文档内容
专题01 一元二次方程
（21个高频易错题型讲练 共42题 新教材）
【原卷版】
易错题型1 由一元二次方程的解求参数............................................................................................................................1
易错题型2 一元二次方程的解的估算.................................................................................................................................2
易错题型3 由一元二次方程的定义求参数.......................................................................................................................2
易错题型4 解一元二次方程——直接开平方法..............................................................................................................2
易错题型5 解一元二次方程——配方法............................................................................................................................2
易错题型6 配方法的应用........................................................................................................................................................3
易错题型7 因式分解法解一元二次方程............................................................................................................................3
易错题型8 换元法解一元二次方程.....................................................................................................................................4
易错题型9 解分式方程(化为一元二次)............................................................................................................................4
易错题型10 一元二次方程的根与系数的关系................................................................................................................5
易错题型11 传播问题(一元二次方程的应用)................................................................................................................5
易错题型12 增长率问题(一元二次方程的应用)............................................................................................................6
易错题型13 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................6
易错题型14 数字问题(一元二次方程的应用)................................................................................................................7
易错题型15 营销问题(一元二次方程的应用)................................................................................................................7
易错题型16 动态几何问题(一元二次方程的应用).......................................................................................................8
易错题型17 工程问题(一元二次方程的应用)................................................................................................................9
易错题型18 行程问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................................10
易错题型19 图表信息题(一元二次方程的应用).........................................................................................................10
易错题型20 其他问题(一元二次方程的应用)..............................................................................................................11
易错题型21 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)...........................................................................................11
易错题型1 由一元二次方程的解求参数
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则4m2−6m+2025的值为 ．
2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则8m2−12m+2025的值
为 ．
易错题型2 一元二次方程的解的估算
3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值：
x 1.21 1.22 1.23
ax2 +bx+c −0.04 −0.01 0.03
判断关于 的方程 的一个解 的范围是（ ）
x ax2 +bx+c=0(a≠0) x
A．x<1.21 B．1.211.23
4．（2025九年级·全国·专题练习）根据关于x的二次函数y=x2 +px+q，可列表如下：
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
y −15 −8.75 −2 −0.59 0.84 2.29
方程x2 +px+q=0的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2
易错题型3 由一元二次方程的定义求参数
5．（25-26九年级上·河南信阳·期中）若方程 是关于 的一元二次方程，则 的值
(m−3)x|m)−1−3x=5 x m
为（ ）
A．3 B．−3 C．±3 D．不存在
6．（2025·四川雅安·一模）关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
x (m+2)xm2−2 +mx+5=0 m=
易错题型4 解一元二次方程——直接开平方法
7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）现定义 表示不超过实数x的最大整数，如 ，
[x) [❑√2)=1
3
[−1.2)=−2，[3)=3，则方程[x)= x2的解为x= ．
4
8．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为a®b=a2−b2，例
