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专题 10 圆的最值模型之瓜豆模型
一、模型说明
问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹
是？
P
Q
A M O
解析：Q点轨迹是一个圆
理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，
任意时刻，均有△AMQ∽△AOP， ．
问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
M
Q
P
A O
解析：Q点轨迹是一个圆
理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
模型总结：
条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
二、例题精讲
例1．如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连
接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为 ．
例2．如图，已知 ，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若 且 ，
连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
例3．如图， 中， ， 中， ，直线 与 交于 ，当
绕点 任意旋转的过程中， 到直线 距离的最大值是 ．
例4．如图，在半径为4的 中，弦 ，B是 上的一动点（不与点A重合），D是 的中点，
M为 的中点，则 的最大值为 ．三、课后训练
1．如图，A是 上任意一点，点C在 外，已知 是等边三角形，则 的
面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
2．如图，在Rt ABC中， ， ，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为
△
AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
3．如图，在 中， ， ， ，过点 作 的平行线 ， 为直线 上一动点，
为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为 ．4．如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点
向点 运动时，点 移动的路径长为 ．
5．如图， 是 的直径，C为 上一点，且 ，P为圆上一动点，M为 的中点，连接 ．
若 的半径为2，则 长的最大值是 ．
6．如图 是半圆O的直径，点D在半圆O上， ， ，C是 上的一动点，连接 ，过点
D作 于点H，连接 ，在点C移动的过程中， 的最小值是 ．
7．如图，在 中， ， ， ，点 是 上的一个动点，以 为直径作
圆 ，连接 交圆 于点 ，则 的最小值为 ．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将 ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形
为 A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． △
△
(1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
(2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
(3)在旋转过程中，若 DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．
△
9．在菱形 中， ， 是对角线 上的一点，连接 ．
（1）当 在 的中垂线上时，把射线 绕点 顺时针旋转 后交 于 ，连接 ．如图①，若
，求 的长．
（2）在（1）的条件下，连接 ，把 绕点 顺时针旋转得到 如图②，连接 ，点 为
的中点，连接 ，求 的最大值．10．如图1，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径作圆．点 为
上的动点，连接 ，作 ，使点 落在直线 的上方，且满足 ，连接 ，
．
（1）求 的度数，并证明 ；
（2）如图2，若点 在 上时，连接 ，求 的长；
