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专题 10 二元一次方程组特殊解的三种考法
类型一、整数解的问题
例1.已知二元一次方程组 有正整数解，则正整数m的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4或8 D．6或8
【答案】C
【分析】先解关于x的方程组，再讨论解为正整数时m的值．
【详解】解： ，
解方程组得： ，
∵方程组有正整数解，
∴当正整数 时不符合题意，
当正整数 时， ，符合题意；
当正整数 时， ，符合题意；
∴只有 或8时，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法，以
及二元一次方程组解与系数的关系．
【变式训练1】当整数 ______时，关于x，y的方程组 有正整数解．
【答案】
【详解】解：
由②得： ③，
把③代入①得： 解得：
为正整数， 为整数，
或 或 或 或
此时 也为整数，
故答案为：【变式训练2】 为正整数，已知二元一次方程组有 有整数解，则
．
【答案】 或
【分析】利用加减消元法易得 、 的解，由 、 均为整数可解得 的值．
【详解】解：解方程组 ，可得 ，
方程组 有整数解，
或 ，
解得 或 ，
或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键．
【变式训练3】若 是整数，关于 、 的二元一次方程组 的解是整数，则满
足条件的所有 的值的和为______．
【答案】-12
【详解】解：解方程组 ，解得 ，
∵二元一次方程组 的解是整数，
∴m+3是10的因数，也是15的因数，
∴m+3= 5或m+3= 1，
∴m=2，-2，-4或-8，
∴满足条件的所有 的值的和为2-2-4-8=-12，
故答案为：-12．
【变式训练4】若关于x，y的方程组 的解是正整数，则整数a的值是 ．
【答案】2或-1
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到x和y关于a的解，根据方程组的解是
正整数，得到5-a与a+4都要能被3整除，即可得到答案．【详解】 ，
①-②得：3y=5-a，解得：y= ，
把y= 代入①得：
x+ =3，解得：x= ，
∵方程组的解为正整数，
∴5-a与a+4都要能被3整除，
∴a=2或-1，
故答案为2或-1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
类型二、整体法求解
例1.若x，y满足二元一次方程组 ，则 的值为______．
【答案】3
【详解】解： ，由①-②得： ，
即 ，∴ ．
故答案为：3
例2.已知关于x，y的方程组 的解为 ，则关于m，n的方程组
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于两个方程的形式相同、常数和对应项的系数都相同，所以两个方程组的解相
同．根据解相同，可得含 、 的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解： 方程组 的解为 ，
方程组 的解为 ．解方程组 得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据两个方程组的特点，得到解间关系是解
决本题的关键．另解决本题亦可先把解代入第一个方程组求出 、 的值，再把 、 的值
代入第二个方程组，求解关于 、 的方程组后得结论．
【变式训练1】已知关于x，y的二元一次方程组的解 满足 ，则m
的值是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】D
【解析】
用①-②，得： ，即
又∵ ，∴ ，解得：
故选：D．
【变式训练2】解方程组： ．
【答案】 ．
【分析】设 ， ，把原方程组转化为二元一次方程组，求解后，再解分式方程
即可．
【详解】解：设 ， ，
则原方程组化为： ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，即 ，解得： ，
经检验 是原方程组的解，
所以原方程组的解是 ．
【点睛】本题考查了换元法解方程组，解题关键是抓住方程组的特征，巧妙换元，熟练的
解二元一次方程组和分式方程，注意：分式方程要检验．
【变式训练3】已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于x，y
的方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
，
∴ ，∴ ，
故选D．
类型三、看错解问题
例．甲、乙两人求二元一次方程 的整数解，甲正确地求出一组解为 ，乙
把看成 ，求得一组解为 ，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可．【详解】解：由题意可得，
，解得 ，故选C．
【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的
解代入错方程．
【变式训练1】在解关于 ， 的方程组 时，小亮解出的结果为 老师看
了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的 抄错了，该方程组的正确结果 比
大5．”则 ， 的值分别为（ ）
A．4， B．4，2 C． ，2 D． ，
【答案】A
【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的
话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组
的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解．
【详解】解：由题意可得：-2a+10=2，
∴a=4，
∴4x+5y=2①，
又由老师的话可得x=y+5②，
②代入①可得：4y+20+5y=2，
解得：y=-2，代入②得x=3，
把x=3，y=-2代入bx-7y=8可得：3b+14=8，
解得：b=-2，
∴ ， 的值分别为4、-2，
故选A ．
【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元
一次方程组的解法是解题关键．
