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专题 01 一元二次方程定义、解法、根与系数的关系
一元二次方程的定义
1．（24-25九年级上·广东广州·期末）下列关于 的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ）A． B． C． D．
一元二次方程的一般形式
1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）把方程 化成一般形式为 ，一次项系数为
．
2．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）方程 化为一般形式为 ．
3．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）方程 的二次项系数是 ；常数项是 ．
4．（23-24八年级下·吉林·期末）将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，
则一次项系数为 ．
一元二次方程的解
1．（23-24九年级上·四川达州·期末）若关于x的一元二次方程 的一个根为 ，则p的值
为 ．
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）若关于x的方程 的一个根是 ，则m的值为
．
3．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）若一元二次方程 有一个根为x=−1，则
．
4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知 是方程 的根，则代数式 的值为
．根据判别式判断一元二次方程的根的情况
1．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）．
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确
2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）若正比例函数 的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方
程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
根据一元二次方程根的情况求参数
1．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值为
．
2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的最小值为
．
3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程 的有两个相等的实数根，则
．4．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则 m 的取值范围是 ．
一元二次方程的根与系数的关系
1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）一元二次方程 有两根 ，则 ．
2．（23-24九年级上·全国·期末）若m，n是一元二次方程 的两根，则 的值为
．
3．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）若 、 分别为方程 的两根，则
．
4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）设α、β是方程 的两个实数根，则 的值为
．
5．（22-23九年级上·广东湛江·期末）若 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为 ．
求解一元二次方程
1．（24-25九年级上·全国·期末）解方程
(1)
(2)
2．（24-25九年级上·四川·期末）用适当的方法解下列方程．
(1)(2)
3．（23-24九年级上·全国·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程．
(1) ；
(2) ．
5．（23-24九年级上·云南红河·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
6．（23-24九年级上·广东广州·期末）解下列方程：
(1)
(2)
利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”
1．（23-24九年级上·新疆和田·期末）方程 是关于 的一元二次方程，则 ．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程 为一元二次方程，则m的值
是 ．3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于 的方程 是一元二次方程，则
．
4．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）若 是关于 的一元二次方程，则 的值为 .
利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”
1．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则k的值是
．
2．（2023秋·辽宁丹东·九年级统考期末）若关于 的一元二次方程 有一个根为
0，则 ．
3．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
则 的值为 ．
利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”
1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）关于x的方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范
围是 ．
2．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则
的取值范围是 ．
3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则
的取值范围是 ．
4．（23-24九年级上·四川南充·期末）方程 有两个实数根，则 的取值范围利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”
1．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知 ， 是关于 的方程 的两个实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个实数根，求 的取值范围；
(2)若方程的两个根为 ， 且 ，求 的值．
3．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程的一个根是 ，求方程的另一个根；
(2)若该一元二次方程的两个根分别为 ， ，当 时，求 的值．
4．（23-24八年级下·广东湛江·期末）阅读材料：在一元二次方程 中，我们定义方程
的判别式为 ，当 时，方程有两不同的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为 ，两根之积为 ．
已知关于x的方程：
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围．
(2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值．
(3)若方程的两个实数根为 ，且 ，求m的值．
与几何图形结合时取舍不当或考虑不全1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）三角形两边的长是 和 ，第三边的长是方程 的根，
则该三角形的周长为 ．
2．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知 的两边 、 的长是关于 的一元二次方程
的两个根，第三边 的长是5．
(1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形．
3．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若关于x的一元二次方程 的两根为 ( )．
(1)求k的取值范围；
(2)若 是一个矩形两条邻边长且矩形的对角线的长为 ，求 的值．
4．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)设方程的两根分别为 ， ．若以 ， 的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
一元二次方程中的新定义型问题
1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有
，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如： ．
(1)求关于x的方程 的根；
(2)若关于x的方程 有两个实数根，求k的取值范围．
2．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）定义：若 ， 是方程 的两个整数根，且满足
，则称此类方程为“差1方程”．例如： 是“差 方程”．(1)下列方程是“差 方程”的是______；（填序号）
① ② ③ ；
(2)若方程 是“差 方程”，求 的值．
3．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于 的一元二次方程 的两个实数根分
别为 ， ，分别以 ， 为横坐标和纵坐标得到点 ，则称点 为该一元二次方程的
衍生点．
(1)直接写出方程 的衍生点 的坐标为______；
(2)已知关于 的方程 ．
①求证：不论 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点 的坐标；
③已知不论 为何值，关于 的方程 的䘕生点 始终在直线 上，求
b，c的值．
4．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次
方程 的两个实数根分别为 、 ，那么两个根的关系为
， ．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程 根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：
， ．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根（都不为0），且其中一个根等
于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)请你判断：方程 是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，求c的值；
(3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程 ，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方
程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
