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专题 01 一元二次方程（5 知识&15 题型&5 易错&9 方法清单）【清单01】一元二次方程的概念
一元二次方程
【清单02】一元二次方程的解法
解法
【清单03】一元二次方程的判别式
【清单04】二次三项式的因式分解
步骤：
【清单05】一元二次方程的应用题一般步骤：
【题型一】一元二次方程的定义
【典例1】（24-25八年级下·吉林·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．3x2=3(x−2) 2 B． +x=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x+1=0
x
【答案】D
【分析】依据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义，对每个选
项逐一分析判断，看是否符合该定义 ．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程
“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义是解题的关键．
【详解】选项A：展开右边，3(x−2) 2=3(x2−4x+4)=3x2−12x+12，原方程化简为
3x2=3x2−12x+12，移项后得12x−12=0，为一次方程，不符合定义．
1
选项B：方程含 项，属于分式方程，非整式方程，排除．
x
选项C：形式类似二次方程，但未明确a≠0，若a=0则方程退化为一次方程，无法确定，排除．
选项D：方程x2+2x+1=0满足整式、仅含x且最高次数为2，符合定义．
故选：D．
【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是( )
2
A．x2−2x−3 B．x2=2x+3 C．x2=2y−3 D． x2= −3
x
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知
数的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，根据定义判断．
【详解】解：A. x2−2x−3，不是等式，故该选项不正确，不符合题意；
B. x2=2x+3，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
C. x2=2y−3，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
2
D. x2= −3，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
x故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期中）关于x的方程(a−1)x2+x−2=0是一元二次方程，则a满足
（ ）
A．a≠1 B．a=−1 C．a≠±1 D．为任意实数
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定式是解题的关键；
一般地形如ax2+bx+c=0（a，b，c都是常数，且a≠0）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可．
【详解】∵方程(a−1)x2+x−2=0是关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，
解得a≠1．
故选：A．
【题型二】一元二次方程的一般形式
【典例2】（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程3(x2−3)=5x的二次项系数、一次项系数和常
数项分别是（ ）
A．3，−5，9 B．3，−5，−9 C．3，5，9 D．3，5，−9
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，即可直接读出二次项
系数、一次项系数和常数项．
【详解】解：原方程为3(x2−3)=5x，展开左边括号得：3x2−9=5x，
将右边5x移到左边，得：3x2−5x−9=0，
则二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为−9；
故选B．
【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程x2−2x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次
项系数为1，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．−2,−10 B．−2,10 C．2,−10 D．2，10
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0），特别要注
意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可．
【详解】解：原方程为x2−2x=10，
移项得：x2−2x−10=0，此时二次项系数为1，一次项系数为−2，常数项为−10，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程2x2+3=2x化为一般形式是： ．
【答案】2x2−2x+3=0
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，根据一元二次方程的一般形
式直接求出即可．
【详解】解：一元二次方程2x2+3=2x化为一般形式是2x2−2x+3=0，
故答案为：2x2−2x+3=0．
【题型三】一元二次方程的解
【典例3】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知a是方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式
