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专题 01 一元二次方程（5 知识&15 题型&5 易错&9 方法清单）【清单01】一元二次方程的概念
一元二次方程
【清单02】一元二次方程的解法
解法
【清单03】一元二次方程的判别式
【清单04】二次三项式的因式分解
步骤：
【清单05】一元二次方程的应用题一般步骤：
【题型一】一元二次方程的定义
【典例1】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）下列方程中关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
ax2+bx+c=0 x2-2y-1=0 x2-x(x-2)-1=0 x2-2x-3=0
【变式1】（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于 的方程 是一元二次方程，则
x (m-1)x|m+1|+mx-1=0
（ ）
A．m=1 B．m≠1 C．m=-3 D．m=1或m=-3
【变式2】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③
1
x2- =4，④x2=0是一元二次方程的是（ ）
x
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④
【题型二】一元二次方程的一般形式
【典例2】（24-25九年级上·福建漳州·期末）方程3x2=2-5x化成一般形式是 ．
【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）方程x2-4x-7=0的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．-4 D．-7
【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程9x2=5-4x化为一般形式后，二次项系数、一
次项系数、常数项分别是（ ）．
A．9，5，-4 B．9，4，-5 C．9，-5，4 D．9，-4，5
【变式3】（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程x(2x-1)=4x化成一般式，则a,b,c的值分
别是 （ ）
A．1，4，1 B．2，-5，0 C．3，4，0 D．-2，-5，1
【题型三】一元二次方程的解
【典例3】（24-25九年级上·江西南昌·期末）若x=1是方程x2-bx-2=0的一个解，则b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程x2-x+3=0的一个根，则2019-m2+m的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程x2-4=0成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【变式3】（24-25九年级上·广西北海·期末）若x=1是关于x的一元二次方程x2-mx=0的一个根，则m的
值为( )
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【题型四】解一元二次方程-配方法
【典例4】（24-25九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程x2-8x+8=0，此方程可变形为
（ ）
A． B． C． D．
(x-4) 2=4 (x+4) 2=4 (x-4) 2=8 (x+4) 2=8
【变式1】（24-25八年级下·云南昆明·期末）用配方法解方程x2+4x-11=0时，若将方程变形为
，则 （ ）
(x+m) 2=n m+n=
A．18 B．20 C．19 D．17
【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：x2-4x=96．
【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：(x+3)(x+7)=-2．
【题型五】解一元二次方程-公式法
【典例5】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）解方程：3x2-8x+3=0．
2+❑√4-4×(-1)
【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）若x= 是某个一元二次方程的一个根，则
2
这个一元二次方程可以是（ ）A．x2-2x-1=0 B．x2+2x-1=0
C．x2+2x+1=0 D．x2-2x+1=0
【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：x2-4x-6=0．
【题型六】解一元二次方程-因式分解法
【典例6】（24-25八年级下·北京平谷·期末）解方程：
(1)2x2=3x (2)x2-6x-16=0
【变式1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）方程x(x+2)=3(x+2)的根是（ ）
A．x=3 B．x=-2
C．x =-2，x =3 D．x =-3，x =2
1 2 1 2
【变式2】（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号
max{a,b}表示a，b中的较大值，如：max{2,4}=4，max{-2,-4}=-2等等；按照这个规定，若
，则 的值是（ ）
max{-1,5}=x2-3x-5 x
A．5 B．5或-2 C．5或3 D．3或0
【变式3】（24-25九年级上·河南商丘·期末）若二次三项式x2+mx-n可以分解为(x+3)(x-7)，则方程
x2+mx-n=0的两根为（ ）
A．3和7 B．-3和-7 C．3和-7 D．-3和7
【变式4】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）解方程：x2+6x-7=0．
【题型七】用适当的方法解方程
【典例7】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）用适当的方法解关于x的一元二次方程：
(1)x2-2x-1=0 (2)x(x-3)+x-3=0【变式1】（23-24九年级上·云南昆明·期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2+4x=0； (2)2x2+3x+1=0．
【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x(4x-1)=9-x； (2)x2-6x-16=0．
【变式3】（23-24九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程：
(1) ； (2) ．
x2-6x-3=0 2(x-2) 2=3(x-2)
【题型八】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【典例8】（25-26九年级上·河南·期末）关于x的一元二次方程x2-2x=-1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【变式1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一元二次方程3x2+4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：m*n=m2-mn-3，例如：
2*3=22-2×3-3=-5，则关于x的一元二次方程x*3=1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有实数根 D．有两个不相等的实数根
【题型九】根据一元二次方程根的根的情况求参数【典例9】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，则实数m的
取值范围是（ ）
A．m≤1 B．m<1 C．m≥1 D．m>1
【变式1】（24-25九年级上·广东梅州·期末）若一元二次方程 x²+mx+1=0有两个相等的实数根，则m
的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±8 D．±❑√2
【变式2】（24-25八年级下·重庆江北·期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k> B．k≥ C．k< D．k≤
4 4 4 4
【变式3】（24-25九年级上·广东韶关·期末）若关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根，则k的
取值范围是（ ）
A．k<-2 B．k>-2 C．k<-1 D．k>-1
【题型十】一元二次方程根与系数的关系
【典例10】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x ，x ，
1 2
1 1
且 + =5，则p的值为（ ）
x x
1 2
2 2
A．- B． C．-10 D．10
5 5
【变式1】（24-25九年级上·河北·期末）已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根分别为x ，x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．
x2+x2=5
1 2
【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是-6，则
另一个根是（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1【变式3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）若一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根为x ，x ，则
1 2
x x 的值为（ ）
1 2
A．1 B．-1 C．-2 D．2
