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专题 11 二元一次方程实际应用的三种考法
类型一、方案问题
例．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，
由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨 ， ．
购进的台数
购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一
10 20 3000
次
第二
15 10 4500
次
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，
第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，
要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购
进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯
8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台
【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买 台A型台灯的费用 第一次购买 台B型
台灯的费用 元，第二次购买 台A型台灯的费用 第二次购买 台B型台灯的费用
元，列出方程组，接可求解；
（2）①根据等量关系式：第一次的 台A型台灯的利润 第一次的 台B型台灯的利润
元，第二次的 台A型台灯的利润 第二次购买 台B型台灯的利润 元，列
出方程组，接可求解；
②设再购进A型台灯a台，B型台灯 台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出
获得利润 台B型台灯售出获得利润 元，列方程即可求解．
【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得： ，解得： ，
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．
（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得： ，
解得， ，
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为： （元），B型台灯的价格为：
（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯 台，
由题意得： ，
整理得： ，
∴
a、b为自然数，
或 或 或 ，
有4种购进方案：
①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型
台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解
题的关键．
【变式训练1】已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306
吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货
物.其中每辆车的最大装载量如表：
最大装载量（吨） A型货车 B型货车
甲种货物 7 5
乙种货物 3 7
(1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.
(2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运
费最省?最省的运费是多少元?(3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m
元，每辆B型车奖金为n元， ，且m，n均为整数.则 ___________，
____________.
【答案】(1)三种方案
(2)A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为 （元）
(3)40 45
【分析】（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车 辆，列出不等式组，求整数
解即可；
（2）根据三种方案判断即可；
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
【详解】（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车 辆，
，
解得： ，
因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案．
（2） 使用A种货车费用600元，B种货车800元， ，
在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用，
即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，
费用为： （元）；
（3）在（2）的方案下，由题意得：
，
，
，
，
解得： ，
经验算，只有当 时，m= 为整数，其余n的取值不符合要求，
此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元．
【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关
键是理解题意，学会利用参数根据不等式（组）解决问题．
【变式训练2】“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史悠久和独
特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清
明前生产 、 两种首饰盒，若生产 件 首饰盒和 件 首饰盒，共需投入成本元；若生产 件 首饰盒和 件 首饰盒，共需投入成本 元．
(1)每件 ， 首饰盒的生产成本分别是多少元？
(2)该厂准备用不超过 元的资金生产这两种首饰盒共 件，且要求生产 首饰盒数量
不少于 首饰盒数量的 倍，问共有几种生产方案？
(3)将漆器供应给商场后，每件 首饰盒可获利 元，每件 首饰盒可获利 元，在（2）
的前提下，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．
