文档内容
专题01 一元二次方程
（21个高频易错题型讲练 共42题 新教材）
【解析版】
易错题型1 由一元二次方程的解求参数............................................................................................................................1
易错题型2 一元二次方程的解的估算.................................................................................................................................2
易错题型3 由一元二次方程的定义求参数.......................................................................................................................3
易错题型4 解一元二次方程——直接开平方法..............................................................................................................4
易错题型5 解一元二次方程——配方法............................................................................................................................5
易错题型6 配方法的应用........................................................................................................................................................5
易错题型7 因式分解法解一元二次方程............................................................................................................................7
易错题型8 换元法解一元二次方程.....................................................................................................................................8
易错题型9 解分式方程(化为一元二次)..........................................................................................................................10
易错题型10 一元二次方程的根与系数的关系..............................................................................................................12
易错题型11 传播问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................................13
易错题型12 增长率问题(一元二次方程的应用).........................................................................................................15
易错题型13 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)...........................................................................................16
易错题型14 数字问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................................18
易错题型15 营销问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................................19
易错题型16 动态几何问题(一元二次方程的应用).....................................................................................................20
易错题型17 工程问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................................22
易错题型18 行程问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................................24
易错题型19 图表信息题(一元二次方程的应用).........................................................................................................26
易错题型20 其他问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................................27
易错题型21 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)...........................................................................................28
易错题型1 由一元二次方程的解求参数
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则4m2−6m+2025的值为 ．
【答案】2027
【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的概念，根据根的情况求代数式的值．由 m 是方程的根，可得
2m2−3m=1，再整体代入求值．
【规范解答】因为 m 是方程 2x2−3x−1=0 的一个根，
所以 2m2−3m−1=0，
即 2m2−3m=1．
那么 4m2−6m=2(2m2−3m)=2×1=2，
所以 4m2−6m+2025=2+2025=2027，
故答案为：2027．