【变式4】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知x ,x 是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，则
1 2
x x +x +x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【变式5】（24-25九年级上·河北唐山·期末）α, β是方程x2-2x+m=0的两个根，若α2+β2=2，则m的
值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【变式6】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若α，β是方程x2+2x-2024=0的两个实数根，则
α2+3α+β的值为（ ）
A．2024 B．2022 C．-2024 D．4048
【题型十一】一元二次方程应用-与几何图形的综合应用
【典例11】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长
度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用
其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为61平方米吗？请说明理由．
【变式1】（24-25九年级上·北京丰台·期末）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些
发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长100cm，宽40cm
的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640cm2，若展板外沿与海报之间、相邻海报之
间均贴有宽度为xcm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）有两张长12cm，宽10cm的矩形纸板，分别按照图1与图2
两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一
个．
(1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）．
(2)若图1中裁去的小正方形边长为2cm，则做成的纸盒的底面积是______．
(3)若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2，则剪去的小正方形的边长为多少cm？
【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期末）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机
表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了4m，另一边减少了2m，
剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为xm．
(1)起飞区的边AB的长为______m（用含x的代数式表示）；
(2)若起飞区的面积为120m2，求原正方形空地的边长．【题型十二】一元二次方程应用-增长率问题
【典例12】（24-25九年级上·广西来宾·期末）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和
团队精神，2024年10月21日至24日某市开展青少年机器人竞赛活动．某商家为本次比赛供应器材，
因供过于求，还余20套器材需要进行零售．为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器
材的售价为100元，经过两次降价后每套器材的售价为81元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求每次降价的百分率；
(2)若每套器材的进价为76元，通过以上两次降价的方式，将剩余的20套器材全部售出，并且确保两
次降价销售的总利润不少于200元，那么第一降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价？
【变式1】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公
报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.22万元和3.69万元．设2020年至
2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A． B．
3.22(1-x) 2=3.69 3.22(1+x) 2=3.69
C． D．
3.69(1-x) 2=3.22 3.69(1+x) 2=3.22
【变式12】（24-25九年级上·四川德阳·期末）电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天
票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达728万元，设平均每天
票房的增长率为x，则方程可以列为（ ）
A． B．
200(1+x) 2=728 (1+x) 2=728
C． D．
200+200(1+x)+200(1+x) 2=728 200+200x+200x2=728
【变式13】（24-25九年级上·广东佛山·期末）某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利20元，其
中2024年10月1日至10月4日的日销售量如图所示．
(1)求2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率；
(2)用你学过的知识预估2024年10月5日的日销售盈利情况．
【题型十三】一元二次方程应用-传染问题
【典例13】（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴
上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两
轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染中平均一个人传
染了几个人？
【变式1】（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，
则参加聚餐的人数为（ ）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【变式2】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有
144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（ ）
A．x+2(1+x)=144 B．1+x(x+1)=144
C．1+x+x(x+1)=144 D．x(x+1)=144
【变式3】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）九年级毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，
每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片．设晚会上有x人，则可列方程为（ ）
1
A．x(x+1)=110 B． x(x-1)=110
2
1
C．x(x-1)=110 D． x(x+1)=110
2
【变式4】（23-24九年级上·四川泸州·期末）小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，
每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小
分支个数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【题型十四】一元二次方程应用-经济问题
【典例14】（24-25九年级上·河南周口·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成
本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，
单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村
全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量是50000kg，
12月份的水果销售量是72000kg．
(1)若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某店铺的水果进价为6元/kg，若售价为10元/kg，每天能销售200kg，售价每降
价0.1元，每天可多售出20kg．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？【变式2】（24-25九年级上·四川达州·期末）某商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商
品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定
为多少元？
【变式3】（25-26九年级上·山西临汾·月考）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，
就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经
统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？(2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销
售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？
【题型十五】一元二次方程应用-动态几何问题
