文档内容
专题 09 圆的最值模型之隐圆模型
一、模型说明
1、动点定长模型
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
2、直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
3、四点共圆模型
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆二、例题精讲
例1．（直角模型1）如图，正方形 的边长为4，点E是正方形 内的动点，点P是 边上的
动点，且 ．连结 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（直角模型2）如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M为线
段 上一点． ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3（四点共圆）．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从
点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、
BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2 B．π C．2π D． π例4．（动点定长）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将
△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B． +1 C．2 ﹣2 D．3
例5．（综合1）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，
DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角 AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小
值为（ ） △
A． B． C． D．
例6．（综合2）如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线 （不含 点）上任
意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
（3）当 的最小值为 时，求正方形的边长．三、课后训练
1．如图，在 中， ， cm， cm． 是 边上的一个动点，连接 ，过
点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．如图， 中， ， ， ，P是 内部的一个动点，满足 ，
则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，在Rt 和Rt 中， ， ，AB=AE=5．连接BD，CE，将
△ 绕点A旋转一周，在旋转的过程中当 最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．
5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点 在
△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ．
6．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转
（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取
值范围是 ．
7．如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，点 是
的中点， 、 ，则四边形 面积的最小值为 ．8．如图，四边形 中， ， ， ， ，点 是四边形
内的一个动点，满足 ，则 面积的最小值为 ．
9．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的
路径长为 ．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为
线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+ CG的最小值为 ．
11．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋
转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA
＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理
由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
12.（1）如图1，等边 的边长为2，点D为 边上一点，连接 ，则 长的最小值是______；
（2）如图2，已知菱形 的周长为16，面积为 ，E为 中点，若P为对角线 上一动点，Q为
边上一动点，计算 的最小值：
（3）如图3，已知在四边形 中， ， ， ，E为 边
上一个动点，连接 ，过点D作 ，垂足为点F，在 上截取 ．试问在四边形
内是否存在点P，使得 的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位罝，并求出 的最小面积；
若不存在，请说明理由．