2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则8m2−12m+2025的值
为 ．
【答案】2029
【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的根．根据一元二次方程根的定义得到2m2−3m−1=0，得
到2m2−3m=1，化8m2−12m+2025为4(2m2−3m)+2025，代入计算即得．
【规范解答】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，
∴2m2−3m=1，
∴8m2−12m+2025=4(2m2−3m)+2025=4×1+2025=2029．
故答案为：2029．
易错题型2 一元二次方程的解的估算
3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值：
x 1.21 1.22 1.23
ax2 +bx+c −0.04 −0.01 0.03
判断关于x的方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是（ ）
A．x<1.21 B．1.211.23
【答案】C
【思路点拨】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过0”的逻辑是解题
的关键．根据表格可知， x=1.22时函数值为−0.01（负）、x=1.23时函数值为0.03（正），进而确定方程ax2 +bx+c=0的一个解的范围．
【规范解答】∵当x=1.22时，ax2 +bx+c=−0.01<0；
当x=1.23时，ax2 +bx+c=0.03>0，
∴方程ax2 +bx+c=0的一个解x满足1.22B
(3)当x=4时，−x2 +y+9x−2有最大值17
【思路点拨】本题考查了配方法的应用，正确进行配方是解此题的关键．
（1）利用配方法将所求式子配方得出 ，再结合 ，即可得解；
(x−4) 2−4 (x−4) 2≥0
（2）计算出A−B，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解；
（3）由x+y=3得出y=3−x，代入所求式子，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判
断即可得解．【规范解答】（1）解：x2−8x+12
=x2−8x+16−4
，
=(x−4) 2−4
∵ ，
(x−4) 2≥0
∴ ，
(x−4) 2−4≥−4
∴x2−8x+12的最小值为−4；
（2）解：∵A=2x2−5x+4，B=x2−x−1，
∴
A−B=2x2−5x+4−(x2−x−1)
=x2−4x+5
，
=(x−2) 2 +1
∵ ，
(x−2) 2≥0
∴ ，
(x−2) 2 +1>0
∴A>B；
（3）解：∵x+y=3，
∴y=3−x，
∴−x2 +y+9x−2
=−x2 +3−x+9x−2
=−x2 +8x+1
=−(x2−8x+16)+1+16
，
=−(x−4) 2 +17
∵ ，
(x−4) 2≥0
∴ ，
−(x−4) 2 +17≤17
∴当x=4时，−x2 +y+9x−2有最大值17．
12．（25-26九年级上·江苏常州·期中）类比解一元二次方程的配方法，求多项式 x2 +6x+15的最小值为 ．
【答案】6
【思路点拨】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键．
通过配方法将二次多项式进行化简，利用平方非负性求最小值即可．
6 2
【规范解答】解：原多项式为 x2 +6x+15，进行配方：取一次项系数的一半的平方，即 ( ) =9，添加
2
并减去 9，
得 ，
x2 +6x+9−9+15=(x+3) 2 +6
由于 ，
(x+3) 2≥0
因此当 时， ，多项式取最小值 6．
x=−3 (x+3) 2 =0
故答案为 ：6．
易错题型7 因式分解法解一元二次方程
13．（25-26九年级上·山西晋中·期中）解下列方程：
(1)2x2−3x−5=0；
(2) ．
2x−4=(x−2) 2
5
【答案】(1)x = ，x =−1
1 2 2
(2)x =2，x =4
1 2
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解法等知识．
（1）利用公式法解方程即可求解；
（2）变形后利用因式分解即可求解．
【规范解答】（1）解：2x2−3x−5=0
a=2，b=−3，c=−5．
∵ ，
b2−4ac=(−3) 2−4×2×(−5)=49>0
∴方程有两个不相等的实数根．
∴ −b±❑√b2−4ac −(−3)±❑√49 3±7，
x= = =
2a 2×2 4
5
∴x = ，x =−1；
1 2 2（2）解：原方程可变形为2(x−2)=(x−2) 2，
2(x−2)−(x−2) 2 =0
因式分解得
(x−2)(2−x+2)=0
∴x−2=0或2−x+2=0．
∴x =2，x =4．
1 2
14．（25-26九年级上·新疆和田·期中）关于x的一元二次方程x2 +mx−6=0．
(1)当x=1时，求m的值及方程的另一个根；
(2)试说明：方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)m=5,x=−6
(2)见解析
【思路点拨】本题考查了解一元二次方程和根的判别式等知识点，能熟记根的判别式是解此题的关键．
（1）把x=1代入方程，求出m的值，再解方程求出即可；
（2）求出b2−4ac的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
【规范解答】（1）解：当x=1时，方程为12 +m−6=0，
解得：m=5，
将m=5代入方程，得：x2 +5x−6=0，
解得：x =−6,x =1，
1 2
即m=5，方程的另一个根为−6．
（2）解：∵Δ=b2−4ac=m2−4×1×(−6)=m2 +24>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
易错题型8 换元法解一元二次方程
15．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知−1和3是关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0的两根，则
关于x的方程a(x−1) 2 +b(x−1)+c=0的根为 ．
【答案】0或4
【思路点拨】本题考查了换元法解一元二次方程．
通过换元法，设t=x−1，将方程a(x−1) 2 +b(x−1)+c=0转化为at2 +bt+c=0，利用已知根−1和3是原
方程ax2 +bx+c=0的根，得到t的值，进而求解x．【规范解答】解：设t=x−1，则方a(x−1) 2 +b(x−1)+c=0化为at2 +bt+c=0，
∵−1和3是关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0的两根，
∴−1和3是方程at2 +bt+c=0的根，
∴t=−1或t=3．
当t=−1时，x−1=−1，解得x=0；
