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第三章 位置与坐标压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．经过点M（4，－2）与点N（x，y）的直线平行于x轴，且点N到y轴的距离等于5，
由点N的坐标是（ ）
A．（5，2）或（－5，－2） B．（5，－2）或（－5，－2）
C．（5，－2）或（－5，2） D．（5，－2）或（－2，－2）
【答案】B
【分析】根据“平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同”可得y=-2,根据到y轴距离等于5
的点分布在y轴两侧，可得x=5或x=-5,从而确定了点N的坐标.
【详解】解：∵点M（4，－2）与点N（x，y）的直线平行于x轴，
∴点M与点N的纵坐标相同，
∴y=-2,
∵点N到y轴的距离等于5，
∴x=5或x=-5,
∴点N的坐标为（5，－2）或（－5，－2）.
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中特殊点的坐标特点.熟练掌握特殊点的坐标特点是解
题关键.
2．在平面直角坐标系中，点 在 轴的负半轴上，则下列关于 、 取值的
式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 轴的负半轴上的点的横坐标为 ，纵坐标小于 解答即可．
【详解】解：因为点 在 轴的负半轴上，
所以 ，
解得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握 轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．
3．在平面直角坐标系中，点M坐标为 ，若 轴，且线段 ，则点N坐标
为（ ）A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据 轴，则 的纵坐标与 的纵坐标相等，根据 ，即可确定点N
坐标．
【详解】解：∵点M坐标为 ， 轴，
∴N坐标为 或
故选C
【点睛】本题考查了坐标与图形，解题的关键是熟知与x轴平行的点纵坐标都相等．
4．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．北纬 ，东经 B．郑州市建设路
C．北偏东 D．郑东新区奥斯卡影院2排
【答案】A
【分析】根据确定位置需要两个不同要素判定即可．
【详解】A.北纬 ，东经 ，能确定位置，故A符合题意；
B. 郑州市建设路，不能确定位置，故B不符合题意；
C.北偏东 ，不能确定位置，故C不符合题意；
D.郑东新区奥斯卡影院2排，不能确定位置，故D不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了位置的确定方法，熟练掌握位置确定的方法是解题的关键．
5．下列说法不正确的是（ ）
A．x轴上的点的纵坐标为0 B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1
C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q （x，y）在第四象限
D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限
【答案】D
【分析】根据坐标轴上点的坐标特点，点的坐标到坐标轴的距离及各个象限内点的坐标符
号特点逐一判断可得．
【详解】解：A．在x轴上的点的纵坐标为0，说法正确，故本选项不合题意；
B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1，说法正确，故本选项不合题意；
C．若xy＜0，x﹣y＞0，则x＞0，y＜0，所以点Q（x，y）在第四象限，说法正确，故本选
项不合题意；
D．﹣a2﹣1＜0，|b|≥0，所以点A（﹣a2﹣1，|b|）在x轴或第二象限，故原说法错误，故
本选项符合题意．故选D．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的性质，正确理解平面直角坐标系的性质是本题的
解题关键．
6．如图，面积为3的等腰 ， ，点B、点C在x轴上，且 、C ，
规定把 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后， 顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得点 ，第1次变换后，点A的坐标为 ，第2次变换后，
点A的坐标为 ，第3次变换后，点A的坐标为 ，第4次变换后，点A的坐标为
，第5次变换后，点A的坐标为 ……，以此可发现规律：当经过n次变换
后，n为奇数时，点A的横坐标为 ，纵坐标为 ；当经过n次变换后，n为偶数时，
点A的横坐标为2，纵坐标为 ，以此即可解答．
【详解】解：∵面积为3的等腰 ， ， 、C ，
∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，
∴ ，
∴第1次变换A的坐标为 ，
第2次变换A的坐标为 ，
第3次变换A的坐标为 ，
第4次变换后，点A的坐标为 ，
第5次变换后，点A的坐标为 ，
以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点 A的横坐标为 ，纵坐标为 ；
当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为 ，
第2023次变换后，点A的坐标为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换、规律型：点的坐标、等腰三角形的性质、坐标与图形变化，
根据对称和平移的性质总结出点A坐标变化的规律是解题关键．
7．如图，在平面直角坐标系上有个点 ，点 第 次向上跳运 个单位至点 紧接着第 次向左跳动 个单位至点 ，第 次向上跳动 个单位，第 次向右跳运
个单位，第 次又向上跳动 个单位，第 次向左跳动 个单位， ，依此规律跳动下去，
点 第 次跳动至点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解决本题的关键是根据图形，写出各点坐标，利用具体数值分析出题目的规律，
再进一步解答．注意到第奇数次都是向上跳一个单位，而偶数次跳的次数也是有规律的．
【详解】解：由题中规律可得出如下结论：设点Pm的横坐标的绝对值是n，
则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，
在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；
判断P 的坐标，就是看2016=4（n-1）和2016=4n-3和2016=4n-2和2016=4n-1这四个式
2016
子中第一个有整数解，从而判断出点的横坐标，
点P第2016次跳动至点P 的坐标是（505，1008）．
2016
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点
的坐标的规律，总结规律时要注意观察数字之间的联系，大胆的猜想．
