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专题 10 几何图形中动角问题的三种考法
类型一、定值问题
例．如图1，把一副三角板拼在一起，边 与直线 重合，其中 ，
．此时易得 ．
(1)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针开始旋转，
在转动过程中，三角板 一直在 的内部，设三角尺 运动时间为 秒．
①当 时， ；
②求当 为何值时，使得 ；
(2)如图3，在（1）的条件下，若 平分 ， 平分 ．
①当 时， ；
②请问在三角板 的旋转过程中， 的度数是否会发生变化？如果发生变化，请
叙述理由；如果不发生变化，请求出 的度数．
【答案】(1)① ；②
(2)① ；②不变化，
【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；
②由 ，结合题意可得 ，从而得出 ，
，进而求出时间 ；
（2）①根据 平分 ， 平分 ，可得
，则可以将
整理为 ，进而得出答案；
②根据 平分 ， 平分 ，可得 ，
，进而推导出 ，继而
得出答案．
【详解】（1）解：①当 时， ，
∴ ，故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 秒，
∴当 为 秒时， ；
（2）①∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ；
② 的度数不发生变化，
理由： 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相
应角的数量关系是解本题的关键．【变式训练1】已知 与 互补，将 绕点O逆时针旋转．
(1)若
①如图1，当 时， ；
②将 绕点O逆时针旋转至 ，求 与 的度数；
(2)将 绕点O逆时针旋转 ，在旋转过程中， 的度数是
否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．
【答案】(1)①150；② ， 或 ，
(2)不改变，其度数为
【分析】（1）①先根据 求出 ，再根据
计算即可；
②设 ，分两种情况：(Ⅰ) 在 内部，(Ⅱ) 在 内部，分别
讨论即可；
（2）设 ，求出所有情况后判断即可．
【详解】（1）①∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为150；
②(Ⅰ)当 在 内部时（如图1），
设 ，则 ，
，
由 得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；(Ⅱ) 当 在 内部时（如图2），
设 ，则 ，
由 得， ，
解得 ，
，
，
∴ ；
（2）不改变，其度数为 ．
设 ，由条件知 ，
分四种情况：
ⅰ)当 在 内部时（如图3），
，
，
，
∴ ；
ⅱ) 当 在 内部时（如图4），，
，
∴ ；
ⅲ)当 在 内部时（如图5），
，
，
∴ ；
ⅳ)当 在 外部时（如图6），
；
综上所述，在旋转过程中， 的度数不改变，其度数为 ．
【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角．【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点 放置于直线 上，直角边
与直线 重合，其中 ，然后将三角板 绕点 顺时针旋转，设
，从点 引射线 和 ， 平分 ， ．
(1)如图2，填空：当 时， ______ ．
(2)如图2，当 时，求 的度数（用含 的代数式表示）；
(3)如图3，当 时，请判断 的值是否为定值，若为定值，求
出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)30
(2)
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，可得 ，再结合角平分线的定义即可获得答案；
（2）当 时，由题意可得 ，结合角平分线的定义易得
，再由 ， 可知 ，
然后根据 即可获得答案；
（3）当 时，由题意可得 ， ，结合角平分线
的定义易得 ，再由 ， ，可推导
，然后根据 ，进而确定
．
【详解】（1）解：当 时，由题意可知 ， 是平角，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ．
故答案为：30；
（2）当 时，如图2，∵ 是平角， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）当 时（如图3）， 为定值．
理由如下：
∵ 是平角， ， ，
∴ ，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为定值，定值为 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合
图形分析清楚各角之间的关系．
类型二、数量关系问题
例．已知 ，保持 不动， 的 边与 边重合，然后将
绕点O按顺时针方向任意转动一个角度 ，（本题中研究的其它角的
度数均小于 ）(1)[特例分析]如图1，若 ，则 _______°，
_______°
(2)[一般化研究]如图2，若 ，随着 的变化，探索 与 的数量关系，
并说明理由．
(3)[继续一般化]随着 的变化，直接写出 与 的数量关系、（结果用含
的代数式表示）．
【答案】(1)30；180
(2) ，理由见解析
(3)当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时，
；当 时， ．
【分析】（1）由转动角度 可知， ，进而利用已知角的和差关系可求
的度数；
（2）分 在 内部， 在 外部时， 在 外部时， 在
外部时， 在 外部时， 在 外部时，作出图形进行讨论即可；
（3）根据在转动的过程中 的度数，分五种情况，当 时；当
时；当 时；当 时；当
时，作出图形进行讨论即可．
【详解】（1）由转动角度 可知， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
故答案为：30；180．
（2） ，理由如下：
如图， 在 内部， 在 外部时，∵ ；
∴ ，
如图， 在 外部时， 在 外部时，
如图， 在 外部时， 在 内部时，
∵ ；
∴ ，
综上， ；
（3）A、O、D线
B、O、C线
①当 时， ，则 ，
∴ ；②当 时， ，
∴
③当 时， ，∴
④当 时， ，
∴⑤当 时，
，
∴
综上，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
