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专题 10 圆的最值模型之瓜豆模型
一、模型说明
问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹
是？
P
Q
A M O
解析：Q点轨迹是一个圆
理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，
任意时刻，均有△AMQ∽△AOP， ．
问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
M
Q
P
A O
解析：Q点轨迹是一个圆
理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
模型总结：
条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
二、例题精讲
例1．如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连
接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】作 ，使得 ， ，则 ， ， ，由
，推出 ，即 （定长），由点 是定点， 是定长，点 在半径
为1的 上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
即 （定长），
点 是定点， 是定长，
点 在半径为1的 上，
，的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
例2．如图，已知 ，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若 且 ，
连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，延长PB到D使得PB=DB，先证明△APD是等边三角形，从而推出ABP=90°，
∠BAP=30°，以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，
解直角三角形得到 ，从而证明△AMB∽△AOP，得到 ，则 ，则点B
在以M为圆心，以 为半径的圆上，当M、B、C三点共线时，即点B在点 的位置时，BC有最小值，
据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB，
∵ ，
∴ ，
又∵∠APB=60°，
∴△APD是等边三角形，
∵B为PD的中点，
∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，
∴∠BAP=30°，
以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，∴ ，
同理可得 ，
∵∠OAM=30°=∠PAB，
∴∠BAM=∠PAO，
又∵ ，
∴△AMB∽△AOP，
∴ ，
∵点P到点O的距离为2，即OP=2，
∴ ，
∴点B在以M为圆心，以 为半径的圆上，
连接CM交圆M（半径为 ）于 ，
∴当M、B、C三点共线时，即点B在点 的位置时，BC有最小值，
∵AC=2AO=8，
∴AO=4，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BC的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，
圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点B在以M为圆心，半径
为 的圆上运动．
例3．如图， 中， ， 中， ，直线 与 交于 ，当
绕点 任意旋转的过程中， 到直线 距离的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点 的运动轨迹，再根据角度以及勾股定理求解最大值．
【详解】解：如图旋转，连接以 为直径作 ，以 为半径作
过点 作 的切线交 于点
在 和 中
∴点 共圆，点 共圆，
点 在 上运动
， 的半径为
∴
又∵ ，
∴当点 运动到点 时，到直线 距离的最大，
过点 作 ，过点 作 ， ，∴四边形 是矩形，
是圆心，
设
，
，解得： （舍去）
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆动点的最值问题。熟练运用四点共圆性质以及勾股定理解直角三角形是解决本题
的关键．
例4．如图，在半径为4的 中，弦 ，B是 上的一动点（不与点A重合），D是 的中点，
M为 的中点，则 的最大值为 ．【答案】 /
【分析】连接 ， ，取 的中点E，连接 ，根据三角形中位线的性质得到 ，得到
点D在以E为圆心，以2为半径的圆上运动，连接 ，取 的中点G，连接 ， ，同理得到点M
在以点G为圆心，以1为半径的圆上运动，进而得到当点A，G，M三点共线时， 取得最大值，即
的长度，取线段 的中点F，连接 ，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接 ， ，取 的中点E，连接
∵D是 的中点，E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴点D在以E为圆心，以2为半径的圆上运动，
连接 ，取 的中点G，连接 ，
∵M为 的中点，G是 的中点，∴
∴点M在以点G为圆心，以1为半径的圆上运动，
∴
∴如图所示，当点A，G，M三点共线时， 取得最大值，即 的长度，取线段 的中点F，连
接 ，
∵ 的半径为4
∴
∵
∵ ，
∴
∴
∵点F是 的中点，点G是 的中点，
∴ ，且 ，∴
∵ ，∴
∴在 中， ．
∴ ，∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．【点睛】此题考查了三角形中位线性质，圆的基本性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知
识点．
三、课后训练
1．如图，A是 上任意一点，点C在 外，已知 是等边三角形，则 的
面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，证明 得到 ，分析
出点D的运动轨迹是以点M为圆心， 长为半径的圆，在求出点D到线段 的最大距离，即可求出面
积的最大值．
【详解】解：如图，以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心， 长为半径的圆，要使 的面积最大，则求出点D到线段
的最大距离，
∵ 是边长为4的等边三角形，
∴点M到 的距离为 ，
∴点D到 的最大距离为 ，
∴ 的面积最大值是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，
再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
2．如图，在Rt ABC中， ， ，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为
△
AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
【答案】3
【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，