【答案】(1)每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元．
(2)共有4种生产方案．
(3)生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元．
【分析】（1）设每件A首饰盒的生产成本是 元，每件 首饰盒的生产成本是 元，根据
“生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和
10件B首饰盒，共需投入成本3800元”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设该厂生产B首饰盒 件，根据用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，
且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍列一元一次不等式组，求解即可；
（3）设该厂总获利 元，表示出 与 的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定获
利最大时的生产方案．
【详解】（1）解：设每件A首饰盒的生产成本是x元，每件B首饰盒的生产成本是y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元．
（2）设该厂生产B首饰盒m件，
根据题意，得 ，
解得 ，
取正整数：30，31，32，33，
共有4种生产方案．
（3）设该厂总获利w元，根据题意，得 ，
，
随着 的增大而减小，
当 时， 取最大值，最大利润 ，
（件），
生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，
根据题意建立关系式是解题的关键．
【变式训练3】某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全
部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：
A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨）
第一
12 8 360
次
第二
18 12 ▄
次
第三
5 4 160
次
(1)表格中被污渍盖住的数是______．
(2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．
【答案】(1)540
(2)A货车每辆每次可以运货20吨， B货车每辆每次可以运货15吨
(3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆
【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意
列出方程组，求解即可；
（2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨；
（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，
n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案．
【详解】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得 ，
解得 ，
（吨）；故答案为：540；
（2）由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，
则20m+15n=190,
∴ ，
①当m=2时，n=10；
②当m=5时，n=6；
③当m=8时，n=2．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，
共三种可行的运输方案．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练
掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答．
类型二、销售利润问题
例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号
手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600
元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；
(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请
问有多少种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每
售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机
全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．
(2)8种
(3)a的值为150．
【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；
（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；
（3）用（2）中未知数和a列出利润计算式，根据m的值不影响利润结果得到含m的项系
数为0，求出a即可．
【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元．
依题意，得 ．
解得 ．
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机 部．
依题意，得 ，
解得 ．
又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16．
有8种进货方案．
（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则
．
（2）中每种方案获利相同，
利润计算式中不能有含 的项，
．
．
答：a的值为150．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．
注意定值问题中一个式子的值与m无关，则含有m的项中，m的系数为0．
【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本， 本普通练习本和 本精装练习