8．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，
0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律
探索可得，第2022个点的坐标为（ ）
A．（2022，8） B．（63，5） C．（64，5） D．（64，4）
【答案】C【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，
第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个点，可得前n列共有 个点，第n
列最下面的点的坐标为（n，0），最后按照规律可得第2022个点的坐标．
【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类
推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个
∴前n列共有 个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），
∵ =2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数
时，点的顺序是由上而下，
∴第2016个点的坐标为（63，0），
第2017个点的坐标为（64，0），
第2018个点的坐标为（64，1），
第2019个点的坐标为（64，2），
第2020个点的坐标为（64，3），
第2021个点的坐标为（64，4），
第2022个点的坐标为（64，5），
故选：C．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关
键．
9．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点 在y轴上，顶点 、 、 、 、
、 、 …在x轴上，已知正方形 的边长为1， ，
…则正方形 的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题易知 ，∴ ，∴，∴ ．同理， ；由此猜想
．∴当 时， ．故选D．
评卷人 得分
二、填空题
10．如图， ， 以点A为顶点， 为腰在第三象限作等腰直角 ．则
点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】作 轴，垂直为D，证明 ，得到 ，
进而得到 ，根据点 在第三象限即可求解．
【详解】解：如图，作 轴，垂直为D，则 ，
∵点A、B坐标分别为 ， ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系等知识，熟知相关知识，
添加辅助线，证明 是解题关键．
11．如图，点 与点 关于直线 对称，则 ．
【答案】-5
【分析】根据点 与点 关于直线 对称求得a，b的值，最后代入求解即
可．
【详解】解：∵点 与点 关于直线 对称
∴a=-2， ,解得b=-3
∴a+b=-2+（-3）=-5
故答案为-5．
【点睛】本题考查了关于y=-1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本
题的关键．
12．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△OAB是等腰直角三角形，且∠OAB＝
90°，若点A的坐标（3，1），则点B的坐标为 ．
【答案】（2，4）或（4，﹣2）
【分析】分两种情况讨论：当点B在第一象限时，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥AC于
D；当点B'在第四象限时，过A作AE⊥y轴于E，过B'作B'F⊥AE于F，分别依据全等三角形
的对应边相等，即可得到点B的坐标．【详解】如图，当点B在第一象限时，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥AC于D，则
AC=1，OC=3，
易得 ABD≌△OAC（AAS），
∴AC=BD=1，AD=OC=3，
△
∴B（2，4）；
当点B'在第四象限时，过A作AE⊥y轴于E，过B'作B'F⊥AE于F，则OE=1，AE=3，
易得 AOE≌△B'AF（AAS），
∴AF=OE=1，B'F=AE=3，
△
∴B'（4，-2），
故答案为（2，4）或（4，-2）．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形等知识
点，画出图形，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
13．如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，分别以 ， 为直角边在第三、
第四象限作等腰 ，等腰 ，连接 交 轴于 点，点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】作 轴于 ，求出 ，证 ，得BN=AO，再由
，证 ，推出 =2，由点 的坐标为
即可得出点 的坐标为 ．
【详解】解：如图，作 轴于 ，，
， ，
，
在 和 中，
，
，OA=BN
，
在 和 中，
，
，
，
又因为点 的坐标为 ，
，
，
又∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考
查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定
理有 ， ， ， ，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
14．如图，在四边形 中， ， ， ，
在 、 上分别找一点E、F，使得 的周长最小，则 周长的最小值
为 ．【答案】
【分析】作B关于AD的对称点B，关于CD的对称点B，连接B、B，与AD、CD分别
1 2 1 2
交于E、F，找到 的周长最小的情况．再过 作 延长线的垂线，交延长线与点
M，利用勾股定理求出 ，即 的周长的最小值．
【详解】如图所示，作B关于AD的对称点B，关于CD的对称点B，连接B、B，与
1 2 1 2
AD、CD分别交于E、F，则此时 的周长最小．
证明如下：∵作B关于AD的对称点B，关于CD的对称点B，
1 2
∴ ，
∴
∵两点之间线段最短
∴ 的周长最小， ．
过 作 延长线的垂线，交延长线与点M，
∵ ，∴ ，∴
∵ ，∴ ，∴ ，∴
∵ ，∴
∴在 中， ．，∴ =
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查对称的性质和勾股定理．根据两点间线段最短找到 的周长最小的情况是本题解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题
15．（1）如图，已知点 A（﹣4，4），一个以 A 为顶点的 45°角绕点 A 旋转，角 的两
边分别交 x 轴正半轴，y 轴负半轴于 E、F，连接 EF．当 AEF 是直角三角形 时，点
E 的坐标是_________
△
（2）已知实数 x+y=12，则 的最小值是_____
【答案】（1）（8，0）或（4，0）.
