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专题 01 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、整体代入
【解惑】若a是关于x的方程 的一个根，则 的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，由方程解的定义得到 ，把代数式变形后
整体代入即可．
【详解】解：∵a是关于x的方程 的一个根，
∴ ，
∴，
故选：A．
【融会贯通】
1．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到 ，恒等变形，
整体代入代数式 即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键．
【详解】解： 是方程 的一个根，
，即 ，
，
故选：A．
2．已知关于 的一元二次方程 （ 均为常数，且 ）的解是 ， ，则关
于 的一元二次方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令 ，由题意得到 的解为 ，解方
程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 （ 均为常数，且 ）的解是 ，
即 的解为 ；
令 ，
关于 的一元二次方程 化为 ，
的解为 ，的解为 ，即 或 ，
，
关于 的一元二次方程 的解是 ，
故答案为： ．
3．已知关于 的方程 （ ， ， 均为常数，且 ）的两个解是 和 ，则方
程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】把后面一个方程中的 看作整体，相当于前面一个方程中 的求解．
【详解】∵关于 的方程 的解是 ， ，
∴方程 变形为 ，
即此方程中 或 ，
解得 或 ，
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键．
类型二、变形求值
【解惑】已知实数 是一元二次方程 的根，求代数式 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据实数 是一元二次方程 的根，即得出 ， ．整体
代入可得 ，化简即可．【详解】将 代入 ，得： ，即 ， ．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和利用整
体代入的思想是解题关键．
【融会贯通】
1．已知a是方程 的根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由a是方程 的根，可得 ，再根据分式的混合运算法则化简
，然后将 整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程 的根，
∴ ，即
，
，，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、一元二次方程的解等知识点，理解方程的解的定义是解答本题
的关键．
2．已知a是方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】2021
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据题意可得：把 代入方程 中得： ，从而可得 ,
， ，进而可得 ，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：把 代入方程 中得： ，
，
，
故答案为：2021．
3．已知 是方程 的一个根，则 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，得出 ，代入代数式，即可
求解．【详解】解：依题意，
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
类型三、赋值求解
【解惑】若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
把 代入得： ，
即方程的一个解是 ，
把 代入得： ，
即方程的一个解是 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
【融会贯通】
1．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，则它的一个根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝ C．x＝﹣4 D．x＝2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的定义，将题中四个选项分别代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）判断是否为4a﹣2b
十c＝0即可．
【详解】解：A.把x=-2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a﹣2b十c＝0，所以，x=-2是方程的一个根，故选项
A符合题意；B.把x＝ 代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得 a﹣ b十c＝0，所以，x=- 不是方程的一个根，故选项B不
符合题意；
C.把x＝-4代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得16a﹣4b十c＝0，所以，x=-4不是方程的一个根，故选项C不符
合题意；
D.把x＝2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a+2b十c＝0，所以，x=2不是方程的一个根，故选项D不符合题
意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
2．关于 的方程 的解分别是 、 （ ， ， 均为常数，a≠0），则方程
的解是 ．
【答案】
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】∵关于x的方程 的解是 、 （a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程 变形为 ，即此方程中x+2=1或x+2=4，
解得x=-1或x=2．
故答案为 ．
【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行变形，然后整体替换计算．
3．若 则关于x的方程 的解是 .
