第三章图形的平移与旋转压轴题（7个类型55题）-常考压轴题2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（原卷版）_1、初中学习资料_24秋试卷_初中数学《常考压轴题攻略》

第三章 图形的平移与旋转压轴题 内容导航一、图形的平移 类型一、 图形的平移问题 类型二、平面直角坐标系内的图形 平移问题 类型三、一次函数图象的 平移问题 二、图形的旋转 类型 四 、图形旋转的规律问题 类型 五 、图形旋转的性质应用 类型 六 、图形旋转的综合问题 类型 七 、中心对称图形的性质应用 一、图形的平移 类型一、图形的平移问题1．如图，直线m//n，点A在直线m上，BC在直线n上，构成 ABC，把 ABC向右平移BC长度的一半 得到 （如图①），再把 向右平移BC长度的一半得到 （如图②），再继续上述的 平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2020个图形中三角形 的个数是（ ） A．4040 B．6060 C．6061 D．8080 2． ABC是一块含有45º的直角三角板，四边形DEFG是长方形，D、G分别在AB、AC上，E、F在BC 上。△BC=16,DG=4，DE=6，现将长方形 DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，长方形与直 角三角板的重叠面积为S， （1）当水平距离d是何值时，长方形 DEFG恰好完全移出三角板； （2）在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应的d的范围。 3．如图，已知线段 ，点 是线段 外一点，连接 ， ．将线段 沿 平移得到线段 ．点 是线段 上一动点，连接 ， ． (1)依题意在图1中补全图形，并证明： ； (2)过点C作直线 ．在直线 上取点 ，使 ． ①当 时，画出图形，并直接用等式表示 与 之间的数量关系； 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②在点 运动的过程中，当点 到直线 的距离最大时， 的度数是________（用含 的式子表示）． 4．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形， 中， ， ， ． 中， ， ， ．该同学将 的直角边 与 的斜边 重合在一起，并将 沿 方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在 边上． (1)当 移动至什么位置，即 的长为多少时，F、C的连线与 平行？ (2)当 移动至什么位置，即 的长为多少时，以线段 、 、 的长为三边长的三角形是直角 三角形？ (3)在 的移动过程中，是否存在某个位置，使得 ？如果存在，求出 的长；如果不存在， 说明理由． 5．如图，等腰三角形 中， ，D为 边上一点，E为射线 上一点，连接 ． (1)如图1，点F在线段 上，连接 、 ．若 ， 为等边三角形， ， ， 求 的长； (2)如图2，F为线段 的垂直平分线上一点，连接 、 、 ，M为 的中点，连接 、 ． 若 ，求证： ； (3)如图3， ，D为 中点，F为 中点， 与 交于点G，将 沿射线 方向平移得 ，连接 、 ．若 ，直接写出 的最小值． 6．综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在△ABC中，CD⊥AB于 点D，AE平分∠BAC交CD于点F．初步分析： （1）智慧小组的同学发现△CEF是等腰三角形，请你证明这一结论； （2）博学小组的同学发现给△ABC添加一个条件，可使△CEF成为等边三角形．添加的条件可以是 ． （写出一种即可） 操作探究： （3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下的探究，请从下面A，B两题中任选一题作答我选择题： A．将△ADF沿射线AB的方向平移，使点F的对应点F恰好落在线段BC上， ①请在图中画出平移后的 ， ②猜想此时线段A′B与AC之间的数量关系，并说明理由． B．将△CEF沿射线CB的方向平移，使点C的对应点恰好与点B重合， ①请在图中画出平移后的 ， ②连接EF′，交BD于点G，猜想此时线段EG与F′G之间的数量关系，并说明理由． 类型二、平面直角坐标系内的图形平移问题 7．对于给定的两点 ，若存在点 ，使得三角形 的面积等于1，则称点 为线段 的“单位面 积点”，已知在平面直角坐标系中， 为坐标原点．点 ， ， ．若将线段 沿 轴正 方向平移 个单位长度，使得线段 上存在线段 的“单位面积点”，则 的值可以是（ ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 8．如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O 为原点，点A 的坐标为 1 （1，1）．将点O 平移2 个单位长度到点O，点A的位置不变，如果以O 为原点，那么点A的坐标可 1 2 2 能是（ ） 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．（3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（2 +1，2 +1） 9．如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A，C的坐标分别为 ， ．已知线 段 的端点M，N的坐标分别为 ， ，平移线段 ，使得平移后的线段的两个端点均落 在正方形 的边上，此时正方形 被该线段分为两部分，其中三角形部分的面积为 ； 已知线段 的端点坐标分别为 ， ，且 ， ， ．平移线段 ，使得平 移后的线段 的两个端点均落在正方形 的边上，且线段 将正方形的 面积分为 两 部分，取 的中点H，连接 ，则 的长为 ． 10．