∴E在以BA中点为圆心， 长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与
圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．
【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD＝2，∴ ．
由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，
∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心， 长为半径的圆上运动，
CE的最大值即C到BA中点的距离加上 长．
∵ ， ，BC＝2，∴C到BA中点的距离即 ，
又∵ ，∴CE的最大值即 ．故答案为3．
【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键．
3．如图，在 中， ， ， ，过点 作 的平行线 ， 为直线 上一动点，
为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为 ．
【答案】2
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的
上运动，连接MA交 于E′，此时AE′的值最小．
【详解】解：如图，连接CE．∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧
如图，点E在以M为圆心，MB为半径的 上运动，过点 作
∴ 中优弧 度数为 =240°，则劣弧 度数为120°
∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，
∵∠BCM=30°，BC= ，
∴MB=MC=8，
∴连接MA交 于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，
∴∠ACM=90°，
∴MA= = ，∴AE的最小值为= ．
故答案为：2
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等
知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
4．如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点
向点 运动时，点 移动的路径长为 ．
【答案】
【分析】连接OB，OA，过O作OD⊥AB，根据垂径定理可得AD=BD= AB= ，根据余弦的定义、特殊角
的三角函数值及圆周角定理可得∠P= ∠AOB=60°，连接IA，IB，根据角平分线的定义得到∠IAB=
∠PAB，∠IBA= ∠PBA，根据三角形的内角和得到∠AIB=180°− (∠PAB+∠PBA)=120°，设A，B，I三点所在
的圆的圆心为O'，连接 ， ，得到 =120°，根据等腰三角形的性质得到 ，
连接 ，可得 ，解直角三角形可求出 的长，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】连接 ， ，过 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴sin∠AOD= ，
∴ ，
，，
∴ ，
连接 ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为优弧 上动点，
∴ 始终等于 ，
∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 移动的路径长 ．故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、解直角三角形及弧长公式，垂直于弦点直径平分弦，且平分这
条弦所对点两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对点圆心角点一半；
熟练掌握相关定理并熟记特殊角的三角函数值及弧长公式是解题关键．
5．如图， 是 的直径，C为 上一点，且 ，P为圆上一动点，M为 的中点，连接 ．
若 的半径为2，则 长的最大值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据垂径定理，得到 ，得到点M在以 为直径的 ,结合 的半径为
2， 的半径为1，当点C、E、M三点共线时， 最长，利用勾股定理计算即可．
【详解】连接 ，
∵ 是 的直径，M为 的中点，
∴ ，
∴点M在以 为直径的 ,
∵ 的半径为2，
∴ 的半径为1，
当点C、E、M三点共线时， 最长，
连接 ，延长交 于点N，
故当点M与点N重合时， 最长，
∵ ，
∴ ，故 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，圆的性质是解题的关键．
6．如图 是半圆O的直径，点D在半圆O上， ， ，C是 上的一动点，连接 ，过点
D作 于点H，连接 ，在点C移动的过程中， 的最小值是 ．
【答案】
【分析】如图，取 的中点M，以点M为圆心，半径为1画圆，连接 ，由题意可知点H
在以M为圆心， 为直径的 上，则当M、H、B三点共线时， 的值最小；
【详解】解：如图，取 的中点M，以点M为圆心，半径为1画圆，连接 ，
点H在以M为圆心， 为半径的 上，
是直径，在 中，
在 中，
当M、H、B共线时， 的值最小，
故答案为：
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．如图，在 中， ， ， ，点 是 上的一个动点，以 为直径作
圆 ，连接 交圆 于点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，取 的中点 ，作直径为 的 ，连接 ， ，首先利用勾股定理解得
，再根据圆周角定理得出 ，进而可得点 在 上；当点 共线时，
取最小值，据此即可获得答案．
【详解】解：连接 ，取 的中点 ，作直径为 的 ，连接 ， ，如下图，∵ ，∴ ，即 半径为2，
∵ ， ，∴ ，
∵ 是 直径，∴ ，∴点 在 上，
在点 的运动过程中， ，且点 共线时等号成立，
∴当点 共线时， 取最小值，此时 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，，正确作出辅助线是
解题关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将 ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形
为 A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． △
△
(1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
(2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
(3)在旋转过程中，若 DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．
△【答案】(1)4 ；(2)tan∠A′AD＝3或 ；(3)
【分析】（1）由四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4得CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，当A′落在