【点睛】本题考查了角的有关计算，根据题目要求作出图形，利用角度的和差关系是解决
问题的关键问题．
【变式训练1】已知 ， 平分 ．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)将 绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置， 和 有怎样的数量关
系？请说明理由；
(3)将 绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说
明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)不成立，理由见解析
【分析】（1）先求出 的度数，根据 ，求出 ，角平分线
得到 ，再利用 ，即可得解；（2）设 ，易得： ，求出
，即可得出结论；
（3）设 ，则 ， ，求出
，进而得到 和 的数量关系，
即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ；理由如下：
设 ，则 ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）不成立，理由如下：
设 ，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴（2）中的关系不成立．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握角
平分线平分角，是解题的关键．
【变式训练2】如图， ， ，射线 平分 ，射线 平分
（本题中的角均为大于 且小于 的角）．(1)如图，当 ， 重合时，求 的度数；
(2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是
否为定值？若是定值，求出 的值，若不是，请说明理由．
(3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有
怎样的数量关系？
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
(3)当 时， ；当 时， ；当
时，
【分析】(1)根据角平分线的定义知 、 ，再根据
可得答案；
(2)由题意知 、 ，根据
角平分线的定义得 、 ，代入计算可
得答案；
(3)分情况计算，利用n表示出 ， ，再根据角之间的关系即可求解．
【详解】（1）解： ， ，射线 平分 ，射线 平分
，
、 ，
；
（2）解： 的值为定值，
理由如下：如图：从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度
， ，点C、D在直
线 的右侧，
射线 平分 ，射线 平分 ，
， ，
，
的值为定值；
（3）解：当 时，如图2：由(2)知， ；
当 时，如图3所示，，
，
射线 平分 ，射线 平分 ，
， ，
；
当 时，如图4所示，
，
，
射线 平分 ，射线 平分 ，
， ，
；
综上， 与 具有的数量关系为：当 时， ；当
时， ；当 时， ．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分
类讨论的思想是解决本题的关键．类型三、求运动时间问题
例1．已知 ，射线 均为 内的射线．
(1)如图1，若 为 的三等分线，则 ＝ ；
(2)如图2，若 ， 平分 平分 ，求 的大小
(3)射线 以每秒 的速度顺时针方向旋转，射线 以每秒 的速度顺时针方向旋转，
射线 始终平分 ，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达 的
位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，
.
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）根据三等分角的定义求解即可；
（2）设 ，根据角平分线性质表示出 ， ，根据
求解即可；
（3）根据运动时间分类讨论，表示出 ，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ 为 的三等分线， ，
∴ ，
；
故答案为： ．
（2）解：设 ，则 ， ， ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ， ，
．
（3）解：如图所示，当 时， ， ，，
∵射线 平分 ，
∴ ，
，
，
解得， ；
如图所示，当 时， ， ， ，
∵射线 平分 ，
∴ ，
，
，
解得， （舍去）；
如图所示，当 时， ， ， ，
∵射线 平分 ，
∴ ，
，
，
解得，如图所示，当 时， ， ， ，
∵射线 平分 ，
∴ ，
，
，
解得，
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，解题关键是熟练运用角平分线的性质表示出
角的度数，利用角的和差关系求解．
例2．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角
等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线 ， 在 的内部，且 ，则 是 的内半
角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1， ， ，若 是 的内半角，则 ；
(2)如图2，已知 ，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 （
）至 ．若 是 的内半角，求 的值；(3)把一块含有 角的三角板 按图3方式放置．使 边与 边重合， 边与
边重合．如图4，将三角板 绕顶点 以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时
间为 秒，当射线 、 、 、 构成内半角时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的值为 或30或90或
【分析】（1）根据题意算出 的度数，利用 即可算
出 的度数；
（2）根据旋转性质可推出 和 ，然后可用含有 的