在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的 变换和 变换． 变换：将点A向左平移一个单 位长度，再向上平移两个单位长度； 变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度 (1)若对点B进行 变换，得到点（1，1），则对点B进行 变换后得到的点的坐标为 ． (2)若对点C（m，0）进行 变换得到点P，对点C（m，0）进行 变换得到点Q， ，求m的值． (3)点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行 变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F 进行 变换之后得到点G，若 的最小值为2 ，直接写出点D的坐标 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为 、 ，且a，b满足： ， 现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接． (1)求C，D两点的坐标及四边形 的面积； (2)点P是线段 上的一个动点，连接 ，当点P在 上移动时（不与B，D重合）， 的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在y轴上，且点D在 的外部，连接 ，若 的面积与四边形 的面积 相等，求点M的坐标． 12．如图1，在直角坐标系中直线 与 、 轴的交点分别为 ， ，且满足 . （1）求 、 的值； （2）若点 的坐标为 且 ，求 的值； （3）如图2，点 坐标是 ，若 以2个单位/秒的速度向下平移，同时点 以1个单位/秒的速 度向左平移，平移时间是 秒，若点 落在 内部（不包含三角形的边），求 的取值范围． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13．在平面直角坐标系 中，对于给定的两点 ，若存在点M，使得 的面积等于1，即 ，则称点M为线段 的“单位面积点”，解答下列问题：如图，在平面直角坐标系 中，点 P的坐标为 ． (1)在点 中，线段 的“单位面积点”是 ； (2)已知点 ，将线段 沿y轴向上平移 个单位长度，使得线段 上存在线段 的 “单位面积点”，直接写出t的取值范围 ． (3)已知点 ，点 是线段 的两个“单位面积点”，点M在 的延长线上，若 ，求出点N纵坐标的取值范围． 14．如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ．且a，b满足 ，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、 B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．(1)点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CA上移动时（不 与A，C重合），请找出 ， ， 的数量关系，并证明你的结论． (2)连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使 的面积与 的面积相等？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由． 15．在平面直角坐标系中， ， ，a，b满足 ，连接AB交y轴于C． (1)直接写出 ______， ______； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，直线BD交x轴于 ，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点 在直线AE上，且 三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的 ，求点Q横坐标x的取值范围． 类型三、一次函数图象的平移问题 16．如图1，在平面直角坐标系中．直线 与 轴、 轴相交于 两点，动点 在线段 上， 将线段 绕着点 顺时针旋转 得到 ，此时点 恰好落在直线 上时，过点 作 轴于点 ． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求证： ； (2)如图2，将 沿 轴正方向平移得 ，当直线 经过点 时，求点 的坐标及 平移 的距离． 17．在平面直角坐标系 中，对于点 与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点 关于第一、三象限 角平分线的对称点为 ，且线段 中点为 ，则称点 是图形W关于点 的“关联点”． (1)如图1，若点 是点 关于原点的关联点，则点 的坐标为 ； (2)如图2，在 中， ， ， ． ①将线段 向右平移 （ ）个单位长度，若平移后的线段上存在两个 关于点 的关联点， 则d的取值范围是 ． ②已知点 和点 ，若线段 上存在 关于点 的关联点，求n的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 、 轴分别相交于点 、 ，与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．PD |PC- PD| P （1）若点 是 轴上一动点，连接 、 ，求当 取最大值时， 点的坐标． （2）在（1）问的条件下，将COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M ，则当 PMA是等腰三角形时，求BM 的长． xOy G G Px,y Px,y 19． 对于平面直角坐标系 中的图形 和图形 上的任意点 ，给出如下定义：将点 平 P'xt,yt 移到 称为将点P进行“ t 型平移”，点 P' 称为将点P进行“ t 型平移”的对应点；将图形 G Px，y P'x1,y-1 t G t 上的所有点进行“ 型平移”称为将图形 进行“ 型平移”．