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专题 01 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、配方法的应用
【解惑】学习了公式法 后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式 因式分解：
①
②求多项式 的最小值．
②由①，得 ，因为 ，所以 ．所以，当 时，
的值最小，且最小值为 ．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式 因式分解；
(2)求多项式 的最小值：【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用公式法因式分解、平方的非负性，
（1）利用公式法先把多项式变形成完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可求
解；
（2）先利用题目中的方法进行因式分解可得 ，再根据平方的非负性求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ，
，
，
∴多项式 的最小值 ．
【融会贯通】
1．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：
，所以 的最小值为 ，此时 ．(1)尝试： ，因此当 时，代数式 有最小值，
最小值是 ；
，所以当 时，代数式 有最 （填“大”或“小”）
值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是 ，栅栏如何围能使花
圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1) ； ，大；
(2)当 为 米， 为 米时，面积最大为 平方米．
【分析】（ ） 根据配方后的结果即可求解； 根据配方后的结果即可求解；
（ ）设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，列式表示出矩形的面积，再利用配方法
解答即可求解；
本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解： ∵ ，
∴当 时，代数式 有最小值，最小值为 ，
故答案为： ， ；
∵ ，
∴当 时，代数式 有最大值，
故答案为： ，大；
（2）解：设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，
根据题意得， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长 时，能使花圃面积最大，最大面积是 ．2．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式 ，利用配方法求M的最小值： ， ，
当 时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足 ，用几何法求 的
最小值．如图， 为线段DC的长度， 为线段CE的长度，当 的值最小时，
D、C、E三点共线，所以最小值为 ．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若代数式 ，求M的最小值；
(2)已知正数x，y满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运
用，合理作出图形是解题的关键．
（1）运用配方法解题即可；
（2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解： ，
，当 ， 时，M有最小值为3；
（2）如图， 为线段DC的长度， 为线段CE的长度
当 的值最小时，D、C、E三点共线，
所以最小值 ．
3．读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求 的值．
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ， ，
∴ ，∵ ，∴ ，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用
新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设 ， 满足等式 ，求 的值；
(2)若四个连续正整数的积为 ，求这四个连续正整数．
【答案】(1) ；
(2) ， ， ， ．
【分析】（ ）由已知等式设 ，得出 ，结合 可得答案；
（ ）根据题意设最小数为 ，列出关系式，进而利用换元法即可求解；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想．
【详解】（1）设 ，则 ，
∴ ，解得： 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）设最小正整数为 ，则 ，
即： ，
设 ，则 ，解得： ， ，
∵ 为正整数，
∴ ，解得 ， （舍去），
∴这四个连续正整数为 ， ， ， ．
类型二、换元法的应用
【解惑】阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一
次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将 变形为 ，
．
．
．
．
或 ．
原方程有三个根： ， ， ．②换元法求解特殊的四次方程：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法） ；
②（换元法） ；
【拓展延伸】
（2）已知： ，且 ，请综合运用以上方法，通过“降次”求 的值．
【答案】（1）① ， ， ；② ， ；（2）
【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．
（1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可；
（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．
【详解】（1）①将 变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
.
或 .
解方程 得 .解方程 得 ， ，
∴原方程的根为： ， ， ；
② ，
设 ，则 ，方程变形为 ，
∴ ，
解得： ，
当 ， 时，无实根，舍去，
当 ， 时，解得 或 ；
∴原方程有两个根： ， ；
（2）解： 方程 的解为： ，
由于 ，
∴ ，
，
， ，
，
当 时，
原式．
【融会贯通】
1．阅读下列材料：为解方程 可将方程变形为 然后设 ，则 ，原
方程化为 ①，解①得 ．当 时， 无意义，舍去；当 时， ，
解得 原方程的解为 ；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂
的问题转化成简单的问题．
(1)利用换元法解方程 时，新字母设为 ，则 ___________，原方程化为
___________，解得 ___________．
(2)求方程 的解．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键；
（1）根据题意，可设 ，于是原方程变形为 ，利用因式分解法求解即可．
（2）根据 ，转化为方程 ， ，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，可设 ，于是原方程变形为 ，
解得 ，
故答案为： ， ； ．
（2）解：根据题意，得 ，方程转化为 ， ，
故 ，解得 ；
当 时，此时 ，方程无解，
故原方程的解为 ．
2．解方程 时，我们可以将 视为一个整体，设 ，则 ，原
方程化为 ，解此方程，得 ， ，
当 时， ， ，∴ ；
当 时， ， ，∴ ．
∴原方程的解为 ， ， ， ．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别
式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键．
（1）先把要求的式子变形为 ，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；
（2）根据已知条件设求出 的值，即可获得答案．
【详解】（1）解： ，设 ，则原方程化为 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
即 ，
∴ ， ；
（2）解： ，
设 ，则原方程化为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时，可有 ，解得 ， ，
当 时，可有 ，
∵ ，
∴该方程无解，
∴原方程的解为 ， ．
3．阅读材料：
材料1：一元二次方程 （ ， ）的两根 ， 有如下的关系（韦达定理）：
，
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元
二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数 、 满足 、 ，且 ，则可将 、
看作是方程 的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数 、 满足 、 ，则可以将 、 看作是方程的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数 、 满足 、 ，求 的值.
