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专题 10 相似三角形中的动点问题的三种考法
类型一、相似三角形存在性问题
例1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为
F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为 ．
【答案】2或5
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解．
【详解】解：∵E是BC的中点，∴BE=2，
如图，若 EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
△
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，
如图，若 PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
△
∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵ ，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴PE=5，
综上所述：AP的值为2或5，
故答案为：2或5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关
键．
例2．如图，在直角 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的动点，
交射线 于点 ．
（1）求 的长；
（2）连接 ，当 时，求 的长；
（3）连接 ，当 和 相似时，请直接写出 的长．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）直接根据勾股定理求出 的长度即可；
（2）过 点作 ,垂足为 ，容易证得 ,设 ，根据相似的性
质可求出 的值即可得出结果；
（3）由（2）得 ，设 ，根据相似的性质可求出 的值，在解题时要注意分类讨论．
【详解】解：（1）∵在直角 中， ， ， ，
∴ ；
（2）过 点作 ,垂足为 ，
∵ ,
∴ ,
∴ ，
设 ，
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ，
化简，得 ，
解得： (负值舍去),
∴ ；
（3）由（2）得 ，设 ，
∵ ,∴ ,∵ ,∴ ,∴ ,
当 和 相似时，有两种情况：
① ,∴ ,即 ，解得 ，∴ ；
② ,∴ ,即 ，解得 ，∴ ，
综上： 当 和 相似时， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的
判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等
隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或
依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使
用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
【变式训练1】建立如图所示们平面直角坐标系 中，矩形 的点 以点 为
旋转中心， 为起始边，逆时针方向，直角边 交 射线于点 ，直角边 交 轴于点 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)在旋转过程中，是否存在以 为顶点的三角形与 相似．若存在，诗求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；(2) 或
【分析】（1）证 ，则 ，得 ，即可得出点 的坐标．（2）设 ，本题需先证出 ，求出 ，再分两种情况讨论，求出 的值即可．
【详解】（1） ， ，
， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
点 的坐标为 ， ；
（2）存在，理由如下：
设 ，
， ，
，
，
，
，
，
解得： ，
当点 在点 上方时，如图，若 时， ，
， ，
，
解得： ， （不合题意舍去），
；
∴ ，
∴
当点 在点 下方时，如图，①若 ，则 ， ，
解得： ， （不合题意舍去），
， ；
②若 ，则 ， ，整理得： ， 这种情况不成立；
综上所述，在运动的过程中，存在以 、 、 为顶点的三角形与 相似， 或 ．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、等腰直角
三角形的判定以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，
证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
【变式训练2】如图， ，A（3，0），C（ ，0）， ．
(1)直接写出线段 的长是___________，点B的坐标是___________；
(2)已知点D在x轴上（不与点C重合），连接 ，若 与 相似，则点D坐标是___________；
(3)在（2）的条件下，点P、Q分别是 和 上的动点，连接 ，设 ，是否存在k的值，
使 与 相似？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，（ ，3）
(2)(3)存在， 或
【分析】（1）根据A（3，0），C（ ，0），得到 的长，利用勾股定理求出 的长，即可得到 点
的坐标；
（2）根据点D在x轴上（不与点C重合）， 与 相似，推出 ，进而得到
，求出 的长度，即可得到 点的坐标；
（3）分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴当 和 相似时，点 在点 的左侧， 或 ，
∵点 与点 不重合，
∴ ，即： ，
如图，过点 作 交 轴于点 ，
∵ ，∴ ，即： ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；故答案为： ；
（3）解：存在；
①当 时，
则： ，∵ ， ，
∴ ，∴ ，解得： ，
②当 时，
则： ，即： 解得： ；
综上所述， 或 时， 与 相似．
【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，以及相似三角形的性质．熟练中掌握，勾股定理，相似三角形
的对应边相等，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
类型二、几何图形存在性问题
例1．如图，在 中， ， ， ，E、D分别是 的中点，连接 ．