例如，将点 平移到 称 Px，y P'x-1,y1 为将点P进行“1型平移”，将点 平移到 称为将点P进行“﹣1型平移”．已知点 A2,1 B4,1 和点 ． A2,1 A' (1)将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为 ． P1.5,2 P 2,3 P 3,0 (2)①将线段AB进行“﹣1型平移”后得到线段 A'B' ，点 1 ， 2 ， 3 中，在线段 A'B' 上 的点是 ． ②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ． C6,1 D8，1 (3)知点 ， ，点 M 是线段 CD 上的一个动点，将点B进行“ t 型平移”后得到的对应点为B'， 画图、观察、归纳可得，当t的取值范围是 时，B'M 的最小值保持不变． 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 20．如图，在平面直角坐标系中，直线y 4 x3与 x 轴，y轴分别交于 A、B 两点，点 C 坐标为 （1，0） ，连 接BC． (1)求点B的坐标及线段BC的长度； BC y （a a＞0） BC BA，CA (2)将线段 沿 轴向下平移 个单位至 ，连接 ． ①当 ABC为直角三角形时，求a的值；  ②当△ABC周长最小时，a的值是 ；此时，最小周长等于 ． 1 21．已知直线y x1与 轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点，线段 为腰在第一象限内 2 x AB 作等腰Rt△ABC．(1)求点C的坐标 (2)P为直线x1上的动点，若  ABP的面积与 ABC的面积相等，则点P的坐标为多少 (3)点M为直线x1上的动点，点N为x轴上的一点，是否存在以点M、N、B、C为顶点的四边形为平行 四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（1）阅读以下内容并回答问题： 问题：在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，求平移后直线的解析式． 小雯同学在做这类问题时经常困惑和纠结，她做此题的简要过程和反思如下． 在课堂交流中，小谢同学听了她的困惑后，给她提出了下面的建议：“你可以找直线上的关键点，比如点 A（1，﹣2），先把它按要求平移到相应的对应点A′，再用老师教过的待定系数法求过点A′的新直线的解 析式，这样就不用纠结了．” 小雯用这个方法进行了尝试，点A（1，﹣2）向上平移3个单位后的对应点A′的坐标为 ，过点A′的直 线的解析式为 ． （2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看： 将直线y＝﹣2x向左平移3个单位，平移后直线的解析式为 ，另外直接将直线y＝﹣2x向 （“上”或“下”）平移 个单位也能得到这条直线． （3）请你继续利用这个方法解决问题： 对于平面直角坐标系xOy内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位，再向左平移3个单位，我 们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．求将直线y＝﹣2x进行两次“斜平移”后得到的直线的解析 式． 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！二、图形的旋转 类型四、图形旋转的规律问题 23．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相 5 44 A 距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在 的正方形网格图形中（如图1），从点 经过 一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处现有1717的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的 顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ，最少需要跳马变换的次数是（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 90 30 3 24．如图，在 ABC中,∠ACB= ，∠B= ，AC=1，BC= ，AB=2，AC在直线l上，将 ABC绕点 △ △ A顺时针转到位置①可得到点P，此时AP =2；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋转到位置②，可得到点 1 1 1 3 3 P，此时AP =2+ ；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到点P，此时AP =3+ …， 2 2 2 3 3 按此顺序继续旋转，得到点P ，则AP =( ) 2016 20163 3 A．2016+671 B．2016+672 3 3 C．2017+671 D．2017+672 OA OB AOB 120 △AOB O 25．如图，在平面直角坐标系中， 1 1， 1 1 ，将 1 1绕点 顺时针旋转并且按一定规律 放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形AOB ，点 2 2  3 3 3 A 1 (1,0) 的对应点为A 2  1, 3  ；第二次变化后得到等腰三角形 A 3 OB 3 ，点 A 2 的对应点为 A 3     2 , 2    ；第 AOB A A (4,0) 三次变化后得到等腰三角形 4 4，点 3的对应点为 4 ……依此规律，则第2023年等腰三角形中， B 点 2023的坐标是（ ）  2023 2023 3  2023 2023 3 A．  