式子表示 和 的度数，根据 是 的内半角，即可求出 的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应 值即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的内半角， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：由旋转性质可知： ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的内半角，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ 的值为 ；
（3）解：①如图4所示，此时 是 的内半角，
由旋转性质可知 ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的内半角，
∴ ，即 ，
解得 ；
②如图所示，此时 是 的半角，由旋转性质可得 ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的内半角，
∴ ，即 ，
解得 ；
③如图所示，此时 是 的内半角，
由旋转性质可知 ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的内半角，
∴ ，即 ，
解得 ；
④如图所示，此时 是 的内半角，
由旋转性质可知 ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的内半角，
∴ ，即 ，
解得 ．
综上所述，当射线 、 、 、 构成内半角时， 的值为 或30或90或 ．
【点睛】本题主要考查了平面内角的相关计算，解题关键是理解内半角并根据旋转情况画
出图形．【变式训练1】已知直线 过点O， ， 是 的平分线．
(1)操作发现：①如图 1，若 ，则 °．
②如图1，若 ，则 °．
③如图1，若 ，则 ．（用含α的代数式表示）
(2)操作探究：将图 1 中的 绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中
的结论是否成立？试说明理由．
(3)如图3，已知 ，边 、边 分别绕着点O以每秒 、每秒 的速度顺
时针旋转（当其中一边与 重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，
【答案】(1)① ；② ；③
(2)成立；理由见详解
(3) 或
【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出 ，
利用角的差可得结论；
（2）由 ，可得 ，则 ，根据
平分 ，可得 ；所以
．
（3）设t秒后 ，可得 或 ，即可解得
或 ；
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵OE平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
③ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
∴ ．
故答案为 ．
（2）成立，理由如下：
设 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
∴ ．
∴③中所求出的结论还成立．
（3）设t秒后 ，
根据题意得：可得 或 ，
解得 或 ，
经检验， 或 均符合题意，
答：运动 或 秒后， ；
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），解决本题的关键是
由图形得到角度之间的关系．
【变式训练2】平面上顺时针排列射线 ， ， ，射线 分别平分 ， （题目中所出现的角均小于 ）．
(1)如图1，若 ，则 ___________， ___________；
(2)如图2，探究 与 的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ，将 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转，同时
将 绕点O以每秒 逆时针旋转，若旋转时间为t秒 ，当 时，
直接写出t的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)当 时， 或
【分析】（1）先根据 ，射线 平分 求出
，进而得到 ，即可求出 ，再根据
射线 平分 求出 ，最后计算 即可；
（2）先由 ，射线 平分 求出 ，再由射线
分别平分 求出 ，最后根据 计算即可．
（3）先根据题意得到 ， ，进而求出旋转前
，再由“将 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转”得到
恒定，然后分类讨论即可．
【详解】（1）∵ ，射线 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵射线 平分 ，∴ ，
∴ ，
故答案为 ， ；
（2）∵ ，射线 平分 ，
∴ ，
∵射线 分别平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转，
∴ 度数恒定，即 恒定，
在 和 相遇前，
∵ ，射线 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ；
在 和 相遇后，
此时 ，
∵射线 平分 ，∴
∵ ， ，
∴ ，
即 ，解得 ；即当 时， 或 ．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，难度较大，需要有良好的空间想象能力．因
为题干要求题目中所出现的角均小于 ，所以第三问无需考虑 后再次出现的情况．
课后训练
1．已知 ，以射线 为起始边，按顺时针方向依次作射线 、 ，使得
，设 ， .
(1)如图1，当 时，若 ，求 的度数；
(2)备用图①，当 时，试探索 与 的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当 时，分别在 内部和 内部作射线 ， ，使
， ，求 的度数.
【答案】(1) ；
(2) ；理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据图形可知 ，继而根据 ，
即可求解；
（2）根据图形得出 ，计算 ，即可得
出结论；
（3）分两种情况讨论，①当 时，射线 与 重合，射线 与 互为反向延
长线，②当 时，如图4，射线 、 在 的外部，结合图形分析即
可求解．
【详解】（1）如图1， ，
在 内部，
， ，
，
，
；
（2） ；理由如下：如图2，，
射线 、 分别在 内、外部，
，
，
，
；
（3）①当 时，射线 与 重合，射线 与 互为反向延长线，
则 ， ，如图3，
， ，
，
，
；
②当 时，如图4，射线 、 在 的外部，如图4，
则 ，
，
， ，，
，
，
.