(2)已知实数 、 、 满足 、 ，且 ，求 的最大值.
【答案】(1) 或 2；
(2)1；
【分析】（1）当 时， 、 是方程 的两根，利用根与系数的关系可求得 和
的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ；
（2）将 、 看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到
，所以 ，解得 ，从而得到 的最大值；
【详解】（1）解：当 时，
∵实数 、 满足 ， ，
∴ 、 可看作方程 的两根，
原式 ，
当 ， 则原式 ；
综上所述，原式的值为 或 2 ；
（2）∵ ，
∴将 、 看作是方程 得两实数根；而
即
c的最大值为1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，
，也考查了判别式的意义
类型三、根与系数关系的对称式
【解惑】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x 、x ，那么x ＋x ＝－p，x ·x ＝q.请根据以上结论，解决下列
1 2 1 2 1 2
问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的
倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求 的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
【答案】（1）nx2＋mx＋1＝0；（2）－47或2；（3）c的最小值为4．
【分析】(1) 设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x、x，根据根与系数的关系可得x＋x＝－m，x·x＝n，将以
1 2 1 2 1 2
上两式变形可得 和 ，即可求出答案．(2)根据a、b满足a2－15a－5=0，b2－15b－5=0，得出
a，b是x2－15x－5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求结果；(3)根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，
ab= ，a、b是方程x2+cx+ =0的解，再根据c2-4× ≥0，即可求出c的最小值．
【详解】解：(1)设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x 、x .∴x ＋x ＝－m，x ·x ＝n
1 2 1 2 1 2
∴ ＝ ＝－ ， ＝∴所求一元二次方程为x2＋ x＋ ＝0，即nx2＋mx＋1＝0；
(2)①当a≠b时，由题意知a、b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，
∴a＋b＝15，ab＝－5
∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－47
②当a＝b时， ＋ ＝1＋1＝2
综上， ＋ ＝－47或2；
(3)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝
∴a、b是方程x2＋cx＋ ＝0的两根，
∴Δ＝c2－ ≥0
∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，
∴c的最小值为4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题
方法．本题的运算过程有点复杂，难度也较大，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键．
【融会贯通】
1．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ，则 ， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，
∴ ， ，则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ，则 ___________；(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构
特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键．
（1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到 ， ，然后代入求解即可得到
答案；
（2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到 ， ，将 化为
，将 ， 代入求值即可得到答案；
（3）根据题意，确定 与 看作是方程 的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到
， ，先求出 的值，再由 变形得到 ，将 ， 代入求
值即可得到答案．
【详解】（1）解： 一元二次方程 的两个根为 ，
， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： 一元二次方程 的两根分别为 、 ，， ，
，
，
，
，
；
（3）解： 实数 、 满足 ， ，
与 看作是方程 的两个实数根，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，．
2．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程 的两个根为 ，则 ， ．
材料2：已知实数m，n满足 ， ，且 ，则m，n是方程 两个不相
等的实数根．
(1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ______， ______．
(2)应用探究：已知实数m，n满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键．
（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意可得m，n是 的两个根，则 ， ，再把 分解因式，再
代入求值即可；
【详解】（1）解：∵一元二次方程 两个根为 ，
则 ， ．
（2）解：∵实数m，n满足 ， ，且 ，
∴m，n是方程 两个不相等的实数根．
∴ ， ，
∴ ；
3．【观察思考】【规律发现】
第1个图案中有“★”的个数为： （个）；
第2个图案中有“★”的个数为： （个）；
第3个图案中有“★”的个数为： （个）；
第4个图案中有“★”的个数为： （个）；
第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果）
第 个图案中有“★”的个数为 个．（用含 的式子填空）
【规律应用】第 个图案中有“★”有227个，求 的值．
【答案】规律发现：38， ；规律应用：14
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程．
规律发现：根据前几个图案的规律，可得规律：每个式子的第一个数为 ；底个个数字为 ，第三个
式数字为2，即第 个图案中有“★”的个数为 个．据此即可求解．
规律应用：根据规律，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：规律发现： 第1个图案中有“★”的个数为： （个）；
第2个图案中有“★”的个数为： （个）；
第3个图案中有“★”的个数为： （个）；
第4个图案中有“★”的个数为： （个）；
；
第5个图案中有“★”的个数为 （个）；,
第 个图案中有“★”的个数为 个．规律应用：根据题意： ，即 ，
，即 ，
（负值舍去）．
类型四、一元二次方程中的规律
【解惑】将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
(1)第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示）
