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专题 09 线段上动点问题的两种考法
类型一、线段和差问题
例1．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式 ＝ ，求 的值．
【答案】（1）①AD的长为6.5；②AD的长为 或 ；（2） 的值为 或
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，
∴BC＝5，AC＝10，
①∵E为BC中点，
∴CE＝2.5，
∵DE＝6，
∴CD＝3.5，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；
②如图2，当点F在点C的右侧时，
∵CF＝3，AC＝10，
∴AF＝AC+CF＝13，
∵AF＝3AD，
∴AD＝ ；
如图3，当点F在点C的左侧时，
∵AC＝10，CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝7，
∴AF＝3AD，∴AD＝ ＝ ；
综上所述，AD的长为 或 ；
（2）①当点E在线段BC之间时，如图4，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵ ，
∴ ，
∴y＝ x，
∴CD＝1.5x﹣ x＝ x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝ x，
∴ ＝ ＝ ；
②当点E在点A的左侧，如图5，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵ ＝ ，BE＝EC+BC＝x+y，∴ ，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴ ，
③点D、E都在点C的右侧时，如图6，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC-DE＝y-1.5x，
∴AD＝DC+AC＝y-1.5x+2x＝y+0.5x，
∵ ＝ ，BE＝EC-BC＝y-x，
∴ ，
∴y＝-4x（舍去）
综上所述 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想，
比较难，分类讨论是解答本题的关键．
例2．已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．
(1)若 ， ，求线段CD的长．
(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．
【答案】(1) 或5
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据点C在直线AB上，分两种情况：①C在点A的右侧，②C在点A的左
侧，根据线段的和与差可得结论；
（2）AB＝2DE，分三种情况：根据线段中点的定义可得结论．
【详解】（1）解：如图1，当C在点A右侧时，∵ ， ，
∴ ，
∵D是线段BC的中点，：
∴ ；
如图2，当C在点A左侧时，
∵ ， ，
∴ ，
∵D是线段BC的中点，
∴ ；
综上所述， 或5；
（2）解： ．
理由是：如图3，当C在点A和点B之间时，
∵E是AC的中点，D是BC的中点，
∴ ， ，∴ ；
如图4，当C在点A左侧时，
同理可得： ；
如图5，当C在点B右侧时，
同理可得： ．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的
关键．
【变式训练1】如图，点 位于数轴原点， 点从 点出发以每秒1个单位长度的速度沿
数轴向左运动， 点从 点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．(1)若点 表示的数为 ，点 表示的数为7，当点 ， 运动时间为2秒时，求线段
的长；
(2)若点 ， 分别表示 ，6，运动时间为 ，当 为何值时，点 是线段 的中点．
(3)若 ， 是数轴上的一点，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)当 时点 是线段 的中点
(3) 或1
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根
据 可求；
（2）先表示出BD和CD，再根据点 是线段 的中点，列方程求解；
（3）分 在线段 上和点 在线段 的延长线上两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
又∵点 表示 ，点 表示7，
∴ ，
∴
∴ ．
（2）解：∵点 ， 分别表示 ，6，
所以 ， ， ， ， ，
当 是 的中点时 ，即 ，
∴当 时点 是线段 的中点．
（3）解：①当点 在线段 上时，如图
∵ ，
又∵
∴ ，
又∵∴ ，即
②当点 在线段 的延长线上时，如图
∵ ，又∵
∴ ，即
综上所述 或1．
【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是
掌握点的移动路程与线段的关系．
【变式训练2】已知点C在线段 上， ，点D，E在直线 上，点D在点E
的左侧．
(1)若 ， ，线段 在线段 上移动，
①当点E是线段 的中点时，求 的长；
②当点C是线段 的三等分点时，求 的长；
(2)若 ，点E在线段 上移动，且满足关系式 ，则 （直接写
出结果）．
【答案】(1)①4，② ；(2)
【分析】（1）根据已知条件得到 ，①由线段中点的定义得到 ，求
得 ，由线段的和差得到 ；②当点C线段 的三等分点时，
可求得 或 （舍去），则 ，由线段的和差即
可得到结论；
（2）①当点E在线段 之间时，设 ，则 ，求得 、
、 、 ，然后根据 可得 ，
，再代入 即可解答；②当点E在线段 上时，设
，则 ，求得 、 、、 ，然后根据 可得 不符题
意．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
①∵E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵点C是线段 的三等分点，DE＝16，
∴ 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ；
（2）解：①当点E在线段 上，如图，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
如图：当点E在线段AC上时，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 不符题意，
∴点E不可能在线段AC上．
综上所述 的值为 ．
【点睛】本题主要考查了直线上两点间的距离、线段中点的性质、线段的和差等知识点，
准确识图、分类讨论DE的位置是解题的关键．
【变式训练3】如图已知线段 、 ，
(1)线段 在线段 上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）
①若线段 ， ，M、N分别为 、 的中点，求 的长．
②M、N分别为 、 的中点，求证：
(2)线段 在线段 的延长线上，M、N分别为 、 的中点，②中的结论是否成立？
请画出图形，直接写出结论
【答案】(1)①10，②见解析
(2)不成立，见解析
【分析】（1）①利用 求出 的值，利用中点平分线段，得到
，再利用 ，即可得解；②
利用中点平分线段，得到 ，进而得到
，再利用 ，即可得证；
（2）分 点在 点的左侧，点 在点 的右侧， 点在 点的左侧，点 在点 的左侧，以及 点在 点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵M、N分别为 、 的中点，
∴ ，
∴ ；
②∵M、N分别为 、 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）不成立；
∵M、N分别为 、 的中点，
∴ ，
①当 点在 点的左侧，点 在点 的右侧时，如图：
或
；
②当 点在 点的左侧，点 在点 的左侧时，如图：
或；
③当 点在 点的左侧时，如图：
或
；
综上： 或 ；故结论不成立．
【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，
是解题的关键．注意分类讨论．
类型二、定值问题
例．如图，点 是定长线段 上一点， 、 两点分别从点 、 出发以1厘米/秒，2厘
米/秒的速度沿直线 向左运动（点 在线段 上，点 在线段 上）．
（1）若点 、 运动到任一时刻时，总有 ，请说明点 在线段 上的位置；
（2）在（1）的条件下，点 是直线 上一点，且 ，求 的值；
（3）在（1）的条件下，若点 、 运动5秒后，恰好有 ，此时点 停止运动，
点 继续运动（点 在线段 上），点 、 分别是 、 的中点，下列结论：①
的值不变；② 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确
的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的 处；（2） 或 ；（3）结论② 的值不变正确，.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据
，可知点 在线段 上的位置；
（2）由 可知 ，当点Q在线段AB上时，等量代换可得
，再结合 可得 的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得
，易得 的值.