本销售总额为 元； 本普通练习本和 本精装练习本销售总额为 元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进 本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的 倍，
已知普通练习本的进价为 元/个，精装练习本的进价为 元/个，设购买普通练习本 个，
获得的利润为 元；
①求 关于 的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)普通练习本： 元；精装练习本： 元
(2) ；②普通练习本进 本，精装练习本进 本，利润最大，最大为
元
【分析】（1）设普通练习本的销售单价为 元，精装练习本的销售单价为 元，根据等量
关系式： 本普通练习本销售总额 精装练习本销售额 元； 本普通练习本
销售额 精装练习本销售额 元，列出方程，解方程即可；
（2）①购买普通练习本 个，则购买精装练习本 个，根据总利润=普通练习本获
得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；
②先求出 的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．
【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为 元，精装练习本的销售单价为 元，根据
题意得：，
解得： ，
答：普通练习本的销售单价为 元，精装练习本的销售单价为 元．
（2）解： 购买普通练习本 个，则购买精装练习本 个，根据题意得：
；
普通练习本的数量不低于精装练习本数量的 倍，
，
解得： ，
中 ，
随 的增大而减小，
当 时， 取最大值，
（个），
（元），
答：当购买 个普通练习本， 个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为 元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的
关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
【变式训练2】国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的
国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，
两种主销车型的有关信息如下表：
车型 纯电动汽车A（续航600千米） 插电混动汽车B
进价（万元/辆） 25 12
售价（万元/辆） 28 16
新能源积分（分/辆） （其中R表示续航里程） 2
购进数量（辆） x y
(1)3月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130
分，则x，y分别为多少？
(2)因汽车供不应求，该“4S”店4月份决定购进A，B两种车型共50辆，应环保的要求，所
进车辆全部售出后获得新能源积分不得少于300分，已知每个新能源积分可获得3000元的
补贴，那么4月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）
【答案】(1)x，y的值分别为10和25(2)购进A型车34辆，B型车16辆时获利最大
【分析】（1）设纯电动汽车A 型x辆，插电混动汽车B 型y辆，根据表格可以列出相应
的方程组，从而可以解答本题；
（2）设4月决定购进A型车a辆，共获利w万元．根据题意题意得不等式，求出a的取值
范围，并求出w与a的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
解之得：
答：x，y的值分别为10和25
（2）解：设4月决定购进A型车a辆，共获利w万元．
则4月份的新能源积分为：
分
由题意得： ；
，
又 ；（或者 ）
且a为整数或（ 且a为整数）．
4S店的获利
∵-0.4＜0，
∴w随a的增大而减小；
∴当a=34时，即购进A型车34辆，B型车16辆时获利最大
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，
解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和
不等式求解．
【变式训练3】商店销售10台 型和20台 型电脑的利润为40000元，销售20台 型和
10台 型电脑的利润为3500元．
（1）求每台 型电脑和 型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中 型电脑的进货量不超过 型电
脑的2倍，设购进 型电脑 台，这100台电脑的销售总利润为 元．
①求 关于 的函数关系式：
②该商店购进 型、 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进
型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1） 100元， 150元；（2）① ；② 34台， 66台；
（3）当 时， 34台 66台；当 时， 34~70内均可；当 时，
70台 30台
【分析】（1）设每台A型加湿器和B型加湿器的销售利润分别为 元， 元，然后根据题
意列出二元一次方程组解答即可；
（2）①据题意得即可确定y关于x的函数关系式，利用A型利润与B型利润即可求出总利
润y与x的关系，并确定x的范围即可；
②根据一次函数的增减性，解答即可；
（3）根据题意列出函数数关系式，分以下三种情况① <m<50，②m=50，③ 50 <m < 100
时，m-50 >0结合函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）设每台 型电脑的销售利润为 元，每台 型电脑的销售利润为 元，
根据题意得：
解得
答：每台 型电脑的销售利润为100元，每台 型电脑的销售利润为150元；
（2）①设购进 型电脑 台，每台 型电脑的销售利润为100元，A型电脑销售利润为
100x元,
每台B型电脑的销售利润为150元，B型电脑销售利润为 元
，即
这100台电脑的销售总利润为: ；
，解得 ．且 为正整数，
其中 为正整数，
② 中，k= ，
随 的增大而减小．
为正整数，
∴当 时， 取得最大值，此时 ．
答：商店购进 型电脑34台， 型电脑66台，才能使销售总利润最大；
（3）根据题意得 ，
即 ，其中 ，且 为正整数．①当 时，k= ，
随 的增大而减小，
∴当 时， 取得最大值，