(2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为 个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)第 个图中小圆的个数恰好为 个
【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法．（1）第1个图形中小圆的个数为 ；
第2个图形中小圆的个数为 ；第3个图形中小圆的个数为 ；…；则知第 个图形中
小圆的个数为 ．（2）假设存在第 个图的小圆个数为 ，列方程为 ，再解方程
即可．
【详解】（1）解：由题意可知第1个图形有小圆 个；
第2个图形有小圆 个；
第3个图形有小圆 个；
第4个图形有小圆 个；
第 个图形有小圆 个，
故答案为： ．
（2）解：设第 个图中小圆的个数恰好为 个，根据题意得， （不符题意，舍去）
答：第 个图中小圆的个数恰好为 个．
【融会贯通】
1．下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数
都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数
记为 ，第2个数记为 ，第3个数记为 ．，第 个数记为 ．
(1)根据这列数的规律， ______， ______；
(2)这列数中有66这个数吗？如果有，求 ；如果没有，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)有66这个数，是第11个数．
【分析】本题主要考查找规律和解一元二次方程：
（1）根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到 的值；
（2）当 时，得一元二次方程，求解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得， ，
，
，，
，
…，
∴ ，
∴当 时， ，
故答案为：36； ．
（2）解：当 时，即： ，
整理得，
解得， （舍去）
所以，这列数中有66这个数，此时 ．
2．【阅读材料】
一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我
们可以用公式 来计算等差数列的和，公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值．
例如：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21．
就是一个等差数列，公差 ， ， ，
所以 ．
用上面的知识解决下列问题
【完成任务】
（1）等差数列：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43．则 _____， _____，
_____；
【能力提升】（2）有一等差数列的和为450，用式子表示为： ，求这个数列中数的
个数n；
【延伸拓展】
（3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2011年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际
面积按一定规律减少，下表为2011、2012、2013、2014四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可
以将全县所有坡荒地全部种上树木．
2011年 2012年 2013年 2014年
植树后坡荒地的实际面积(公顷) 25200 24000 22400 20400
【答案】（1）1，3，330；（2） ；（3）到2020年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是
熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．
（1）根据题意，找出a、d、n，再由公式 来计算等差数列的和，即可得到答案；
（2）根据题意，找出a、d、并设出n，再由公式 来列方程求解即可得到答案；
（3）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意，得：第一个数字是1，公差为3，共用15个数字，
即 ， ， ，，
∵ ，
∴ ，
故答案为：1；3；330；
（2）由题意，得：第一个数字是2，公差为4，
即 ， ，
设共用n个数字，
∵ ，
∴ ；解得： ，即 ；
（2）解：由表可知，第一年种了： (公顷)，
第二年种了： (公顷)，
第三年种了： (公顷)，
∴公差为 (公顷)，
设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得
，
整理得： ，
∴ 或 (负值舍去)．
∴完成年份为： ；
答：到 年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
3．定义：在直角梯形中，如果有两条邻边相等，那么称这个梯形为邻等梯形，相等两邻边的夹角称为邻
等角．
(1)如图 ，在梯形 中， ， ，对角线 平分 ．请判断梯形 是否为
邻等梯形并说明相应理由．
(2)如图2，在 的方格纸中， ， ， 三点均在格点上，若四边形 是邻等梯形，请在答题卷的
网格图中画出三个不同的格点 ，并用 标明．
(3)如图 ，四边形 是邻等梯形， ， 为邻等角，连结 ，过点 作
，交 的延长线于点 若 ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)梯形 为邻等梯形，理由见解析；
(2)见解析；(3) ．
【分析】（1）先证明 ， ，再证明 ，即可得到结论；
（2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；① ，结合图形再确定满足 或
的格点 ；② ，结合图形再确定满足 的格点 ；
（3）如图，过 作 于 ，可得四边形 是矩形， ， ，证明四边形
为平行四边形，可得 ， ，设 ，而 ， ，
，由新定义可得 ，由勾股定理可得： ，再解方
程可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∵对角线 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为邻等四边形．
（2）解： ， ， 即为所求；
（3）解：如图，过 作 于 ，∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
设 ，而 ，
∴ ， ，
由新定义可得 ，
由勾股定理可得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意舍去），
∴ ，
∴四边形 的周长为 ．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩
形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
类型五、一元二次方程中的新定义
【解惑】定义：已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若 ，且
，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 的两根为 ， ，因为 ， ，所以一元二次方程 为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且方程的两根 、 满足
，求k的值．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)2
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
（1）解该一元二次方程，得出 ， ，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ，代入 ，即可求
出 ， ，再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可.