a2+2a−2025的值为 ．
【答案】−2022
【分析】本题考查一元二次方程的解，由a是方程x2+2x−3=0的一个根，得到a2+2a−3=0，则
a2+2a=3，然后利用整体代入求值即可，
【详解】解：将a代入代数式x2+2x−3=0可得：
∴a2+2a−3=0，
∴a2+2a=3，
∴a2+2a−2025=3−2025=−2022，
故答案为：−2022．
【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程x2+3x−1=0的解，则式子2a2+6a+2021的值
为 ．
【答案】2023
【分析】本题考查一元二次方程的根及求代数的值，根据a是方程x2+3x−1=0的解可求出
a2+3a=1，将2a2+6a+2021化为2(a2+3a)+2021即可代值计算出答案．
【详解】若a是方程x2+3x−1=0的解，
则a2+3a−1=0，
∴a2+3a=1，∴2a2+6a+2021=2(a2+3a)+2021=2×1+2021=2023，
故答案为：2023．
【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若x=2是关于x的一元二次方程x2+kx+5=0的一个根，则
k= ．
9
【答案】−
2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解是解题的关键．
把x=2代入方程x2+kx+5=0，得到关于k的方程求解即可．
【详解】解：把x=2代入方程x2+kx+5=0，得
4+2k+5=0，
9
解得：k=− ，
2
9
故答案为：− ．
2
【题型四】解一元二次方程-配方法
【典例4】（24-25八年级下·福建福州·期中）解一元二次方程x2−6x−3=0，配方后正确的是（ ）
A．(x−3) 2=12 B．(x−3) 2=5 C．(x−3) 2=4 D．(x+3) 2=12
【答案】A
【分析】本题考查配方法解方程，先将x2−6x−3=0配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配
方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤：①将常数项移至方程的右边，然后化二次项系
数为1（ 当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数）；②在方程两边同时加上一次项系数
一半的平方；③配方后将原方程化为a(x±m) 2=n(a≠0)的形式，再用直接开平方的方法解方程．
【详解】解：x2−6x−3=0，
移项，得：x2−6x=3，
配方，得：x2−6x+
(6) 2
=3+
(6) 2
，即x2−6x+32=3+32，
2 2∴(x−3) 2=12．
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）将方程x2−4x−3=0配方后所得的方程正确的是（ ）
A．(x−2) 2=7 B．(x−2) 2=1 C．(x−2) 2=5 D．(x−2) 2=0
【答案】A
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需通过配方将原方程转化为完全平方形式．
【详解】解：原方程为 x2−4x−3=0，
移项：将常数项移到等式右边，得x2−4x=3，
配方：等式两边加上一次项系数一半的平方（即 −4÷2=−2，平方为 4），得
x2−4x+4=3+4，
∴方程x2−4x−3=0配方后所得的方程：(x−2) 2=7，
故选：A．
【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程：2x2−8x−1=0
4+3❑√2 4−3❑√2
【答案】x = ，x =
❑1 2 ❑2 2
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是理解并掌握配方法解一元二次方程的方法和
9
步骤．原方程变形为(x−2) 2= ，利用开平方即可得到答案．
2
【详解】解：2x2−8x−1=0，
移项得，2x2−8x=1，
1
∴x2−4x=
，
2
1
∴x2−4x+22= +22
，
2
9
则(x−2) 2= ，
2
3❑√2 3❑√2
∴x−2= 或x−2=− ，
2 2
4+3❑√2 4−3❑√2
解得x = ，x = ．
❑1 2 ❑2 2【题型五】解一元二次方程-公式法
【典例5】（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：2x2−2❑√3x−1=0（公式法）
❑√3+❑√5 ❑√3−❑√5
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法解一
元二次方程即可．
【详解】解：∵2x2−2❑√3x−1=0，
∴a=2，b=−2❑√3，c=−1，Δ=b2−4ac=(−2❑√3) 2 −4×2×(−1)=12+8=20，
2❑√3±❑√20 2❑√3±2❑√5 ❑√3±❑√5
∴x= = = ，
2×2 4 2
❑√3+❑√5 ❑√3−❑√5
∴方程的解为：x = ，x = ．
1 2 2 2
2±❑√b2−4×(−1)a
【变式1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）若x= 可以表示某个一元二次方程的根，
2×3
则这个一元二次方程为（ ）
A．3x2+2x−1=0 B．2x2+4x−1=0
C．−x2−2x+3=0 D．3x2−2x−1=0
【答案】D
−b±❑√b2−4×ac
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式x= 得出a=3，b=−2，
2×a
c=−1，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键．
2±❑√b2−4×(−1)a