（3）点 停止运动时， ，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以
含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知 的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则 ，
由 得 ，即
， ， ，即
所以点P在线段AB的 处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由 可知 ，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，
综合上述， 的值为 或 ；（3）② 的值不变.
由点 、 运动5秒可得 ，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点 停止运动时， ，
点 、 分别是 、 的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以 ；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点 停止运动时， ，
点 、 分别是 、 的中点，
，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以 ；
所以② 的值不变正确， .
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是
解题的关键.
【变式训练】已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求 的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
① 是定值；
② 是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E
在BC之间，F在E右侧；
【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴ ＝2；
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
∴ ＝2；
③D在A点左侧时：
BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
∴ ＝2；
故 ＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①
EF＝FC﹣EC＝ BC﹣AC+AE＝ （AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣ AB＝ AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
∴ ＝2．
②
EF＝ BC+CE＝ BC+AE﹣AC＝ （AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣ AB﹣ AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴ ＝2．
③EF＝CE﹣CF＝CE﹣ BC＝AC﹣AE﹣ BC＝AC﹣AE﹣ （AC﹣AB）＝ AC﹣AE+
AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴ ＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
课后训练
1．已知，C为线段 上一点，D为 的中点，E为 的中点，F为 的中点．
（1）如图1，若 ， ，求 的长；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ， ，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，则
=______（用含a的代数式表示）．
【答案】（1） ；（2） 的值为 或 ；（3）
【分析】（1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC= AC=2，CE= BC=3，则可计算
出DE=5，再利用F为DE的中点得到DF= DE，然后利用CF=DF-DC求解；
（2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解；
（3）如图，设AC=x，BC=y，即x-y=a，利用线段中点定义得到DC= ，CE= ，则
，所以 ，再利用 的中点 ，得到 ，
于是可计算出 ，即有 ．
【详解】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC= AC=2，CE= BC=3，∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，
∴DF= DE= ，
∴CF=DF-DC= ；
（2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC= AC，CE= BC，
∴DE=DC+CE= （AC+BC）= AB，
∵F为DE的中点，
∴DF= DE= AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DC-DF= AC-4CF，
∴AC=10CF，
∴BC=AB-AC=16CF-10CF =6CF，
∴ ，
②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC= AC，CE= BC，
∴DE=DC+CE= （AC+BC）= AB，
∵F为DE的中点，
∴DF= DE= AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DF-DC=4CF- AC，∴AC=6CF，
∴BC=AB-AC=16CF-6CF =10CF，
∴ ，
综上所述， 的值为 或 ．
（3）如图，
设AC=x，BC=y，即x-y=a，
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC= AC= x，CE= BC= y，
∵DC的中点为 ，CE的中点为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的中点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段
之间的关系是解决本题的关键．
2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．若
， ，线段 在线段 上移动．
(1)如图1，当 为 中点时，求 的长；
(2)点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长．
【答案】(1)7；(2)3或5
【分析】（1）根据 ， ，可求得 ， ，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．
（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上， ， ，确定点F是BC
的中点，即可求出AD的长．
【详解】（1） ， ，
， ，
如图1，
为 中点， ，
，∴ ，∴ ，
（2）Ⅰ、当点 在点 的左侧，如图2，
或
∵ ， ，
点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点 在点 的右侧，
或
， ，
∴ ，
∴ ，
．
∵ ，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述： 的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．
本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
3．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC=_________；
（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；
（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．
【答案】（1）6
（2）PA+PB–2PC=0；
（3）MN=9．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）由（1）得AC= AB，CD= AB，根据线段的和差即可得到结论；
（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD
的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD-AM-DN；②如图2，当点C位于点
B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．
【详解】（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；
故答案为6；
（2）由（1）得AC= AB，∴CD= AB，
∵点P是线段AB延长线上任意一点，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB= AB+PB，
∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（ AB+PB）=0；