当t=3时，x−1=3，解得x=4；
故方程a(x−1) 2 +b(x−1)+c=0的根为x =0，x =4．
1 2
故答案为：0或4．
16．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4−5x2 +4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2 =y，那么
x4 =y2，于是原方程可变为y2−5 y+4=0①，解得y =1，y =4
1 2
当y=1时，x2 =1，∴x=±1；
当y=4时，x2 =4，∴x=±2；
原方程有四个根：x =1，x =−1，x =2，x =−2
1 2 3 4
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想．
(2)解方程：(x2 +x) 2 −4(x2 +x)−12=0
【答案】(1)换元；转化
(2)x =−3，x =2
1 2
【思路点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键．
（1）解方程运用了换元法，即体现了转化的数学思想；
（2）设x2 +x=m，则m2−4m−12=0，解方程得到m =−2，m =6，进而得到方程x2 +x=−2，
1 2
x2 +x=6，分别解这两个方程即可得到答案．
【规范解答】（1）解：由题意得，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现
了数学的转化思想；
（2）解：设x2 +x=m，
∴原方程可变为m2−4m−12=0，
∴(m−6)(m+2)=0，
解得m =−2，m =6，
1 2
当m=−2时，x2 +x=−2，即x2 +x+2=0，
∵Δ=12−4×1×2=−7<0，∴此时方程x2 +x+2=0无解；
当m=6时，x2 +x=6，即x2 +x−6=0，
∴(x+3)(x−2)=0，
解得x =−3，x =2．
1 2
易错题型9 解分式方程(化为一元二次)
17．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）阅读材料，解答问题
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘y得：y2−4=0，
x y
解得：y=±2，
4
经检验：y=±2都是方程y− =0的解，
y
x−1
∴当y=2时， =2，解得：x=−1，
x
x−1 1
当y=−2时， =−2，解得：x= ，
x 3
1
经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的解，
3
1
∴原分式方程的解为x=−1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
x−2 x x−2
(1)若方程 − =0，设y= ，则原方程可化为____________．
4x x−2 x
x−2 4(x+3)
(2)模仿上述换元法解方程： − =0
x+3 x−2
(3)已知x,y满足方程(x2−2y2 +3)(x2−2y2−3)=16，结合换元法的思路，求2x2−4 y2 +4的值．
y 1
【答案】(1) − =0
4 y
4
(2)x=−8或x=−
3
(3)14或−6
【思路点拨】本题考查换元法解一元二次方程，换元法解分式方程，公式法因式分解，将原式进行正确的换元是解题的关键．
x−2 y 1
（1）设y= 则原方程化为 − =0即可．
x 4 y
x−2 4
（2）设y= ，则原方程化为y− =0，解方程检验即可；
x+3 y
（3）x2−2y2 =a，从而得到关于a的一元二次方程，解方程并代入求值即可．
x−2 x x−2 y 1
【规范解答】（1）解：若方程 − =0，设y= ，则原方程可化为 − =0，
4x x−2 x 4 y
y 1
故答案为： − =0；
4 y
x−2 4(x+3) x−2
（2） − =0，设y= ，
x+3 x−2 x+3
4
则原方程可化为y− =0，
y
方程两边同时乘y得：y2−4=0，
解得：y=±2，
4
经检验：y=±2都是方程y− =0的解，
y
x−2
∴当y=2时， =2，解得：x=−8，
x+3
x−2 4
当y=−2时， =−2，解得：x=− ，
x+3 3
4
经检验：x=−8或x=− 都是原分式方程的解，
3
4
∴原分式方程的解为x=−8或x=− ．
3
（3）设x2−2y2 =a，
则原方程为(a+3)(a−3)=16，
∴a2 =25，
∴a=±5，
∴x2−2y2 =±5，
当x2−2y2 =5时，2x2−4 y2 +4=2(x2−2y2)+4=2×5+4=14，
当x2−2y2 =−5时，2x2−4 y2 +4=2(x2−2y2)+4=2×(−5)+4=−61 1 1 1 1
18．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于x的方程x+ =c+ 的解为x =c,x = ,x− =c−
x c 1 2 c x c
−1 −1 1 2 2 2 3 3
（可变形为x+ =c+ ）的解为x =c,x =− ,x+ =c+ 的解为x =c,x = ,x+ =c+ 的解为
x c 1 2 c x c 1 2 c x c
3
x =c,x = ，…．
1 2 c
m m
(1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+ =c+ (m≠0)的解；
x c
2 2
(2)请总结上面的结论，并求出方程x+ =a+ 的解．
x−1 a−1
m
【答案】(1)x =c,x =
1 2 c
n n n a+1
(2)结论：方程x+ =c+ (n≠0)的解为x =c,x = ；x =a,x =
x c 1 2 c 1 2 a−1
m m
【思路点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，将方程转化为x+ =c+ 的形式．由已知得
x c
出分式方程的解及其规律是解题关键．解分式方程注意要检验．
m m
（1）观察所给材料的规律得出方程x+ =c+ (m≠0)的解即可；
x c
2 2 2 2
（2）将x+ =a+ 变形为x−1+ =a−1+ ，求得x−1的值后再来求x的值即可．
x−1 a−1 x−1 a−1
1 1 1
【规范解答】（1）解：∵关于x的方程x+ =c+ 的解为：x =c,x = ，
x c 1 2 c
2 2 2
x+ =c+ 的解为x =c,x = ，
x c 1 2 c
3 3 3
x+ =c+ 的解为x =c,x = ，
x c 1 2 c
…，
m m m
∴关于x的方程x+ =c+ (m≠0)的解为x =c,x = ．
x c 1 2 c
m m m
（2）解：结论：方程x+ =c+ (m≠0)的解为x =c,x = ．
x c 1 2 c
2 2
关于x的方程x+ =a+ ，
x−1 a−1
2 2
即x−1+ =a−1+ ，
x−1 a−12
则x−1=a−1或x−1= ，
a−1
a+1
解得x =a,x = ．
1 2 a−1