【详解】解：∵x= 可以表示某个一元二次方程的根，
2×3
∴a=3，b=−2，c=−1，
∴这个一元二次方程为3x2−2x−1=0，
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·山西长治·期中）解方程：3x2+2x=5．
5
【答案】x =1，x =−
1 2 3
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程，即可得到答案．【详解】移项：3x2+2x−5=0．
∴a=3，b=2，c=−5
∴b2−4ac=22−4×3×(−5)=64，
−b±❑√b2−4ac −2±❑√64 −2±8
∴x= = =
2a 2×3 6
5
∴x =1，x =− ．
1 2 3
【题型六】解一元二次方程-因式分解法
【典例6】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程x2−1=0的根为（ ）
A．−1 B．1 C．1或−1 D．0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解求解即可．
【详解】解：原方程可分解为(x+1)(x−1)=0，
解得x=−1或x=1，
故选：C．
【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知一元二次方程的两根分别为x =1，x =−3，则这个方
1 2
程为（ ）
A．(x−1)(x−3)=0 B．(x−1)(x+3)=0
C．(x+1)(x+3)=0 D．(x+1)(x−3)=0
【答案】B
【分析】根据因式分解法可直接进行求解．本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法
求解方程是解题的关键．
【详解】解：A、由方程(x−1)(x−3)=0解得x =1,x =3，故不符合题意；
1 2
B、由方程(x−1)(x+3)=0解得x =1，x =−3，故符合题意；
1 2
C、由方程(x+1)(x+3)=0解得x =−1,x =−3，故不符合题意；
1 2
D、由方程(x+1)(x−3)=0解得x =−1,x =3，故不符合题意；
1 2
故选B．
【题型七】用适当的方法解方程
【典例7】（23-24九年级上·青海西宁·期中）用合适的方法解方程(1)4(x−3)=2x(x−3)
(2)x2−4x−7=0
【答案】(1)x =3,x =2
1 2
(2)x =2+❑√11,x =2−❑√11
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、
因式分解法、公式法等）是解题关键．
（1）利用因式分解法解答即可；
（2）利用配方法解答即可．
【详解】（1）解：4(x−3)=2x(x−3)
∴4(x−3)−2x(x−3)=0，
∴(x−3)(4−2x)=0，
即x−3=0,4−2x=0，
解得：x =3,x =2；
1 2
（2）解：x2−4x−7=0
x2−4x=7，
x2−4x+4=11，
即(x−2) 2=11，
∴x−2=±❑√11，
解得：x =2+❑√11,x =2−❑√11．
1 2
【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）解方程：
(1)x2−4x−2=0；
(2)2x2−5x+2=0．
【答案】(1)x =2+❑√6，x =2−❑√6
1 2
1
(2)x =2，x =
1 2 2
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法、
配方法、公式法、因式分解法）并能根据具体情况选用适当的方法求解．
（1）将方程化为x2−4x=2，然后配方为(x−2) 2=6，再用直接开平方法求解；（2）将方程化为(2x2−4x)−(x−2)=0，然后将方程左边进行因式分解，最后将原方程化为两个一
元一次方程，求解即可；
【详解】（1）解：x2−4x−2=0，
移项，得：x2−4x=2，
配方，得：x2−4x+22=2+22，即(x−2) 2=6，
直接开平方，得：x−2=±❑√6，
解得：x =2+❑√6，x =2−❑√6；
1 2
（2）2x2−5x+2=0，
2x2−4x−x+2=0，即(2x2−4x)−(x−2)=0，
2x(x−2)−(x−2)=0，
(x−2)(2x−1)=0，
∴x−2=0或2x−1=0，
1
解得：x =2，x = ．
1 2 2
【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）解关于x的方程．
(1)x2+3x+2=0；
(2)3x2−6x=1．
【答案】(1)x =−1，x =−2
1 2
2❑√3 2❑√3
(2)x =1+ ，x =1−
1 3 2 3
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x2+3x+2=0，
∴(x+1)(x+2)=0，
∴x+1=0或x+2=0，
∴x =−1，x =−2；
1 2
（2）（2）∵3x2−6x=1，
1
∴x2−2x=
，
31 4
∴x2−2x+1= +1，即(x−1) 2= ，
3 3
2❑√3
∴x−1=± ，
3
2❑√3 2❑√3
∴x =1+ ，x =1− ．
1 3 2 3
【变式3】（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列一元二次方程
(1)6x2+2=7x
(2)(2x−1) 2=(3−x) 2
2 1
【答案】(1)x = ，x =
1 3 2 2
4
(2)x =−2，x =
1 2 3
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键；
（1）根据求根公式法即可求解；
（2）根据因式分解法化为(x+2)(3x−4)=0，再解两个一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解： 6x2+2=7x，
∴6x2−7x+2=0，.