Q从点E出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点P从点B出发，沿 方向匀速运动，速度
为 ，当点Q停止运动时，点P也停止运动。连接 ，设运动时间为t s．答下列问题：(1)请直接用含t的代数式表示 的长；
(2)当t为何值时，以点D、P、Q为顶点的三角形与 相似？
(3)当t为何值时， 为等腰三角形（直接写出）
【答案】(1) ；
(2) 或
(3) 或3或 或
【分析】（1）根据勾股定理求出 ，根据三角形中位线定理求出 ，根据题意用含t的代数式表示
的长；
（2）分 、 两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可；
（3）分 、 、 三种情况，根据等腰三角形的性质列式计算即可．
【详解】（1）由勾股定理得， ，
∵E、D分别是 的中点， ，
∴ ，
由题意得， ，∴ ，
（2）在 中，
，
∴ ．
∵D、E分别是 的中点．
且 ，
① 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，由题意得： ，
即 ，
解得 ；
②如图2中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当t为 或 时，以点E、P、Q为顶点的三角形与 相似．
（3）如图3中，当点Q在线段 上时，由 ，
可得 ，
解得 ，
如图4中，当点Q在线段 上时， ，
可得 ，
解得 ，
如图5中，当点Q在线段 上时，由 ，
过点Q作 于M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
如图6中，当点Q在线段 上时，由 ，
同理可得 ，
解得 ．
综上所述， 或3或 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理的应用，解题的
关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想．
例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上， ，
．点 从点 出发，沿 轴以每秒 个单位长的速度向点 匀速运动，当点 到达点 时停止运动，
设点 运动的时间是 秒．将线段 的中点绕点 按顺时针方向旋转 得点 ，点 随点 的运动而运
动，连接 ， ．
(1)当 时，点 的坐标是 ；
(2)请用含 的代数式表示出点 的坐标 ；
(3)在点 从 向 运动的过程中， 能否成为直角三角形？若能，求 的值．若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)当 为2秒或3秒时， 能成为直角三角形．
【分析】（1）求得 ，得到 ，推出 ，利用等腰直角三角形的性质即可
求解；
（2）设出 点坐标，再求出 的中点坐标，根据相似的性质即可求出 点坐标；
（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，∴ ， ，
设 的中点为 ，过 点作 ，垂足为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 坐标为 ；
故答案为： ；
（2）解：∵点 从点 出发，沿 轴以每秒1个单位长的速度向点 匀速运动，
，而 ， ，
设 的中点为 ，过 点作 ，垂足为 ，则 点的坐标为 ，
点绕点 按顺时针方向旋转 得点 ， ，
，
又 ， ，
， ，
，
，
， ，
点坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解：能构成直角三角形．
①当 时， ，
由勾股定理得， ， ， ，
即 ，
解得， 或 （舍去）．
秒．
②当 时，此时点 在 上，
可知， ，
，，
，
即 ， 秒 ．
综上，可知当 为2秒或3秒时， 能成为直角三角形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质相似三角形的判定和性质，是动点问题在实际生活中
的运用，结合了直角三角形的相关性质，具有一定的综合性．
例3．综合与探究：已知：如图①，在 中， ， ， ，点 由 出发沿
方向向点 匀速运动，速度为 ；点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；连接
．若设运动的时间为 ，解答下列问题：
(1)当 时，求 的值；
(2)点 ， 同时出发， 为何值时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似；
(3)如图②，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在某一时刻 ，使四边形
为菱形？若存在，直接写出此时 的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程）
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在，
【分析】（1）利用勾股定理求出 ，再结合 以及两点的速度列出方程，解之即可；（2）利用勾股定理求出 ，再根据题意知： ， ，当 ，则
，利用其对应边成比例即可求得 ，当 ，则 ，利用其对应边成比例即
可求得 ．
（3）过点 作 、 ，分别交 于 、交 于 ，则四边形 是矩形，证明
，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出 的值即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由题意知： ， ，
当 ，则 ，
，
，
， ；
当 ，则 ，
，
，
，
当 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似，
故答案为： 或 ；
（3）过点 作 、 ，分别交 于 、交 于 ，如图所示：，
四边形 是矩形，
当 时，即 时， 为等腰三角形，
此时把 沿 翻折得到四边形 是菱形，
，
，
，
即 ，
解得： ，
，
，
解得： ，
当 时，四边形 是菱形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形
的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相
似才能得出结果．
【变式训练1】．如图，在矩形 中， 是对角线， ， ，点 从点 出发，沿
方向匀速运动，速度是 ；点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是1 ．两点同时出发，设运动时间为 ，请回答下列问题：
(1)当t为何值时， ?