易错题型10 一元二次方程的根与系数的关系
19．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知a，b是方程x2 +2x−9=0的两个实数根，则(a−1)(b−1)
的值为（ ）
A．−10 B．−6 C．8 D．12
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，运用根与系数的关系
得到a+b,ab的值是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到a+b,ab的值，再对(a−1)(b−1)变形后整体代入计算即可．
【规范解答】解：∵ a，b是方程x2 +2x−9=0的两个实数根，
∴a+b=−2，ab=−9，
∴ (a−1)(b−1)=ab−a−b+1=ab−(a+b)+1=−9−(−2)+1=−9+2+1=−6．
故选B．
20．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知：关于x的方程(a−1)x2 +2ax+a+1=0(a≠1)．
(1)求证：无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若a为正整数，同时方程的两个根均为整数，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)a=2，a=3
【思路点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可；
( 2 ) −a+1
（2）运用求根公式得到x =− 1+ ,x = =−1，结合题意判定即可．
1 a−1 2 a−1
【规范解答】（1）证明：关于x的方程(a−1)x2 +2ax+a+1=0(a≠1)，
∴Δ=(2a) 2−4×(a−1)×(a+1)
=4a2−4(a2−1)
=4>0，∴无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根；
−2a±❑√4 −a±1
（2）解：x= = ，
2(a−1) a−1
−a−1 a+1 a−1+2 ( 2 ) −a+1
∴x = =− =− =− 1+ ,x = =−1，
1 a−1 a−1 a−1 a−1 2 a−1
∵方程的两个根均为整数，且a为正整数，
∴a−1=1或a−1=2，
解得，a=2或a=3．
易错题型11 传播问题(一元二次方程的应用)
21．（25-26九年级上·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ）
A．第一轮后有(x+1)个人患了流感
B．第二轮后又增加x(x+1)个人患流感
C．依题意可列方程x+1+x(1+x)=144
D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感
【答案】D
【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键；
本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有144人感染可得方程．
【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染增加了x个人患了流感，第一轮后
共有(x+1)个人患了流感；
第二轮传染后增加了x(1+x)个人患了流感，第二轮传染后共有[x+1+x(1+x))个人患了流感，可得方程
x+1+x(1+x)=144；
解得：x=11，或x=−13（舍去）
第三轮传染后增加了144×11=1584人，此时共有144+1584=1728人患流感，
故选项A、B、C、均正确，不符合题意，
D选项错误，符合题意；
故选：D．
22．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，求每轮
传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个入传染了x个人，则依题意可得方程（ ）
A．1+x+x2 =121 B．1+x+x(1+x)=121
C．x2 =121 D．1+2x=121【答案】B
【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染
后总患者为(1+x)人；第二轮传染时，这些患者每人传染x人，故新增患者为x(x+1)人，两轮后总患者
为[1+x+x(1+x))人，故可得方程．
【规范解答】∵ 初始患者为1人，
每轮传染中平均一人传染x人，
∴ 第一轮后患者总数为：(1+x)人，
第二轮传染时，有(1+x)个患者，每人传染x人，
∴ 第二轮新增患者为：x(1+x)人，
∴ 两轮后总患者为：[1+x+x(1+x))人，
故方程为1+x+x(1+x)=121．
故选：B．
易错题型12 增长率问题(一元二次方程的应用)
23．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）近年来，句容某地大力推广种植多个优质葡萄品种，其中“阳
光玫瑰”因其品质卓越、口感独特而备受消费者青睐，现已广泛种植．该地一葡萄种植大户2020年种植
“阳光玫瑰”50亩，到2022年“阳光玫瑰”的种植面积达到72亩．
(1)求该种植户这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率；
(2)某超市调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出160千克，售价每降价0.5元，每
天可多售出20千克，为了推广宣传，该超市决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该超市“阳光玫瑰”
的平均成本价为12元/千克，该超市“阳光玫瑰”每千克降价多少元时，每天可获利1400元？
【答案】(1)该种植户这两年 “阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为20%
(2)该超市“阳光玫瑰”每千克降价3元时，每天可获利1400元．
【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2020年及2022年“阳光玫
瑰”的种植面积列出关于x的一元二次方程求解即可；
y
（2）设售价应降低y元，则每天可售出(160+ ×20)千克；根据总利润、每千克的利润、销售数量的
0.5
关系列出关于y的一元二次方程，解出方程后，根据题中“尽量减少库存”的要求，选择能使销售量更大
的解．
【规范解答】（1）解：设该种植户这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x．50(1+x) 2 =72；
x =0.2，x =−2.2（舍去）；
1 2
答：该种植户这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为20%．
（2）设该超市“阳光玫瑰”每千克降价y元时，每天可获利1400元.