如，5®2=52−22 =25−4=21．根据这个规则，方程(2x−1)®6=0的解为 ．易错题型5 解一元二次方程——配方法
9．（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程：x2−4x+1=0
10．（24-25九年级上·全国·期末）解方程：x2 +2x−1=0．
易错题型6 配方法的应用
11．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式
的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面
都有广泛的应用．
如利用配方法，求a2 +6a+8的最小值．
解： ，因为不论 取何值， ，
a2 +6a+8=a2 +6a+32−32 +8=(a+3) 2−1 a (a+3) 2≥0
所以 ，所以当 时， 有最小值 ，
(a+3) 2−1≥−1 a=−3 a2 +6a+8 −1
根据上述材料，解答下列问题：
(1)用配方法求x2−8x+12的最小值；
(2)已知A=2x2−5x+4，B=x2−x−1，请比较A与B的大小；
(3)已知x+y=3，求代数式−x2 +y+9x−2的最大值．
12．（25-26九年级上·江苏常州·期中）类比解一元二次方程的配方法，求多项式 x2 +6x+15的最小值
为 ．
易错题型7 因式分解法解一元二次方程
13．（25-26九年级上·山西晋中·期中）解下列方程：
(1)2x2−3x−5=0；
(2) ．
2x−4=(x−2) 2
14．（25-26九年级上·新疆和田·期中）关于x的一元二次方程x2 +mx−6=0．
(1)当x=1时，求m的值及方程的另一个根；
(2)试说明：方程总有两个不相等的实数根．易错题型8 换元法解一元二次方程
15．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知−1和3是关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0的两根，则
关于 的方程 的根为 ．
x a(x−1) 2 +b(x−1)+c=0
16．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4−5x2 +4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2 =y，那么
x4 =y2，于是原方程可变为y2−5 y+4=0①，解得y =1，y =4
1 2
当y=1时，x2 =1，∴x=±1；
当y=4时，x2 =4，∴x=±2；
原方程有四个根：x =1，x =−1，x =2，x =−2
1 2 3 4
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想．
(2)解方程：
(x2 +x) 2 −4(x2 +x)−12=0
易错题型9 解分式方程(化为一元二次)
17．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）阅读材料，解答问题
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘y得：y2−4=0，
x y
解得：y=±2，
4
经检验：y=±2都是方程y− =0的解，
y
x−1
∴当y=2时， =2，解得：x=−1，
x
x−1 1
当y=−2时， =−2，解得：x= ，
x 3
1
经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的解，
31
∴原分式方程的解为x=−1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
x−2 x x−2
(1)若方程 − =0，设y= ，则原方程可化为____________．
4x x−2 x
x−2 4(x+3)
(2)模仿上述换元法解方程： − =0
x+3 x−2
(3)已知 满足方程 ，结合换元法的思路，求 的值．
x,y (x2−2y2 +3)(x2−2y2−3)=16 2x2−4 y2 +4
1 1 1 1 1
18．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于x的方程x+ =c+ 的解为x =c,x = ,x− =c−
x c 1 2 c x c
−1 −1 1 2 2 2 3 3
（可变形为x+ =c+ ）的解为x =c,x =− ,x+ =c+ 的解为x =c,x = ,x+ =c+ 的解为
x c 1 2 c x c 1 2 c x c
3
x =c,x = ，…．
1 2 c
m m
(1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+ =c+ (m≠0)的解；
x c
2 2
(2)请总结上面的结论，并求出方程x+ =a+ 的解．
x−1 a−1
易错题型10 一元二次方程的根与系数的关系
19．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知a，b是方程x2 +2x−9=0的两个实数根，则(a−1)(b−1)
的值为（ ）
A．−10 B．−6 C．8 D．12
20．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知：关于 的方程 ．
x (a−1)x2 +2ax+a+1=0(a≠1)
(1)求证：无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若a为正整数，同时方程的两个根均为整数，求a的值．易错题型11 传播问题(一元二次方程的应用)
21．（25-26九年级上·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ）
A．第一轮后有(x+1)个人患了流感
B．第二轮后又增加x(x+1)个人患流感
C．依题意可列方程x+1+x(1+x)=144
D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感
22．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，求每轮
传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个入传染了x个人，则依题意可得方程（ ）
A．1+x+x2 =121 B．1+x+x(1+x)=121
C．x2 =121 D．1+2x=121
易错题型12 增长率问题(一元二次方程的应用)
23．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）近年来，句容某地大力推广种植多个优质葡萄品种，其中“阳
光玫瑰”因其品质卓越、口感独特而备受消费者青睐，现已广泛种植．该地一葡萄种植大户2020年种植
“阳光玫瑰”50亩，到2022年“阳光玫瑰”的种植面积达到72亩．
(1)求该种植户这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率；
(2)某超市调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出160千克，售价每降价0.5元，每
天可多售出20千克，为了推广宣传，该超市决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该超市“阳光玫瑰”
的平均成本价为12元/千克，该超市“阳光玫瑰”每千克降价多少元时，每天可获利1400元？
24．（25-26九年级上·陕西西安·期中）今年双十一购物节期间，某商店为了促销，决定下调某款服装
的价格，已知经过两次降价后，每件服装的价格由125元降到80元，则这款服装平均每次降价的百分率为
．
易错题型13 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
25．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划建一处劳动实践基
地，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图1所示的矩形ABCD，所用的篱笆长36米，设垂直于墙的一边长AB为x米．
(1)珍珍按图1的方案进行设计得出该矩形劳动实践基地的面积为144平方米，求她设计的AB的长；
(2)为了让师生进出方便，老师修改了图1的方案，在平行于墙的一边（BC边）上留出一个宽1m的小门
EF，如图2，使得围成的矩形劳动实践基地的而积为150平方米，求此时AB的长度．