【答案】 或
【分析】由 ，即可得到方程的解．
【详解】解：
令 时，有 ；令 时，有 ；
∴ ，
则关于x的方程 的解是： 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解进行解题．
类型四、降次
【解惑】若a是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到 ，再用a表示 得到
，然后利用整体代入的计算所求代数式的值．
【详解】解：∵a是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【融会贯通】
1．若a是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2023 B． C．2022 D．
【答案】A
【分析】把 代入方程可得 ，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵a是方程 的一个根，∴ ，即 ，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，把 代入方程可得 是解题的关键．
2．已知 为方程 的根，那么 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得
到 ，然后对原式进行化简，再将 整体代入即可．
【详解】解：∵a为方程 的根，
∴ ，
∵
，
将 代入，则
原式
，
故答案为： ．
3．已知m为方程 的一个根，则代数式 的值为 ．
【答案】9【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入
方程得 ，再将 代入 变形后的式子进行化简求值即可．
【详解】解：根据题意得： ，
．
故答案为：9．
类型五、根据根的情况求参
【解惑】关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为
解题的关键．
由于关于 的一元二次方程 有实数根，由此可以得到 ，并且方程的判别式 ，由此
即可求出 的取值范围．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
且 ，
且 ．
故选C．
【融会贯通】1．若一元二次方程 没有实数根，则代数式 的值一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，根据题意得得 ，将代数式 乘以
4变形为 ，再进行判断即可
【详解】解：由题意，得 ，
而 ，
．
∴代数式 的值一定是正数．
故选：B
2．若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数 的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
根的判别式 ，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两个相
等的实数根时， ；当方程没有实数根时， ．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
3．方程 有两个实数根，则实数m的取值范围为
【答案】 或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解不等式等知识点，由已知中关于x的方程
有两个实根，则方程的 ，由此构造一个关于m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围，其中根据已知条件，结合一元二次方程的根的情况，构造一个关于m的不等式，是解答本
题的关键．
【详解】∵方程 有两个实数根，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
类型六、根与系数关系变形求解
【解惑】已知实数 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得
到 是一元二次方程 的两个实数根，再由根与系数的关系得到
，再化简代值即可得到答案．
【详解】解： 实数 满足 ， ，
是一元二次方程 的两个实数根，
，
，
故选：B．
【融会贯通】1．若关于x的一元二次方程 两根为 、 ，且 ，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程 根与系数的关系：若方程的两实数根为 ，则
．
根据一元二次方程 根与系数的关系得到 ，然后通分，
，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解： ，
，
而 ，
，
，
故选：A．
2．若实数 满足 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系式．
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，而 ，∴ 是 的两根，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：
3．设 ， 是 的两根，则 ．
【答案】2016
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程
的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，由题
意得出 ， ， ， ，再逐步代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵ ， 是 的两根，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
类型七、一元二次方程的应用——图形问题
【解惑】如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃 ，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面
用篱笆围成，篱笆总长为24米．若围成的花圃面积为40平方米时，求 的长．【答案】10米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设 的长为 米，
则 的长为 米，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案．
【详解】解：设 的长为 米，则 的长为 米，
根据题意，可得 ，
解得 ， ，
当 时， 米 米，不符合题意，舍去；
当 时， 米 米，符合题意．
所以， 的长为10米．
【融会贯通】
1．一个矩形蔬菜大棚长 ，宽 ，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占
整个大棚面积的 ．
(1)小路的宽度是多少？
(2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超
过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？
【答案】(1)小路的宽度为1米
(2)至少安排甲组种植240平方米【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元二次方程以
及一元一次不等式是解此题的关键．
（1）设小路的宽度是 米，根据题意列出一元二次方程，解方程并检验即可得出答案；
（2）设安排甲组种植 平方米，则安排乙组种植 平方米，根据“完成此大棚的种植不超过30000
元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设小路的宽度是 米，
依题意得：
解得 ， ，
时，
舍去，
答：小路的宽度为1米．
（2）解： （平方米），
设安排甲组种植 平方米，则安排乙组种植 平方米，
由题意得： ，
解得
答：至少安排甲组种植240平方米．
2．巩固脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴．某鸡农申请了微型养鸡项目，打算搭建一个如图所示的矩形
鸡舍，该鸡舍的长边靠墙，另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为150平方米，且长比宽多5米．
