文档内容
第四章 《因式分解》导学案
回顾与思考
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学习目标与重难点
学习目标：
1、理解因式分解的概念以及与整式乘法的关系，掌握提取公因式和公式法分解因式的方法，选择恰
当的方法进行因式分解。
2、能从实际问题中发现关于因式分解的问题，并能运用因式分解解决现实生活中的实际问题。
3、通过思考、合作交流、动手操作等数学探究过程，感受“整体思想”、“类比思想”和“转化思
想”的数学思想方法。
学习重点：
能准确、熟练、灵活地运用因式分解的各种方法对多项式进行因式分解。
学习难点：
因式分解的综合应用。
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预习自测
一、知识框架
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教学过程
知识点一：对分解因式概念的理解例1. 下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ B ）。
A: y2 3y 4 y(y 3)4 B:14x 4x2 (12x)2
1
C :(x y)(x y) x2 y2 D:x1 x((1 )
x
解析：
A选项没有化成几个整式的积的形式;
B选项运用完全平方公式;
C选项属于整式乘法;
D选项没有化成几个整式的积的形式.`
注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
知识点二：利用提公因式法分解因式
例题2：分解因式
解：原式=-9mn(3m-n+2)
注意：提出负号时注意括号里面的符号变号 注意：公因式既可以是单项式，也可以是多项式，需
要整体把握。
知识点三：利用公式法分解因式
例3.把下列各式分解因式
注意：可以先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解注意：连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当
多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。
知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
注意：先观察是否有公因式，若有公因式提出后看是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有
使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。
例5.利用分解因式计算
注意：负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数
（4）计算下列各式
1
(1);1
22
1 1
(2),(1 )(1 )
22 32
1 1 1
(3),(1 )(1 )(1 )
22 32 42
由上可知
1 1 1 1 1 1
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )
22 32 42 92 102 n2
知识点六：分解因式的实际应用
例6.在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．解：(1)S=πR –4πr
(2)当R=7.5，r=1.25时，
S=πR –4πr
=π(R+2r)(R –2r)
=π(7.5+2×1.25)(7.5 –2×1.25)
=π×10×5=50π
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B. C. D.
2. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B . C. D.
3.在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（ ）．
A. B. C. D.
4. 多项式 与 的公因式是（ ）
A．x-4y B．x+4y C．x-2y D．x+2y
5.下列各式：①； ②； ③； ④；
⑤ ，能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6.已知 xy=2,x-3y=3 ，则 .
7.若实数a，b满足a-b=1，则代数式 的值为 ．
8. 若x= ，y= ，则代数式 的值是 ．
9.甲、乙同学在分解因式：mx +ax+b时，甲仅看错了a，分解结果为2(x﹣1）（x﹣9）；乙仅看错
了b，分解结果为2(x﹣2)(x﹣4），求m、a、b的正确值，并将mx +ax+b分解因式．
能力提升：10.数学兴趣小组开展活动：把多项式 分解因式，组长小明发现小组里有以下四种结
果与自己的结果 不同，他认真思考后，发现其中还有一种结果是正确的，你认为正确的是
（ ）
A. B. C. D.
11．阅读材料：
利用公式法，可以将 一些形如的多项式变形为 的形式，我
们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行
因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式： ；
(2)求多项式 的最小值 ；
(3)已知a，b，c是三角形的三边长，且满足 求三角形的周长．
拓展迁移
12.用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的
是（ ）
A. B.
C. D.
13.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原
理是对于多项x ﹣y ，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y)(x +y ），若取x＝9，y＝9时，则各
个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x +y ）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式 9x ﹣xy ，取 x＝10，y＝10 时，用上述方法产生的密码是
.
四、总结反思、拓展升华
1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解注意的问题。
（1）提出负号时注意括号里面的符号变号，注意：负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数
（2）公因式既可以是单项式，也可以是多项式，需要整体把握。
（3）先观察是否有公因式，若有公因式提出后看是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使
用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。
五、【作业布置】
基础达标：
1.对于① ② 从左到右的变形，表述正确的是
x3xyx(13y)
（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
2.分解因式 的结果是（ ）
A．（4x+y)(4x﹣y） B．4（x+y)(x﹣y） C．（2x+y)(2x﹣y） D．2（x+y)(x﹣y）
3.用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列因式分解正确的是（ ）
A．a b﹣6a b＋9a b＝a b（a ﹣6a＋9） B．x ﹣x＋ ＝（x﹣ ）
C．x ﹣2x＋4＝（x﹣2） D．x ﹣4＝（x＋4）（x﹣4）
5．若多项式 因式分解的结果为(x+4)(x-2) ，则常数的值m为( )
A．-2 B．2 C．-6 D．6
6．已知 ，则m-n= ．
7．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1) -(b﹣1) 的值为 ．
8．已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a +b +c ﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ．
能力提升：
9.在 中，若有一个因式为(x+2)，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．-6 D．6
10.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实
分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
=（a+b)(x+y)
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)若三角形三边a、b、c 满足 ，试判断三角形的形状．
拓展迁移：
11.如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形
（如图2所示）
(1)上述操作能验迁的等式是：
请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a -b =36，3a+b=9则3a-b= .
②计算：课堂作业参考答案
1、C
2、D
3、B
4、D
5、B
6、36
7、6
8、1
9、解：2（x-1)（x-9）=2x -20x+18 ∴m=2,b=18
2（x-2)（x-4）=2x -12x+16 ∴a=-12
mx +ax+b=2x -12x+18=2(x -6x+9)=2(x-3)
10、D
11、解（1）
解（2）
解（3）
12、D
13、102040或104020或401020或402010或201040或20401
课外作业参考答案
1、D
2、C
3、D
4、B
5、B6、4
7、12
8、3, 解答提示：由已知条件可知:a-b=-1,b-c=-1,c-a=-2,然后把原式分解因式再代入求解
9、A, 解答提示：
∴a+2=5,a=3 ; b+2a=7,b=1, k=2b=2
10、
11、
（1）
（2）4
（3）