【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：
，
解得： ， ，
∵ ，
∴方程为“限根方程”；
（2）由根与系数的关系，得 ， ，
∵ ，
∴ ,
∴ 或 ；当 时， ， ，
∴ ,
∴ 符合题意；
当 时， ，
∴ ,
∴ （不符合题意，舍去），
∴k的值为2.
【融会贯通】
1．【阅读理解】
【定义】如果关于 的方程 （ 是常数）与 （
是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 ，
，则这两个方程互为“对称方程”．
【举例】求方程 的“对称方程”，这样思考：由方程 可知， ，
，根据 ，求出 就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程 的“对称方程”是______；
(2)若关于 的方程 与 互为“对称方程”，求 的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义．
（1）根据“对称方程”的定义解答即可；
（2）根据“对称方程”的定义可得 ，求出 的值，代入计算即可．
【详解】（1）解： ， ，
方程 的“对称方程”是 ，
故答案为： ；
（2）解：由 ，移项可得： ，
方程 与 为对称方程，
，
解得： ，
．
2．定义：若关于x的一元二次方程 中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方
程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于x的方程 是常数根一元二次方程，则c的值为_____________；
(2)如果关于x的方程 是常数根一元二次方程，则m的值；
(3)若关于x的常数根一元二次方程 中不含零根，求证：关于y的方程
是常数根一元二次方程．
【答案】(1)0或
(2) 或
(3)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次
方程的定义，得出关于c或m的方程．（1）根据常数根一元二次方程的定义，把 代入方程，解关于c的方程即可；
（2）根据常数根一元二次方程的定义，把 代入方程，解关于m的方程即可；
（3）根据常数根一元二次方程的定义，把 代入方程，得到 ，因此 是关于y的方程
的一个根，从而得证结论．
【详解】（1）解：∵关于x的方程 是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为 ，
代入方程得， ，
解得 或 ；
故答案为：0或
（2）解：∵关于x的方程 是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为 ，
代入方程得， ，
整理得， ，
解得 或 ．
（3）解：∵关于x的常数根一元二次方程 中不含零根，
∴方程的一个根为 ，且 ，
代入方程，得 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴把 代入方程 ，得左边 右边，
∴ 是关于y的方程 的一个根，
∴关于y的方程 是常数根一元二次方程．
3．如图，在 中， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，当
点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 ．
(1)填空： _____ ， _____ ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得四边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ，
(2) ， ；
(3)当 时，四边形 的面积等于 ．
【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，
再解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程 速度 时间就可以表示出 ， ．再用 就可以求出 的值；
（2）在 中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出 的值．
【详解】（1）解：由题意，得 ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：在 中，由勾股定理，得 ，
解得： ， ；（3）解：由题意，得 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
当 时， 的面积等于 ．
四边形 的面积 ．
答：当 时，四边形 的面积等于 ．
类型六、一元二次方程应用——几何动点
【解惑】如图， 、 、 、 为矩形的 个顶点， ， ，动点 从点 出发，沿
方向运动，动点 同时从点 出发，沿 方向运动，如果点 、 的运动速度均为 ，经过多长时间
、 两点之间的距离是 ？
【答案】 秒或 秒
【分析】可设运动 秒时，它们相距 ，根据题意表示出 ， 的长，再根据勾股定理列出方程求
解即可．
本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于 的方程及正确求得方程的解是解决本
题的关键．
【详解】解：设运动 秒时，它们相距 ，则 ， ，依题意有
，
解得 ， ．
故运动 秒或 秒时，它们相距 ．
【融会贯通】
1．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，点P从点A出
发沿边 以 的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边 以 的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ．
(1) ， （用含x的代数式表示）；
(2)当P、Q两点间的距离是 时，求x的值；
(3)填空：①当 时，四边形 是菱形；
②当 时，四边形 是矩形．
【答案】(1) ，x
(2)1
(3)①2；②
【分析】（ ）根据题意即可求解；
（ ）过点 作 于 ，过点 作 的延长线于 ，可得四边形 和四边形 是矩
形，得 ， ， ，可得 ，利用勾股定理得
，在 中，由勾股定理得 ，解方程得 或 ，又根据
，得 ，即可求解；
（ ） 由菱形的性质得 ，即 ，解方程即可求解；
由矩形的性质得 ，即 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得， ， ，
∴ ，故答案为： ， ；
（2）解：过点 作 于 ，过点 作 的延长线于 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 和四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 不合，舍去，
∴ ；（3）解： 要使四边形 是菱形，则 ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ；
要使四边形 是矩形，则 ，
即 ，
∴
故答案为： ，．
【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾
股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
