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专题 01 一元二次方程（5 知识&15 题型&5 易错&9 方法清单）【清单01】一元二次方程的概念
一元二次方程
【清单02】一元二次方程的解法
解法
【清单03】一元二次方程的判别式
【清单04】二次三项式的因式分解
步骤：
【清单05】一元二次方程的应用题一般步骤：
【题型一】一元二次方程的定义
【典例1】（24-25八年级下·吉林·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．3x2=3(x−2) 2B． +x=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x+1=0
x
【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是( )
2
A．x2−2x−3 B．x2=2x+3 C．x2=2y−3 D． x2= −3
x
【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期中）关于 的方程 是一元二次方程，则 满足
x (a−1)x2+x−2=0 a
（ ）
A．a≠1 B．a=−1 C．a≠±1 D．为任意实数
【题型二】一元二次方程的一般形式
【典例2】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常
3(x2−3)=5x
数项分别是（ ）
A．3，−5，9 B．3，−5，−9 C．3，5，9 D．3，5，−9
【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程x2−2x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次
项系数为1，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．−2,−10 B．−2,10 C．2,−10 D．2，10
【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程2x2+3=2x化为一般形式是： ．
【题型三】一元二次方程的解
【典例3】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知a是方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式
a2+2a−2025的值为 ．
【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程x2+3x−1=0的解，则式子2a2+6a+2021的值
为 ．
【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若x=2是关于x的一元二次方程x2+kx+5=0的一个根，则k= ．
【题型四】解一元二次方程-配方法
【典例4】（24-25八年级下·福建福州·期中）解一元二次方程x2−6x−3=0，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
(x−3) 2=12 (x−3) 2=5 (x−3) 2=4 (x+3) 2=12
【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）将方程x2−4x−3=0配方后所得的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
(x−2) 2=7 (x−2) 2=1 (x−2) 2=5 (x−2) 2=0
【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程：2x2−8x−1=0
【题型五】解一元二次方程-公式法
【典例5】（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：2x2−2❑√3x−1=0（公式法）
【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）若 2±❑√b2−4×(−1)a可以表示某个一元二次方程的根，
x=
2×3
则这个一元二次方程为（ ）
A．3x2+2x−1=0 B．2x2+4x−1=0
C．−x2−2x+3=0 D．3x2−2x−1=0
【变式2】（24-25九年级上·山西长治·期中）解方程：3x2+2x=5．
【题型六】解一元二次方程-因式分解法
【典例6】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程x2−1=0的根为（ ）
A．−1 B．1 C．1或−1 D．0【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知一元二次方程的两根分别为x =1，x =−3，则这个方
1 2
程为（ ）
A．(x−1)(x−3)=0 B．(x−1)(x+3)=0
C．(x+1)(x+3)=0 D．(x+1)(x−3)=0
【题型七】用适当的方法解方程
【典例7】（23-24九年级上·青海西宁·期中）用合适的方法解方程
(1)4(x−3)=2x(x−3) (2)x2−4x−7=0
【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）解方程：
(1)x2−4x−2=0； (2)2x2−5x+2=0．
【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）解关于x的方程．
(1)x2+3x+2=0； (2)3x2−6x=1．
【变式3】（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列一元二次方程
(1) (2)
6x2+2=7x (2x−1) 2=(3−x) 2
【题型八】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【典例8】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一元二次方程x2−4x−5=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定【变式1】（24-25九年级下·四川广安·期中）关于x的一元二次方程x2−2x−m2=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【题型九】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【典例9】（24-25九年级上·广东江门·期中）若关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个不相等的实
数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<1且m≠0 B．m≥1 C．m≤l且m≠0 D．m<1
【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于 的一元二次方程方程 有实数根，
x (m−1)x2+4x+1=0
则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠1 B．m≥5，且m≠1
C．m<5 D．m>5
【变式2】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程x2−x+2k=0有两个不相等的实
数根，则k的取值范围为（ ）
4 3 1
A．k≥ B．k≤ C．k< D．k>1
8 8 8
【题型十】一元二次方程根与系数的关系
【典例10】（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程x2−5x−2025=0的两个实数根，则
m2−4m+n−2的值是（）
A．2025 B．2028 C．2030 D．4048
【变式1】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，
则代数式m2+2m+n的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）若α，β是一元二次方程x2+x−2023=0的两个实数根，则
α2−α−2β+3的值为（ ）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2022
【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知一元二次方程x2−3x+2=0的两个根为x 、x ，则
1 2
1 1
+ 的值为（ ）
x x
1 2
2 3
A．−3 B．− C．1 D．
3 2【题型十一】一元二次方程应用-与几何图形的综合应用
【典例11】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相
等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米 2，则道路的宽应为多少米？设
❑
道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
100×80−100x−80x=7644 (100−x)(80−x)+x2=7644
C．(100−x)(80−x)=7644 D．100x+80x=356
【变式1】（24-25九年级下·山西长治·期中）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北
宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为2.4m，宽为
1.6m的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为4.16m2．若
四周装裱上的边衬的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．(1.6−x)(2.4−x)=4.16 B．(1.6+x)(2.4+x)=4.16
C．(1.6−2x)(2.4−2x)=4.16 D．(1.6+2x)(2.4+2x)=4.16
【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有
一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空
隙．
(1)若墙长为18米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成的鸡场的面积可能达到200平方米吗？(3)若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
【题型十二】一元二次方程应用-增长率问题
【典例12】（24-25九年级上·重庆合川·期中）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288
万元，如果平均每月的增长率为x，则由题意列方程为（ ）
A． B．
200(1+x) 2=288 200(1+2x)=288
C． D．
200+2x=288 200+200(1+x)+200(1+x) 2=288
【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获
得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，
三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为 .