即商店购进34台 型电脑和66台 型电脑才能获得最大利润；
②当 时，k= ， ，
即商店购进 型电脑数量满足 的整数时，均获得最大利润；
③当50 <m < 100时，k= ，
随 的增大而增大．
∴当 时， 取得最大值．
即商店购进70台 型电脑和30台 型电脑才能获得最大利润．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，掌
握一次函数的增减性是解答本题的关键．
类型三、小题压轴
例．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成
三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主
动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将A区 的面积划分给了
B区，而原B区 的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B
两区面积和的比例达到了 ．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的
分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后， 三个区域的面积比变
为 ，那么爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为 ．
【答案】 /
【分析】设爸爸计划 三个区域的面积分别为 ，然后根据小红以及爸爸的
划分方法列出方程得出 、 ，设将C区面积的 分成两部分划分给现在的A
区为m，则B区为 ．由三个区域的面积比变为 可列方程得出 ，进而
得出答案．
【详解】解：设爸爸计划 三个区域的面积分别为 ．
则由小红将A区 的面积划分给了B区，而原B区 的面积错划分给了A区，
造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了 ，
可列方程： ，
解得： ，
则此时，A区： ，
B区： ，
C区：z，由爸爸只好将C区面积的 分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、
B、C三个区域的面积比变为 ，
可列方程： ，
解得： ，
设将C区面积的 分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为 ．由三个区域的
面积比变为 可列方程：
解得： ，
∴爸爸从C区划分给B区的面积为： ，
则爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多元方程的实际应用，读懂题意，理清数量关系列出方程是解本题的
关键．
【变式训练1】为庆祝五一劳动节，某电商推出适合不同人群的甲，乙两种袋装混合坚果．
其中，甲种坚果每袋装有4千克 坚果，1千克 坚果，1千克 坚果；乙种坚果每袋装有
1千克 坚果，2千克 坚果，2千克 坚果．甲，乙两种袋装坚果每袋成本价分别为袋中
的 ， ， 三种坚果的成本价之和．已知 坚果每千克成本价为5元，甲种坚果每袋售
价为59.8元，利润率为30%，乙种坚果的利润率为20%．若这两种袋装坚果的销售利润率
达到24%，则该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是 ．
【答案】 /
【分析】首先求出甲种坚果中每袋成本价，再求出1千克 坚果的成本价 1千克 坚果的
成本价，进而得出乙种坚果每袋售价，然后设该电商销售甲种袋装坚果 袋，乙种袋装坚
果 袋，再根据题意，列出方程求出比例关系即可．
【详解】解：∵甲种坚果每袋售价为 元，利润率为 ，
∴甲种坚果中每袋成本价为 元，
∵甲种坚果每袋装有4千克 坚果，1千克 坚果，1千克 坚果，
∴1千克 坚果的成本价 1千克 坚果的成本价 （元），
∵乙种坚果每袋装有1千克 坚果，2千克 坚果，2千克 坚果，
∴乙种坚果每袋成本价为 （元），
∴乙种坚果每袋售价为 （元），
设该电商销售甲种袋装坚果 袋，乙种袋装坚果 袋，根据题意，可得： ，
整理，可得： ，
∴ ，
∴该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用、比例的应用，理解题意，得出等量关系是解题
的关键．
【变式训练2】疫情之后，为尽快恢复实体经济，某地政府通过专项奖励、税费减免等举
措，支持商家开展主题促销，发放消费券等活动来促进消费市场恢复．某票务平台经营飞
跃丛林，观光巴士，海洋乐园，马戏城四种游玩票务．一张飞跃丛林票的成本价是一张观
光巴士票的2倍，一张海洋乐园票和一张马戏城票的成本之和是一张飞跃丛林票成本价的
3倍，一张海洋乐园票成本价和一张马戏城票之差是一张飞跃丛林票的2倍．商家得到支
持，响应号召，降低利润之后推出A，B，C三种套餐．A套餐中有观光巴士票若干（数量
在10到20张之间），1张飞跃丛林票，3张海洋乐园票，4张马戏城票．B套餐中有5张
观光巴士票，2张飞跃丛林票，4张海洋乐园票，6张马戏城票．C套餐中有4张观光巴士
票，3张飞跃丛林票，4张海洋乐园票，2张马戏城票．每种套餐的成本等于四种票的成本
之和．每个A套餐的利润率为 ，C套餐利润率为 ，B套餐的利润率为A和C套
餐利润率的平均数．一公司决定从该平台购买套票为92名员工发福利．该公司购买A套餐
20份，最终票务平台获得的总利润率为单个B套餐的利润率．因员工需求，该公司需更多
购买B套餐，则该公司购买C套餐 个．
【答案】17
【分析】设出四种票务的单价，根据题意得出它们的关系，再求出各个套餐的利润，根据
最终票务平台获得的总利润率为单个B套餐的利润率列出方程，求整数解即可．
【详解】解：设飞跃丛林，观光巴士，海洋乐园，马戏城四种游玩票务成本价分别为a、
b、c、d，设A套餐中有观光巴士票m张，购买C套餐n个，
由题意得， ，
解得， ；
则A套餐的成本为 ，利润为 ；
则B套餐的成本为 ，利润为 ；则C套餐的成本为 ，利润为 ；
由题意得， ，
化简得， ，
公司需更多购买B套餐，A套餐中有观光巴士票数量在10到20张之间，
当 ，符合题意，此时 ，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程整数解问题，解题关键是设出未知数，
根据题目中的数量关系列出方程．
【变式训练3】腊八之后，年味渐浓．京东超市某直营店推出甲、乙两种年货礼盒，其中
甲种礼盒有开心果3袋，腰果3袋，夏威夷果1袋，纸皮核桃1袋；乙种礼盒有开心果4袋，