∴Δ=(−7) 2−4×2×6=1，
7±❑√1
∴x= ，
2×6
2 1
∴x = ，x = ．
1 3 2 2
（2）(2x−1) 2=(3−x) 2；
∴(2x−1) 2−(3−x) 2=0．
∴[(2x−1)+(3−x))[(2x−1)−(3−x))=0，
即(x+2)(3x−4)=0，
∴x+2=0，或3x−4=0．
4
∴x =−2，x = ．
1 2 3【题型八】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【典例8】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一元二次方程x2−4x−5=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方
程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根，掌握判别式与根的关系是解题的关键．
根据题意，求得判别式的值，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．
【详解】解：∵Δ=b2−4ac=16+20=36>0，
∴一元二次方程x2−4x−5=0的根的情况为有两个不相等的实数根．
故选B．
【变式1】（24-25九年级下·四川广安·期中）关于x的一元二次方程x2−2x−m2=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，
先求出b2−4ac=(−2) 2−4×1×(−m2 )=4+4m2≥0，再根据结果判断即可.
【详解】解：一元二次方程x2−2x−m2=0中，b2−4ac=(−2) 2−4×1×(−m2 )=4+4m2≥0，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根.
故选：C.
【题型九】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【典例9】（24-25九年级上·广东江门·期中）若关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个不相等的实
数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<1且m≠0 B．m≥1 C．m≤l且m≠0 D．m<1
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与
Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根，由题意可得m≠0，Δ=(−2) 2−4⋅m⋅1>0，由此计算即可得解，熟练掌
握一元二次方程根的判别式是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，Δ=(−2) 2−4⋅m⋅1=4−4m>0，
解得：m<1且m≠0，
故选：A．
【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于x的一元二次方程方程(m−1)x2+4x+1=0有实数根，
则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠1 B．m≥5，且m≠1
C．m<5 D．m>5
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定
二次项系数不为0，再结合根的判别式确定m的取值范围．
根据一元二次方程的定义及根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负，
联立解不等式组即可．
【详解】由题意得：b2−4ac≥0，m−1≠0，
{42−4(m−1)≥0①)
∴
m−1≠0②
由①得：16−4m+4≥0，
−4m≥−20
解得：m≤5
由②得：m≠1，
∴m的求值范围为：m≤5且m≠1，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程x2−x+2k=0有两个不相等的实
数根，则k的取值范围为（ ）
4 3 1
A．k≥ B．k≤ C．k< D．k>1
8 8 8
【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若
Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，
若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−x+2k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1) 2−8k>0，
1
∴k< ，
8
故选C．
【题型十】一元二次方程根与系数的关系
【典例10】（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程x2−5x−2025=0的两个实数根，则
m2−4m+n−2的值是（）
A．2025 B．2028 C．2030 D．4048
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合
根与系数的关系求解．
【详解】解：∵m是方程x2−5x−2025=0的实数根，
∴m2=5m+2025．
代入所求表达式：m2−4m+n−2=(5m+2025)−4m+n−2=m+n+2023。
−5
由根与系数的关系，方程x2−5x−2025=0的两根之和为：m+n=− =5，
1
∴m+n+2023=5+2023=2028．
故选：B．
【变式1】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，
则代数式m2+2m+n的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方
程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到m2+m=2025，m+n=−1，再把原式变形为，由此代值计算即可．
