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专题 09 圆的最值模型之隐圆模型
一、模型说明
1、动点定长模型
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
2、直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
3、四点共圆模型
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
二、例题精讲
例1．（直角模型1）如图，正方形 的边长为4，点E是正方形 内的动点，点P是 边上的
动点，且 ．连结 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明 ，即可得点E在以 为直径的半圆上移动，设 的中点为O，作正方形
关于直线 对称的正方形 ，则点D的对应点是F，连接 交 于P，交半圆O于E，根
据对称性有： ，则有： ，则线段 的长即为 的长度最小值，问题随
之得解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的半圆上移动，
如图，设 的中点为O，
作正方形 关于直线 对称的正方形 ，
则点D的对应点是F，
连接 交 于P，交半圆O于E，
根据对称性有： ，则有： ，
则线段 的长即为 的长度最小值，E
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故 的长度最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的
运动路线是解题的关键．
例2．（直角模型2）如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M为线
段 上一点． ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明 ，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形 为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵ ，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
例3（四点共圆）．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从
点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、
BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）A．2 B．π C．2π D． π
【答案】D
【详解】解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，AB AC，∴AC＝2 ，
∴OA＝OC ，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为 π．
故选：D．
例4．（动点定长）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将
△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B． +1 C．2 ﹣2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，
由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°
的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．
【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD= MD=1，∴HM= = ，CH=CD+DH=5，
∴ ，
∴A′C=MC-MA′=2 -2；
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．
例5．（综合1）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，
DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角 AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小
值为（ ） △
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明 ，从而 ，再根据 ，可求 ，可知点
H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值．
【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM，则 ，
在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
是直角三角形，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，如图，连接BM，交圆M于 ，过点M作 于点P，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴AP=MP= =1，
∴BP=4-1=3，
在 中， ，
∴ ．
∴BH的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解
决．
例6．（综合2）如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线 （不含 点）上任
意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
（3）当 的最小值为 时，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋
BM＋CM的值最小，理由见解析；（3）【分析】（1）由题意得 ， ，所以 ，容易证出 ；
（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当 点落在 的中点时， 的值最小；
②根据“两点之间线段最短”，当 点位于 与 的交点处时， 的值最小，即等于
的长（如图）；
（3）作辅助线，过 点作 交 的延长线于 ，由题意求出 ，设正方形的边长为 ，
在 中，根据勾股定理求得正方形的边长为 ．
【详解】解：（1）证明： 是等边三角形，
， ．
，
．
即 ．
又 ，
．
（2）解：①当 点落在 的中点时， 、 、 三点共线， 的值最小．②如图，连接 ，
当 点位于 与 的交点处时，
的值最小，
理由如下：连接 ，由（1）知， ，
，
， ，
是等边三角形．
．
．
根据“两点之间线段最短”可知，若 、 、 、 在同一条直线上时， 取得最小值，最
小值为 ．在 和 中， ，
，
， ，
， 若连接 ，则 ，
， ，、 可以同时在直线 上．
当 点位于 与 的交点处时， 的值最小，即等于 的长．
（3）解：过 点作 交 的延长线于 ，
．
设正方形的边长为 ，则 ， ．
在 中， ，
．解得 ， （舍去负值）．
正方形的边长为 ．
【点睛】本题考查轴对称的性质和正方形的性质，三角形全等的判定、等腰三角形的性质、勾股定理，解
题的关键是掌握以上知识点，添加适当辅助线，灵活运用．
三、课后训练
1．如图，在 中， ， cm， cm． 是 边上的一个动点，连接 ，过
点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的 上（不含点C、可含点N），从而得BE最短
时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 ．
，
长度的最小值 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意
辅助线的作法．
2．如图， 中， ， ， ，P是 内部的一个动点，满足 ，
则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】结合题意推导得 ，取AB的中点O，以点O为圆心， 为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得 ；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的
上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质
计算得 ，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】 ，
，
， ， ，
取AB的中点O，以点O为圆心， 为直径作圆，连接OP，
点P在以AB为直径的 上，连接OC交 于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在 中， ， ， ，
，
， 最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟
练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
3．如图，在Rt 和Rt 中， ， ，AB=AE=5．连接BD，CE，将
△ 绕点A旋转一周，在旋转的过程中当 最大时，△ACE的面积为（ ）．A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C
作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= ，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，即 ，
解得：CF= ，
∴此时三角形ACE的面积= =6，故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用
D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将
△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．【答案】 /
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在
B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD= ，
∴BF=BD－DF= ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中
考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点 在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ．
【答案】
【分析】首先根据运动特点分析出点 的运动轨迹在以 为圆心， 为半径的圆弧上，然后分点 恰好
落在 边上和点 恰好落在 边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进
行求解和证明即可得出两种临界情况下 的长度，从而得出结论．
【详解】解：∵点B与 关于DE对称，
∴ ，则点 的运动轨迹在以 为圆心， 为半径的圆弧上，
①如图所示，当点 恰好落在 边上时，此时，连接 和 ，
由题意及“三线合一”知， ， ，
