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专题 11 二元一次方程实际应用的三种考法
类型一、方案问题
例．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，
由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨 ， ．
购进的台数
购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一
10 20 3000
次
第二
15 10 4500
次
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，
第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，
要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购
进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯
8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台
【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买 台A型台灯的费用 第一次购买 台B型
台灯的费用 元，第二次购买 台A型台灯的费用 第二次购买 台B型台灯的费用
元，列出方程组，接可求解；
（2）①根据等量关系式：第一次的 台A型台灯的利润 第一次的 台B型台灯的利润
元，第二次的 台A型台灯的利润 第二次购买 台B型台灯的利润 元，列
出方程组，接可求解；
②设再购进A型台灯a台，B型台灯 台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出
获得利润 台B型台灯售出获得利润 元，列方程即可求解．
【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得： ，解得： ，
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．
（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得： ，
解得， ，
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为： （元），B型台灯的价格为：
（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯 台，
由题意得： ，
整理得： ，
∴
a、b为自然数，
或 或 或 ，
有4种购进方案：
①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型
台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解
题的关键．
【变式训练1】已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306
吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货
物.其中每辆车的最大装载量如表：
最大装载量（吨） A型货车 B型货车
甲种货物 7 5
乙种货物 3 7
(1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.
(2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运
费最省?最省的运费是多少元?(3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m
元，每辆B型车奖金为n元， ，且m，n均为整数.则 ___________，
____________.
【答案】(1)三种方案
(2)A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为 （元）
(3)40 45
【分析】（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车 辆，列出不等式组，求整数
解即可；
（2）根据三种方案判断即可；
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
【详解】（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车 辆，
，
解得： ，
因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案．
（2） 使用A种货车费用600元，B种货车800元， ，
在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用，
即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，
费用为： （元）；
（3）在（2）的方案下，由题意得：
，
，
，
，
解得： ，
经验算，只有当 时，m= 为整数，其余n的取值不符合要求，
此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元．
【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关
键是理解题意，学会利用参数根据不等式（组）解决问题．
【变式训练2】“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史悠久和独
特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清
明前生产 、 两种首饰盒，若生产 件 首饰盒和 件 首饰盒，共需投入成本元；若生产 件 首饰盒和 件 首饰盒，共需投入成本 元．
(1)每件 ， 首饰盒的生产成本分别是多少元？
(2)该厂准备用不超过 元的资金生产这两种首饰盒共 件，且要求生产 首饰盒数量
不少于 首饰盒数量的 倍，问共有几种生产方案？
(3)将漆器供应给商场后，每件 首饰盒可获利 元，每件 首饰盒可获利 元，在（2）
的前提下，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．
【答案】(1)每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元．
(2)共有4种生产方案．
(3)生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元．
【分析】（1）设每件A首饰盒的生产成本是 元，每件 首饰盒的生产成本是 元，根据
“生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和
10件B首饰盒，共需投入成本3800元”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设该厂生产B首饰盒 件，根据用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，
且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍列一元一次不等式组，求解即可；
（3）设该厂总获利 元，表示出 与 的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定获
利最大时的生产方案．
【详解】（1）解：设每件A首饰盒的生产成本是x元，每件B首饰盒的生产成本是y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元．
（2）设该厂生产B首饰盒m件，
根据题意，得 ，
解得 ，
取正整数：30，31，32，33，
共有4种生产方案．
（3）设该厂总获利w元，根据题意，得 ，
，
随着 的增大而减小，
当 时， 取最大值，最大利润 ，
（件），
生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，
根据题意建立关系式是解题的关键．
【变式训练3】某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全
部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：
A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨）
第一
12 8 360
次
第二
18 12 ▄
次
第三
5 4 160
次
(1)表格中被污渍盖住的数是______．
(2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．
【答案】(1)540
(2)A货车每辆每次可以运货20吨， B货车每辆每次可以运货15吨
(3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆
【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意
列出方程组，求解即可；
（2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨；
（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，
n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案．