(2)设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
(3)当 为何值时，四边形 的面积 等于矩形 面积的 ？
(4)当 为 时， 是等腰三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）勾股定理求得 ，进而根据题意得出 ， ，当 时，
，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据计算即可求解；
（2）过点 作 ，证明 ，得出 ，根据 即可得出结论；
（3）根据（2）的结论建立方程，解方程即可求解．
（4）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是 ；点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度是
1 ，设运动时间为 ，∴ ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ；
（2）如图，过点 作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，∴ ；
（3）解：依题意，
解得 （不合题意，舍去）
（4）解：∵ 是等腰三角形
①当 时，
即 ，
解得 ；
②当 时，如图，过点 作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
③若 如图，过点 作
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
解得
∵
∴不存在 的情形，
综上所述，当 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，综合运用以
上知识是解题的关键．
【变式训练2】如图1，矩形 中， ， ， 为 上一点， 为 延长线上一点，
且 ．点 从 点出发，沿 方向以 的速度向 运动，连结 、 ， 交 于点 ．
设点 运动的时间为 ， 的面积为 ，当 时， 的面积 关于时间 的
函数图象如图2所示．
（1） 的长是 ；
（2）当 ， 时，求 的值；（3）如图3，将 沿线段 进行翻折，与 的延长线交于点 ，连结 ，当 为何值时，四边形
为菱形？
【答案】（1）0.5；（2） ；（3）
【分析】（1）根据题意可知，y= ×4t×AE，由图2可知，当t=0.5时，y=0.5，进而得出0.5=
×4×0.5×AE，即可求出AE；
（2）当a=2cm，BF=2cm．AF=AB+BF=6cm，由△PAE∽△FAP，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据菱形的性质以及轴对称的性质，即可证明∠MAB=∠PFA=30°，根据等腰三角形的性质，可得
BF=4cm，设PA=x，则PF=2x，根据勾股定理可得，PF2=PA2+AF2，即可得出方程（2x）2=x2+82，求得x的
值即可得到点P的运动时间t．
【详解】解：（1）由题意可知，y= ×4t×AE，
由图2可知，当t=0.5时，y=0.5，
∴0.5= ×4×0.5×AE，
∴AE=0.5cm，
故答案分别为：0.5；
（2）当a=2cm，BF=2cm．AF=AB+BF=6cm，
∵△PAE∽△FAP，
∴ ，
∵AP=4t，
∴16t2=6×0.5，∴t= 负值不合题意，舍去），
∴t= s；
（3）如图3，∵四边形PAMH是菱形，
∴AM=MH=2BM，AM∥PF，
∵∠ABM=90°，BM= AM，
∴∠MAB=30°，
∴∠PFA=MFA=∠MAB=30°，
∴MA=MF，
∵MB⊥AF，
∴AB=BF=4cm，
∴FA=AB+BF=8cm，
令PA=x，则PF=2x，
根据勾股定理可得，PF2=PA2+AF2，
即（2x）2=x2+82，
解得x= ，（负值已舍去）
∴P的运动时间为 （秒）．
∴t= s时，四边形PAMH为菱形．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形
的性质，一次函数的应用以及勾股定理的运用，解题的关键是掌握菱形的性质以及相似三角形的性质．解
题时注意方程思想的运用．
【变式训练3】已知：在 中， ， ， 于点 ，点 是 边的中
点，动点 在线段 上，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 ， 与 交于点 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，线段 的长为______；
（2）如图2，当点 与 ， 两点均不重合时，
①求证： ；
②问：是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出 的长；若不存
在，请说明理由，
【答案】（1）2；（2）①见解析；②存在， 或3
【分析】（1）首先连接DE，证明D,E,Q三点共线，再证明 即可求得；
（2）①首先连接 ， ，证明 ，再证明 是 的中位线，即可证明；②分三种
情况讨论，当 时，证明 ，即可求出PC；当 时，证明
，且 ，即可求出PC；当点 在线段 上时，因为 不符合题意．
【详解】解：（1）连接DE，∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴
又∵AD⊥BC,
∴AD为Rt△ABC的中线，D为中点，
∴ ,
又∵E为AC的中点，
∴DE∥AB, ,
,
∴ ,
∴△DEC为直角三角形，∠DEC=90°，
又∵∠CEQ=90°，
∴∠DEC=∠CEQ，
∴D,E,Q三点共线，
∵∠DEC=∠BAC=90°，
∴DQ∥AB，
∴∠Q=∠ABF，
又∵ , ,
∴ ,
∴∴在△ABF和△DQF中，
∴ ,
∴DF=AF= ；
（2）①证明：如图2，连接 ， ，
∵ 是等腰 斜边 上的高， 是 边的中点，
∴ 是等腰 斜边 上的高，即 ，且 ，
∵ ，且 ，
∴ ,
∴ ，
在△PED和△QEC中：
