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专题 09 相似三角形的五种基本模型
类型一、A字型（双A字型）
例1．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求 的值．
例2.（培优）如图， 中，点D在 边上，且 ．
（1）求证： ；
（2）点E在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数．
（3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长．【变式训练1】一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样才能把它加工成一个面
积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合
要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 是 轴正半轴上一动点，以 为直
角边构造直角 ，另一直角边交 轴负半轴于点 ， 为线段 的中点，则 的最小值为 ．
类型二、X字型
X字型（平行） 反X字型（不平行）
例1．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若 ，则
．例2.（培优）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【变式训练1】如图，在 中，点D在BC上， ，连接AD， ，则
线段AD的长为 ．
【变式训练3】（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目
如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝ ，BO：CO＝2：1，求AB
的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决
问题（如图2）
请回答：∠ADB＝ °，AB＝
（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝ ，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：
OD＝2：1，求DC的长
类型三、母子型
例1．如图， 中，点 在 上， ，若 ， ，则线段 的长为
．
例2．（培优）已知：如图， 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
交 于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ．
【变式训练1】如图，在 中， ，D是 上一点，点E在 上，连接
交于点F，若 ，则 ＝ ．【变式训练2】如图，在 中， ， ， ， ， ，则
CD的长为 ．
类型四、旋转相似模型
例．在 中， ， ，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接 ，将线段
绕点P逆时针旋转α得到线段 ，连接 ， ， .
(1)观察猜想
如图①，当 时， 的值是_______，直线 与直线 相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当 时，请写出 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数，并就图②的情形
说明理由．【变式训练1】某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰
作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边
作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方
形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，求正方形ABCD的边
长．
【变式训练2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB
绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ ，请直接写出点D到CP的距离．【变式训练3】如图1，在 中， ，在斜边 上取一点D，过点D作
，交 于点E．现将 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在 的内部），
使得 ．
（1）①求证： ； ②若 ，求 的长；
（2）如图3，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变， 设，若 ，
，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变，若 ，设 ，
，试探究 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
类型五、K字模型
例1．（1）问题发现：如图1， ，将边 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，在射线 上取
点D，使得 ．请求出线段 与 的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若 ，作 ，且 ，其他条件不变，则线段 与 的
数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形 的边长为6，点E是边 上一点，且 ，把线段 逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ，直接写出线段 的长．例2．（培优）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且
△
∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE＝ ．
【变式训练1】【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），
．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若
， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结
CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【变式训练2】如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE
的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
（1）求证： ；
（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．【变式训练3】如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M
是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点
C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．
（1）求证：△AOC∽△BEA；
（2）若m=3，则点B的坐标为 ；若m=﹣3，则点B的坐标为 ；
（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？
（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，
请说明理由．
课后作业
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则
△ABC的面积为( )A．8 B．10 C．12 D．14
2．如图，P为 的边 上的一点，E，F分别为 ， 的中点， ， ， 的面
积分别为S，S，S．若 ，则 的值是（ ）
1 2
A．24 B．12 C．6 D．10
3．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F
是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出S :S 的值．
ΔABC ΔDEC
4.【问题发现】（1）如图1，在 中， ，D为 边上一点（不与点B、C重合）将线段
绕点A顺时针旋转90°得到 ，连接 ，则线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ；【探究证明】（2）如图2，在 和 中， 将 绕点A旋转，当点
C，D，E在同一直线时， 与 具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ，将 绕顺时针旋转，点C对
应点E，设旋转角 为 （ ），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段
的长度．
5．如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．
(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；
(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：
AD⊥CD；
(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，
若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．
6．如图， 和 是有公共顶点直角三角形， ，点P为射线 ， 的交点．（1）如图1，若 和 是等腰直角三角形，求证： ；
（2）如图2，若 ，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下， ， ，若把 绕点A旋转，当 时，请直接写出 的
长度
7．正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点， 将 沿 翻折得
到 ，直线 交射线 于点 ．
(1)当 时，求 的度数 用含 的式子表示 ；
(2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值 若变化，请说明理由；
(3)若 ，求 的值．