( y )
(20−y−12) 160+ ×20 =1400；
0.5
y2−4 y+3=0；
y =3，y =1；
1 2
当y=1时，销量为160+40×1=200千克；
当y=3时，销量为160+40×3=280千克；
根据题干“尽量减少库存”的要求，应选择销量较大的方案，
故取y =3，y =1（舍去）；
1 2
答：该超市“阳光玫瑰”每千克降价3元时，每天可获利1400元.
24．（25-26九年级上·陕西西安·期中）今年双十一购物节期间，某商店为了促销，决定下调某款服装
的价格，已知经过两次降价后，每件服装的价格由125元降到80元，则这款服装平均每次降价的百分率为
．
【答案】20%
【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设平均每次降价的百分率为x，根据降价规律列出方程求解即可．
【规范解答】解：设平均每次降价的百分率为x．
经过两次降价，价格关系为125(1−x) 2 =80，
解得：x =0.2=20%,x =1.8（不符合题意）．
1 2
答：这款服装平均每次降价的百分率为20%．
故答案为：20%．
易错题型13 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
25．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划建一处劳动实践基
地，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图1所示的矩形ABCD，所用的篱笆长36米，设
垂直于墙的一边长AB为x米．(1)珍珍按图1的方案进行设计得出该矩形劳动实践基地的面积为144平方米，求她设计的AB的长；
(2)为了让师生进出方便，老师修改了图1的方案，在平行于墙的一边（BC边）上留出一个宽1m的小门
EF，如图2，使得围成的矩形劳动实践基地的而积为150平方米，求此时AB的长度．
【答案】(1)AB的长12米．
(2)AB的长12.5米．
【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的应用．
（1）设垂直于墙的一边长AB为x米．则BC=(36−2x)米，再利用面积公式建立方程即可；
（2）设垂直于墙的一边长AB为m米．则BC=(36−2m+1)米，再利用面积公式建立方程即可．
【规范解答】（1）解：设垂直于墙的一边长AB为x米．则BC=(36−2x)米，
∴x(36−2x)=144,
整理得：x2−18x+72=0, 即(x−6)(x−12)=0,
解得：x =12,x =6,
1 2
当x=6时，36−2x=36−12=24>20, 不合题意舍去，
∴x=12,
此时AB的长12米．
（2）设垂直于墙的一边长AB为m米．则BC=(36−2m+1)米，
∴m(36−2m+1)=150,
整理得：(2m−25)(m−6)=0,
解得：m =12.5,m =6,
1 2
当m=6时，36−2m+1=36−12+1=25>20, 不合题意舍去，
∴m=12.5,
此时AB的长12.5米．
26．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）小莹手中有两段长分别为30cm和32cm的铁丝，打算用其中的
一段铁丝折成一个面积为60 cm 2的矩形．
(1)她应当选择用哪段铁丝？为什么？
(2)求出折成的矩形的边长．
【答案】(1)她应当选择用32cm的铁丝，因为用30cm的铁丝无法折成面积为60 cm 2的矩形．(2)折成的矩形的边长为10cm和6cm．
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
（1）当选择用30cm的铁丝时，设矩形的长为xcm，则矩形的宽为(15−x)cm，依题意列出一元二次方程，
此时方程无实数根；当选择用32cm的铁丝时，设矩形的长为ycm，则矩形的宽为(16−y)cm，依题意列出
一元二次方程，此时方程有解，即可得出她应当选择用32cm的铁丝；
（2）根据第（1）问，当选择用32cm的铁丝时，求出一元二次方程的解，即可求得折成的矩形的边长．
【规范解答】（1）解：她应当选择用32cm的铁丝，理由如下：
当选择用30cm的铁丝时，
设矩形的长为xcm，则矩形的宽为(15−x)cm，
依题意得：x(15−x)=60，
整理得：x2−15x+60=0，
Δ=(−15) 2−4×60=−15＜0，
∴原方程无实数根．
∴不能选用30cm的铁丝．
当选择用32cm的铁丝时，
设矩形的长为ycm，则矩形的宽为(16−y)cm，
依题意得：y(16−y)=60，
整理得：y2−16 y+60=0，
解得：y =6，y =10．
1 2
∴应当选择用32cm的铁丝．
（2）由（1）得，折成的矩形的边长为10cm和6cm．
易错题型14 数字问题(一元二次方程的应用)
27．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是( )
A．2、4、6 B．4、6、8
C．−6、−4、−2或2、4、6 D．−8、−6、−4或4、6、8
【答案】C
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，未知数表示出这三个连续偶数列出方程是解题的关键．设
三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为x−2、x+2，然后根据它们的平方和等于56列出方程，
解之即可．
