文档内容
专题 10 相似三角形中的动点问题的三种考法
类型一、相似三角形存在性问题
例1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为
F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为 ．
例2．如图，在直角 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的动点，
交射线 于点 ．
（1）求 的长；
（2）连接 ，当 时，求 的长；
（3）连接 ，当 和 相似时，请直接写出 的长．【变式训练1】建立如图所示们平面直角坐标系 中，矩形 的点 以点 为
旋转中心， 为起始边，逆时针方向，直角边 交 射线于点 ，直角边 交 轴于点 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)在旋转过程中，是否存在以 为顶点的三角形与 相似．若存在，诗求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【变式训练2】如图， ，A（3，0），C（ ，0）， ．
(1)直接写出线段 的长是___________，点B的坐标是___________；
(2)已知点D在x轴上（不与点C重合），连接 ，若 与 相似，则点D坐标是___________；
(3)在（2）的条件下，点P、Q分别是 和 上的动点，连接 ，设 ，是否存在k的值，
使 与 相似？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．类型二、几何图形存在性问题
例1．如图，在 中， ， ， ，E、D分别是 的中点，连接 ．
Q从点E出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点P从点B出发，沿 方向匀速运动，速度
为 ，当点Q停止运动时，点P也停止运动。连接 ，设运动时间为t s．答下列问题：
(1)请直接用含t的代数式表示 的长；
(2)当t为何值时，以点D、P、Q为顶点的三角形与 相似？
(3)当t为何值时， 为等腰三角形（直接写出）
例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上， ，
．点 从点 出发，沿 轴以每秒 个单位长的速度向点 匀速运动，当点 到达点 时停止运动，
设点 运动的时间是 秒．将线段 的中点绕点 按顺时针方向旋转 得点 ，点 随点 的运动而运
动，连接 ， ．(1)当 时，点 的坐标是 ；
(2)请用含 的代数式表示出点 的坐标 ；
(3)在点 从 向 运动的过程中， 能否成为直角三角形？若能，求 的值．若不能，请说明理由．
例3．综合与探究：已知：如图①，在 中， ， ， ，点 由 出发沿
方向向点 匀速运动，速度为 ；点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；连接
．若设运动的时间为 ，解答下列问题：
(1)当 时，求 的值；
(2)点 ， 同时出发， 为何值时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似；
(3)如图②，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在某一时刻 ，使四边形
为菱形？若存在，直接写出此时 的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程）
【变式训练1】．如图，在矩形 中， 是对角线， ， ，点 从点 出发，沿
方向匀速运动，速度是 ；点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是1 ．两点同时出发，设运动时间为 ，请回答下列问题：
(1)当t为何值时， ?
(2)设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
(3)当 为何值时，四边形 的面积 等于矩形 面积的 ？
(4)当 为 时， 是等腰三角形．
【变式训练2】如图1，矩形 中， ， ， 为 上一点， 为 延长线上一点，
且 ．点 从 点出发，沿 方向以 的速度向 运动，连结 、 ， 交 于点 ．
设点 运动的时间为 ， 的面积为 ，当 时， 的面积 关于时间 的
函数图象如图2所示．
（1） 的长是 ；
（2）当 ， 时，求 的值；
（3）如图3，将 沿线段 进行翻折，与 的延长线交于点 ，连结 ，当 为何值时，四边形
为菱形？
【变式训练3】已知：在 中， ， ， 于点 ，点 是 边的中点，动点 在线段 上，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ， 与 交于点 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，线段 的长为______；
（2）如图2，当点 与 ， 两点均不重合时，
①求证： ；
②问：是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出 的长；若不存
在，请说明理由，
类型三、最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ．
动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边 向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒
2个单位长度的速度沿边 向终点C运动，作 于点G，设运动的时间为t秒，则AG的最大值是
．
【变式训练1】如图，△ABC中AB=AC，A (0，8)，C (6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，
运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的 倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐
标应为 ．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B在第一象限内，
，点E是线段 上的一个动点，连接 ，将射线 绕点E顺时针旋转 交 于
点F，当 最短时点F的坐标是 ．
【变式训练3】在 中， ，点D是 内一动点，且满足 ，则
的最小值 ． 的最小值
课后作业
1．如图，矩形 中， ， ，点E在边 上，且 ，动点P从点A出发，沿
运动到点B停止，过点E作 交射线 于点Q，设O是线段 的中点，则在点P运动的整个
过程中，点O运动路线的长为 ．2．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足 ，点P是BC的中点，连接AN、
PM，若 ，则当 的值最小时，线段AN的长度为 ．
3．如图，在 中 ， ，点E是线段 边上的一动点（不含B、C两端点），
连接 ，作 ，交线段 于点D．
(1)求证：
(2)设 ， ，请求y与x之间的函数关系式．
(3)E点在运动的过程中， 能否构成等腰三角形？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
4．如图，平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点 坐标分别为 ，动点 分别从
同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点 沿 向终点 运动，点 沿 向终点 运动过
动点 作 ，交 于 ，连接 ，设 、 运动时间为 秒，(1)当 秒时， 点的坐标为（____，____）， __________；
(2)当 为何值时，以 为顶点的三角形与 相似；
(3)在平面内是否存在一个点 ，使以 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出 的值，
若不存在，说明理由．
5．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．点P从点
A出发沿 向点D匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点C出发沿 向点A匀速运动，速度是
，当一个点到达终点，另一个点立即停止运动．连接 ，设运动时间为 ，解答下列
问题：
(1)当t为何值时， ？
(2)设 的面积为 ，求s与t之间的函数关系式；
(3)连接 ，是否存在某一时刻t，使得 平分 ？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．6．如图，在 中， ， ， ，D是 的中点．动点P从点A出发，沿 以
每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作 的垂线交 或 于
点Q，连接 ．设点P的运动时间为t秒．
(1) __________；
(2)求 的长（用含t的代数式表示）；
(3)连接 ，当 是直角三角形时，求t的值．
7．如图1，已知在 中， ， cm， cm．点 由 出发沿 向点 匀速运动，
同时点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 cm/s．以 为边作平行四边形
，连接 ，交 于点 ．设运动的时间为 （单位 ）（ ）．解答下列问题：
（1）用含有 的代数式表示 ___________
（2）如图1，当 为何值时，平行四边形 为矩形？
（3）如图2，当 为何值时，平行四边形 为菱形？