(m2+m)+(m+n)
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，
∴m2+m−2025=0，m+n=−1，
∴m2+m=2025，
∴m2+2m+n=(m2+m)+(m+n)=2025+(−1)=2024，
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）若α，β是一元二次方程x2+x−2023=0的两个实数根，则
α2−α−2β+3的值为（ ）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2022
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x ，x ，满足x +x =− ，x ⋅x = ．根据一元二次方程根与系数的
1 2 1 2 a 1 2 a
关系进行解答即可．先根据α，β是一元二次方程x2+x−2023=0的两个实数根，得出
α2+α−2023=0，α+β=−1，整体代入求出结果即可．
【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2+x−2023=0的两个实数根，
∴α2+α−2023=0，α+β=−1，
即α2+α=2023，
∴α2−α−2β+3
=α2+α−2α−2β+3
=α2+α−2(α+β)+3
=2023−2×(−1)+3
=2023+2+3
=2028．
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知一元二次方程x2−3x+2=0的两个根为x 、x ，则
1 2
1 1
+
的值为（ ）
x x
1 22 3
A．−3 B．− C．1 D．
3 2
【答案】D
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求
的式子变形，代入求值即可．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，x +x =3，x x =2，
1 2 1 2
1 1
+
∴
x x
1 2
x x
= 2 + 1
x x x x
1 2 1 2
x +x
= 1 2
x x
1 2
3
= ，
2
故选：D．
【题型十一】一元二次方程应用-与几何图形的综合应用
【典例11】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相
等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米❑ 2，则道路的宽应为多少米？设
道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80−100x−80x=7644 B．(100−x)(80−x)+x2=7644
C．(100−x)(80−x)=7644 D．100x+80x=356
【答案】C
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上
边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【详解】解：由题意有(100−x)(80−x)=7644，
故选：C．【变式1】（24-25九年级下·山西长治·期中）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北
宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为2.4m，宽为
1.6m的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为4.16m2．若
四周装裱上的边衬的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．(1.6−x)(2.4−x)=4.16 B．(1.6+x)(2.4+x)=4.16
C．(1.6−2x)(2.4−2x)=4.16 D．(1.6+2x)(2.4+2x)=4.16
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据装裱后整幅画的面积为4.16m2列出一元二次方程即
可．
【详解】解：根据题意得：(1.6+2x)(2.4+2x)=4.16，
故选：D．
【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有
一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空
隙．
(1)若墙长为18米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成的鸡场的面积可能达到200平方米吗？
(3)若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米
(2)鸡场面积不可能达到200平方米，见解析
(3)当018，（舍去），
2
则养鸡场的宽是10m，长为15m；
（2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x⋅(33−2x+2)=200，
整理得：2x2−35x+200=0，
Δ=(−35) 2−4×2×200=1225−1600=−375<0，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到200m2；
（3）解：当04，舍去，
1
∴t的值为1．
（2）存在．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=4cm，
∵S =S −S −S −S ，
△APQ 正方形ABCD △ABP △CPQ △ADQ
1 1 1
∴42− ×4×2t− ×(4−2t)×t− ×4×(4−t)=4，
2 2 2
即16−4t−(2−t)t−2(4−t)=4，
∴t2−4t+4=0，解得t=2．