∴ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又 是 的中点，∴ 是 的中位线，
∴ ．
②存在．
∵ 中， ， 于点 ，则 ，
若经过点 作 于 ，
∴AD∥EH，
∴
又∵点 是 边的中点，
∴ 是 的中位线， ，
∴ ,
∵AD=CD,
∴ ．
（I）如图2（a），当 时，
∵ ，∴ , ，∴ 经过点 ，
又∵ ,∴ ,
∴ ，得 ，从而 ，
∴ ，则 ；
（II）如图2（b），当 时，同理得： ，且 ，
∴ ，
∴ ，则 ．
（III）当点 在线段 上时，由于 ，即 ，
若将等腰直角 沿 折叠，可得 ，
∴ ，则 ．
综上，存在符合条件的 ，且 或3．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于
中考压轴题．
类型三、最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ．
动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边 向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒
2个单位长度的速度沿边 向终点C运动，作 于点G，设运动的时间为t秒，则AG的最大值是
．
【答案】【分析】如图，连接 交 于 ，由题意知 ， ，证明 ，则
，可得 过定点 ， ， ，如图，过 作 于
，过 作 于 ，证明 ，则 ，即 ，解得
， ， ，由 ， 过定点 ，可知当 与 重合时， 有最
大值，为 ，在 中，由勾股定理求 的值，进而可得最大的 值．
【详解】解：如图，连接 交 于 ，由题意知 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 过定点 ， ， ，
如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ， ， ，
∵ ， 过定点 ，∴当 与 重合时， 有最大值，为 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 最大值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于确定 过定点 ．
【变式训练1】如图，△ABC中AB=AC，A (0，8)，C (6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，
运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的 倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐
标应为 ．
【答案】
【分析】过 点作 交于 点，交 于 点，连接 ，设 点的运动时间为 ，在 上的运动
速度为 ， ，只需 最小即可，再证明 ，可得 ，则当 、 、
点三点共线时，此时 有最小值，再由 ，求出 即可求坐标．
【详解】解：过 点作 交于 点，交 于 点，连接 ，，
，
设 点的运动时间为 ，在 上的运动速度为 ，
点 在 上的运动速度是在 上的 倍，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
当 、 、 点三点共线时， ，此时 有最小值，
，
，，
，即 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，三角形相似的判定及性质、解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距
离和胡不归求最短距离的方法．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B在第一象限内，
，点E是线段 上的一个动点，连接 ，将射线 绕点E顺时针旋转 交 于
点F，当 最短时点F的坐标是 ．
【答案】
【分析】由已知易得△BEF∽△BAE，则对应边成比例，可得 ，从而当BE最小时，BF最
小，而当BE⊥x轴时，BE最小即垂线段最短，此时可得EF⊥AB，过点F作FD⊥x轴于点D，利用30゜角的
直角三角形的性质和勾股定理，即可求得F点的坐标．
【详解】∵∠BEF=∠BAO=60゜，∠B=∠B
∴△BEF∽△BAE
∴∴
∴当BE最小时，BF也最小
而当BE⊥x轴时，垂线段最短，故BE最小，因而BF也最小
∴∠FEA=90゜−∠BEF=30゜
∴∠EFA=180゜−∠FEA−∠BAO=90゜
即EF⊥AB
过点F作FD⊥x轴于点D，如图
在Rt△BEA中，∠ABE=90゜-∠BAO=30゜
∴AE=
∵在Rt△FEA中，∠FEA=30゜
∴
在Rt△FDA中，∠AFD=90゜-∠BAO=30゜
∴
由勾股定理得：
∵OD=
∴D点坐标为
【点睛】本题考查了垂线段最短，相似三角形的判定与性质，30゜角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是根据相似三角形的性质，把BF最短转化为线段BE最短．
【变式训练3】在 中， ，点D是 内一动点，且满足 ，则
的最小值 ． 的最小值
【答案】 ； ．
【分析】如图，连接CD，在BC上取CE= ，连结CD，ED．可证△DCE∽△BCD．可得DE= BD，当点A，
D，E在同一条直线时，AD+ BD的值最小，在Rt△ACE中，由CE= ，CA=4，可求AE=
即可；在CA上取点F，使CF=1，连结FD，BF，可证 FCD∽△DCA．可得FD= AD，当点B、D、F，在同一
△
条直线时，BD+ AD的值最小，在Rt ACD中，由CD=1，CB=3，根据勾股定理BF= = 即可，
△
【详解】解：①在BC上取CE= ，连结CD，ED，
∵CD=2，BC=3，
∵
∴
又∵∠DCE=∠BCD，
∴△DCE∽△BCD．∴ ，
∴DE= BD，
∴AD+ BD=AD+DE，
当点A，D，E在同一条直线时，AD+ BD的值最小，
在Rt△ACE中，
∵CE= ，CA=4，
∴AE= ，
∴AD+ BD的最小值为 ．
故答案为： ．
②如图，连接CD，在CA上取点F，使CF=1，连结FD、BF，
