文档内容
专题 01 一元二次方程
题型1 一元二次方程的有关概念 题型9 判断一元二次方程根的情况（常考点）
题型 10 根据一元二次方程根的情况求参数（重
题型2 直接开平方
点）
题型3 配方法 题型11 根与系数关系的综合应用（重点）
题型4 因式分解法 题型12 与几何图形的综合应用（常考点）
题型5公式法（常考点） 题型13 增长率问题（常考点）
题型6 用适当的方法解方程（常考点） 题型14 传染问题
题型7 含绝对值的一元二次方程 题型15 经济问题（重点）
题型8 换元法（难点） 题型16 动态几何问题（重点）
题型一 一元二次发方程有关的概念（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．3x4-2x2=1
C． D．
x3-2x-4=0 (x-1) 2-1=0
2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若方程(a+4)x|a|-2+6x-1=0是关于x的一元二次方程，则a的
值为（ ）
A．4 B．-4 C．4或-4 D．0
3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）把一元二次方程x(x+2)=-3化成一般形式是 ．
4．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程3x2-2x+4=0的二次项系数和一次项系数分别为（）
A．3，2 B．2，3 C．3，-2 D．3，4
5．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）一元二次方程x2-4=0的一个根是（ ）
1 1
A．x=2 B．x= C．x=4 D．x=
2 4题型二 直接开平方（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是
(x+7) 2=81
x+7=9，则另一个是（ ）
A．x-7=-9 B．x-7=9 C．x+7=9 D．x+7=-9
2．（24-25九年级上·广东深圳·期末）解方程
(1) ；
(2x-1) 2=4
(2) ．
(x+3) 2=2x+5
3．（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程：
(3x-1) 2=(x-1) 2
题型三 配方法（共 6 小题）
1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）用配方法解一元二次方程x2-8x-7=-5时，下列变形正确的是
（ ）
A． B．
(x+4) 2=18 (x+4) 2=11
C． D．
(x-4) 2=18 (x-4) 2=11
2．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程：
(1)x2-2x-1=0
(2)x²-2x-5=0
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）用配方法解方程：x2-8x-1=0．
4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）方程(x+3)(x-2)=0的解是（ ）A．x=-3 B．x=2 C．x =-3，x =2 D．x=3，x=-2
1 2
5．（24-25九年级上·青海海东·期末）若 ，则 ．
x2-6x+9=(x-2) 0 x=
6．（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程：x2-4x+1=0
题型四 因式分解法（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程x2-6x-7=0，变形正确的是（ ）
A． B．
(x-3) 2=16 (x-3) 2=7
C．(x-7)(x+1)=0 D．(x+7)(x-1)=0
2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的一边长是6，另外两边长分别是方程x2-9x+20=0的两
根，则该三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
3．（24-25九年级上·广西河池·期末）解方程：(x-3)(x-2)=0
4．（24-25九年级上·四川·期末）解方程：
(1)x2-2x=3；
(2)
2(x+3) 2=x(x+3)．
题型五 公式法（共 2 小题）
1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：(2x+3)(x-1)=6．
2．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：2x2=1-3x．
题型六 用适当的方法解方程（共 4 小题）1．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程：
(1) (2)
x2-8x+12=0 (x-3) 2=2x(x-3)
2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）用适当方法解方程．
(1)x2-7=6x； (2)2(2x-3)=3x(2x-3)．
3．（24-25九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解方程：
(1)x²+x-3=0； (2)x²-4x-5=0．
4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解下列方程：
(1)x(x-4)=0； (2)x2-2x-3=0．
题型七 含绝对值的一元二次方程（共 2 小题）
1．（23-24九年级上·河南·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数
学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程x2-2|x|-3=0．
解：①当x≥0时，原方程为x2-2x-3=0，
解得x =-1（与x≥0矛盾，舍去），x =3．
1 2
②当x<0时，原方程为x2+2x-3=0，
解得x =1（与x<0矛盾，舍去），x =-3．
1 2
所以原方程的根是x =3，x =-3．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——
分类讨论．
请仿照上述例题的解答过程，解方程：x2-|x|-1=0．2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为：x2-3x-10=0解得x =5，x =-2（舍去）；
1 2
②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程：x2+2|x+2|-4=0．
题型八 换元法（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数 、 满足 ，试求 的值．
m n (2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80 2m2 ＋n2
解：设2m2+n2= y，
则原方程可化为(y+1)(y-1)=80，即y2=81：
解得y=±9．
∵2m2 ＋n2≥0，
∴2m2+n2=9
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式
的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，
根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数．
(2)已知实数 、 满足 ，求 的值．
x y (2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27 x2+ y2
2．（23-24八年级下·山东·期末）阅读理解【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化
为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程