【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）云南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟知，它肉质紧
密，口感脆爽，甜度很高，香味浓郁．云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产
量为86.4吨，若该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率相同．
(1)求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率；
(2)若阳光玫瑰葡萄产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量．
【题型十三】一元二次方程应用-传染问题
【典例13】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌
病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，
若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则x= ．
【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，
主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程 ．（不必解方程）
【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了
流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
【变式3】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，
学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学
做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同
学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求x的值．
【题型十四】一元二次方程应用-经济问题
【典例14】（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来
源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意
“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．
(1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若
顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单
价分别是多少元？
(2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉
祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，
同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？
【变式1】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别
惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，
外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售
量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每
天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，
商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
【变式2】（24-25九年级上·广东茂名·期中）某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器
要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元．
(1)求A，B两款电器每台的售价；
(2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定
采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商
场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？
【题型十五】一元二次方程应用-动态几何问题
【典例15】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点B 出发沿
BC以2cm/s的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，当点P
到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s．(1)问当t为多少时，AP=2PQ？
(2)连接AQ，是否存在时间t，使得S =4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
△APQ
【变式1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，
BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的
速度运动，到点B即停止，直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形
PQCD，
(1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
(2)若∠B=90°，当AB=8cm时，直接写出经过______秒后，PQ=CD．
【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A出发，
沿AB以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C匀速移动．
设运动的时间为ts．(1)PB=______，QC=______；
(2)t为何值时，△DPQ的面积等于28cm2？
【题型一】根据一元二次方程根的根的情况求参数
1．（23-24九年级上·四川南充·期中）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范
x (k+1)x2−2x+1=0 k
围是（ ）
A．k≤0且k≠−1 B．k<0且k≠−1 C．k≤0 D．k≥0
【题型二】一元二次方程应用-增长率问题
2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智
慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．
据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次
的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
【题型三】一元二次方程应用-几何面积问题
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14
米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材
料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为45平方米，求此时花圃的长与宽．
(3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由．
【题型四】一元二次方程应用-经济问题
4．（24-25九年级上·四川成都·期中）某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知
当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4
个房间空闲．
(1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入；
(2)如果政府规定该农家乐入住率超过80%可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试
求这天农家乐可获得政府补贴多少元？
【题型五】一元二次方程应用-动态几何问题
5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，
点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个
点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．(1)AP=________cm，BP=________cm，BQ=________cm（用含t的代数式表示）；
(2)经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2；
(3)四边形APQC的面积能否等于5.5 cm2，请说明理由．
6．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=15cm，P，Q，M，N分
别从点A，B，C，D同时出发，分别沿AD，BC，CB，DA移动，且当有一个先到达所在边的另一
个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm，
CM=3xcm，DN=x2cm．
(1)当x为何值时，P，N两点重合？
(2)四个点移动过程中是否存在四边形ABQP的面积是矩形ABCD面积的一半？若存在请求x的值；若
不存在，请说明理由．
(3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？【题型一】一元二次方程的解法——直接开平法
·适用方程形式：当方程可化为 或 （ ）的形式时，可直接通过开平方求解.
·求解方法：
（1）若 ，则 （ 时无实数根）；
（2）若 ，则 ，再解一元一次方程.
【题型二】一元二次方程的解法——配方法
2
在方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a) =b（b≥0）的形式；
【题型三】一元二次方程的解法——因式分解法
把ax²+bx+c=0可化成(ax+b)(cx+d)=0，口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
【题型四】一元二次方程的解法——公式法
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： −b±❑√b2−4ac；
x=
2a
4）最后求出x ，x
1 2。
【题型五】一元二次方程根的判断
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；③ 时，方程无实数根，反之亦成立
【题型六】一元二次方程的根与系数关系
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ， 利用韦达定理
。
可以求一些代数式的值（式子变形），如
【题型七】一元二次方程的应用-变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下
降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
【题型八】一元二次方程的应用-握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。
n(n−1)
赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送 张卡片。
问题
【题型九】一元二次方程的应用-每每
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数 量