【变式训练2】甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的 ，得到
方程组的解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ，试计算
的值．
【答案】0
【分析】将 代入方程组的第二个方程，将 代入方程组的第一个方程，联立求
出a与b的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：把 代入 ，得
，
∴ ，
把 代入 ，得
，，
∴ ，
∵ ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两
方程成立的未知数的值．求出a、b值是解题的关键．
课后训练
1．方程组 的解为 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对方程组变形，然后根据二元一次方程组解的定义，利用整体思想求解．
【详解】解：方程组 整理为： ，
∵方程组 的解为 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是学会利用整体
的思想解决问题．
2．在解关于x，y的方程组 时，小明由于将方程①的“ ”，看成了“ ”，
因而得到的解为 ，则原方程组的解为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，把 代入方程 ，求出 的值，再把 的值代入
，进行计算，即可得出结果．
【详解】解：∵小明由于将方程①的“ ”，看成了“ ”，因而得到的解为 ，
∴方程 的解为 ，
∴把 代入方程 ，
可得： ，
由 ，可得： ，
把 代入 ，可得： ，
∴方程的解为： ，
∴把 代入 ，
可得： ，
由 代入 ，可得 ，
把 代入 ，可得： ，
∴方程的解为 ．
故选：C
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，解本题的关键在理解题意，
正确求出 的值．
3．若二元一次方程组 的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这
个等腰三角形的周长为7，则m的值为（ ）
A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2【答案】C
【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程求得m，并
结合构成三角形的条件判断即可．
【详解】
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
①若x为腰，y为底，则2x+y=7，
即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2，
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
②若y为腰，x为底，则2y+x=7，
即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4，
此时x=9，y=-1，不合题意；
③若x=y，即3m-3=3-m，
解得： ，此时腰为 ，底为 ，
但 + <4，不符合构成三角形的条件，
故 不合题意，
所以满足条件的m为2．
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形
的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构
成三角形的条件．
4．若方程组 有正整数解，则整数 的值为 ．
【答案】 ， ，0
【分析】先求得方程组的解（用a表示），再根据解的情况求解即可．
【详解】解： ，
由②得： ，
将③代入①中，得 ，解得 ，
将 代入③中，得 ，即 ，
解方程组得 ，
∵方程组有正整数解，且a为整数，
∴ 为正整数，且是4的因数，
∴整数 的值为 ， ，0，
故答案为： ， ，0．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤，能正确
得到关于a的表达式是解答的关键．
5．关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数，试确定整数a的值为
.
【答案】7或5
【详解】分析：首先用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正
整数，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数确定a的值．
详解：
①-②×3，得
2x=23-3a
解得x=
把x= 代入②得y=
∵关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数
∴ ＞0， ＞0
解得 即a=5、6、7
∵x、y为正整数∴a为5或7.故答案为5或7.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关
键是能根据题意得出关于a的方程．6．解答题：
解方程组 时，由于 ， 的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代
入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则
比较简单：
① ②得 ，所以 ③，
③ ①得 ，
解得 ，从而 ，
所以原方程组的解是 ．
请你运用上述方法解方程组： ．
【答案】
【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【详解】解： ，
得： ，
③，
∴③ ①得： ，
解得： ，
将 代入③得： ，
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消
元法．
7．解关于x，y的二元一次方程组 时，小刚因为把c抄错了，误解为 已
知该方程组正确的解为 ，求a、b的值．
【答案】
【分析】由题意，把 与 都代入方程 中，求解即可．【详解】解：把 与 都代入方程 中，
得方程组： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组
的方法是关键．