∴当t的值为2时，S =4．
△APQ
【变式1】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，
BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的
速度运动，到点B即停止，直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形
PQCD，
(1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
(2)若∠B=90°，当AB=8cm时，直接写出经过______秒后，PQ=CD．
【答案】(1)8或10
(2)8或12
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定，
对于（1），设运动时间为t秒，表示出AP=tcm,CQ=2tcm，即可得
BQ=(30−2t)cm，DP=(24−t)cm，再根据AP=BQ,DP=CQ两种情况得出方程，求出解即可；
对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出CD，并表示出PQ，然后结合PQ=CD得出方
程，求出解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知AP=tcm,CQ=2tcm，则
BQ=(30−2t)cm，DP=(24−t)cm，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=30−2t，
解得t=10；当DP=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，即2t=24−t，
解得t=8．
所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，
根据题意可知四边形ABED是矩形，
∴AB=DE=8cm,AD=BE=24cm，
∴CE=BC−BE=30−24=6(cm)．
在Rt△CDE中，CD2=DE2+CE2=100，
解得CD=10．
如图所示四边形CDPQ是等腰梯形或平行四边形，即CD=PQ，此时PQ2=PF2+FQ2，
即[t−(30−2t)] 2+82=102，
解得t=8或t=12，
所以当t=8或t=12时，CD=PQ．
故答案为：8或12．
【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A出发，
沿AB以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C匀速移动．
设运动的时间为ts．
(1)PB=______，QC=______；(2)t为何值时，△DPQ的面积等于28cm2？
【答案】(1)(6−t)cm，(12−2t)cm；
(2)t为2或4时，△DPQ的面积等于28cm2．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
1 1 1
（2）根据S =S − S△APD− S△BPQ− S△DCQ=28，然后解一元二次方程
△DPQ 矩形ABCD 2 2 2
即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意可知：AP=tcm，QB=2tcm，
∴PB=(6−t)cm，CQ=(12−2t)cm，
故答案为：(6−t)cm，(12−2t)cm；
（2）解：由（1）得：AP=tcm，QB=2tcm，PB=(6−t)cm，CQ=(12−2t)cm，
∵△DPQ的面积等于28cm2，
1 1 1
∴S =S − S△APD− S△BPQ− S△DCQ=28，
△DPQ 矩形ABCD 2 2 2
1 1 1
∴AB×BC− ×AP×AD− ×PB×BQ− ×CQ×CD=28，
2 2 2
1 1 1
∴12×6− ×12t− ×2t×(6−t)− ×6×(12−2t)=28，
2 2 2
整理得：t2−6t+8=0，
解得：t =2，t =4，
1 2
答：t为2或4时，△DPQ的面积等于28cm2．
【题型一】根据一元二次方程根的根的情况求参数
1．（23-24九年级上·四川南充·期中）关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有实数根，则k的取值范
围是（ ）
A．k≤0且k≠−1 B．k<0且k≠−1 C．k≤0 D．k≥0
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系等知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．一元二次方程是形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，其根的
判别式为Δ=b2−4ac．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ<0时，方程没有实数根．根据题意可知k+1≠0且Δ=(−2) 2−4(k+1)≥0，求解即可获得答
案．
【详解】解：根据题意，关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有实数根，
∴k+1≠0且Δ=(−2) 2−4(k+1)≥0，
解得k≤0且k≠−1．
故选：A．
【题型二】一元二次方程应用-增长率问题
2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智
慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．
据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次
的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】400+400(1+x)+400(1+x) 2=1456