26．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）小莹手中有两段长分别为30cm和32cm的铁丝，打算用其中的
一段铁丝折成一个面积为60 cm 2的矩形．
(1)她应当选择用哪段铁丝？为什么？
(2)求出折成的矩形的边长．
易错题型14 数字问题(一元二次方程的应用)
27．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是( )
A．2、4、6 B．4、6、8
C．−6、−4、−2或2、4、6 D．−8、−6、−4或4、6、8
28．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知整数a与b的平方和可以表示为a2 +b2，现有两个连续
的正整数．
【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和；
【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数．
易错题型15 营销问题(一元二次方程的应用)
29．（25-26九年级上·山西晋中·期中）2025年8月21日，国务院印发《关于深入实施“人工智能+”行动的意见》，聚焦科技、产业、消费、民生、治理、全球合作等六大重点领域，明确了我国人工智能发
展的阶段目标．某科技园区一家企业为了迎合市场需求推出了具有AI交互功能的智能摆件，已知成本价为
80元/件，当销售价定为120元/件时，平均每天售出20件．据调查，销售价每降低2元/件，平均每天多
售出4件．该企业要求每天的利润达到1200元，为尽可能让利于顾客，销售价需定为多少元/件？
30．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）某商场将进货单价为30元的商品按60元出售时，每天能卖出
20件，经市场调研发现，若每件商品的单价每降价1元，则每天可多卖出4件，商场为了保证获得1200元
的利润，则每件商品的售价应定为多少元？嘉淇根据题意列出了方程(60−30−x)(20+4x)=1200，下
列说法错误的是（）
A．x表示每件商品的售价降低了x元
B．x表示每件商品的售价为x元
C．代数式(60−30−x)表示每件商品的利润
D．代数式(20+4x)表示销售的数量
易错题型16 动态几何问题(一元二次方程的应用)
31．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=24cm，点M从点A
出发沿AD以3cm/s的速度向点D移动，一直到达点D为止；同时，点N从点C出发沿CB以5cm/s的速
度向点B移动．经过多长时间，M、N两点之间的距离是13cm？
32．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点
P从点A出发，沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，
点P、Q同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动．
(1)几秒后，△PBQ的面积为4cm 2？(2)几秒后，PQ的长为5cm？
易错题型17 工程问题(一元二次方程的应用)
33．（24-25九年级上·福建泉州·月考）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000
米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小
型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米
2
（1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个
3
工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米
多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值
0 0
多3.2a ，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了a ，
0 0
使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多(1 )0，求 的值．
a+30 a
2 0
34．（2024·湖北宜昌·中考真题）某市总预算 亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路
敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数
额的投资.
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每
年都增加 亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始
遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程
在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投
资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线
路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2.
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.
易错题型18 行程问题(一元二次方程的应用)
35．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，
紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行20米时用了多长时间？
36．（2024·安徽宣城·一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1
分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
易错题型19 图表信息题(一元二次方程的应用)
37．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？38．（24-25九年级上·山东·课后作业）海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，
N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以
上信息，推算出起步价N的值吗?
里程x（km） 0＜x≤3 3＜x≤6 x＞6
22 25
单价y（元） N
N N
易错题型20 其他问题(一元二次方程的应用)
39．（25-26九年级上·北京海淀·期中）某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音
乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音
乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人
则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参
加表演的机器人的总个数．
40．（25-26九年级上·陕西西安·期中）某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成
员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有x名同学，则根据题意，可列方程
为 ．
易错题型21 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)
41．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给
该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的
所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
42．（25-26九年级上·山西晋城·期中）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要
进行一场比赛，初赛共进行了45场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为 ．