【规范解答】解：设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为x−2、x+2，根据题意可得(x−2) 2 +x2 +(x+2) 2 =56，
解得x=±4，
∴这三个数分别为−6、−4、−2或2、4、6．
故选：C．
28．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知整数a与b的平方和可以表示为a2 +b2，现有两个连续
的正整数．
【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和；
【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数．
【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论；
（2）设较小的正整数是x，则较大的正整数是x+1，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于
x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【规范解答】解：（1）∵较小的数是3，
∴较大的数是4，
∴它们的平方和是32 +42 =25．
答：它们的平方和是25；
（2）设较小的正整数是x，则较大的正整数是x+1，
根据题意得：x2 +(x+1) 2 =145，
整理得：x2 +x−72=0，
解得：x =8，x =−9（不符合题意，舍去），
1 2
∴x+1=8+1=9．
答：这两个正整数分别是8和9．
易错题型15 营销问题(一元二次方程的应用)
29．（25-26九年级上·山西晋中·期中）2025年8月21日，国务院印发《关于深入实施“人工智能+”
行动的意见》，聚焦科技、产业、消费、民生、治理、全球合作等六大重点领域，明确了我国人工智能发
展的阶段目标．某科技园区一家企业为了迎合市场需求推出了具有AI交互功能的智能摆件，已知成本价为
80元/件，当销售价定为120元/件时，平均每天售出20件．据调查，销售价每降低2元/件，平均每天多
售出4件．该企业要求每天的利润达到1200元，为尽可能让利于顾客，销售价需定为多少元/件？
【答案】销售价需定为100元/件【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语，找到等量关系，然后准确
的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
120−x
设每件的售价应降低x元，那么可以卖出(20+ ×4)件，每件利润(x−80)元，根据等量关系：每天
2
盈利1200元，可列方程求解即可．
【规范解答】解：设销售价需定为x元/件．
( 120−x )
根据题意，得(x−80) 20+ ×4 =1200．
2
解得x =100，x =110．
1 2
∵要尽可能让利于顾客，
∴x=100．
答：销售价需定为100元/件．
30．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）某商场将进货单价为30元的商品按60元出售时，每天能卖出
20件，经市场调研发现，若每件商品的单价每降价1元，则每天可多卖出4件，商场为了保证获得1200元
的利润，则每件商品的售价应定为多少元？嘉淇根据题意列出了方程(60−30−x)(20+4x)=1200，下
列说法错误的是（）
A．x表示每件商品的售价降低了x元
B．x表示每件商品的售价为x元
C．代数式(60−30−x)表示每件商品的利润
D．代数式(20+4x)表示销售的数量
【答案】B
【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用；嘉淇所列方程中，x表示每件商品降价金额，而非售价；代
数式(60−30−x)表示降价后每件利润，(20+4x)表示降价后销售数量．选项B将x误解为售价，因此错
误．
【规范解答】解：∵方程(60−30−x)(20+4x)=1200中，60为原售价，30为进货单价，
∴60−30=30为原利润；x为降价金额，
∴60−30−x=30−x为降价后每件利润；20为原销量，每降1元多卖4件，
∴20+4x为降价后销量．方程表示(降价后利润)×(销量)=1200．选项A正确，
x表示降价金额；选项B错误，
(60−30−x)表示每件利润；选项C正确，(20+4x)表示销量，选项D正确．
∴说法错误的是B．故选：B．
易错题型16 动态几何问题(一元二次方程的应用)
31．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=24cm，点M从点A
出发沿AD以3cm/s的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿CB以5cm/s的速
度向点B移动．经过多长时间，M、N两点之间的距离是13cm？
3 9
【答案】 秒或 秒
2 2
【思路点拨】本题考查了动点问题，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题关键在于正确表
示线段长度，构造直角三角形，建立方程，易错点在于忽略解的合理性；设运动时间为t秒，用t表示线段
AM，CN，AE，ME，构造图形与关系，应用勾股定理建立方程，解出方程并检验是否符合题意，即检
验t值有没有使得M，N点的运动超出矩形范围，超出需舍去．
【规范解答】解：设经过t秒时，M、N两点之间的距离是13cm，
则AM=3tcm，CN=5tcm，
如图，过点N作NE⊥AD于点E，则四边形ABNE是矩形，