（2）13
【详解】（1）
作AD垂直于y轴于点D，如图所示：
当∠AFE=90°
∴∠AFD+∠OFE=90°
∵∠OEF+∠OFE=90°
∴∠AFD=∠OEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°
∴∠AEF=45°=∠EAF
∴AF=EF
在三角形ADF与三角形FOE中
∴ ≌ (AAS
△ADF △FOE )∴FO=AD=4,OE=DF=OD+FO=8
∴E（8，0）
当∠AEF=90°时，同理可得：OF=8，OE=4，∴E（4，0）
综上：E点的坐标为（8，0）或（4，0）.
（2）∵
∴
把 代入 得：
即
由两点距离公式 可知，上式表示点M（x，0）到点A（0，3）与
B（12，2）距离和.如图所示，找到A的对称点 ,即最小值为 的距离，则 =
【点睛】本题（1）解题关键在
于，构造全等三角形，通过全等的性质得到边的长度，从而解得坐标值.（2）解题关键在
于，把数化为形，通过两点之间的距离解得最小值问题.
16．如图，在平面直角坐标系中，线段AB在x轴上点A，B的坐标分别为（﹣1，0），
（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点
A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．得平行四边形ABDC（1）补全图形，直接写出点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点M，连接MA，MB，使S△MAB=S四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．请画出图形，探索∠CPO、∠DCP、∠BOP
的数量关系并说明理由．
【答案】（1） ， ；详见解析；（2） 点的坐标为 或 ；（3）详
见解析，①当点 在 上， ；②当点 在线段 的延长线上时，
③当点 在线段 的延长线上时，
【分析】（1）根据平移法则作图即可，由平移法则可得出点C，D的坐标；
（2）求出 ，设 坐标为 ，利用三角形面积公式列式求解即可；
（3）分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则
∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；当点P在线段BD的
延长线上时，如图2，同样有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO-∠EPC=∠BOP-
∠DCP，于是∠BOP-∠DCP=∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP-
∠BOP=∠CPO．
【详解】解：（1）如图，
∵将 ， 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴ ， ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
设 坐标为 ，
∴ ，解得
∴ 点的坐标为 或 ；
（3）三种情况
①当点 在 上，如图1，由平移的性质得， ，
过点 作 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
②当点 在线段 的延长线上时，如图2，
由平移的性质得， ，
过点 作 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
③当点 在线段 的延长线上时，如图3，
同（2）的方法得出
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段
的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查三角形面积公式和平行线的性质．
17．在平面直角坐标系 中，对于点 ， ， ， ，记 ，
，将 称为点 ， 的横纵偏差，记为 ，即 ．若点 在线段 上，将 的最大值称为线段 关于点 的横纵偏差，记为 ．
(1) ， ，
① 的值是 ；
②点 在 轴上，若 ，则点 的坐标是 ．
(2)点 ， 在 轴上，点 在点 的上方， ，点 的坐标为 ．
①当点 的坐标为 时，求 的值；
②当线段 在 轴上运动时，直接写出 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】(1)①5；② 或 ；
(2)①当点 的坐标为 时， 的值为4；② 的最小值是3，此时点
的坐标是 或
【分析】（1）①根据 的含义即可求得；
②设 ，则可得 与 ，由 即得关于x的方程，解方程即可；
（2）①由已知易得点P的坐标，设点 为线段 上任意一点，则 ，从而可得
与 ，进而求得 ，由t的取值范围即可求得 的最大值，最后可求得
的值；
②由已知易得 ， ， 或 ，设点 ，则 ，求出
及 ，当 = 时， 有最小值，从而可得关于t的方
程，解方程即可求得t的值，从而可求得此时 的最小值及点P的坐标．