22021,22021 3  B．  22021,22021 3  C．    2 , 2   D．    2 , 2       O0，0 A2，2 B2，2 OAB OAB ABCD 26．如图，在 中，顶点 ， ， ，将 与正方形 组成的图形绕点O逆 时针旋转，每次旋转60，则第2023次旋转结束时，点D的坐标是 ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A 点出发，沿着射线AO方向运动到⊙O 上的点A 处，再 0 0 1 向左沿着与射线AO夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A 处；接着又从 A 点出发，沿着射线AO方向运 1 2 2 2 动到⊙O上的点A 处，再向左沿着与射线AO夹角为 60°的方向运动到⊙O上的点A 处；……按此规律运 3 3 4 动到点A 处，则点A 与点A 间的距离是 2 017 2017 0 28．在平面直角坐标系中，等边 AOB 如图放置，点A的坐标为 1,0 ，将等边 AOB 绕着点 O 依次顺时 60 △AOB △AOB 1 1 2 2 针旋转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 ，第二次旋转后得到 ，…，按 A 此作法进行下去，则点 2023的坐标为 ．类型五、图形旋转的性质应用 29．如图，等腰Rt△ABC，�B�90 ，AB6，点D为边AB上一点，BD2，点E为边AC上一点，连 结DE，将DE绕点D逆时针旋转90得到DF，连结AF，BF，则AFBF 的最小值为 ． 30．如图，在四边形ABCD中，ABBCCDAD6，AC60，连接BD，将△BCD绕点B旋转， 使BD旋转到BD，BC旋转到BC，当BD与AD交于一点E，BC同时与CD交于一点F 时，下面四个 ①AEDF ②EBF 60 ③DEBDFB ④ DEF 63 3  结论： ； ； ； 周长的最小值是 ．其中所有正 确结论的序号是 ． DBE090 31．在 ABC 中， C 90 ， AC 4 ， BC 3 ．把 ABC 绕点B逆时针旋转  得到  ， 点A的对应点为点D． 16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)当90时，在图1中作出旋转后的 DBE（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接AD，则AD的长为______； (3)在旋转过程中，直线DE分别交CA，BA于点M ，N ，若 AMN 为等腰三角形，求AM 的长． 32．如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB、AOC和BOC，若其中有一个角 的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的奇妙线． (1)一个角的角平分线 ___________这个角的奇妙线．（填是或不是） MPN 60 PQ PN 10 QPN (2)如图2，若 ，射线 绕点P从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，当 首 ts 180 次等于 时停止旋转，设旋转的时间为 ． PM QPN ①当t为何值时，射线 是 的奇妙线？ ②若射线PM 同时绕点P以每秒6的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是 MPN 的奇妙线时t的值． 33．综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组 成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知 ABC和VADE都是等边三角形，连接BE，CD．求证：BECD；【模型应用】 （2）如图2，已知 ABC和VADE都是等边三角形，将VADE绕点A旋转一定的角度，当点D在CB的延 长线上时，求证：ABBDBE； 【类比探究】 （3）如图3，已知 ABC和VADE都是等边三角形．当点D在射线BC上时，过点E作EF  AB于点F ， 直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系为_____________． 类型六、图形旋转的综合问题 34．问题提出： （1）如图①，已知 ABC 是面积为 4 3 的等边三角形， AD 是 BAC 的平分线，则 AB 的长为______． 问题探究： （2）如图②，在 ABC中，C 90，AC BC，AB4，点D为AB的中点，点E，F 分别在边AC， BC上，且EDF 90．证明：DEDF． 问题解决： （3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD，然后将其分割种植三种不同的花卉． 按照他的分割方案，点P，Q分别在AD，BC上，连接PQ、PB、PC，BPC 60，E、F 分别在 PB 、 PC 上，连接 QE 、 QF ， QEQF ， EQF 120 ，其中四边形 PEQF 种植玫瑰， ABP 和  PCD PEQF 64 3m2 种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形 的面积为 ， 为了节约成本，矩形花园ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD的最小面积，若不存 在，请说明理由． 18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！35．