∴NE=AB=5cm，AE=BN=(24−5t)cm，
∴ME=|AE−AM)=|24−5t−3t)=|24−8t)(cm)．
根据题意得：M E2 +N E2 =M N2，
即(24−8t) 2 +52 =132，
3 9
解得t = ，t =
1 2 2 2
9 3
24÷5=4.8（秒）， =4.5<4.8， =1.5<4.8
2 2
经检验，两个值都符合题意．3 9
答：经过 秒或 秒，M、N两点之间的距离是13cm．
2 2
32．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点
P从点A出发，沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，
点P、Q同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动．
(1)几秒后，△PBQ的面积为4cm 2？
(2)几秒后，PQ的长为5cm？
【答案】(1)1秒后，△PBQ的面积为4cm 2
(2)2秒后，PQ的长为5cm
【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设t秒后，△PBQ的面积为4cm 2，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；
（2）设t秒后，PQ的长为5cm，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【规范解答】（1）解：设t秒后，△PBQ的面积为4cm 2，
由题意，AP=tcm,BQ=2tcm，(0≤t≤3.5)，
∴BP=AB−AP=(5−t)cm，
1
∴ ⋅2t(5−t)=4，解得t=1或t=4（不合题意，舍去）；
2
故1秒后，△PBQ的面积为4cm 2；
（2）由（1）和勾股定理可得：(5−t) 2 +2t2 =52，
解得t=0（舍去）或t=2；
故2秒后，PQ的长为5cm．
易错题型17 工程问题(一元二次方程的应用)
33．（24-25九年级上·福建泉州·月考）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000
米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小
型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米
2
（1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个
3工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米
多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值
0 0
多3.2a ，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了a ，
0 0
(1 )0
使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多 a+30 ，求a的值．
2 0
【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；（2）32．
【思路点拨】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，根据总工作量大于等于39000米列
出不等式求解即可；
（2）根据题意列出方程并求解，然后舍去不合题意的解即可．
( 2)
【规范解答】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 1+ x
3
小时，
( 2)
根据题意得：30x+60 1+ x≥39000，
3
解得：x≥300，
答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；
( 2) 1
（2）由题意得：300×（1+3.2a%）×30+60×（1-a%）×300 1+ ×（1+ a%+30%）=39000+9000，
3 2
整理得：a(a−32)=0，
解得：a=0或32，
∵a﹥0，
∴a=32，
故a的值是32．
34．（2024·湖北宜昌·中考真题）某市总预算 亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路
敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数
额的投资.
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加 亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始
遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程
在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投
资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线
路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2.
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.