综合①②得 ．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
2．点O为直线 上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得 ．
(1)如图1，过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得
平分 ，则 的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，求出 与
的数量关系；
(3)过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分
，若 ，求出 的度数．
【答案】(1)45
(2)
(3) 为 或
【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可．
（2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可．
（3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可．
【详解】（1） 平分 ， 平分 ，
，（2）
平分 ，
，
根据图形有： ，
，
，
，
，
（3）当H在K左侧时
平分
平分
当K在H左侧时平分
平分
综上所述： 为 或
【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置．
3．已知 ， 是过点O的射线，射线 分别平分 和
．
(1)如图1，若 是 的三等分线，则 _________ ；
(2)如图2，在 内，若 ，则 _________；（用含 的代数式表
示）
(3)如图3，若 ，将 绕着点O逆时针旋转到 的外部
，请直接写出此时 的度数．
【答案】(1)100
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ，， ，则 ；
（2） ， ， ，
，则 ；
（3）反向延长 、 得到 、 ，然后分类讨论：当 在 内部，当 、
在 内部，当 在 内部三种情况分别求解即可．
【详解】（1）解： 、 是 的三等分线，
，
射线 、 分别平分 和 ，
， ，
；
（2） 射线 、 分别平分 和 ，
， ，
，
， ，
，
，
；
故答案为： ；
（3）反向延长 、 得到 、 ，如图，
当 在 内部，
设 ，则 ，， ，
， ，
，
；
当 、 在 内部，
设 ，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 在 内部，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；综上： 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了角度的计算，理清角的关系是解题的关键．
4．问题情境： 是一条射线， 分别是 和 的角平分线．
当 是直角， ，射线 在 的内部时，我们可以发现
的度数是_____；
当 是直角， ，射线 在 的内部时， 的
度数是____°．
探索发现： 分别是 和 的角平分线，当射线 在 的外面时．
若 是直角， ，求出 的大小；
若 是直角， ，写出 的度数；数学思考： 分别是 和 的角平分线，若 的度数是 ，
，直接写出 的度数．（用含 的代数式表示）
【答案】问题情境： ； ；探索发现： ； ；数学思考：
【分析】问题情境： 根据 ， 分别是 和 的角平分线，
计算即可得到答案； 根据 ， 分别是
和 的角平分线， 计算即可得到答案；
探索发现： 根据 ， ， 分别是 和 的角平
分线， 计算即可得到答案； 根据 ，
， 分别是 和 的角平分线，
计算即可得到答案；
数学思考：分两种情况讨论：当 在 内部时；当 在 外部时，计算得出
答案即可．
【详解】解：问题情境： ， 分别是 和 的角平分
线，
，
故答案为： ；
， 分别是 和 的角平分线，
，
故答案为： ；
探索发现： ， 分别是 和 的角平分
线，
，
为 ；
， ， 分别是 和 的角平
分线，
，
为 ；
数学思考：分两种情况
当 在 内部时，如图所示，，
的度数是 ， ，
，
当 在 外部时，如图所示，
，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线
的性质，分清所求角的构成．
5．已知 ，过顶点O作射线 ，且 平分 ．
(1)如图1，若 平分 ，则 的度数为___________；
(2)若 ，求 的度数；(3)嘉嘉说：“如图2，若 在 内， 平分 ，则 的度数不变．”请
你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
(4)若 在 外，设 平分 ，当 时，直接写出
的度数．
【答案】(1)
(2) 或
(3)正确，见解析
(4) 或
【分析】（1）根据角平分线的定义先求 的度数，再求 的度数即可；
（2）先求 ，再求 ，然后分两种情况根据角平分线的定义即可；
（3）由角平分线的定义得 ，然后根据
求解即可；
（4）分3种情况解答：①当 时；②当 时， 在 的下方；③
当 时， 在 的上方．
【详解】（1）∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ．
当 在 内时， ．
∵ 平分 ，
∴ ；
当 在 外时， ．
∵ 平分 ，
∴ ；
（3）正确，理由：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，∴
；
（4）①当 时，如图，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ；
②当 时， 在 的下方，如图，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ；
③当 时， 在 的上方，如图，∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解（2）
（4）的关键．
6．在 内部作射线 ， ， 在 的右侧，且 ．
(1)如图1，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 ，猜想 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请过点 作射线 ，使 平分 ，再作 的角平分线 ．若
， ，请直接写出 的度数（用含 的式子表示）．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ， ，再利用角
的和差计算即可；
（2）根据角的和差与角平分线的定义可得结论；
（3）分情况：当 在 外部时和当 在 内部时，分别画出图形，再利用角
的和差计算．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
；
（2）根据角的和差可得， ，
，
；
（3）①当 在 外部时，如图，
设 ，则 ， ，
平分 ，
，
平分 ，
，即 ，即 ，
；
②当 在 内部时，如图，
设 ，则 ， ，
平分 ，
，
平分 ，，即 ，即 ，
；
综上， 或 ．
【点睛】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方
是解（3）小题漏掉其中的一种情况．
7．（1）【特例感知】如图1，已知线段 ， ，点C和点D分别是 ，
的中点．若 ，则 ________cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内
部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若 ， ，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若 ， ，
， ，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结
果）．【答案】（1）24；
（2）①90°；② ．理由见详解；
（3） ．
【分析】（1）欲求 ，需求 ．已知 ，需求 ．点C和点D分别
是 ， 的中点，得 ， ，那么 ，
进而解决此题．
（2）①欲求 ，需求 ．已知 ，需求 ．
由 和 分别平分 和 ，得 ， ，进而解
决此题．②与①同理可证．
（3）由 ， 可得， ，
，所以 ，根据
可得结论．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵点C和点D分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：24．
（2）①∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ， ．
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
② ．
理由如下：∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ， ．
∴ ．
∴
．
（3）∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的
定义是解决本题的关键．