线段BC上时，由旋转得A′D＝AD＝4，则A′C ，所以A′B＝4 ；（2）分两种情况，一
是点B′与点C在直线BD的同侧，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°，先证明点B、A′、D在同一条直线
上，求得BD 5，由 sin∠ADB， cos∠ADB，求出A′E的长和ED
的长，再求出AE的长，再由tan∠A′AD 求出此时tan∠A′AD的值；二是点B′与点C在直线BD的异
侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°，先求出A′E的长和ED的长，再求出AE的长，再由
tan∠A′AD 求出此时tan∠A′AD的值；
（3）在AD上截取DF ，则 ，作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DG DH，连接FG、
CG，则 ，由A′D＝AD可知H为AA′的中点，DH为 DAA′的中线，点G为 DAA′的重心，再证明
△ △
DFG∽△DAH，则∠FGD＝∠AHD＝90°，取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝
△
OP＝OD DF ，可知点G在以点O为圆心、半径为 的圆上运动，可由CG+OG≥OC推导出
CG≥CP，则当CG＝CP时，CG的长最小，求出CP的长即可．
【详解】（1）解：（1）如图1，∵四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，当A′落在线段BC上时，由旋转得A′D＝AD＝4，
∴A′C ，
∴A′B＝BC﹣A′C＝4 ，
∴A′B的长为4 ．
（2）（2）如图2，点B′与点C在直线BD的同侧，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°，
由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，
∵∠BA′B'＝90°，
∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°，
∴点B、A′、D在同一条直线上，
∵∠A′ED＝∠BAD＝90°，
∴BD 5，
∴ sin∠ADB， cos∠ADB，
∴A′E A′D 4 ，ED A′D 4 ，
∴AE＝AD﹣ED＝4 ，
∴tan∠A′AD 3；
如图3，点B′与点C在直线BD的异侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°，由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，
∵∠BA′B'＝90°，
∴∠B′A′D＝∠BA′B'，
∴A′D与A′B重合，
∴点B、A′、D在同一条直线上，
∵∠EDA′＝∠ADB，
∴ sin∠EDA′＝sin∠ADB ， cos∠EDA′＝cos∠ADB ，
∴A′E A′D ，ED A′D ，
∴AE＝AD+ED＝4 ，
∴tan∠A′AD ，
综上所述，tan∠A′AD＝3或 ．
（3）（3）如图4，在AD上截取DF ，则 ，
作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DG DH，连接FG、CG，则 ，∵A′D＝AD，
∴H为AA′的中点，
∴DH为 DAA′的中线，
∴点G为△ DAA′的重心，
△
∵ ，∠FDG＝∠ADH，
∴△DFG∽△DAH，
∴∠FGD＝∠AHD＝90°，
取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝OP＝OD DF ，
∴点G在以点O为圆心、半径为 的圆上运动，
∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP，
∴CG CP ，∴CG≥CP，
∴当CG＝CP时，CG的长最小，
∵OC ，
∴CP＝OC﹣OP ，
∴CG的最小值是 ，故答案为： ．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、
解直角三角形、“两点之间，线段最短”、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度
较大，属于考试压轴题．
9．在菱形 中， ， 是对角线 上的一点，连接 ．
（1）当 在 的中垂线上时，把射线 绕点 顺时针旋转 后交 于 ，连接 ．如图①，若
，求 的长．
（2）在（1）的条件下，连接 ，把 绕点 顺时针旋转得到 如图②，连接 ，点 为
的中点，连接 ，求 的最大值．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）通过菱形性质证明 ，在 中，利用勾股定理求出AE的长度，再 中，
可以得到 ，在等腰 中，利用角度推导出 ，代入数值求解即可．
（2）判断出点Ｈ的运动轨迹，从而知道点Ｎ的运动轨迹，根据三角形三边关系，即可得到AN的最大值．
【详解】（1）解：过点F作 于点M，如下图：
∵四边形ABCD是菱形,且∴
∵ 为菱形对角线
∴ ,
又∵ 在 的中垂线上
∴
∴
∴ ,
在 中，
∴
设： ，则
∵
即： ，解得：
∴
∵ ，
∴
∴ ，∴
又∵
∴ ，∴ ，∴ ，∴
（2）连接AC,延长AE交BC于点M，则有 ,点H的运动轨迹是以点B为圆心，BH为半径的圆，
因为点C为固定点，点Ｎ为CH的中点，所以点N的运动轨迹是以点M为圆心，NM为半径的圆，如下图：此时：在 在， ,当 A、M、N三点共线时，AN最大
则：在 中，
∵ ，∴ ，∴
又∵M点是BC的中点，N是CH的中点
∴ ，∴
【点睛】本题看考查勾股定理，等腰三角形性质．瓜豆模型等相关知识点，根据题意列出相关等量关系是
解题重点．
10．如图1，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径作圆．点 为
上的动点，连接 ，作 ，使点 落在直线 的上方，且满足 ，连接 ，
．
（1）求 的度数，并证明 ；
（2）如图2，若点 在 上时，连接 ，求 的长；
（3）点 在运动过程中， 是否有最大值或最小值？若有，请求出当 取得最大值或最小值时，
的度数；若没有，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）有．① 当 取得最大值时， ；②当 取得最小值时， ．
【分析】（1）利用锐角三角函数求出∠BAC，先判断出 ，再判断出 ，即可
得出结论；
（2）先求出∠P AC，进而得出∠P AB＝90°，再利用相似求出AP ，即可得出结论；
（3）先求出AP ＝1是定值，判断出点P 在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点 在 的延长线上
时和当点 在线段 上时，两种情况讨论即可．
【详解】（1）在 中， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
在 中， ， ，由勾股定理得 ；
（3）有．由（1）知， ，
，
，
是定值，
点 是在以点 为圆心，半径为 的圆上，
①如图所示，当点 在 的延长线上时， 取得最大值，
．
， ． 当 取得最大值时， ；
②如图所示，当点 在线段 上时， 取得最小值，
， ，
当 取得最小值时， ．