2．如图所示， 中， ．
(1)点P从点A开始沿 边向B以 的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动，
如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是 ？
(2)点P从点A开始沿 边向B以 的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动．
如果P，Q分别从A，B同时出发，线段 能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；
若不能说明理由；
(3)若P点沿射线 方向从A点出发以 的速度移动，点Q沿射线 方向从C点出发以 的速度
移动，P，Q同时出发，问几秒后， 的面积为 ？
【答案】(1)2.4秒
(2)不能，理由见解析
(3)经过 秒或5秒或 秒后， 的面积为【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是 ，列出方程求解即可；
（2）设经过y秒，线段 能将 分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求
解；
（3）分三种情况：①点P在线段 上，点Q在线段 上 ；②点P在线段 上，点Q在射
线 上 ；③点P在射线 上，点Q在射线 上 ；进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是 ，依题意有
，
解得： ，
经检验， 符合题意．
故经过2.4秒点P和点Q间的距离是 ；
（2）解：设经过y秒，线段 能将 分成面积相等的两部分，依题意有
的面积 ，
，
即 ，
∵ ，
∴此方程无实数根，
∴线段 不能将 分成面积相等的两部分；
（3）解：①设经过m秒，点P在线段 上，点Q在线段 上 ，
依题意有
，
即 ，
解得 ， ，经检验， 不符合题意，舍去，
∴ ；
②设经过n秒，点P在线段 上，点Q在射线 上 ；依题意有
，
即 ，
解得 ，
经检验， 符合题意．
③设经过k秒，点P在射线 上，点Q在射线 上 ，
依题意有
，
即 ，
解得 ， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
∴ ；
综上所述，经过 ）秒或5秒或 秒后， 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
3．阅读理解：
材料1：对于一个关于x的二次三项式 （a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，
爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令 （a≠0），然后移项可得：
，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求 的取值范围；
解：令
∴
∴Δ＝4﹣4×(5﹣y)≥0
∴y≥4
∴ ．
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元
二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于x的一元二次方程 （a＞0）有两个不相等的实数根
则关于x的一元二次不等式 （a＞0）的解集为： 或
则关于x的一元二次不等式 （a＞0）的解集为：
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)若关于x的二次三项式 （a为常数）的最小值为﹣6，求a的值；
(2)求出代数式 的取值范围；
【答案】(1)a＝6或a＝﹣6
(2) 或 ≥﹣2
【分析】（1）仿照例题，设 ，变形为 ，根据 ，列出不等式，根据
最小值为﹣6，即可求解；
（2）仿照例题，设y＝ ，变形为 ，根据 ，得 ，
解法方程 ，得 ，根据材料二即可求解．【详解】（1）解：设 ，变形为 ，
∵ ，
∴ 可得 ，
而由已知y≥﹣6，
故3﹣ ＝﹣6，
∴a＝6或a＝﹣6．
（2）设y＝ ，变形为 ，
∵ ，
∴ ，化简得 ，
解得： ，
∴根据材料二， ，
∴y 或y≥﹣2．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式来确定代数式的取值范围，仿造一元二次方程的解法来
解决一元二次不等式的解集问题，掌握一元二次方程根的判别式与解一元二次方程是解题的关键．
类型七、阅读理解
【解惑】阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式．理解运用：如果 ，那么 ，
即有 或 ，
因此，方程 和 的所有解就是方程 的解．
解决问题：解方程 ．
【答案】 或
【分析】利用因式分解把原方程化为 ，从而得到 或 ，再分别求
出两个方程，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
则 ，即 ，
或 ，
解得 或
【点睛】本题考查了解一元二次方程：理解阅读材料，把原方程转化成二次方程或一次方程是解题的关键．
【融会贯通】
1．阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一
个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知．
用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程 ,可以通过因式分解把
它转化为 ，解一元一次方程 和一元二次方程 ，可得 ， ， ；
操作尝试：解一元三次方程 ．【答案】 ， ，
【分析】先通过因式分解把方程化为两个二次方程，然后再利用公式法求解二次方程．
【详解】解： ，
∴ ．
∴ 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
∴ ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程、高次方程的解法，看懂题例掌握一元二次方程的解法是解决本题的关
键．
2．阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问
题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．
由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键
是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增
根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程
解：两边平方得：
解得： ，
经检验， 是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是 ．
解决问题：（1）填空：已知关于x的方程 有一个根是 ，那么a的值为 ；
（2）求满足 的x的值；
（3）代数式 的值能否等于8 ? 若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可；
（2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解；