进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将x3-5x+2=0变形为x3-(4+1)x+2=0，
∴x3-4x-x+2=0．
．
∴(x3-4x)-(x-2)=0
∴x(x+2)(x-2)-(x-2)=0．
．
∴(x-2)(x2+2x-1)=0
∴x-2=0或x2+2x-1=0．
原方程有三个根： ， ， ．
∴ x =2 x =-1+❑√2 x =-1-❑√2
1 2 3
②换元法求解特殊的四次方程：
x4-5x2+4=0
设x2= y，那么x4= y2，于是原方程可变为y2-5 y+4=0，解得y =1，y =4，
1 2
当y=1，x2=1时，∴x=±1；
当y=4，x2=4时，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =-1，x =2，x =-2．
1 2 3 4
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）x3-10x+3=0；
②（换元法）x4+3x2-4=0；
【拓展延伸】
（2）已知：x2-2x-1=0，且x>0，请综合运用以上方法，通过“降次”求x4-2x3-3x的值．3．（23-24九年级上·吉林松原·期中）阅读材料：解方程
(x2-1) 2 -5(x2-1)+4=0
，我们可以将
(x2-1)
视
为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ，解得 ， ．
(x2-1)= y (x2-1) 2 = y2 y2-5 y+4=0 y =1 y =4
1 2
当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±❑√2
当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±❑√5
原方程的解为 ， ， ，
∴ x =❑√2 x =-❑√2 x =❑√5 x =-❑√5
1 2 3 4
根据上面的解答，解决下面的问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学
思想；
(2)解方程x4-x2-12=0．
4．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下列材料：
解方程：x4-6x2+5=0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设x2= y，那么x4= y2，于是原方程可变为y2-6 y+5=0 ①，
解这个方程得：y =1，y =5．
1 2
当y =1时，x2=1．∴x=±1；当y =5时，x2=5，∴x=±❑√5
1 2
以原方程有四个根： ， ， ， ．
x =1 x =-1 x =❑√5 x =-❑√5
1 2 3 4
这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)用换元法解方程：
(x2-x) 2 -4(x2-x)-12=0
(2)Rt△ABC三边是a，b，c，若两直角边a，b满足(a+b)(a+b-7)+10=0，斜边c=4，求
Rt△ABC的面积．题型九 判断一元二次方程根的情况（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·广东河源·期末）一元二次方程x2-4x+4=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
2．（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于x的方程x2-(m+4)x+2m+4=0．
(1)求证：方程总有两个实数根：
(2)若方程的一个根比另一个根大3，求m的值．
3．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC是等腰三角形，AB=4，另外两边是方程的根，求△ABC的周长．
题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程x2-mx+9=0有两个相等的实数根，则
m= ．
2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k
(x+2) 2+k=3
的取值范围是 ．
3．（24-25九年级上·四川广安·期末）若关于x的一元二次方程(m-1)x2-4x+2=0有两个实数根，则m的
取值范围为 ．题型十一 根与系数关系的综合应用（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知x ,x 是方程x2-2x-1=0的两根，则x x = ．
1 2 1 2
2．（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知x ，x 是一元二次方程x2-3x+m-2=0的两个根，且该方程
❑1 2
的两根互为倒数，则m的值为 ．
3．（24-25九年级下·江苏南京·期末）设a,b分别是方程x2+x-2023=0的两个实数根，则a2+2a+b的值
是 ．
4．（24-25九年级上·福建·期末）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的
m n x2+5x+2=0 -m+(n+2) 2
值为 ．
题型十二 与几何图形的综合应用（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地．为便于学
生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400m2，若设
小道的宽为xm，则根据题意，那么x满足的方程是（ ）
A．30×16-30x-16x+2x2=400 B．30×16-30x-2×16x=400
C．(30-x)(16-2x)=400 D．(30-2x)(16-x)=400
2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）
围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD(CD>2)边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另
用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？3．（23-24九年级上·天津和平·期末）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是李叔叔的软笔作品，
是长180cm，宽90cm的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽
度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变
成原作品的1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？
题型十三 增长率问题（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销
售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销
售额为600万元，若设5月、6月每月的增长率为x，则（ ）
A．300(1+x)=600 B．300+300(1+x)=600
C． D．
300(1+x) 2=600 300(1+2x)=600
2．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢
铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．
560(1+x) 2=1860
B．560+560(1+x)+560(1+2x)=1860
C．
560+560(1+x)+560(1+x) 2=1860
D．
560+560(1+2x) 2=1860
3．（24-25九年级上·吉林·期末）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶
段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标．(1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率．
(2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算
说明他们的目标能否实现．
题型十四 传染问题（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作
为纪念，全班学生共写了870份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 （ ）
x(x-1) x(x+1)
A． =870 B． =870 C．x(x-1)=870 D．x(x+1)=870
2 2
2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）巴黎奥运会网球女子单打冠军中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA
年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．如果计
划安排36场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有x名选手参加组内循环赛，根据题
意可列方程为（ ）
A．x(x-1)=36 B．x(x+1)=36
1 1
C． x(x+1)=36 D． x(x-1)=36
2 2
3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传
染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（ ）
A．x+x⋅x=225 B．x-x(1-x)=225
C．1+x+x(1+x)=225 D．1-x-(1-x)(1-x)=225
4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目
的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（ ）小分支．
A．8 B．9 C．2 D．8或2
5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流
感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？题型十五 经济问题（共 4 小题）
1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）大家乐超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，
为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降
低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价5元，则平均每天销售数量为 件；
(2)为尽快减少库存，并保证该超市每天销售这种商品的利润为1200元，每件商品应降价多少元？
2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买
A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2
倍．
(1)求商家购买A书籍和B书籍的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可
卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家
在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书
籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前
来旅游．某旅行社推出“丹东畅游团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进
行调研．
素材 9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的报
1 名人数将达到5760人．
经过研讨，旅行社初步制定方案为：
素材
①每团60人；
2
②每人团费1000元．
素材 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团
3 费不低于800元
问题解决
任务 确定增长率 求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率．
1
任务 拟定价格方案 若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费．
2
请根据以上素材，完成任务1，2．
4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出
一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和
销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么
该设备的销售单价应是多少万元？
题型十六 动态几何问题（共 5 小题）
1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度
均为1cm/s．
(1)运动几秒时，点P，Q相距6cm？
(2)△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？
2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm．点P从
点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4❑√2cm？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积1:2的两部分？若能，求出运
动时间；若不能说明理由．
3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图1，矩形ABCD纸片，AB=4cm，BC=3cm，动点P，Q分别从点
A同时出发，均以1cm/s的速度，点P沿AB-BC方向，到终点C停止运动：点Q沿AD-DC方向，到终点C停止运动，连接PQ，将矩形ABCD在PQ左下方的部分纸片沿PQ折叠得到如图2，设点P运
动的时间为x(s)，重叠部分图形的面积为y(cm2)．
(1)当点A落到CD边上时，求x的值；
(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x>3时，若△ACD以CD为腰的等腰三角形，直接写出x的值．
4．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
（1）AC= cm．
（2）现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，
如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点
时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当t= s时，PQ平分△ABC的面积．
5.（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB
向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点达到终点
时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为xs，求：(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
(2)当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；
(3)当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．