∴在 中， ，
此时，根据对称的性质， ，
∴由等面积法， ，
∴ ，
在 中， ；
②如图所示，当点 恰好落在 边上时，连接 、 、 和 ，
由题意， ，
∴ ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
即： ，
∵点B与 关于DE对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
由对称的性质， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即：此时点 为 的中点，
∴此时， ，
综上， 长的范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动
点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键．
6．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转
（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取
值范围是 ．【答案】3≤CM≤7
【分析】由勾股定理可求AB＝10，由三角形中位线定理可求OM＝2，点M在以O为圆心，OM长为半径
的圆上运动，即可求解．
【详解】解：如图，取AB中点O，连接OC，OM，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ，
∵D为AC的中点，点O是AB中点，
∴AD＝4，CO＝5，
∵M为BD的中点，点O是AB中点，
∴OM＝ AD＝2，
∴点M在以O为圆心，OM长为半径的圆上运动，
∴当点M在线段OC上时，CM有最小值＝5﹣2＝3，
当点M在线段CO的延长线时，CM有最大值＝5+2＝7，
∴线段CM长度的取值范围3≤CM≤7，
故答案为：3≤CM≤7．
【点睛】本题主要考查三角形中位线及隐圆问题，熟练掌握三角形的中位线及动点的运动轨迹是解题的关
键．
7．如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，点 是
的中点， 、 ，则四边形 面积的最小值为 ．
【答案】38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G
点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接 ，过 作 于 ，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以 为圆心， 为半径的圆弧上，圆弧交 于 ，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，
由勾股定理得：AC=10，
∵ AC·BH= AB·BC，
∴BH=4.8，
∴ ，
即四边形 面积的最小值= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直
线等于斜边的一半确定出 点的运动轨迹．
8．如图，四边形 中， ， ， ， ，点 是四边形
内的一个动点，满足 ，则 面积的最小值为 ．【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于 ，
交 于 ，则 ，通过计算得出当 三点共线时， 有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取 的中点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于 ，交
于 ，则 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 为等腰梯形，
，
， ， ，
，
点 在以点 为圆心，2为半径的圆上，
，
，
，
， ，，
，
， ， ，
，
当 三点共线时， 有最小值 ，
面积的最小值为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点 位置的确定是解题关键．
9．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的
路径长为 ．
【答案】
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是 ，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CD AC＝1，
∵ 所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OD AD ，OA＝2OD ，
∴ 的长为 π；
故答案为： π．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为
线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+ CG的最小值为 ．
【答案】5
【分析】因为DG＝ EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，
从而得出GI＝ CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，
∴DG＝ ，
∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠GDI＝∠CDG，
∴△GDI∽△CDG，
∴ ＝ ，
∴IG＝ ，
∴BG+ ＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+ CG最小＝BI，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，
∴BI＝5，
故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点 的运动轨迹是解题的关键．
11．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C
两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋
转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA
＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
【答案】（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为
为等边 ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3）
△
【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；
尝试应用（2）首先通过证明 ABD和 CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB和
AC的垂直平分线，其交点即为△旋转中点△；
拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD最长和最短时的
情况，并结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，
由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，
∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，
同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，
点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，
∴ ABD可以由 CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为
90△°； △
尝试应用（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°，
∴∠DAB=∠ECA，
在 ABD和 CAE中，
△ △
∴ ABD≌ CAE(AAS)，
∴△△ABD的△A、B、D三点的对应点分别为 CAE的C、A、E三点，
则AC、AB分别视作两组对应点的连线，△
此时，如图所示，作AC和AB的垂直平分线交于点O，
∵△ABC为等边三角形，
∴由等边三角形的性质可知，OC=OA=OB，∠AOC=120°，
∴ ABD可以由 CAE通过旋转变换得到，旋转中心为为等边 ABC三边垂直平分线的交点O；
△ △ △
拓展创新（3）由（1）知，在直线l旋转的过程中，总有∠ADB=90°，
∴点D的运动轨迹为以AB为直径的圆，
如图，取AB的中点P，连接CP，交⊙P于点Q，
则当点D在CP的延长线时，CD的长度最大，
当点D与Q点重合时，CD的长度最小，即CQ的长度，
∵AB=AC，AB=2，
∴AP=1，AC=2，
在Rt APC中， ，
△
由圆的性质，PD=AP=1，
∴PD=PQ=1，∴ ， ，
∴CD的长的取值范围为： ．
【点睛】本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性
质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的
相关知识点是解题关键．
12.（1）如图1，等边 的边长为2，点D为 边上一点，连接 ，则 长的最小值是______；
（2）如图2，已知菱形 的周长为16，面积为 ，E为 中点，若P为对角线 上一动点，Q为
边上一动点，计算 的最小值：
（3）如图3，已知在四边形 中， ， ， ，E为 边
上一个动点，连接 ，过点D作 ，垂足为点F，在 上截取 ．试问在四边形
内是否存在点P，使得 的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位罝，并求出 的最小面积；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，见解析，
【分析】（1）根据垂线段最短可知，当 时，线段 的值最小，再根据等边三角形的边长为2，确定高 ，从而得出结论；
（2）如图2中，作 于H，在 上截取 ，连接 ， ， ．首先证明 是等
边三角形，证明 ，可得 ，推出 ，再根据垂线段最短即可解决
问题．
（3）存在，如图3中，以 为斜边在直线 的下方作等腰直角 ，作 于M，
于N，连接 ， ．证明点P的运动轨迹是 ，当点P在线段 上时， 的值最小，
此时 的面积最小．
【详解】解：（1）如图1中，根据垂线段最短可知，当 时，线段 的值最小，
∵ 是等边三角形，边长为2，
∴ 的高 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
（2）如图2中，作 于H，在 上截取 ，连接 ， ， ．
∵四边形 是菱形，周长为16，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据垂线段最短可知，当E，P，Q′共线，且点Q′与C重合时，
的值最小，最小值 ．
∴ 的最小值为 ．
（3）存在，理由如下：
如图3中，以 为斜边在直线 的下方作等腰直角 ，
作 于M， 于N，连接 ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴点P的运动轨迹是 ，
当点P在线段 上时， 的值最小，此时 的面积最小，
此时 ，
∴ 的面积的最小值 ．