（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM= AC= （AB+BC）=8，
DN= BD= （CD+BC）=5，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM= AC= （AB﹣BC）=4，
DN= BD= （CD﹣BC）=1，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的
倍分关系是解本题的关键．
4．【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度
是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．
(1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B
匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，
当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q
三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【答案】(1)是
(2)6或4或8c
(3)t为3或 或 或 或 或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝ ＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN
＝ ＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝ ＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，故答案为：是；
（2）解：①当N为中点时，CN＝ ＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝ ＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝ ＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
（3）解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝ ；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝ ；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝ ；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝ ．
综上所述，t为3或 或 或 或 或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点
为端点的线段的和谐点．
【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
5．如图，射线 上有三点 、 、 ，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点 从点
出发，沿 方向以 秒的速度匀速运动，点 从点 出发在线段 上向点 匀速
运动，两点同时出发，当点 运动到点 时，点 、 停止运动.
(1)若点 运动速度为 秒，经过多长时间 、 两点相遇?
(2)当 时，点 运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点 的运动速度;
(3)当点 运动到线段 上时，分别取 和 的中点 、 ，求 的值.
【答案】（1）45s;（2） 或 ;(3)2
【分析】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形求解即可；
（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；
【详解】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，
则t+2t=90+30+15，
解得t=45，
所以经过45秒时间P、Q两点相遇．
（2）①当P在线段AB上时，
∵AB=90，PA=2PB，
∴PA=60，PB=30，
∴OP=OA+AP＝30+60＝90，
∴点P、Q的运动时间为90秒，
∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ= OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为 cm/秒；
②点P在线段AB延长线上时，
∵AB=90，PA=2PB，∴BP=90,AP=180,
∴OP=OA+AP=30+180=210,
∴点P、Q的运动时间为210秒，
∵AB=90，OA＝30，
∴OB＝120，∴BQ= OB=60，∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为 cm/秒；
（3）如图所示：
∵E、F分别是OP、AB的中点，∴OE= OP= t，∴OF=OA+ AB=30+45=75，
∴ .
【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解
题意，学会构建方程解决问题.
6．已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分
别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的
值是否与m有关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，
求MN长度 (用含m的代数式表示).
【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3) m.
【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、
CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化
简即可；
（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.
【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，
∴AC=BC= AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN= AC，CM= BC，∴CN=3，CM=3，
∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN= AC，CM= BC，
∴MN=CM+CN= BC+ AC= (BC+AC)= AB= m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN= AC，BM= BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－ AC－ BC = (BC－AC)= AB= m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴AN= AC，CM= BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－ AC－ BC = (AC－BC)= AB= m，
综上所述，MN的长度为 m.
【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.
7．已知线段 ， ( ， 为常数，且 )，线段 在直线 上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段 的中点，Q是线段 的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段 的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段 运动到点B，M重合时，求线段 ， 之间的数量关系；
(3)当线段 运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段 ， ， 三者之间的
数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据题意表示出 和 的长度，然后即可求出 ；
（2）根据题意表示出 和 的长度，再表示出 和 的长度，即可发现 和 之
间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出 和 ，
即可发现 ， ， 三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P是线段 的中点，Q是线段 的中点，所以 ， ，
∴ ．
（2）因为P是线段 的中点，Q是线段 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时 ， ，
所以 ；
如图②，当点M在点B的右侧时 ， ，
所以 ．
综上所述， 或 ．【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．