（3）将原方程变形为 ，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即
可．
【详解】解：（1）把x=1代入方程 得 ，
两边平方得 3-a=1，
解得a=2，
经检验，a=2是方程 的解，
故答案为：a=2；
（2）
两边平方得：
解得： ，
经检验，x=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x=3是原方程的根
2 1
∴原方程的根是x=3；
（3）不能．
，
原方程变形得 ，
两边平方得
整理得 ，两边平方得 ，
此方程无解，
∴代数式 的值不等于8．
【点睛】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键．
3．如图， 分别是 轴上关于 轴对称的点，点 坐标 ，连接 ， ， ．
(1)如图1，求 点坐标．
(2)如图2，点 是线段 上一点（点 不与点 、点 重合），设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，
求 与 之间的函数关系式．（不要求写出自变量 的取值范围）
(3)如图3，在（2）的条件下，直线 经过点 ，点 在线段 上，点 在直线 上，连接 ，
过点 作 轴垂线 ，连接 ，当四边形 和四边形 均为矩形时，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据 ，求出 ，结合点 在 轴负半轴，即可得出答案；
（2）由题意得出 ，从而得出 ，待定系数法求出直线直线 的解析式为
，从而得出 ，再根据 计算即可得出答案；
（3）由四边形 为矩形，得出 ， ，待定系数法求出直线 的解析式为：，设 ， ，由四边形 是矩形，求出 ， ，
得到 ，再利用勾股定理求出 的值即可得解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∵点 坐标 ，
∴ ，
解得： ，
∵点 在 轴负半轴，
∴ 点坐标为 ；
（2）解：∵ 分别是 轴上关于 轴对称的点，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 解析式为 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 是线段 上一点，设点 的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ，设直线 的解析式为： ，
将 代入解析式得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵过点 作 轴垂线 ，
∴点 的纵坐标为 ，
设 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵点 不与点 、点 重合，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了坐标与图形、一次函数的应用、矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识点，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．类型八、一元二次方程与图形几何结合
【解惑】在如图所示的平面直角坐标系中，正方形 边长为 ，点 的坐标为 ．
(1)如图1，动点 在 边上，将 沿直线 折叠，点 落在点 处，连接 并延长，交 于点
．
①当 时，点 的坐标是 ；
②若点 是线段 的中点，求此时点 与点 的坐标；
(2)如图2，动点 ， 分别在边 ， 上，将四边形 沿直线 折叠，使点 的对应点 始终
落在边 上（点 不与点 ， 重合），点 落在点 处， 交 于点 ．设 ，四边形
的面积为 ，直接写出 与 的关系式．
【答案】(1)① ； 点D的坐标为 ，点 的坐标为
(2)
【分析】（1）①由折叠的性质可得 ，结合 可得 ；②连接 ，先证
，推出 ，设点 的坐标为 ，用勾股定理解 可得点
的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式，设出点 的坐标，结合 ，利用两点间距离
公式列方程，即可求解；
（2）连接 ， ， ，设 ，用勾股定理解 求出 与 的关系，进而用含 的
代数式表示出 ；设 ，用勾股定理解 ， ，用含 ， 的式子分别表示出 ，，由折叠可知 垂直平分 ，推出 ，进而可得 与 的关系，用含 的代数式表示出
，最后根据 即可求解．
【详解】（1）解：① 正方形 边长为 ，点 的坐标为 ，
，
由折叠的性质可得 ，
又 ，
，
，
点 的坐标是 ，
故答案为： ；
如图，连接 ，
点 是线段 的中点，
，
由折叠的性质可得 ， ，
又 ，
，
在 和 中， ，
，
，设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 和 代入，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
解得 或 （舍去），
点 的坐标为 ；
（2）解：如图，连接 ， ， ，设 ，则 ．
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
；
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
由折叠可知 垂直平分 ，
，
，即 ，
解得 ，
；
，
即 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，正方形折叠问题，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，求一次
函数解析式，勾股定理等，第二问有一定难度，根据折叠得出 垂直平分 ，进而得出 是解题的关键．
【融会贯通】
1．已知，点P是边长为4的正方形 对角线 上的一动点， 于E， 于F，连结
、 、 、 ，记 、 、 的面积分别为 、 、 ，令 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 则 的值是______．
(3)①求 （用x的代数式表示）
②若 ，求x的值
③是否存在实数k，使 的值与P点在 上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请
说明理由；
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)① ；② ， ，③
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，可得 ，证明四边形 为矩形，可得
，从而可得结论；
（2）证明四边形 是矩形，可得 ， ， ， ，可得
， ， ，再结合三角形的面积公式可得答案；
（3）①证明四边形 是矩形，得到 ， ，继而得到 ，，根据等边对等角得到 ， ，再根据三角形的面积即可得解；②
利用①的结论建立方程求解即可；③求出 ，再进一步即可得解
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于E， 于F，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点 是边长为 的正方形 的对角线 上的一点，且 ， ， ，
， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（3）解：①∵点 是边长为 的正方形 的对角线 上的一点，且 ， ， ，
， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，∴ ， ，
∵ ， ， 的面积分别为 ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ；
③∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ，
∴
，
∵ 的值与 点在 上的位置无关，即与 值无关，
∴ ，
解得： ，∴当 时， 的值为 ，与 点在 上的位置无关
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等角对等边，一元二次方程的解法等知识点．掌握
矩形的判定和性质，熟练的利用方程思想是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，四边形 为矩形， ， ，且 ．点 从 点
出发沿 运动，点 从 点出发沿 运动，点 从 点出发沿 运动．
(1)如图1，将 沿 折叠，点 恰好落在点 处，则 点的坐标为 ， 点的坐标为 ；
(2)如图2，若 ， 两点以相同的速度同时出发运动，使 ，求 的值；
(3)如图3，已知点 为 的中点，若 ， 两点以相同的速度同时出发运动，连接 ，作 于
，直接写出 的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的非负性以及平方的非负性，即可得 ， ，
，由题意得： ， ．在 中， ， ， ，
即可得 ， ，即 ，设 ，则 ，
利用勾股定理得 ，即可得 ，即可求解；
（2）延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，过点 作 ，使 ，连接 ， ，证明 得出 ，进而证明 ， ，得出 ，
， ，设 ，则 ，根据勾股定理得出一元二次
方程，解方程得出 ，进而即可求解．
（3）连接 ，交 于点 ，连接 ， ，取 的中点 ，连接 ， ，证明
，可得 ，即点 为矩形 的中心，勾股定理求得 ，进而根据
当点 ， ， 三点在一条直线上时， 取得最大值 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
又 ， ，
， ，
， ；
， ，．
， ．
四边形 为矩形，
， ．
将 沿 折叠，点 恰好落在点 处，
， ，
，
；
，
设 ，则 ，
，
，
．．
．
故答案为： ， ；
（2）延长 交 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，过点 作 ，使 ，连接 ， ，
如图，
， ，
．
在 和 中，
，
，
．
，
．
， 两点以相同的速度同时出发运动，
，
为等腰直角三角形，
，
，
和 为等腰直角三角形，
， ， ，
， ， 为等腰直角三角形，．
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
．
，
，
设 ，则 ，
，
，
．
负数不合题意，舍去 ，
，
．
（3）连接 ，交 于点 ，连接 ， ，取 的中点 ，连接 ， ，如图，
， 两点以相同的速度同时出发运动，
．，
．
在 和 中，
，
，
，
即点 为矩形 的中心，
点 为 的中点， 为 的中点，
．
， 为 的中点，
．
，
当点 ， ， 三点在一条直线上时， 取得最大值 ，
的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，直
角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，构造合理的辅助线，
掌握矩形的性质，是解答本题的关键．
3．若关于 的一元二次方程 的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发
现，任何一个“快乐方程”的判别式 一定为完全平方数．现规定 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程” ，的两根均为整数，其“快乐数”
，若有另一个“快乐方程” 的“快乐数”
，且满足 ，则称 与 互为“开心数”．
(1)“快乐方程” 的“快乐数”为________；
(2)若关于 的一元二次方程 （ 为整数，且 ）是“快乐方程”，求
的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于 的一元二次方程 与 （ 、 均为整数）都是“快乐方程”，
且其“快乐数”互为“开心数”，求 的值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)n的值为0或3或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快
乐数”的定义是解题的关键．
（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程” 的“快乐数”；
（2）先计算 ，根据“快乐方程”的定义，得到 为完全平方数，根据 ，
得到 ，即可求出 或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”；
（3）关于x的一元二次方程 是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程
的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值．
【详解】（1）解：方程 的“快乐数为： ，
故答案为： ；（2）解：方程 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又方程 是“快乐方程”，
∴ 或36，
∴ ， （舍去），
∴方程为： ，
则 ，
故其“快乐数”数是 ；
（3）解： ，
∴ ，
设 ，
则 ，
又 与 同奇偶，
∴ 或 或 或
解得 或 ，
∴方程为： 或 ；
，
∴ ，
，当 时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时， ，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴ ，
解得 ，
综上，n的值为0或3或 ．
【一览众山小】
1．已知等腰 的底边长为5，其余两边长恰好是关于 的方程 的两个根，则
的值是（ ）
A．2 B．2或10 C．4 D．4或10
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，熟练掌握根的
判别式与根的关系是解答本题的关键．
根据一元二次方程根的判别式，求得 ，再将 的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三
边关系，即可确定m的值．
【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等，
∴方程 有两个相等的实根，， ， ，
，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
，满足三角形的三边关系，
即m的值是2，
