：如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴∠EAF＝∠AEH，∠EDG＝∠DEH，（依据1）
∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠EAF+∠EDG；（依据2）
填空：依据1： 两直线平行，内错角相等 ．
依据2： 等量代换 ．
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI＝2：1，
∠AED＝20°，∠I＝30°，求∠EKD的度数．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）见解答；
（3）80°．
【解答】解：（1）理由：如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴∠EAF＝∠AEH，∠EDG＝∠DEH，（依据1）
∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠EAF+∠EDG；（依据2）
填空：依据1：两直线平行，内错角相等．
依据2：等量代换；
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）证明：如图2，设CD与AE交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EHG，
∵∠EHG是△DEH的外角，
∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）∵AI平分∠BAE，
∴可设∠EAI＝∠BAI＝ ，则∠BAE＝2 ，
∵AB∥CD， α α
∴∠CHE＝∠BAE＝2 ，
∵∠AED＝20°，∠I＝α30°，∠DKE＝∠AKI，
∴∠EDI＝ +30°﹣20°＝ +10°，
α α又∵∠EDI：∠CDI＝2：1，
∴∠CDI＝ ∠EDK＝ +5°，
∵∠CHE是△DEH的外角α ，
∴∠CHE＝∠EDH+∠DEK，
即2 ＝ +5°+ +10°+20°，
解得α ＝7α0°， α
∴∠EαDK＝70°+10°＝80°，
∴△DEK中，∠EKD＝180°﹣80°﹣20°＝80°．
41．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、
AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于
E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A D 如图2所示位置，此时A E平分
1 1 1
∠AA D ，CE 平分∠ACD ，A E与CE 相交于 E，∠PAC＝50°，∠A D C＝30°，求
1 1 1 1 1 1
∠A EC的度数．
1
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A D 如图3所示位置，其他条件与（2）
1 1
相 同 ， 求 此 时 ∠ A EC 的 度 数 ．
1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，
∴∠PAD＝150°，
∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝25°，
∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
（2）如图2所示：
∵∠A D C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A D ，PQ∥MN，
1 1 1 1
∴∠QA D ＝30°，
1 1
∴∠PA D ＝150°，
1 1
∵A E平分∠AA D ，
1 1 1
∴∠PA E＝∠EA D ＝75°，
1 1 1
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD ，
1
∴∠ACE＝25°，
∴∠CEA ＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；
1
（3）如图3所示：过点E作FE∥PQ，
∵∠A D C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A D ，PQ∥MN，
1 1 1 1
∴∠QA D ＝30°，
1 1
∵A E平分∠AA D ，
1 1 1
∴∠QA E＝∠2＝15°，
1
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD ，
1
∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，
∴∠CEA ＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．
1
42．阅读下面材料：
小亮遇到这样问题：如图1，已知AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．判断
∠O、∠BEO、∠DFO 三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点 O 作
OP∥AB，通过构造内错角，可使问题得到解决．
请回答：∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系是 ∠ EOF ＝∠ BEO + ∠ DFO
．
参考小亮思考问题的方法，解决问题：
（2）如图2，将△ABC沿BA方向平移到△DEF（B、D、E共线），∠B＝50°，AC与
DF相交于点G，GP、EP分别平分∠CGF、∠DEF相交于点P，求∠P的度数；（3）如图3，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接FE并延长
至点A，连接BA、BC和CA，作∠CBF和∠CEF的平分线交于点M，若∠ADC＝ ，则
α
∠M＝ 90 ° ﹣ （直接用含 的式子表示）．
【答案】见试题解 α 答 内容 α
【解答】解：（1）如图1中，
∵OP∥AB
∴∠EOP＝∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠FOP＝∠DFO，
∴∠EOP+∠FOP＝∠BEO+∠DFO，
即：∠EOF＝∠BEO+∠DFO；
故答案为：∠EOF＝∠BEO+∠DFO．
（2）如图2中，
∵DF∥BC，AC∥EF，
∴∠EDF＝∠B＝50°，∠F＝∠CGF，∴∠DEF+∠F＝180°﹣50°＝130°，
∵∠P+∠FGP＝∠F+∠FEP，
∴∠P＝∠F+∠FEP﹣∠FGP＝ ∠DEF+ ∠F＝65°．
（3）如图3中，
易知∠M＝∠FBM+∠CEM，
∵BF∥EC，
∴∠DCE＝∠DBF，
∵∠DEC+∠DCE＝180°﹣ ，
α
∠FBM+∠CEM＝ ∠FBC+ ∠CED＝ （180°﹣ ）＝90°﹣ ．
α α
故答案为90°﹣ ．
α
