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专题 10 几何图形中动角问题的三种考法
类型一、定值问题
例．如图1，把一副三角板拼在一起，边 与直线 重合，其中 ，
．此时易得 ．
(1)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针开始旋转，
在转动过程中，三角板 一直在 的内部，设三角尺 运动时间为 秒．
①当 时， ；
②求当 为何值时，使得 ；
(2)如图3，在（1）的条件下，若 平分 ， 平分 ．
①当 时， ；
②请问在三角板 的旋转过程中， 的度数是否会发生变化？如果发生变化，请
叙述理由；如果不发生变化，请求出 的度数．
【变式训练1】已知 与 互补，将 绕点O逆时针旋转．
(1)若
①如图1，当 时， ；
②将 绕点O逆时针旋转至 ，求 与 的度数；
(2)将 绕点O逆时针旋转 ，在旋转过程中， 的度数是
否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点 放置于直线 上，直角边
与直线 重合，其中 ，然后将三角板 绕点 顺时针旋转，设
，从点 引射线 和 ， 平分 ， ．
(1)如图2，填空：当 时， ______ ．
(2)如图2，当 时，求 的度数（用含 的代数式表示）；
(3)如图3，当 时，请判断 的值是否为定值，若为定值，求
出该定值，若不是定值，请说明理由．
类型二、数量关系问题
例．已知 ，保持 不动， 的 边与 边重合，然后将
绕点O按顺时针方向任意转动一个角度 ，（本题中研究的其它角的
度数均小于 ）
(1)[特例分析]如图1，若 ，则 _______°，
_______°
(2)[一般化研究]如图2，若 ，随着 的变化，探索 与 的数量关系，
并说明理由．
(3)[继续一般化]随着 的变化，直接写出 与 的数量关系、（结果用含的代数式表示）．
【变式训练1】已知 ， 平分 ．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)将 绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置， 和 有怎样的数量关
系？请说明理由；
(3)将 绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说
明理由．
【变式训练2】如图， ， ，射线 平分 ，射线 平分
（本题中的角均为大于 且小于 的角）．
(1)如图，当 ， 重合时，求 的度数；
(2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是
否为定值？若是定值，求出 的值，若不是，请说明理由．
(3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有
怎样的数量关系？类型三、求运动时间问题
例1．已知 ，射线 均为 内的射线．
(1)如图1，若 为 的三等分线，则 ＝ ；
(2)如图2，若 ， 平分 平分 ，求 的大小
(3)射线 以每秒 的速度顺时针方向旋转，射线 以每秒 的速度顺时针方向旋转，
射线 始终平分 ，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达 的
位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，
.
例2．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角
等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线 ， 在 的内部，且 ，则 是 的内半
角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1， ， ，若 是 的内半角，则 ；
(2)如图2，已知 ，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 （
）至 ．若 是 的内半角，求 的值；
(3)把一块含有 角的三角板 按图3方式放置．使 边与 边重合， 边与
边重合．如图4，将三角板 绕顶点 以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时
间为 秒，当射线 、 、 、 构成内半角时，直接写出 的值．【变式训练1】已知直线 过点O， ， 是 的平分线．
(1)操作发现：①如图 1，若 ，则 °．
②如图1，若 ，则 °．
③如图1，若 ，则 ．（用含α的代数式表示）
(2)操作探究：将图 1 中的 绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中
的结论是否成立？试说明理由．
(3)如图3，已知 ，边 、边 分别绕着点O以每秒 、每秒 的速度顺
时针旋转（当其中一边与 重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，
【变式训练2】平面上顺时针排列射线 ， ， ，射
线 分别平分 ， （题目中所出现的角均小于 ）．
(1)如图1，若 ，则 ___________， ___________；
(2)如图2，探究 与 的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ，将 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转，同时
将 绕点O以每秒 逆时针旋转，若旋转时间为t秒 ，当 时，直接写出t的值．
课后训练
1．已知 ，以射线 为起始边，按顺时针方向依次作射线 、 ，使得
，设 ， .
(1)如图1，当 时，若 ，求 的度数；
(2)备用图①，当 时，试探索 与 的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当 时，分别在 内部和 内部作射线 ， ，使
， ，求 的度数.
2．点O为直线 上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得 ．
(1)如图1，过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得
平分 ，则 的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，求出 与
的数量关系；
(3)过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分
，若 ，求出 的度数．3．已知 ， 是过点O的射线，射线 分别平分 和
．
(1)如图1，若 是 的三等分线，则 _________ ；
(2)如图2，在 内，若 ，则 _________；（用含 的代数式表
示）
(3)如图3，若 ，将 绕着点O逆时针旋转到 的外部
，请直接写出此时 的度数．
4．问题情境： 是一条射线， 分别是 和 的角平分线．
当 是直角， ，射线 在 的内部时，我们可以发现
的度数是_____；
当 是直角， ，射线 在 的内部时， 的
度数是____°．
探索发现： 分别是 和 的角平分线，当射线 在 的外面时．若 是直角， ，求出 的大小；
若 是直角， ，写出 的度数；
数学思考： 分别是 和 的角平分线，若 的度数是 ，
，直接写出 的度数．（用含 的代数式表示）
5．已知 ，过顶点O作射线 ，且 平分 ．
(1)如图1，若 平分 ，则 的度数为___________；
(2)若 ，求 的度数；
(3)嘉嘉说：“如图2，若 在 内， 平分 ，则 的度数不变．”请
你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
(4)若 在 外，设 平分 ，当 时，直接写出
的度数．
6．在 内部作射线 ， ， 在 的右侧，且 ．(1)如图1，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 ，猜想 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请过点 作射线 ，使 平分 ，再作 的角平分线 ．若
， ，请直接写出 的度数（用含 的式子表示）．
7．（1）【特例感知】如图1，已知线段 ， ，点C和点D分别是 ，
的中点．若 ，则 ________cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内
部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若 ， ，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若 ， ，
， ，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结
果）．