【详解】（1）① ， ，
， ，
则 ，
故答案是5．
② ，点 在 轴上，设 ，
， ，
，
，
或 ，解得， 或 ，
的坐标是 或 ．
故答案是 或 ．
（2）① 点 、 在 轴上，点 在点 的上方， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设点 为线段 上任意一点，则 ；
点 的坐标为 ，
， ，
；
由 ，可得 ；
，
的最大值是4，
．
② ， ， 或 ，
设点 ，则 ，
， ，
当 ， ， 时， 有最小值，
即 时， 有最小值，
或 ，则 有最小值为3，
点 的坐标为 或 ，
的最小值是3，此时点 的坐标是 或 ．
【点睛】本题是材料阅读题目，考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知
识，有一定的难度，关键是理解题目中 及 的意义．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一
点M（﹣2，m）．
(1)请用含m的式子表示 ABM的面积；
△
(2)当m＝- 时，在y轴上有一点P，使 BMP的面积与 ABM的面积相等，请求出点P的
△ △
坐标．
【答案】（1）－2m；（2）点P坐标是(0，﹣ )或(0， ).
【分析】(1)过M作CE⊥x轴于E，根据点M在第三象限可得ME=-m，根据A、B坐标可求出
AB的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）先根据（1）计算S ，再分两种情况：
ABM
当点P在y轴正半轴上时、当点P在y轴负半轴上时，利用割补法表示△出S ，根据
BMP
S =S 列方程求解可得． △
BMP ABM
【△详解△】（1）如图1所示，过M作CE⊥x轴于E，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝4，
∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），
∴ME＝|m|＝﹣m，
∴S ＝ AB×ME＝ ×4×（﹣m）＝﹣2m；
ABM
△
（2）当m=- 时，M（-2，- ）
∴S =-2×（- ）=3，
ABM
△
点P有两种情况：
①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k）
S =5×（ +k）- ×2×（ +k）- ×5× - ×3×k= k+ ，
BMP
△
∵S =S ，
BMP ABM
△ △
∴ k+ =3，解得：k= ，
∴点P坐标为（0， ）；
②当点P在y轴负半轴上时，设点p（0，n），
S =-5n- ×2×（-n- ）- ×5× - ×3×（-n）=- n- ，
BMP
△
∵S =S ，
BMP ABM
△ △
∴- n- =3，
解得：n=﹣
∴点P坐标为（0，﹣ ），
故点P的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，利用割补法表示出△BMP的面积，并根据题意
建立方程是解题的关键．
19．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中， ，点 ．（1）在图①中，点 坐标为__________；
（2）如图②，点 在线段 上，连接 ，作等腰直角三角形 ， ，连
接 ．证明： ；
（3）在图②的条件下，若 三点共线，求 的长；
（4）在 轴上找一点 ，使 面积为2．请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)(1,3)；
(2)答案见解析；
(3)OD=1
(4)F的坐标是 或
【分析】（1）过C点作 轴，垂足为F，在证明了 后可得到线段
BM、CM的长，再求出线段OM的长，便可得点C的坐标；
(2)根据 和等式的基本性质证明 ,再利用“SAS”定理证明
后便可得到 ；
(3) 三点共线时， 可推导出 轴，从而有 ；
(4)根据点F在y轴上，所以 中BF上的高总是OA=2，在此处只需要利用其面积为2
和三角形的面积计算： ，分点F在点B的上方和下方两种情况讨论可得．
【详解】(1)过点C作 轴，垂足为M，则
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴ ，
∵点∴ ，
∴
而点C在第一象限，所以点
(2)∵ 等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
(3)由(2) 可得
∵ 三点共线且三角形 是等腰直角三角形
∴
∴
又
∴四边形ODCM是矩形
∴
(4)∵点F在y轴上
∴ 的边BF的高为OA=2
∵
即 ，∴
当点F在点B的上方时，其坐标为(3,0)；
当点F在点B的下方时，其坐标为(-1,0)．
故点F的坐标为(3,0)或(-1,0)．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质与判定，图形与坐标，掌握三角形全等的各种判
定方法并能熟练的运用是关键．