【答案】（1）36；（2）35亿元；（3）50%
【思路点拨】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之
比达到3：2，可得答案．
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x
亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得
x、b的值可得答案．
（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百
分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．
2
【规范解答】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54× =36（亿元）；
3
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x
亿元，
{ 2x+2x+b+x+2b=54 )
根据题意，得： ( 1.5b) ( 1.5b) ，
x+ 1+ x+x+ 1+ x+4=36
2x 2x
{x=5)
解得： ，
b=8
∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；
（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，
设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，
由题意，得：20（1﹣y）2=5，
解得：y=0.5，y=1.5（舍）
1 2
答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．易错题型18 行程问题(一元二次方程的应用)
35．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，
紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行20米时用了多长时间？
【答案】(1)15米/秒；2秒
(2)15米/秒
6−2❑√3
(3) 秒
3
【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减
少量=总共减少的车速÷时间，由此可求得答案；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了x秒，这时车速为(30−15x)米/秒，，继而可表示出这段路程内
的平均车速，根据“路程=平均速度×时间”列方程并求解，即可获得答案．
【规范解答】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米，
30+0
则在这段时间内的平均车速为 =15米/秒；
2
30
从刹车到停车所用的时间是 =2秒；
15
（2）从刹车到停车车速的减少值是30−0=30，
30
从刹车到停车每秒平均车速减少值是 =15米/秒；
2
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了x秒，这时车速为(30−15x)米/秒，
30+(30−15x) ( 15 )
则这段路程内的平均车速为 = 30− x 米/秒，
2 2
( 15 )
所以x 30− x =20，
2
整理，得3x2−12x+8=0，
6−2❑√3 6+2❑√3
解得x = ，x = （不合题意，舍去），
1 3 2 36−2❑√3
答：刹车后汽车行驶到20米时用了 秒．
3
36．（2024·安徽宣城·一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1
分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【思路点拨】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即
可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多
少分钟．
n(n+3)
【规范解答】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
2
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
n(n+3)
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 +5n＝3×70，
2
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
易错题型19 图表信息题(一元二次方程的应用)
37．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．【思路点拨】设参加这次旅游的员工有x人，由30×80=2400<2800可得出x>30，根据总价=单价×人数，
即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【规范解答】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x=40，x=70．
1 2
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
38．（24-25九年级上·山东·课后作业）海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，
N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以
上信息，推算出起步价N的值吗?
里程x（km） 0＜x≤3 3＜x≤6 x＞6
22 25
单价y（元） N
N N
【答案】见解析
【思路点拨】里程11公里，应收29.1元，即：起步价+3公里到6公里这段的收费+大于6公里部分的价格
=29.1元，据此相等关系即可列方程求解．
22 25
【规范解答】由题意，可列出方程N+(6−3)· +(11−6) =29.1．
N N
解之，N2—29.1N+191=0．
∴N=10，N=19.1（不合题意舍去）
1 2
∴起步价是10元．
易错题型20 其他问题(一元二次方程的应用)
39．（25-26九年级上·北京海淀·期中）某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音
乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音
乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人
则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参
加表演的机器人的总个数．
【答案】64个
【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为n2．进一步得到出列后剩余机器人数为n2−4．结合长方形方阵的列数和行数的变化列出等式求解，根据
长方形的边长排除不合理根即可．
【规范解答】解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为n2．
出列4个机器人后，剩余机器人数为n2−4．
长方形方阵的列数为2n−1，行数为n−4．
根据题意，有(n−4)(2n−1)=n2−4，
化简得，n2−9n+8=0，解得n=1或n=8，
∵n=1时，行数n−4=−3（不合理），
∴n=8．
总机器人数为n2 =64．
答：此次参加表演的机器人的总个数为64．
40．（25-26九年级上·陕西西安·期中）某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成
员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有x名同学，则根据题意，可列方程
为 ．
【答案】x(x−1)=210（其他形式正确也可）
【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案．设小组有x名同学，
则每位同学向其他成员赠送(x−1)件标本，总赠送标本数为与(x−1)的乘积，据此列出方程．
【规范解答】解：由题意，每位同学赠送的标本数量为(x−1)件，小组共有名同学，
∴总赠送标本数为x(x−1)件，
∵总赠送标本数为210件，
∴可列方程为x(x−1)=210．
故答案为：x(x−1)=210．
易错题型21 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)
41．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给
该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的
所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【思路点拨】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程求解，解题关键是理解题意．
n(n−1)
设亲友团人数为n，集体照冲印n份（每人一份），每张合影冲印2份（每人一份），合影张数为 ，
2n(n−1)
总冲印照片数为n+2× =n2 ，然后列方程求解即可．
2
【规范解答】解：∵ 集体照1张，每人需1份，冲印n张；
n(n−1) n(n−1)
∵ 每两位合影1张，共 张，每张冲印2份，冲印2× =n(n−1)张；
2 2
∴ 总冲印照片数=n+n(n−1)=n2；
∵ n2 =256，
∴ n=16，（负值已舍），
故选：C．
42．（25-26九年级上·山西晋城·期中）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要
进行一场比赛，初赛共进行了45场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为 ．
1
【答案】 x(x−1)=45
2
【思路点拨】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用．设共有x个队参加比赛，每个队与其他
(x−1)个队各赛一场，由于每场比赛涉及两个队，总比赛场数需除以2以避免重复计算，因此总比赛场数
1
为 x(x−1)，根据总场数为45，即可列出方程．
2
【规范解答】解：设有x个队参加比赛，
1
根据题意得 x(x−1)=45，
2
1
故答案为： x(x−1)=45．
2