【分析】本题考查一元二次方程解应用题-增长率问题，由第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，
到第三个月末累计进馆1456人次，设月平均增长率为x，得到第二个月和第三个月进馆人次，求和即
可得到方程．掌握增长率问题的解法是解决问题的关键．
【详解】解：∵第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆400(1+x)人次；第三个月进馆400(1+x) 2人次；
由到第三个月末累计进馆1456人次可得方程400+400(1+x)+400(1+x) 2=1456，
故答案为：400+400(1+x)+400(1+x) 2=1456．
【题型三】一元二次方程应用-几何面积问题
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14
米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材
料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为45平方米，求此时花圃的长与宽．
(3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)24−3x
(2)花圃的长与宽边分别为9米和5米
(3)建成花圃的面积不可能为60平方米
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；
（1）设花圃的宽AB长为x米，则AD=BC=22−3x+2=24−3x米；
（2）由矩形面积S=45，列出方程，解方程可得答案；
（3）由矩形面积S=60，列出方程，判断方程的解的情况可得答案．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽AB长为x米，
∴另一边AD的长为AD=BC=22−3x+2=24−3x米，
故答案为：24−3x；
（2）解：∵花圃的面积刚好为45平方米，
∴x(−3x+24)=45，
化简得：x2−8x+15=0，
解得：x =3，x =5，
1 2
∵墙的最大可用长度为14米，
∴2≤24−3x≤14，
10 22
∴ ≤x≤ ，
3 3
∴x=5，
∴AB=x=5，AD=BC=24−3x=9，
答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下：
∵花圃的面积刚好为60平方米，
∴x(−3x+24)=60，
化简得：x2−8x+20=0，∴Δ=(−8) 2−4×20=−16<0，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为60平方米．
【题型四】一元二次方程应用-经济问题
4．（24-25九年级上·四川成都·期中）某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知
当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4
个房间空闲．
(1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入；
(2)如果政府规定该农家乐入住率超过80%可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试
求这天农家乐可获得政府补贴多少元？
【答案】(1)9600元
(2)520元
【分析】本题考查有理数混合运算的实际运用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂
题意，找到等量关系是解题的关键．
（1）每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有12间，根据每个房间的定价乘以出租的房间数即
可求出总收入；
( x )
（2）设每间客房的定价增加了x元，房间出租了 60−4× 间，根据客房收入9360元，可得方程
20
( x )
(140+x) 60−4× =9360，求解后根据入住率超过80%进行取舍，进而得到出租的房间数，即可
20
解答．
60
【详解】（1）解：若每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有4× =12（间），
20
∴总收入为(140+60)×(60−12)=9600（元）
答：这天客房的总收入为9600元．
( x )
（2）解：设每间客房的定价增加了x元，房间出租了 60−4× 间，
20
∵客房收入9360元，( x )
∴(140+x) 60−4× =9360
20
解得x =120，x =40，
1 2
∵入住率超过80%可以获得每间10元的政府补贴，
x
60−4×
∴ 20 ，
>80%
60
解得x<60，
∴x=40，
x 40
当x=40时，60−4× =60−4× =52，
20 20
∴这天农家乐可获得政府补贴为：10×52=520（元）．
【题型五】一元二次方程应用-动态几何问题
5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，
点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个
点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．
(1)AP=________cm，BP=________cm，BQ=________cm（用含t的代数式表示）；
(2)经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2；
(3)四边形APQC的面积能否等于5.5 cm2，请说明理由．
【答案】(1)t，(6−t)，2t
(2)2秒
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形，利用面积公式正确的列出方程，是
解题的关键：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；