问题提出： （1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC a，ABb，填空：当ABC __________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________（用含a，b的式子表示）． 问题探究： （2）点A为线段BC外一动点，且BC 6，AB3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形 ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE 长的最大值． 问题解决： 2,0 5,0 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点P为线段AB外一动点， 且PA2，PM PB，BPM 90，求线段AM 长的最大值及此时点P的坐标． 36．已知，点M为线段AB的中点，点P为线段AB上一动点，过点P作直线l（不与AB重合），AEl 于点E，BF l于点F． (1)如图1，当点P与点M重合时，EM 与FM 有怎样的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当点P不与点M重合时，（1）问中的结论是否仍然成立，为什么？ (3)在等边 ABC中，点M为AB的中点，点P为AB边上一动点，过点P的直线l∥BC，AEl于点E， BF l于点F，连结BE． ①如图3，当AEBE时，求MFE的度数； ②如图4，当MFE45时，探究PM、PB、PE的数量关系，并说明理由． 37．如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，点 E在四边形 ABCD的内部，且 DE EC， DEC AEB120，已知 AD4，BC 6，则 AB的长为 ． 38．问题初探：（1）一天杨老师给同学们这样一个几何问题： 如图1， ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上． 求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形． 小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC  AE，ADC 120，从而得出△ADC为钝 角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 类比分析：（2）杨老师发现，小明通过构造全等三角形，将AE边和E转移，使AE、AD、AC在一个 三角形中，为了帮助学生更好的利用已知边角的数量关系构造全等三角形，杨老师将 ABC和△BDE换成 两个等腰直角三角形，并隐藏了一部分图形，得到了下面的图形，如图3，并提出了下面的问题，请解答． 已知：ABC 90，ABBC，D为AC边上的一点，试判断BD、AD、CD之间的数量关系． ABCD E AC AE2CE2 10 EBA15 学以致用：（3）如图4．已知四边形 是正方形．点 在 上， ， ，试 求出正方形ABCD的面积． 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39．问题提出 （1）如图①所示，将含有 45和30角的一副直角三角板ABO与 CDO在直线MN，45的顶点和60角 O A,O,C MN OE BOD BOE   的顶点重合于点 ，点 在直线 上， 为 平分线，则 ． 问题探究 2 ② ABO O a0a90 OF AOC EOF （ ）如图 ，若将三角板 绕点 逆时针旋转 ， 平分 ，请你探究 度 数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （3）如图③，从图①位置开始，将三角板CDO绕点O以每秒 10速度逆时针旋转，同时三角板ABO以 每秒15的速度顺时针旋转，当OD首次与OM 重合或当 OB与ON首次重合时，两个三角板都停止旋转． BOCAOD 10 t t 设两三角板的旋转时间为 ，在整个旋转过程中，当满足 ，求 的值． 40．【初步感知】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，将等腰三角形纸片ABC与等腰三角形纸片ABD按图示位置摆放，其中ABBC，ADBD． 求证：�ABC� ADB，请你完成证明． 【深入探究】 （2）如图2， ABC中，ABBC，点M 在底边AC上，BMN ABC ，BM MN ，点N 在点A 的右侧，连接AN．求证：AN∥BC． 小明和小红分别给出如下思路： ①小明同学从轴对称变化的角度做了研究：以AM 为对称轴，利用轴对称构造一个与 ANM 全等的三角形， 通过研究角的大小关系解决了问题． ②小红同学从旋转变化的角度做了研究：以点M 为旋转中心，利用旋转构造一个与 ANM 全等的三角形， 也通过研究角的大小关系解决了问题． 请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【学以致用】 为了帮助学生更好地感悟类比推理思想，李老师将图2进行修改并提出下面问题，请你解答． （3）如图3，在（2）的条件下，将“点N 在点A的右侧”改为“点N 在点A的左侧”，其他条件不变， 点E在线段AB上，且满足BMC 2AME，当60，CM m，BN n时，求AE的长．（用含 m，n 的式子表示） 41．如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60角的三角板MON 和三角板OPQ如图摆放，使三角板的 一条直角边OM、OP在直线AB上，其中OMN POQ60． (1)将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在MON 的内部且平分 MON ，此时三角板OPQ旋转的角度为 度； 22 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！OPQ OP MON MOP NOQ (2)三角板 在绕点O按逆时针方向旋转时，若 在 的内部．