腰果3袋，纸皮核桃3袋．每种礼盒的总成本由该礼盒中所有坚果的成本之和加上包装盒
成本6元/个．已知每袋开心果和每袋腰果的成本价之比为 ，每袋夏威夷果和每袋纸皮
核桃的成本价之比为 ．甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%，第一周售出甲、乙两
种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%．第二周直营店通过减少坚果的袋
数推出甲、乙两种年货的小号礼盒，甲种小号礼盒的成本价（包含包装盒成本）降为原甲
种礼盒总成本的35%，乙种小号礼盒相比原乙种礼盒开心果、腰果、纸皮核桃各减少2袋，
小号包装盒成本每个4元．如果第二周售出的甲、乙小号礼盒恰好分别与第一周甲、乙两
种礼盒数量相同，则第二周售出的所有小号礼盒的总成本是 元．
【答案】3220
【分析】先由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”求出甲的成本价为114元/袋，
设纸皮核桃的成本价为a元/袋，则夏威夷果的成本价为2a元/袋，腰果的成本价为4b
元/袋，则开心果的成本价为5b元/袋，求出 元以及乙每袋成本价为 元，
再根据“第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%”求
出甲、乙总成本为7900元，从而求出1 袋开心果成本价为 元，进一步可求出第二
周总成本价
【详解】解：设甲的成本价为x元/袋，
由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”可得， ，
解得，
所以，甲的成本价为114元/袋，
设纸皮核桃的成本价为a元/袋，则夏威夷果的成本价为2a元/袋，腰果的成本价为4b
元/袋，则开心果的成本价为5b元/袋，
∴ ，即
∴乙每袋成本价= ，∵第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%，
∴设甲乙总成本为y元，则有： ，解得， ，即甲乙总成本为7900
元，
设售出甲m盒，乙 盒，则有： ，
解得， ，即1 袋开心果成本价为 元，
第二周：甲成本为 元，乙成本= 元，
则第二周总成本价为：
（元）
故答案为：3220
【点睛】本题主要考查列代数式，整式加减法，二元一次方程的实际应用，分析题意，找
到关键的描述语，找到合适的等量关系，同时熟悉有关销售问题的概念和公式是解决问题
的关键．
课后训练
1． 月某花店从花农处进货了甲、乙、丙三种鲜花，数量分别为 、 、 ，甲、乙、丙
三种鲜花单价之比为 ，由于近期销售火爆， 月花农对这三种鲜花的价格进行了调
整，该花店也相应调整了进货量，相较于 月，花店采购甲增加的费用占 月所有鲜花采
购费用的 ， 月采购甲与乙的总费用之比为 ， 月采购乙的总费用与 月采购乙的
总费用之比为 ，采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为 ，则 为
．
【答案】
【分析】由甲、乙、丙三种鲜花单价之比为 ，设甲鲜花的单价为 ，则乙丙两种鲜花
的单价分别为 、 ，由 月所购数量可得它们在本月的费用；由 月采购乙的总费用
与 月采购乙的总费用之比为 ，则可得 月采购乙的总费用；由 月采购甲与乙的总
费用之比为 ，可得 月采购甲的总费用，则得 月采购增加的费用；再由相较于 月，
花店采购甲增加的费用占 月所有鲜花采购费用的 ，可求得采购三种鲜花的总费用，进
而得到采购丙鲜花的费用，最后由采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为 ，得
到 、 、 的关系，进而求得结果．
【详解】∵甲、乙、丙三种鲜花单价之比为 ，设甲鲜花的单价为 ，
∴乙丙两种鲜花的单价分别为 、 ，
∴ 月所购甲、乙、丙三种鲜花数量在本月的费用分别为 、 、 ；
∵ 月采购乙的总费用与 月采购乙的总费用之比为 ，∴ 月采购乙的总费用为 ；
∵ 月采购甲与乙的总费用之比为 ，
∴ 月采购甲的总费用为 ，
∴ 月采购增加的费用为 ；
∵相较于 月，花店采购甲增加的费用占 月所有鲜花采购费用的 ，
∴ 月采购三种鲜花的总费用为 ，
∴采购丙鲜花的费用为 ；
∴乙、丙 月采购鲜花增加的费用分别为： 、
∵采购甲、乙、丙三种鲜花增加的费用之比为 ，
∴ ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列代数式，解方程组等知识，题目较难，找准入手是关键，注意引入
参量也是关键．
2．爸爸骑电动车带着姐弟俩去公园玩，根据规定爸爸骑电动车时一次只能搭载一名未成年
人．为尽快到达公园又不违反交通法规，出发时，爸爸让姐姐先步行，将弟弟载了一段路
程后让其步行前往公园，并立即原路返回接步行的姐姐，结果与弟弟同时到达公园．如果
姐弟俩步行的速度相同，爸爸一个人骑电动车的速度比搭载一名未成年人时的速度快5千
米/时，爸爸与公园的距离 与出发时间 之间的函数关系如图所示，则爸爸在这一
过程中骑电动车行驶的总路程是 ．
【答案】 / /
【分析】设姐姐，弟弟的步行速度为 ，爸爸搭载一名未成年人时的速度为 ，
根据姐姐步行路程加上爸爸一个人骑车路程等于弟弟坐车路程，姐姐步行路程加上姐姐坐
车路程等于 列方程，可求出 ， 的值，从而可得答案．【详解】解：设姐姐，弟弟的步行速度为 ，爸爸搭载 名未成年人时的速度为
，
根据图象可得： ，
解得： ，
，
爸爸在这一过程中骑电动车行驶的总路程是 ，
故答案为：12.6．
【点睛】本题考查从函数的图象获取信息以及二元一次方程组应用，解题的关键是读懂题
意，能从函数图象中获取有用的信息列方程解决问题．
3．如果一个三位数 的十位数字比百位数字与个位数字之和大2，我们称这个三位数为
“荣庆数”，我们将“荣庆数” 的各位数字之和记为 ，比如152，百位数字与个位
数字之和为 ，十位数字是5， ，所以152是“荣庆数”，
；若一个“荣庆数” 是13的倍数，则 的最大值是 ．
【答案】 8 12
【分析】由 ，知 ；设“荣庆数” 的百位数字为 ，十位数字为 ，
则个位数字为 ，可推得 是13的倍数，而 ， ， 是正整数，
即可得 或 或 或 ，从而得到答案．
【详解】解： ，
；
设“荣庆数” 的百位数字为 ，十位数字为 ，则个位数字为 ，
，
是13的倍数， ，
是13的倍数，
（ 为非负整数），
， ， 是正整数，
，
， 是正整数， 为百位数字， 为十位数字，
， ，
假设 ，此时 ，此时 值最小，，
假设 ，此时 ，此时 值最大，
，
，
当 时， ，
解得 ，满足 和 ， ，符合题意，
当 时， ，此方程无符合题意的 ， 的正整数解，