(1)求该鸡舍的长和宽分别是多少米？
(2)该鸡农打算在鸡舍中饲养跑山鸡，根据养殖经验，需购买高度为2.4米的钢丝网，鸡舍内的鸡才不会飞
出．若该鸡农购买的这种钢丝网价格为每平方米12.5元，求该鸡农购买钢丝网需要多少元？【答案】(1)鸡舍的宽为10米，则长为15米；
(2)该鸡农购买钢丝网需要1050元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的加法和乘法混合运算的应用，解题的关键是正确列出
一元二次方程．
（1）设鸡舍的宽为x米，则长为 米，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式求解即可．
【详解】（1）设鸡舍的宽为x米，则长为 米，
根据题意得
解得 ， （舍去）
∴ （米）
∴鸡舍的宽为10米，则长为15米；
（2）根据题意得， （元）．
∴该鸡农购买钢丝网需要1050元．
3．如图，要建一个面积为 的长方形花园 ，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另
三边用栅栏围成， 边留有 的门 ，如果栅栏的长为 ．
(1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？
(2)若给定墙长为 ，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ．
【答案】(1)花园的长 或 ，宽为 或
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，根据长方形的面积公式结合养鸡场
的面积为 ，列出一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可分 、 及 三种情况，找出题目解的个数，即可得出结论．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
或 ．
答：花园的长为 或 ，宽为 或 ．
（2）当 时，不能围成花园，题目无解；
当 时，围成的花园只有一种围法，题目只有一个解；
当 时，围成的花园有二种围法，题目有两个解；
综上所述，当 时，围成的花园只有一种围法，
即 的取值范围是 ，
故答案为： ．
类型八、一元二次方程的应用——销售问题
【解惑】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价
x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)直接写出y与 的函数关系式________（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是750元，则当天玩具的销售单价是多少元？
【答案】(1)(2)当天玩具的销售单价是35元或25元
【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程，是解答本题的关
键．
（1）设一次函数的关系式为 ，采用待定系数法即可求解；
（2）设当天玩具的销售单价是x元，由题意得， ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的关系式为 ，
由题图可知，函数图象过点 和点 把这两点的坐标代入一次函数 ，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的关系式为 ．
（2）设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得， ，
解得： ， ，
∴当天玩具的销售单价是35元或25元．
【融会贯通】
1．某商场销售一批运动服， 平均每天可售出 30 套， 每套盈利 100 元， 为了扩大销售， 增加盈利，
减少库存， 商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现， 每套运动服每降价 2 元， 商场平均每天可
多售出 1 套．
(1)当每套运动服降价 ( 是偶数) 元时，商场每天可售出运动服 套 (用含 的代数式表示)；
(2)若商场每天要盈利 3150 元， 则每套运动服应降价多少元？
【答案】(1)
(2)每件运动服应降价30元【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）根据每套运动服每降价 2 元， 商场平均每天可多售出 1 套，列出代数式即可；
（2）设每件运动服应降价 元，根据商场每天要盈利 3150元列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：当每套运动服降价 ( 是偶数) 元时，商场每天可售出运动服 套；
（2）解：设每件运动服应降价 元，根据题意得：
，
解得： 或30，
扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
，
答：每件运动服应降价30元．
2．某商场经营一种成本为每千克40元的产品．
(1)已知四月份该产品的销售量为 ，经过适当调价后，6月份该产品的销量为 ，求 月份该
产品销售的月平均增长率．
(2)经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为 ，每千克售价每涨价1元，月销
售量将减少 ，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问
销售该产品时每千克应涨多少元？
【答案】(1) 月份该产品销售的月平均增长率为
(2)销售该产品时每千克应涨30元
【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出
方程是解题的关键．
（1）设 月份该产品销售的月平均增长率为x，列方程并解方程即可解决；
（2）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，结合月销售利润=每件利润×数量即可列出方程，
解方程即可；
【详解】（1）解：设 月份该产品销售的月平均增长率为x，由题意得：，
解得： （不合题意舍去），
答： 月份该产品销售的月平均增长率为 ；
（2）解：设销售该产品时每千克应涨y元,
,
解得： ，
当 时，月销售成本为 ，不合题意舍去，
当 时，月销售成本为 ，符合题意，
∴ ，
答：销售该产品时每千克应涨30元．
3．十年树一桃，新品种破解“甜蜜密码”．经过近十年研发，无锡阳山的果林里成功培育出了新品种桃
树，新品种的水蜜桃抗病性提高，将提升水蜜桃产量及成果率．
(1)据测算，新品种水蜜桃的产量将比旧品种提高m%，因研发成本提高，故果农也将把每颗水蜜桃的价格
提高 %．此时新品种水蜜桃的总价（产量×每颗价格）将比旧品种的总价提高32%．求m的值．
(2)在（1）的条件下，某水果店计划批发新、旧品种的水蜜桃共100盒，每盒水蜜桃均装有8颗桃子，已知
旧品种的水蜜桃每颗8元，在总费用不超过6720元的情况下，最多可以购买多少盒新品种水蜜桃？
【答案】(1)20
(2)最多可以购买25盒新品种水蜜桃
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用：
（1）根据总价 产量×每颗价格以及新品种水蜜桃的总价将比旧品种的总价提高32%，列出方程，即可求
解；
（2）设可以购买x盒新品种水蜜桃，则购买 盒旧品种水蜜桃，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解： ，解得： （不合题意，舍去），
即m的值为20；
（2）解：设可以购买x盒新品种水蜜桃，则购买 盒旧品种水蜜桃，根据题意得：
，
解得： ，
答：最多可以购买25盒新品种水蜜桃．
【一览众山小】
1．如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为 ，
在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关
系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为 ，可以得出平行于墙的一边的长为 ．根据
矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ，
则平行于墙的一边的长为 ，
由题意得 ，
解得： ， ，
当 时，平行于墙的一边的长为 ；
当 时，平行于墙的一边的长为 ，不符合题意；∴该矩形场地 长为 米，
故选C．
2．已知 、 、 是 的三条边的长，那么方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本
题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．首先根据根的
判别式 ，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断
出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．
【详解】解：在方程 中，
可得： ，
∵ 、 、 是 的三条边的长，
∴ ， ， ． ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是 ，两根的积是 ，
∴方程有两个不等的负实数根，
故选：C
3．已知两个不等实数 ， 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得 、为方程 的两个根，得到 ， ，将 转化为 ，然后代入计
算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程
的两根，则 ， ．
【详解】解：∵两个不等实数 ， 满足 ， ，
∴ 、 为方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
故选：A．
4．如图，一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 第n行有n个点
则78是前 行的点数和．
【答案】12
【分析】此题主要考查了规律型：图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的个数的变化
规律，利用数形结合的思想解答；由于第一行有1个点，第二行有2个点 第n行有几个点 ，则前n行
共有 个点，然后根据它们的和即可得出答案．
【详解】 第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，
前几行的点数和是 ，点数和是78所在的行数是： ，
解得： ，
故答案为：12．
5．已知关于x的一元二次方程 （ 都是常数，且 ）的解为 ，则方程
（ 都是常数，且 ）的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得： 或 ，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 （ 都是常数，且 ）的解为 ，
∴方程 ，即： 的解为： 或 ，
∴ ；
故答案为： ．
6．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为 ，且 ，求m的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据根的判别式得出 ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出 ， ，代入 得出关于 的方程，解
之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握 ， 是方程 的两根时，， ．
【详解】（1）证明：
，
∵
无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得 ， ，
由 ，得 ，
解得 ．
7．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，
求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次
方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来
解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一
个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方
程．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为 ，解方程 和
，可得方程 的解．
(1)问题：方程 的解是： ， ；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 的解；
(3)应用：如图，已知矩形草坪 的长 m，宽 m，点P在 上（ ），小华把一
根长为 m的绳子一段固定在点B，把长绳 段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点
C，求 的长．【答案】(1) ，
(2)
(3)9m
【分析】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键．
（1）利用因式分解法，求解即可；
（2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可；
（3）设 的长为xm，通过勾股定理用含x的代数式表示出 ，根据绳长列出方程，利用转化的思
想把无理方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 或 或 ．
∴ ，
故答案为： ，
（2）解：方程 ，两边平方得 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
经检验， 是原方程的根， 不是原方程的根．
所以原方程的解为（3）解：设 的长为xm，则 的长为 m．
由题意得：
整理得
两边平方得 ，
即 ．
整理得 ．
∴ ．
∴
经检验 是原方程的根．
由于 ，
∴ m．
8．芬芳的鲜花，能驱散内心的疲惫，让人心灵得到放松，感受生活的美好．某花店抓住市场需求，计划
第一次购进玫瑰和向日葵共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支向日葵的进价为4元，
售价定为10元．
(1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和向日葵全部售完，要求总获利不低于1200元，求花店最多购进玫瑰
多少支？
(2)花店在第二次购进玫瑰和向日葵时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和向日葵共
360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加 支，售价比第一次提高m元，向日葵售
价不变，但向日葵在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为
1800元，求m的值．
【答案】(1)200支
(2)2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量
之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）设花店购进玫瑰 支，则购进向日葵 支，利用总利润 每支玫瑰的销售利润 购进玫瑰的支
数 每支向日葵的销售利润 购进向日葵的支数，结合总利润不低于1200元，可列出关于 的一元一次不
等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）利用总利润 销售单价 销售数量 进货单价 进货数量，可列出关于 的一元二次方程，解之取其
符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设花店购进玫瑰 支，则购进向日葵 支，
根据题意得： ，
解得： ，
的最大值为200．
答：花店最多购进玫瑰200支；
（2）根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， (不符合题意，舍去)．
答： 的值为2．