∵CD=2，AC=4，
∴ ，
∴ ，
又∵∠FCD=∠ACD，
∴△FCD∽△DCA．∴ ，∴DF= AD，∴BD+ AD=BD+DF，
当点B，D，F在同一条直线时，BD+ AD的值最小，
在Rt△BCF中，∵CF=1，CB=3，
∴BF= = ，
∴BD+ AD的最小值为 ．
故答案为： ；
【点睛】本题考查构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，
关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．
课后作业
1．如图，矩形 中， ， ，点E在边 上，且 ，动点P从点A出发，沿
运动到点B停止，过点E作 交射线 于点Q，设O是线段 的中点，则在点P运动的整个
过程中，点O运动路线的长为 ．
【答案】4
【分析】由题意知 ，如图，过 作 于 ，过 作 于 ，证明 ，则 ，即 ，解得 ，如图，过 作 于 ，当 运动到点 ，连接 ，作
，交 于 ，连接 、 中点 、 ，由题意知 在 上运动，证明 ，
则 即 ，解得 ，由 、 分别为 、 中点，可知 是 的中位线，
则 ，进而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
如图，过 作 于 ，当 运动到点 ，连接 ，作 ，交 于 ，连接 、 中
点 、 ，
∴由题意知， 在 上运动，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
解得 ，∵ 、 分别为 、 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线等知识．解题的关键在于确定 的运
动轨迹．
2．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足 ，点P是BC的中点，连接AN、
PM，若 ，则当 的值最小时，线段AN的长度为 ．
【答案】
【分析】过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，
根据三角形的中位线的性质得到PE= BD，根据平行四边形的性质得到EN=PM，根据勾股定理得到AE=
，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】解：
过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小
∵P为BC的中点
∴E为CD的中点
∴PE= BD∵AB= BD，AB= MN
∴MN= BD
∴PE=MN
∴四边形PEMN是平行四边形
∴EN=PM
∵AE=
∴AB∥CD
∴△ABN∽△EDN
∴
∴AN=
故答案为 .
【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，题目综合性
很强，属于较难题目.
3．如图，在 中 ， ，点E是线段 边上的一动点（不含B、C两端点），
连接 ，作 ，交线段 于点D．
(1)求证：
(2)设 ， ，请求y与x之间的函数关系式．
(3)E点在运动的过程中， 能否构成等腰三角形？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)(3)当 是等腰三角形时， 或 ，见解析
【分析】（1）由平角定义可得 ， ，再根据
即可证明；
（2）根据 的性质求解即可；
（3）根据外角先验证 ，分 和 两种情况讨论
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）得： ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（3）解：∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
可得 ，
∴ ；
当 时， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当 是等腰三角形时， 或 ；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点．解答
（3）题时，要分类讨论，以防漏解．
4．如图，平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点 坐标分别为 ，动点 分别从
同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点 沿 向终点 运动，点 沿 向终点 运动过
动点 作 ，交 于 ，连接 ，设 、 运动时间为 秒，
(1)当 秒时， 点的坐标为（____，____）， __________；
(2)当 为何值时，以 为顶点的三角形与 相似；
(3)在平面内是否存在一个点 ，使以 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出 的值，
若不存在，说明理由．
【答案】(1)3， ，
(2)2秒或 秒
(3) 秒或 秒或 秒
【分析】（1）先确定出点 坐标，进而得出直线 解析式，即可得出点 的坐标，最后用两点间的距离
公式即可得出结论；
（2）先得出 ， ， ，用相似三角形的性质列出方程即可求出时间 ；
（3）由菱形的性质，邻边相等即可分三种情况列方程即可求出时间 ．【详解】（1）解： 四边形 为矩形，点 ， 的坐标分别为 ， ，
，设直线 解析式为 ，
将A，C代入，得 ，解得： ，
直线 解析式为 ，
点 从点 向点 以每秒1个单位的速度运动，
，当 时， ，
，
，
，
∴当 秒时， 点的坐标为 ， ；
（2） ， ，
， ，
，
由运动知， ，
，
由（1）知， ，
，以 、 、 为顶点的三角形与 相似，
①当 时，
，
，
②当 时，，
，
为2或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似；
（3）由（1）知， ， ，
由（2）知， ，
，
，
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