当 时， ，此方程无符合题意的 ， 的正整数解，
当 时， ，此方程无符合题意的 ， 的正整数解，
当 时， ，
解得： ，满足 和 ， ，符合题意，
当 时， ，
解得： ，不满足 ，不符合题意，
当 时， ，此方程无符合题意的 ， 的正整数解，
当 时， ，
解得： ，不满足 ，不符合题意，
当 时， ，
解得 ，不满足 ，不符合题意，
或 ，
或 ，
的值为4或12，
的最大值是 ，
故答案位：8，12．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，求出使
是13的倍数的正整数 ， 的值．
4．“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中咏诵的“水稻”
是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲，乙
两种水稻，若种植20亩甲种水稻和30亩乙种水稻，共需投入22万元；若种植30亩甲种水稻和20亩乙种水稻，共需投入23万元．
(1)种植甲，乙两种水稻，每亩各需投入多少万元？
(2)经测算，种植甲种水稻每亩可获利 （ 且 为常数）万元，种植乙种水稻每亩可获
利0.8万元，村里投入50万元用来种植这两种水稻，若要求甲种水稻的种植面积不能少于
乙种水稻种植面积的 倍，且不能多于乙种水稻种植面积的 倍．设种植乙种水稻 亩，
该村种植两种水稻共获利 万元，请求出 关于 的函数表达式，并求出最大获利（用含
的代数式表示）．
【答案】(1)种植甲种水稻每亩需投入0.5万元，种植乙种水稻每亩需投入0.4万元；
(2)W=100a+(0.8− a)m，最大利润为（80a+20）万元(a＞1)．
【分析】（1）设种植甲种水稻每亩需投入x万元，种植乙种水稻每亩需投入y万元,根据等
量关系：种植20亩甲种水稻和30亩乙种水稻，共需投入22万元；若种植30亩甲种水稻
和20亩乙种水稻，共需投入23万元．列方程组，解方程组即可；
（2）根据乙种m亩，求出甲种 亩，根据不等关系列出不等式组
解不等式组 ，然后根据甲种水稻获利+乙种水稻获利=W，列
出函数关系式，根据函数性质即可求解．
(1)
解：设种植甲种水稻每亩需投入x万元，种植乙种水稻每亩需投入y万元，
根据题意，得： ，
解得 ，
答种植甲种水稻每亩需投入0.5万元，种植乙种水稻每亩需投入0.4万元；
(2)
解：设种植乙种水稻 亩，
∴乙种水稻投入0.4m，
∴甲种水稻投入(50-0.4m)万元，
∴甲种水稻种植 亩，
根据题意得 ，即 ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∴ ，
= +0.8m ，
当 ，即 时，W随m的增大而减小，
∴m= 时，W = ，
最大
当 ， ，
当 ，即 时，W随m的增大而增大，
∴当m=50时，W = ，
最大
综合最大利润为（80a+20）万元．
【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一次函数应用，列代数式，不等式组解法，
一次函数最值，掌握二元一次方程组解应用题，一次函数应用，不等式组解法，一次函数
最值，解题关键是用含m的代数式表示甲种水稻种植亩数 ．
5．2019年“双11期间”，某天猫网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售
价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和1筒乙种羽毛球，共花
费165元．
（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且
甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的 ，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽
毛球每筒的进价为40元．
①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m
（筒）之间的关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①进货方案有3种，分别为：方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，方案三，购进甲种羽毛球78筒，
乙种羽毛球为122筒；②当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元
【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据题意
列方程组解答即可；
（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球为（200﹣m）筒，根据题意列不等式
组即可求出m的取值范围，进而得出进货方案；
②根据题意得出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，
根据题意可得 ，解得 ，
答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球为（200﹣m）筒，
根据题意可得 ，
解得75＜m≤78，
∵m为整数，
∴m的值为76、77、78，
∴进货方案有3种，分别为：
方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，
方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，
方案三，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；
②根据题意可得W＝（60﹣50）m＋（45﹣40）（200﹣m）＝5m＋1000，
∵当m值越大时，W的值也越大，且75＜m≤78，
∴当m＝78时，W最大，W最大值为1390，
答：当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
注：通过计算三种方案的利润，比较得出最大值也对；
当m＝76时，w＝1380元；
当m＝77时，w＝1385元；
当m＝78时，w＝1390元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，
弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关
系列出函数解析式是解题的关键.