（2）过点Q作QH⊥AB，利用含30度角的直角三角形的性质，求出QH的长，利用面积公式，列出
一元二次方程，进行求解即可；（3）利用分割法求面积，列出一元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，AP=tcm,BP=AB−AP=(6−t)cm,BQ=2tcm；
故答案为：t,(6−t),2t
（2）过点Q作QH⊥AB，
∵∠ABC=30°，BQ=2tcm，
1
∴QH= BQ=tcm，
2
1 1
∴△PBQ的面积为 BP⋅QH= (6−t)⋅t=4，
2 2
解得：t=2或t=4（不合题意，舍去）；
故经过2秒后△PBQ的面积等于4 cm2；
（3）不能，理由如下：
过点C作CD⊥AB，
∵BC=7,∠B=30°，
1 7
∴CD= BC= ，
2 2
1 1 7 1 1 21
∴四边形APQC的面积为 AB⋅CD−S = ×6× − (6−t)⋅t= t2−3t+ ，
2 △PBQ 2 2 2 2 2
当四边形APQC的面积等于5.5 cm2时，
1 21
t2−3t+ =5.5，整理，得：t2−6t+10=0，
2 2
∵Δ=(−6) 2−4×10=−4<0，
∴方程无实数根，故四边形APQC的面积不能等于5.5 cm2．
6．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=15cm，P，Q，M，N分
别从点A，B，C，D同时出发，分别沿AD，BC，CB，DA移动，且当有一个先到达所在边的另一
个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm，
CM=3xcm，DN=x2cm．
(1)当x为何值时，P，N两点重合？
(2)四个点移动过程中是否存在四边形ABQP的面积是矩形ABCD面积的一半？若存在请求x的值；若
不存在，请说明理由．
(3)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)当x=3cm时，P，N两点重合
(2)不存在，见解析
(3)当x=2cm或x=❑√39−3cm时，四边形PQMN是平行四边形
【分析】本题主要考查一元二次方程与平行四边形的性质综合，根据等量关系，列出方程，时是解题
的关键．
（1）当P，N两点重合时，即AP+DN=AD，建立方程，解方程即可；
（2）根据四边形ABQP的面积是矩形ABCD面积的一半建立方程，解方程，再求出此时DN值进行
判断即可；
（3）分别根据P，N两点重合前和重合后两种情况进行讨论，根据平行四边形对边相等建立方程，解
方程即可．
【详解】（1）解：当P，N两点重合时，即AP+DN=AD，
∵AP=2xcm，DN=x2cm，BC=AD=15cm，
∴x2+2x=15，
解得x =3，x =−5（舍去）
1 2
∴，当x=3cm时，P，N两点重合．（2）解：不存在．
∵AP=2xcm，BQ=xcm(x≠0)，
1
∴S = ×6(x+2x)，S =6×15=90
梯形ABQP 2 矩形ABCD
1
∵S = S ，
梯形ABQP 2 矩形ABCD
1 1
∴ ×6(x+2x)= ×90
2 2
整理得：9x=45
解得x=5，
当x=5时，DN=x2=25>15，即各点停止运动．
∴四个点运动过程中不存在四边形ABQP的面积是矩形ABCD的面积的一半．
（3）解：①P，N两点重合前，四边形PQMN是平行四边形，即QM=PN，
∴15−x−3x=15−x2−2x，
整理得：x2−2x=0，
解得x =2，x =0（舍去），
1 2
②P，N两点重合后，四边形PQMN是平行四边形，即QMNP，
∴15−x−3x=x2+2x−15
整理得：x2+6x−30=0
解得x =❑√39−3，x =−❑√39−3（舍去）
1 2
综上所述：当x=2cm或x=❑√39−3cm时，四边形PQMN是平行四边形．
【题型一】一元二次方程的解法——直接开平法
·适用方程形式：当方程可化为 或 （ ）的形式时，可直接通过开平方求解.
·求解方法：
（1）若 ，则 （ 时无实数根）；（2）若 ，则 ，再解一元一次方程.
【题型二】一元二次方程的解法——配方法
2
在方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a) =b（b≥0）的形式；
【题型三】一元二次方程的解法——因式分解法
把ax²+bx+c=0可化成(ax+b)(cx+d)=0，口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
【题型四】一元二次方程的解法——公式法
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
−b±❑√b2−4ac
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：x= ；
2a
4）最后求出x ，x
1 2。
【题型五】一元二次方程根的判断
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③ 时，方程无实数根，反之亦成立
【题型六】一元二次方程的根与系数关系
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ， 利用韦达定理
。
可以求一些代数式的值（式子变形），如
【题型七】一元二次方程的应用-变化率问题设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下
降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
【题型八】一元二次方程的应用-握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。
n(n−1)
赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送 张卡片。
问题
【题型九】一元二次方程的应用-每每
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数 量