【详解】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得 ，
解得 ，
（吨）；故答案为：540；
（2）由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，
则20m+15n=190,
∴ ，
①当m=2时，n=10；
②当m=5时，n=6；
③当m=8时，n=2．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，
共三种可行的运输方案．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练
掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答．
类型二、销售利润问题
例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号
手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600
元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；
(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请
问有多少种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每
售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机
全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．
(2)8种
(3)a的值为150．
【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；
（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；
（3）用（2）中未知数和a列出利润计算式，根据m的值不影响利润结果得到含m的项系
数为0，求出a即可．
【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元．
依题意，得 ．
解得 ．
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机 部．
依题意，得 ，
解得 ．
又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16．
有8种进货方案．
（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则
．
（2）中每种方案获利相同，
利润计算式中不能有含 的项，
．
．
答：a的值为150．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．
注意定值问题中一个式子的值与m无关，则含有m的项中，m的系数为0．
【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本， 本普通练习本和 本精装练习
本销售总额为 元； 本普通练习本和 本精装练习本销售总额为 元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进 本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的 倍，
已知普通练习本的进价为 元/个，精装练习本的进价为 元/个，设购买普通练习本 个，
获得的利润为 元；
①求 关于 的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)普通练习本： 元；精装练习本： 元
(2) ；②普通练习本进 本，精装练习本进 本，利润最大，最大为
元
【分析】（1）设普通练习本的销售单价为 元，精装练习本的销售单价为 元，根据等量
关系式： 本普通练习本销售总额 精装练习本销售额 元； 本普通练习本
销售额 精装练习本销售额 元，列出方程，解方程即可；
（2）①购买普通练习本 个，则购买精装练习本 个，根据总利润=普通练习本获
得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；
②先求出 的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．
【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为 元，精装练习本的销售单价为 元，根据
题意得：，
解得： ，
答：普通练习本的销售单价为 元，精装练习本的销售单价为 元．
（2）解： 购买普通练习本 个，则购买精装练习本 个，根据题意得：
；
普通练习本的数量不低于精装练习本数量的 倍，
，
解得： ，
中 ，
随 的增大而减小，
当 时， 取最大值，
（个），
（元），
答：当购买 个普通练习本， 个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为 元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的
关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
【变式训练2】国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的
国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，
两种主销车型的有关信息如下表：
车型 纯电动汽车A（续航600千米） 插电混动汽车B
进价（万元/辆） 25 12
售价（万元/辆） 28 16
新能源积分（分/辆） （其中R表示续航里程） 2
购进数量（辆） x y
(1)3月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130
分，则x，y分别为多少？
(2)因汽车供不应求，该“4S”店4月份决定购进A，B两种车型共50辆，应环保的要求，所
进车辆全部售出后获得新能源积分不得少于300分，已知每个新能源积分可获得3000元的
补贴，那么4月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）
【答案】(1)x，y的值分别为10和25(2)购进A型车34辆，B型车16辆时获利最大
【分析】（1）设纯电动汽车A 型x辆，插电混动汽车B 型y辆，根据表格可以列出相应
的方程组，从而可以解答本题；
（2）设4月决定购进A型车a辆，共获利w万元．根据题意题意得不等式，求出a的取值
范围，并求出w与a的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
解之得：
答：x，y的值分别为10和25
（2）解：设4月决定购进A型车a辆，共获利w万元．
则4月份的新能源积分为：
分
由题意得： ；
，
又 ；（或者 ）
且a为整数或（ 且a为整数）．
4S店的获利
∵-0.4＜0，
∴w随a的增大而减小；
∴当a=34时，即购进A型车34辆，B型车16辆时获利最大
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，
解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和
不等式求解．
【变式训练3】商店销售10台 型和20台 型电脑的利润为40000元，销售20台 型和
10台 型电脑的利润为3500元．
（1）求每台 型电脑和 型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中 型电脑的进货量不超过 型电
脑的2倍，设购进 型电脑 台，这100台电脑的销售总利润为 元．
①求 关于 的函数关系式：
②该商店购进 型、 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进
型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1） 100元， 150元；（2）① ；② 34台， 66台；
（3）当 时， 34台 66台；当 时， 34~70内均可；当 时，
70台 30台
【分析】（1）设每台A型加湿器和B型加湿器的销售利润分别为 元， 元，然后根据题
意列出二元一次方程组解答即可；
（2）①据题意得即可确定y关于x的函数关系式，利用A型利润与B型利润即可求出总利
润y与x的关系，并确定x的范围即可；
②根据一次函数的增减性，解答即可；
（3）根据题意列出函数数关系式，分以下三种情况① 0结合函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）设每台 型电脑的销售利润为 元，每台 型电脑的销售利润为 元，
根据题意得：
解得
答：每台 型电脑的销售利润为100元，每台 型电脑的销售利润为150元；
（2）①设购进 型电脑 台，每台 型电脑的销售利润为100元，A型电脑销售利润为
100x元,
每台B型电脑的销售利润为150元，B型电脑销售利润为 元
，即
这100台电脑的销售总利润为: ；
，解得 ．且 为正整数，
其中 为正整数，
② 中，k= ，
随 的增大而减小．
为正整数，
∴当 时， 取得最大值，此时 ．
答：商店购进 型电脑34台， 型电脑66台，才能使销售总利润最大；
（3）根据题意得 ，
即 ，其中 ，且 为正整数．①当 时，k= ，
随 的增大而减小，
∴当 时， 取得最大值，
即商店购进34台 型电脑和66台 型电脑才能获得最大利润；
②当 时，k= ， ，
即商店购进 型电脑数量满足 的整数时，均获得最大利润；
③当50