【典例15】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P从
点A出发，以每秒3cm的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒2cm的速度向点D匀
速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动．
(1)经过多少时间时，四边形APQD为矩形；
(2)经过多少时间时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是10cm．
【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P
从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，
P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则（ ）秒后，△CPQ的面积等于5．A．1 B．5 C．1或5 D．2或4
【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，点P从点A开
始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速
度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒
（t>0）．
(1)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，
请说明理由．
【变式2】（22-23九年级上·广东东莞·期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=32，BC=16，一动点P
从点C出发沿C→B方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿A→C
C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为
t秒．
(1)当t为何值时，△PCQ是等腰直角三角形？
1
(2)当S = S 时，求t的值；
△PCQ 4 △ABC(3)在运动过程中，线段PQ能平分△ABC的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【题型一】根据一元二次方程根的情况求参数
1．（22-23九年级下·辽宁本溪·开学考试）如果关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，那么
k的取值范围是 ．
2．（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于x的一元二次方程mx2-2x+3=0有两个相等的实数根，则m
的值为 ．
【题型二】一元二次方程应用-增长率问题
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）某商店销售美味的靖远羊肉，去年第二季度的总利润达13902元，4
月的利润为4200元．设该商店5，6月销售羊肉利润的月平均增长率为x，则可列出方程为（ ）
A． B．
4200(1+x) 2=13902 4200(1+x)+4200(1+x) 2=13902
C． D．
4200(1+x%) 2=13902 4200+4200(1+x)+4200(1+x) 2=13902
2．（24-25九年级上·重庆·期末）据报道，某人工智能科技公司2023年的年利润为500万元，由于其在技
术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到2025年的年利润预计将达到720万
元，设该公司这两年年利润的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．
500(1+x) 2=720
B．
500(1+2x) 2=720
C．
500(1+x)+500(1+x) 2=720
D．
500+500(1+x)+500(1+x) 2=720【题型三】一元二次方程应用-几何面积问题
1．（25-26九年级上·北京·开学考试）列方程解决实际问题：
某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为
46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学
们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
(1)BC=_________米（用含x的代数式表示）；
(2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB．
2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用34m长的栅栏围一
个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG（图中阴影部分为羊的活动范围）．设
AB=xm．
(1)BC的长为___________m；（用含x的代数式表示）
(2)若羊的活动范围的面积为95m2，求AB的长；
(3)羊的活动范围的面积能否为130m2？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由．
【题型四】一元二次方程应用-经济问题
1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，
每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销
售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．
(1)请写出y与x的函数关系式．
(2)商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动
在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．
某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任
满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出
每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
(1)填表（不需化简）：
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价 60 200 60×20
前
提价 __________ __________ __________
后
(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？
（纯收入=总收入-维护费用）
【题型五】一元二次方程应用-动态几何问题
1．（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿
AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点
达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为xs，求：(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
(2)当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；
(3)当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．
【题型一】一元二次方程的解法——直接开平法
·适用方程形式：当方程可化为 或 （ ）的形式时，可直接通过开平方求解.
·求解方法：
（1）若 ，则 （ 时无实数根）；
（2）若 ，则 ，再解一元一次方程.
【题型二】一元二次方程的解法——配方法
在方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a) 2 =b（b≥0）的形式；
【题型三】一元二次方程的解法——因式分解法
把ax²+bx+c=0可化成(ax+b)(cx+d)=0，口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
【题型四】一元二次方程的解法——公式法
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： -b±❑√b2-4ac；
x=
2a4）最后求出x ，x
1 2。
【题型五】一元二次方程根的判断
b2
①
−4ac＞0
时，方程有两个不相等的实数根；
b2
②
−4ac=0
时，方程有两个相等的实数根；
b2
③
−4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立
【题型六】一元二次方程的根与系数关系
x +x b x x c
根与系数的关系：即 ax2 +bx+c=0的两根为 x 1 、 x 2，则 1 2 =− a， 1 ⋅ 2 = a 利用韦达定理
。
可以求一些代数式的值（式子变形），如
【题型七】一元二次方程的应用-变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下
降）后 为
a×(1±x)
；第二次增长（或下降）后为
a(1±x)
²．可列方程为
a(1±x)
²=b
【题型八】一元二次方程的应用-握手、比赛问题
n(n−1)
2
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。
n(n−1)
赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送 张卡片。
-每每问题
【题型九】一元二次方程的应用
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；b
×y件
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数 a 量
