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第四章 因式分解压轴题
1．若 ，则关于 的说法正确的是（ ）．
A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数
C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定
2．如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 ，那么称这个四位
数为“和方数”．例如：四位数2613，因为 ，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为
，所以2514不是“和方数”．若 是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是
“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若
能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ．
3．如果一个三位正整数 可以表示为 的形式，其中 为正整数，则称 为“幸运数”．例如：
三位数 ， ，∴ 是“幸运数”；又如：三位数 ，
，∴ 不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为 ；
若 与 都是“幸运数”，且 ，则所有满足条件的 的和为 ．
4．一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十
位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个
新数 ，记 ．例如：对称数 时， ，则 ．已知
s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中
， ， ，a，b，x，y均为整数．若 能被8整除，则 ；同时，若 、
还满足 ，则 所有可能值的和为 ．
5．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅
洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如 ， 等．下列几个命题中：
（1） 是“回文数”；
（2）所有两位数中，有 个“回文数”；所有三位数中，有 个“回文数”；
（3）任意四位数的“回文数”是 的倍数；
（4）如果一个“回文数” 是另外一个正整数 的平方，则称 为“平方回数”．若 是一个千位数字为
1的四位数的“回文数”，若 ，且s是一个“平方回数”，则 ．
其中，真命题有 ．（填序号）
6．定义：任意两个数a，b，按规则 运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和
积数”．
(1)若 ， ，求a，b的“和积数”c；
(2)若 ， ，求a，b的“和积数”c；
(3)已知 ，且a，b的“和积数” ，求b（用含x的式子表示）并计算 的最小
值．
7．若一个四位数 的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的 倍，则将这个四位数
称作“星耀重外数”．例如： ，∵ ，∴ 是“星耀重外数”；又如
，∵ ，∴ 不是“星耀重外数”．
(1)判断 ， 是否是“星耀重外数”，并说明理由；
(2)一个“星耀重外数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，且满足
，记 ，当 是整数时，求出所有满足条件的 ．
8．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数 ，以它的百位数字作为十位，个位
数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为
“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数 ，个位数字和十位数字组成两位数 ，并记
．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！例如：6237是“平方差数”，因为 ，所以6237是“平方差数”；
此时 ．
又如：5135不是“平方差数”，因为 ，所以5135不是“平方差数”．
(1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；
(2)若 是“平方差数”，且 比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差
数”M．
9．一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在
M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”．
例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠加数”为4715；
M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26没有“叠加数”．
(1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由；
(2)两位数M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均为整数）有“叠加数”，且12a－M－N能被13整除，求
所有满足条件的两位数M的“叠加数”．
10．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如： ．
(1)分解因式：
(2)若a， 都是正整数且满足 ，求 的值；
(3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值．
11．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式 ；
解法二：原式 ．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将 因式分解；
（3）若 ， ，请用分组分解法先将 因式分解，再求值．
12．如图①，在平面直角坐标系中，点A，点B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在第二象限，且
， ，点 B 的坐标为 ，点 C的纵坐标为n，满足 ．
(1)求点A的坐标；
(2)如图②，点D是 的中点，点E，F分别是边 ， 上的动点，且 ，在点E，F移动过程
中，四边形的面积是否为定值？请说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得 是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出
满足条件的点P的坐标.
13．在x轴正半轴上有一定点A， ．
(1)若多项式 恰好是某个整式的平方，那么点A的坐标为__________；
(2)如图1，点P为第三象限角平分线上一动点，连接 ，将射线 绕点A逆时针旋转 交y轴于点Q，
连接 ，在点P运动的过程中，当 时，求 的度数；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(3)如图2，已知点B、点C分别为y轴正半轴，x轴正半轴上的点，C在A右侧，在线段 上取点
， ，且 ，过点A做 轴，且 ，求 的长．（结果用m，n表
示）
14．通过课堂的学习知道，我们把多项式 及 叫做完全平方式，如果一个多项式不
是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使
整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一
些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ；
再例如求代数式 的最小值， ．
可知当 时， 有最小值，最小值是 ，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式 的最大值为： ；
(2)若 与 ，判断 的大小关系，并说明理由；
(3)已知： ， ，求代数式 的值．
15．阅读材料，解决问题
【材料 】教材中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，如果关于某
一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方
式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式 ．
原式 ．
【材料 】因式分解：
解：把 看成一个整体，令 ，则
原式 ，再将 重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料 ，利用配方法进行因式分解： ；
(2)根据材料 ，利用“整体思想”进行因式分解： ；
(3)当 ， ， 分别为 的三边时，且满足 时，判断 的形状并说
明理由．
16．我们定义：一个整数能表示成 （a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为 ，所以5是“完美数”．
[解决问题]
(1)已知29是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式______；
(2)若 可配方成 （m、n为常数），则 ______；
[探究问题]
(3)已知 ，则 ______；
(4)已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一
个k值，并说明理由．
[拓展结论]
(5)已知实数x、y满足 ，求 的最值．
17．阅读材料：我们把多项式 及 叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方
式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的
值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解
的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：
；又例如：求代数式
的最小值： ；又 ； 当 时， 有最小
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！值，最小值是 ．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式： ___________；
(2)已知 的三边长 、 、 都是正整数，且满足 求边长 的最小值；
(3)当 、 为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值．
18．【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图 所示编号为 的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成如图 所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：
；
(2)【问题解决】
若要用这四种长方体拼成一个棱长为 的正方体，其中 号长方体和 号长方体各需要多少个?试通
过计算说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，在一个棱长为 的正方体中挖出一个棱长为 的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出
因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知 与 分别是两个大小不同正方体的棱长，且
，当 为整数时，求 的值．
19．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个
关于a，b的等式：__________．请类比上述探究过程，解答下列问题：
(2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到
等式： __________，将等式右边因式分解，即 __________；
(3)根据以上探究的结果，
①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形 ，其边长
为19，求阴影部分的面积．
②计算：
20．
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 分解因式呢？我们已经知道：
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．我们发现，二次三项式 的二次项的系数
分解成 ，常数项 分解成 ，并且把 ， ， ， ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，
就得到 ，如果 的值正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解为
，其中 ， 位于图的上一行， ， 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，
从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即 ，
把常数项 也分解为两个因数的积，即 ；然后把1，1，2， 按图2所示的摆放，按对角线
交叉相乘再相加的方法，得到 ，恰好等于一次项的系数 ，于是 就可以分解为
．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：
__________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如 的关于 ， 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将 分解成 乘积作为一列， 分解成 乘积作为第二列， 分解成 乘积作为第三列，如果
， ， ，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原
式 ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式 __________；
② 若关于 ， 的二元二次式 可以分解成两个一次因式的积，求 的值．
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