6．某校在“二十大”胜利闭幕后，组织全校学生参加了“党史在心中”知识竞赛，校团委
选择了甲、乙两种马克杯作为奖品，乙马克杯比甲马克杯的单价贵5元，花200元买甲马
克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．(1)求甲、乙马克杯的单价；
(2)若需购进甲、乙马克杯共100个，且乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的 ，则如何购
买才能使得费用最少？
(3)为奖励部分竞赛成绩特别突出的同学，校团委又选择了一种可以定制图案和文字的马克
杯，这种马克杯的单价为20元/个，校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．若甲马
克杯数量是乙马克杯的3倍，则最多可购买3种马克杯共多少个？
【答案】(1)甲马克杯的单价为5元，乙马克杯的单价为10元
(2)购买甲马克杯75个，乙马克杯25个才能使得费用最少
(3)最多可购买3种马克杯共309个
【分析】（1）设甲马克杯的单价为 元，则乙马克杯的单价为 元，根据花200元买
甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲马克杯 个，则购买乙马克杯 个，根据乙马克杯数量不少于甲马克
杯数量的 ，列出一元一次不等式，解得 ，再设费用为 元，由题意得出一次函数
关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论；
（3）设购买乙马克杯 个，定制图案和文字的马克杯 个，则购买甲马克杯 个，根据
校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．列出二元一次方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲马克杯的单价为 元，则乙马克杯的单价为 元，
由题意得 ，解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲马克杯的单价为5元，乙马克杯的单价为10元；
（2）解：设购买甲马克杯 个，则购买乙马克杯 个，
由题意得 ，解得 ，
设费用为 元，由题意得 ，
，
随 的增大而减小，
当 时， 有最小值，此时， ，
答：购买甲马克杯75个，乙马克杯25个才能使得费用最少；
（3）解：设购买乙马克杯 个，定制图案和文字的马克杯 个，则购买甲马克杯 个，
由题意得 ，整理得 ，， ，且 是4的倍数，
的最大值为76，此时， ，
（个），
答：最多可购买3种马克杯共309个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元
一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数
量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出二元
一次方程．
7．倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研
发出 型和 型两款垃圾分拣机器人，已知2台 型机器人和5台 型机器人同时工作
共分拣垃圾3.6吨，3台 型机器人和2台 型机器人同时工作 共分拣垃圾8吨．
(1)1台 型机器人和1台 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 型和 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小
时一共能分拣垃圾20吨，设购买 型机器人 台（ ）， 型机器人 台，请用
含 的代数式表示 ；
(3)机器人公司的报价如下表：
型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台
型 20万元/台 原价购买 打九折
型 12万元/台 原价购买 打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为 万元，问如何购买使得总费用 最少？请说明理由．
【答案】(1)1台 型机器人每小时分拣垃圾0.4吨，1台 型机器人每小时分拣垃圾0.2吨
(2)
(3)选购 型号机器人35台时，总费用 最少，此时需要918万元，理由见解析
【分析】（1）设1台 型机器人和1台 型机器人每小时各分拣垃圾 吨和 吨，根据题
意列出方程组即可求出答案；
（2）根据题意列出方程，方程变形后即可求出答案．
（3）根据 的取值，求出 与 的函数关系，从而求出 的最小值．
【详解】（1）解：设1台 型机器人和1台 型机器人每小时各分拣垃圾 吨和 吨，
由题意可知 ，
解得 ，
答：1台 型机器人每小时分拣垃圾0.4吨，1台 型机器人每小时分拣垃圾0.2吨；（2）由题意可知： ，
∴ ；
（3）当 时，此时 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最小值，此时 ；
当 时，此时 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 有最小值，此时 ；
当 时，此时 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
当 时， 有最小值，此时 ．
答：选购 型号机器人35台时，总费用 最少，此时需要918万元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，正确找出题中的等量关系并
熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
