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专题 08 因式分解的八种思路全攻略
题型一、提取公因式法
例．因式分解： ____________．
【答案】
【详解】∵x（m-1）+ y(1-m)
= x（m-1）-y（m-1），
=（x-y）（m-1），
故答案为：（x-y）（m-1）．
【变式训练1】已知 ，则 _________．
【答案】12
【详解】
解：∵ ，
∴ 2ab（a+2b）= ，
故答案为：12．
【变式训练2】因式分解： ．
【答案】【详解】解：原式
．
【变式训练3】把下列各式因式分解：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】（1） ；
（2）
．
【变式训练4】已知 ，则 的值是_____________．
【答案】1
【详解】解：∵2m-5n=-1，
∴ =2m(2m-5n)+5n=-2m+5n=1．
故答案为：1．
题型二、公式法
例．分解因式： ＝______．
【答案】
【详解】解： ＝ ＝ ．
故答案是： ．
【变式训练1】因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
【答案】
【详解】解：1﹣a2﹣4b2+4ab＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）
＝1﹣（a﹣2b）2
＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]
＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．
【变式训练2】因式分解： _________．
【答案】
【详解】 ，故答案为： ．
【变式训练3】因式分解：
(1) ；(2) ．
【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练4】因式分解：
【答案】
【详解】原式==
=
=
【变式训练5】把 因式分解．
【答案】
【详解】解：
题型三、十字相乘法
例．分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【详解】（1）解：∴ ；
（2）解：
∴
（3）解：
∴ ；
（4）解：
∴ ；（5）解：
∴ ；
（6）解：
∴ ；
（7）解：
∴原式 ；
（8）解：∴原式 ；
（9）解：
；
（10）解：
；
（11）解：
；
（12）解：
．
【变式训练】用十字相乘法分解下列因式．
(1)
(2)
(3)(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【详解】（1）解：
∴ ；
（2）解：
∴（3）解：
∴
（4）解：
∴
（5）解：
∴
（6）解：
∴ ．
题型四、分组法例．因式分解： ________．
【答案】
【详解】解：
故答案为：
【变式训练1】分解因式：
【答案】
【详解】
= ．
【变式训练2】分解因式： _________．
【答案】
【详解】解： = = = = ．
故答案为 ．
【变式训练3】分解因式：
【答案】
【详解】解：原式．
【变式训练4】因式分解： ．
【答案】
【详解】解：原式
．
题型五、添项、拆项法
例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．
【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2）
【详解】解：x3﹣3x2﹣6x+8=
= = =
= =（x﹣4）（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）．
【变式训练1】把多项式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．
【答案】(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
【详解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+1＝x2(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)＝(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
故答案为：(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
【变式训练2】因式分解：
【答案】
【详解】原式 ．
故答案为：
【变式训练3】因式分解：（1） （2） （3）
（4） （5）【详解】（1）原式
；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ；
（5）原式
．
题型六、换元法（整体思想）
例．分解因式：
【答案】
【详解】解：原式
．
例2．如若 ，则 的值为__________．
【答案】2
【详解】∵ ，
∴ = = =1+1=2．
故答案为：2
【变式训练1】分解因式：
【答案】
【详解】 =
= =【变式训练2】因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：当 时，原式等于0，故原式含有因子 ，
又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子 ， ，
又因为原式为x，y，z的五次式，故可设
令 ， ， 得 ，
令 ， ， 得 ，
解得 ， ，
所以 ．
【变式训练3】
【答案】（x2+8x+10）（x+2）（x+6）
【详解】解：[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]+15
=（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15
设x2+8x=y，则：原式=（y+7）（y+15）+15=y2+22y+120=（y+10）（y+12），
所以原式=（x2+8x+10）（x2+8x+12）=（x2+8x+10）（x+2）（x+6）
【变式训练4】因式分解：
【答案】
【详解】解：原式=
=
=
=
题型七、待定系数法
例．因式分解：
【答案】
【解析】解：当 时，原式等于0，故原式含有因子 ，
又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子 ， ，
又因为原式为x，y，z的五次式，故可设
令 ， ， 得 ，
令 ， ， 得 ，解得 ， ，
所以 ．
x2 +xy−6 y2 +x+13 y−6
【变式训练1】分解因式
(x+3 y−2)(x−2y+3)
【答案】
x2 +xy−6 y2 +x+13 y−6 (x+3 y+m)(x−2y+n)
【详解】设 =(x+3 y+m)(x−2y+n) x2 +xy−6 y2 +(m+n)x+(3n−2m)y−mn
∵ =
x2 +xy−6 y2 +x+13 y−6 x2 +xy−6 y2 +(m+n)x+(3n−2m)y−mn
∴ =
13
{m n 1 {3n 2m
+ = ¿ − = ¿¿¿¿
{m=−2¿¿¿¿
对比左右两边相同项的系数可得 ，解得
(x+3 y−2)(x−2y+3)
∴原式=
【变式训练2】分解因式x4－x3＋6x2－x＋15
【详解】设x4－x3＋6x2－x＋15＝（x2＋ax＋b）（x2＋cx＋d）
＝x4＋（a＋c）x3＋（b＋d＋ac）x2＋（ad＋bc）x＋bd
比较两边对应项的系数，得 ，
由（4）可得
将 代入（3）得 （5）
由（5）（1）得 ，∴ 是方程组（1）、（3）、（4）的一组解，且使（2）成立．
∴x4－x3＋6x2－x＋15＝（x2＋x＋3）（x2－2x＋5）
题型八、主元法
例．分解因式： .
【答案】
【详解】解：=
∴原式 ．
【变式训练1】因式分解：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）把a视为未知数，其它视为参数．
原式
；
（2）原式= ， = ，
再次运用十字相乘法可知原式 ；
（3）选x为主元，原式 ．
【变式训练2】因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）首先将原式按a的降幂排列，写成关于a的二次三项式 ，
此时的“常数 ”提取公因式 即可分解成 ，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成
；
（2）这是x的二次式，“常数项”可分解为 再对整个式子运用十字相
乘 ．
【变式训练3】因式分解：
【答案】
【详解】原式
．