试探究 与 之间满足 什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板MON 绕点O以每秒2的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O 以每秒3的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线 OB记为OE，射线OC平分MON ，射线OD平分POQ，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O 以原速按顺时针方向旋转，在OC、OD第二次相遇前，当COE 13时，直接写出旋转时间t的值． 42．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： (1)【操作探究】如图1， ABC为等边三角形，将 ABC绕点A旋转180，得到  ADE，连接BE，F是 BE的中点，连接AF ． ①写出图1中一个等于90的角 ； ②图1中AF 与DE的数量关系是 ． (2)【迁移探究】如图2，将（1）中的等边 ABC绕点A逆时针旋转30，得到  ADE，其他条件不变．探 究AF 与DE的数量关系，并说明理由．  ABC中 BAC 90 AB AC BC 2 2  ABC (3)【拓展应用】如图3，在 ， ， ， ，将 绕点A旋转，得到 ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF ．在旋转过程中，当EBC 15时，直接写出线段AF 的长．  ABC BAC90 AB AC 2 2 ADBC  43．如图，在 中， ， ， 于点D．点G是射线AD上一点，过G 作GEGF分别交AB、AC于点E、F：AEAF  2AD (1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证： ； (2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并 说明理由； (3)当点G在线段AD上时，请直接写出AGBGCG的最小值．  2 a b ab2 ab 参考公式： ABC BAC90 AB,AC DE 44．如图①，在等腰直角三角形 中， ，D，E分别为 的中点，F为线段 上一动 AF 90 AG BF,CG 点（不与D，E重合），将线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ． (1)求证：△ ABF≌△ ACG． EG,FG FG AC (2)如图②，连接 ， 交 于点H． ①证明：在点F的运动过程中，总有FEG90； AB AC 2 2 DF  AGH ②若 ，直接写出当 的长度是多少时，为 为等腰三角形？ 45．如下图，在 ABE和 ACD中，AEAB，ADAC，且BAECAD，则可证明得到 AEC≌  ABD． 【初步探究】（1）如下图， ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重 合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60得到CQ，连QB．请写出AP与BQ的数量关系并 说明理由； 24 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【思维提升】 （2）如下图，在 ABC中，以AB为边向外作等边  ABE，连接EC，ACB30，AC 4，BC 3，求 EC长． 【拓展应用】 （3）如下图，在 ABC中，ABC60，AB4，作ADBC交BC于点D，过点B作直线lBC，点 H是直线l上的一个动点，线段AH 绕点A按顺时针方向旋转30得到线段AH，则AHBH的最小值为 _____． 类型七、中心对称图形的性质应用 46．如图，在平面直角坐标系中，点A，B， C 的坐标分别为 2,0 ， 0,2 ， 2,0 ．一个电动玩具从原 点 O 出发，第一次跳跃到点 P 1，使得点 P 1与点 O 关于点 A 成中心对称；第二次跳跃到点 P 2，使得点 P 2与点P 1关于点 B 成中心对称；第三次跳跃到点 P 3，使得点 P 3与点 P 2关于点 C 成中心对称；第四次跳跃到点 P 4， P P P 使得点 4与点 3关于点 A 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点 2021的坐标是（ ）. 4,0 4,0 4,4 0,4 A． B． C． D． 47．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜 平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l 上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后 得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 OAB B A B OAB B 48．在如图所示的平面直角坐标系中，  1 1是边长为2的等边三角形，作  2 2 1与  1 1关于点 1成 B AB B A B B △B A B A 中心对称，再作  2 3 3与  2 2 1关于点 2成中心对称，…，如此作下去，则 2023 2023 2022的顶点 2023 的坐标是___________． 26 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！49．如图，有任意四边形ABCD，A、B、C、D分别是A、B、C、D关于B、C、D、A的对称点，设S S 表示四边形 的面积， 表示四边形 的面积，则 的值为 ． ABCD S ABCD S 50．