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专题 01 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、一元二次方程的定义与一般形式
【解惑】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．若将关于x的一元二次方程 化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，
则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5 B．3 C． D．
2．已知一元二次方程 ，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
3．若关于x的方程 是一元二次方程，则 ．类型二、根据判别式确定方程的根
【解惑】一元二次方程 根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【融会贯通】
1．不解方程，判断关于x的方程 的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
2．关于 的一元二次方程 根的情况是 ．
3．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则整数a的值可以是 ．
类型三、解方程——直接开平方法
【解惑】解方程： ．
【融会贯通】
1．用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
2．解下列方程：
(1) ；
(2) ．
3．求下列各式中的x：
(1) ；(2) ．
类型四、解方程——配方法
【解惑】用适当的方法解方程：
【融会贯通】
1．用配方法解方程：
2．用配方法解方程： ．
3．解方程：
(1) ．
(2) ．
类型五、解方程——公式法
【解惑】用公式法解方程： ．
【融会贯通】
1．（1）用配方法解方程： ；
（2）用公式法解方程： ．
2．解下列方程：
(1) （用公式法）
(2) （用配方法）
3．用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ；(3) ．
类型六、解方程——因式分解法
【解惑】请用两种不同的方法解方程： ．
【融会贯通】
1．解一元二次方程： .
2．解方程
(1)
(2)
3．解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
类型七、一元二次方程的应用——数字问题
【解惑】“五一国际劳动节”是世界上 多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于 年
月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是 年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数
（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为 ，求这个最小的数（请用方程知识
解答）．【融会贯通】
1．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小
到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，
的最大值为 ．
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明
理由．
2．第十四届国际数学教育大会 会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的
文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数 八进制是以 作为进位基数的
数字系统，有 共 个基本数字，八进制数 换算成十进制数是 ，
表示 的举办年份．(1)请把八进制数 换算成十进制数；
(2)小华设计了一个 进制数 ，换算成十进制数是 ，求 的值（ 为正整数）．
3．阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出 的值．我们从这个
算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…， ，…的前 项和：
由
可知 ．
应用以上材料解决下面问题：
(1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第
行有 个点， ．若该三角点阵前 行的点数和为325，求 的值．
(2)在第一问的三角点阵图形中，前 行的点数和能是900吗？如果能，求出 ；如果不能，说明理由．
(3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…， ，…，前 行的点数和能是900吗？
如果能，求出 ；如果不能，说明理由．
类型八、一元二次方程的应用——平均变化率问题
【解惑】交警部门提醒广大市民，为保障自身安全，骑车出行必须佩戴安全头盔．某品牌头盔在销售单价
不变的情况下，5月份的月销量比3月份增加了 ．
(1)求该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率（月销售总额＝月销量×单价）；
(2)若该品牌头盔5月销售总额为 元，按此增长率，请你预测7月份该品牌头盔月销售总额是否超过元？
【融会贯通】
1．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为400元，2024年
该药剂价格为196元．
(1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
(2)该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，要求此种药剂的价格不低于147元，则此次价格的下降率最
多是多少？
2．据调查， 年 月底某景点累计接待游客为 万人次，但 年 月底，该景点火出圈了，接待游
客突破 万人次．景点附近某宾馆有 间房供游客居住，当每间房每天定价为 元时，宾馆会住满；当
每间房每天的定价每增加 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出
元的费用．
(1)求 年 月底到 年 月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
(2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为 元．
3．2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者
的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、
12月销量持续走高，假如12月售出507件．
(1)求11月、12月这两个月的月平均增长率．
(2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售．已知模型单价每降低1元，可多售
出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？
【一览众山小】
1．用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，2，3 B．0，2， C．0， ， D．1，2，3．某商品原来售价每千克16元，后续由于成本提升，经过连续两次提价，现在售价每千克25元，则该商
品平均每次提价的百分率是 ．
4．已知关于x的方程 有一个根为 ，则m为 ．
5．解方程：
(1) ；
(2) ．
6．解方程：
(1) ；
(2) ．
7．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问
题：
(1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数．
(2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由．
8．为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年
投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那
么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？