①当 时，
，
，
②当 时， ，
（舍）或
③当 时， ，
（舍）或 ，
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形时， 的值为 或 或 秒．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了平面坐标系内两点间的公式，相似三角形的性质，菱形的
性质，解本题的关键分类讨论思想，是一道比较简单的中考常考题．
5．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．点P从点
A出发沿 向点D匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点C出发沿 向点A匀速运动，速度是，当一个点到达终点，另一个点立即停止运动．连接 ，设运动时间为 ，解答下列
问题：
(1)当t为何值时， ？
(2)设 的面积为 ，求s与t之间的函数关系式；
(3)连接 ，是否存在某一时刻t，使得 平分 ？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，
【分析】（1）先利用勾股定理计算 的长，然后根据相似直接列方程求解即可；
（2）作出辅助线得到相似三角形，根据相似比列方程可将边长都用 表示出来，然后根据面积公式直接列
出函数解析式即可；
（3）根据角平分线的性质得到垂线段相等，根据勾股定理可求出 的长，然后推论出相似三角形，根据
相似比直接列方程求解即可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ；
（2）作 于 ，又 ，
∴∴ ，
即 ，
解得， ，
∴
；
∴ ．
（3）作 于 ，
则当 时， 平分 ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴当 时， 平分 ．【点睛】此题考查相似三角形和勾股定理，解题关键是通过相似比列出方程进行求解．
6．如图，在 中， ， ， ，D是 的中点．动点P从点A出发，沿 以
每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作 的垂线交 或 于
点Q，连接 ．设点P的运动时间为t秒．
(1) __________；
(2)求 的长（用含t的代数式表示）；
(3)连接 ，当 是直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)5；(2) ；(3) 或
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）分两种情况讨论：当 时，当 时，利用相似三角形的判定和性质求解；
（3）分两种情况讨论：当 时，当 时，利用相似三角形的判定和性质求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，∴ ；
（2）解：如图，当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵动点P 的速度为每秒4个单位长度， ， ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵动点P 的速度为每秒4个单位长度， ， ，
∴ ，∴ ，
综上所述： ．
（3）解：如图，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，
∴ ；
如图，当 时，
∵ ，
∴ ，
同理可得， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到相似三角形、勾股定理等，综合性较强，灵活合理的运用分类讨论
思想是解题关键．
7．如图1，已知在 中， ， cm， cm．点 由 出发沿 向点 匀速运动，
同时点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 cm/s．以 为边作平行四边形
，连接 ，交 于点 ．设运动的时间为 （单位 ）（ ）．解答下列问题：
（1）用含有 的代数式表示 ___________
（2）如图1，当 为何值时，平行四边形 为矩形？
（3）如图2，当 为何值时，平行四边形 为菱形？【答案】（1）5-t；（2） 秒；（3） 秒
【分析】（1）首先利用勾股定理求得AC=10，然后表示出AM，利用平行四边形对角线互相平分表示出线
段AO即可；
（2）利用矩形的性质得到△AMN∽△ACB，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；
（3）根据菱形的性质得到EN⊥AM，根据相似三角形的性质列出比例式计算；
【详解】解：（1）\∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．
∴由勾股定理得：AC= =10cm，
∵点M由C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴CM=2tcm，
∴AM=AC-CM=10-2t，
∵四边形AEMN为平行四边形，
∴AO= AM=5-t；
故答案为：5-t；
（2）当▱ANME是矩形时，MN⊥AB，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得：t= ，
∴当t= 时，▱ANME是矩形；
（3）当▱ANME是菱形时，EN⊥AM，AO=OM=5-t，则△ANO∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得，t= ，
∴当t= 时，▱ANME为菱形；
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形和菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三
角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