故选：A．
2．如图①，在矩形 中（ ），动点 从点 出发，沿 匀速运动，运动到点 处停
止．设点 的运动路程为 ， 的周长为 ， 与 的函数图象如图②所示，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】设 的长为a，由函数图象可知 ，根据第一次周长为12时列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ．
设 的长为a，
由函数图象可知，当周长第一次为12时，点P运动到点D，当周长第二次为12时，点P运动到点C，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数土象，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，数形结合是解答本
题的关键．
3．若 是关于 的方程 的根，则 的值为（ ）
A． B．15 C． D．16
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出 ，从而得到
，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵ 是关于 的方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 点B在x轴正半轴上，且 ，则 的长是
．
【答案】 /
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设 ，勾股定理求出 ，过点 作 ，易得
为等腰直角三角形，求出 的长，等积法列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
过点 作 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ；
故答案为： ．
5．如图， 中， ， ， ，点 从点 出发向终点 以1个单位长度 移动，
点 从点 出发向终点A以2个单位长度 移动， 、 两点同时出发，一点先到达终点时 、 两点同
时停止，则 秒后， 的面积等于4．【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键
设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设t秒后 的面积等于4，
由题意得： ，则 ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
解得： ， ，
∵点 从点C到点A的时间为 ，
∴ ，不合题意，舍去，
∴1秒后， 的面积等于4．
故答案为：1．
6．（1）当 __________时，多项式 的最小值为__________．
（2）当 __________时，多项式 的最大值为__________．
（3）当 、 为何值时，多项式 取最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）3，3
（2）1，（3） ， ，最小值是10
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由配方可知 ，然后根据非负数的性质，判断出 的值，然后进行计算即可；
（2）由配方可知 ，然后根据非负数的性质，判断出 的值，然后进行计算即可；
（3）由配方可知 ，然后根据非负数的性质，判断出 和
的取值，然后进行计算即可．
【详解】（1）
当 时，多项式 取最小值，且最小值为3；
故答案为：3，3
（2）
当 时，多项式 取最大值，且最大值为 ；
故答案为：1， ；
（3）
，
当 且 ，即 时，多项式 取最小值，并且最小值为 ．
， ，最小值是10．
7．已知 是等腰直角三角形， ．(1)当 时，
①如图①，将直角的顶点D放至 的中点处，与两条直角边分别交 于点E、F，请说明 为
等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至 边的某处，与 另两边的交点分别为点E、F，若 为等腰直角
三角形且面积为4，求 的长．
(2)若等腰直角 三个顶点分别在等腰直角 的三边上，等腰直角 的直角边长为1时，求等
腰直角 的直角边长的最大值．
【答案】(1)①见解析；②2或
(2)
【分析】（1）①过点D作 于G， 于 H， 连接 ． 是等腰直角三角形，点
是 的中点，可得 ， ， ， ，
由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
②过点 F作 于 N．由“ ”可证 ，可得 ，设 ， 则
．根据勾股定理得 再列出方程即可求解；
（2）当点 在 上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作 于点
E， 于H．设 ．则 即可求解．
【详解】（1）① 如图， 过点D作 于G， 于 H， 连接 ．是等腰直角三角形， ，点 是 的中点，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
是等腰直角三角形；
② 如图， 过点 F作 于 N．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
设 ， 则 ．
，
，
或
∴ 或 ，
（2）设等腰 的直角顶点为 D，
若 D 在 上， 如图3．
取 的中点Q， 连接 ， 则
∵ 是直角边长为1的等腰直角三角形( )．∴当C、Q、D共线时， 最长， 则
∴在等腰 中， 当 时， 的长最大．
最大为2．
若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作 于点E， 于H．
由 知
设 ．
则
解得
当s取最大值时，
∴ 的最大值为 ．
综上， 的最大值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的
性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．阅读材料后解答问题∶材料1：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，求 的值．
解： ∵一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，
∴ ， ， 则 ．
材料2：已知实数a、b满足 ， ，且 ，求 的值．
解：依题意得：a与b为方程 的两根，
∴ ， ，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 和 ，则 ， ．
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)3；
(2)
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得： ，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程 的两个实数根，则有 ，再利用分式的化简求值的
方法进行运算即可；
【详解】（1）解： 一元二次方程 的两个根为 ， ，
，故答案为：3； ．
（2）解： 一元二次方程 的两根分别为m，n，
，
．
（3）解： 实数s，t满足 ，且 ，
s，t是一元二次方程 的两个实数根，
．
，
．