点 、 、 在数轴上对应的数分别为 、 、 ，点 在数轴上对应的数是 ，点 关于 点 的对称点为 ，点 关于点 的对称点为 ，点 关于点 的对称点为 ，点 关于点 的对称点为 ， ，则 的长度为 ． P W P W Q Q M 51．对于点 和图形 ，若点 关于图形 上任意的一点的对称点为点 ，所有点 组成的图形为 ， M P W xOy A(1,2) B(2,2) 则称图形 为点 关于图形 的“对称图形”．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， C(2,1) D(1,1) ， ．E(2,4) F(0,4) G(3,3) O AB (1)①在点 ， ， 中，是点 关于线段 的“对称图形”上的点有_______． ②画出点O关于四边形ABCD的“对称图形”； T(t,0) x (2)点 是 轴上的一动点． ①若点T 关于四边形ABCD的“对称图形”与O关于四边形ABCD的“对称图形”有公共点，求t的取值 范围； ②直线 yxt 与x轴交于点T ，与 y 轴交于点H，线段TH 上存在点K，使得点K是点T 关于四边形 ABCD的“对称图形”上的点，直接写出t的取值范围． 52．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的 P(2,3) (3,5) (2,1) 斜平移，如点 经1次斜平移后的点的坐标为 ，已知点A的坐标为 ． (1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标． (2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C． ①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断 ABC是否是直角三角形？请说明理由． 8，7 ②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为 ，求出点B的坐标及n的值． 28 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！53．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 Ma,b ， N ．对于点P给出如下定义：将点P绕点 M 逆时针旋转 90，得到点P，点P关于点N 的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． N1,1 M (1)如图，若点 在坐标原点，点 ， P2,0 Q ①点 的“对应点” 的坐标为______； Q 1,3 ②若点P的“对应点” 的坐标为 ，则点P的坐标为______； (2)如图，已知 O 的半径为1， M 是 O 上一点，点 N0,2 ，若 Pm,0(m1) 为 O 外一点，点 Q 为点P 的“对应点”，连接PQ． Ma,b Q a b m ①当点 在第一象限时，求点 的坐标（用含 ， ， 的式子表示） M  O PQ m ②当点 在 上运动时，直接写出 长的最大值与最小值的积为______（用含 的式子表示） 54．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质 3x 的过程．以下是我们研究函数的y 图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题． x24（1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象． x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 … 14 9 10 18 2 2 9 14 y … -1    1 0  -1 1 11 5 3 7 5 5 5 11 （2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内 打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”． ①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ） ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ） ③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小；（ ） 1 3x 1 （3）已知函数yx 的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程 x 的解；（结果保 2 x24 2 留1位小数，误差不超过0.2） 55．在平面内，将图形 G 关于点 M 作中心对称变换得到图形 G 1的过程简记为： GMG 1．若图形 G 1再 N G GMG N G G G 关于点 作中心对称变换得到图形 2，即： 1 2，则由图形 变换到 2的过程称为图形 G M，N G GM，N G 作 对称得到图形 2，记作： 2． 30 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！GMG G MG GM，N G G N，M G 容易知道：若 1，则 1 ；若 2，则 2 ． xOy A1，1，B1，0 已知在平面直角坐标系 中，点 ．  1  1  1  S0，  ，T ，1 ，R ,0 (1)如图1，已知点  2  2  2 ．点A作下面的变换后，对应点仍在  AOB的内部或边 O，S S，T T，R R，O 上的是___________（写序号）：① 对称；② 对称；③ 对称；④ 对称． (2)点 P 在直线 yx1 上，线段AB O  ，P CD，当线段 CD 与坐标轴有公共点时，求点 P 的横坐标x P 的取值范 围； (3)点 Q 是平面内一点， OQ1 ．若线段 AB 上存在点H，使点H作 O，Q 对称后的对应点 K 在 x 轴上，直 x 接写出点K的横坐标 K的取值范围．