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专题 01 一元二次方程定义、解法、根与系数的关系
一元二次方程的定义
1．（24-25九年级上·广东广州·期末）下列关于 的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念， 根据一元二次方程的定义求解即可，熟练掌握其概念是
解决此题的关键．
【详解】A、该方程的未知数的二次项系数是 ，当 时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题
意；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意；
C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫
做一元二次方程，据此逐项判断即可．
【详解】解：A， ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
B， 是一元二次方程，符合题意；
C， ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
D， 不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
故选B．
3．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是 的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】 、当 时，方程为 是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程 是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程 的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程 整理为 ，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选： ．4．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、方程 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、当 时，方程 不是一元二次方程，故不符合题意；
C、方程 化为 ，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、方程 即 是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
一元二次方程的一般形式
1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）把方程 化成一般形式为 ，一次项系数为
．
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为： ．把原等
式化为一般形式为 ，再根据一次项系数的定义即得出答案．
【详解】解：
，
故一般形式为 ，一次项系数为 ，
故答案为： ．2．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）方程 化为一般形式为 ．
【答案】
【知识点】计算多项式乘多项式、合并同类项、一元二次方程的一般形式
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，多项式乘多项式，合并同类项等知识点，熟练掌握一
元二次方程的一般形式是解题的关键．
利用多项式乘多项式把方程展开，再移项，合并同类项，即可得出答案．
【详解】解： ，
可化为： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·新疆喀什·期末）方程 的二次项系数是 ；常数项是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，对于一元二次方程 ， 为二次项系数，
为一次项系数， 为常数项．据此即可求解．
【详解】解：由题意得： 的二次项系数为 ，常数项为 ，
故答案为：① ②
4．（23-24八年级下·吉林·期末）将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，
则一次项系数为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
【详解】解： 一元二次方程 化成一般形式之后，二次项的系数是2，
化成的一般形式为 ，
一次项系数为 ，
故答案为： ．一元二次方程的解
1．（23-24九年级上·四川达州·期末）若关于x的一元二次方程 的一个根为 ，则p的值
为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的解
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将 代入方程求解即可，掌握一元二次方程根的含义是解题
的关键．
【详解】解：根据题意得， ，
解得， ，
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）若关于x的方程 的一个根是 ，则m的值为
．
【答案】
【知识点】一元二次方程的解
【分析】本题考查一元二次方程的解，把 代入方程，求出 的值即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）若一元二次方程 有一个根为x=−1，则
．
【答案】
【知识点】一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把x=−1代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程根的定
义是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程 有一个根为x=−1，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知 是方程 的根，则代数式 的值为
．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】此题考查了代数式的值、方程根的定义，整体代入是解题的关键．由一元二次方程根的定义得到
，再整体代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
根据判别式判断一元二次方程的根的情况
1．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）．
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握当 时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据
方程的系数结合根的判别式即可得出 ，由此即可得出结论．
【详解】解： ，
一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选： ．
2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个
不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：A. ，方程有两个不等的实数根，故选项A符合题意；
B. ，方程没有实数根，故选项B不符合题意；
C. ，方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意；
D. ，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意；
故选：A
3．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】B
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当 时，一元二次方程有两个不相等的实根；
时，一元二次方程有两个相等的实数根； 时，一元二次方程没有实数根；”是解题的关键．
利用一元二次方程根的判别式即可判断．
【详解】由一元二次方程根的判别式可得：
，
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
故选： ．
4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）若正比例函数 的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方
程 的根的情况是（ ）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【答案】B
【知识点】正比例函数的性质、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出 ，进而计算
判别式，根据判别式的意义，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数 的图象过第二、四象限，
∴ ，
∵
∴
∴方程 有两个不相等的实数根
故选：B．
根据一元二次方程根的情况求参数
1．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值为
．
【答案】 或9
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：∵方程 ，即 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 或9，
故答案为： 或9．
2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的最小值为
．
【答案】【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当 时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式 ，可得出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，即
可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： ，
∴m的最小值为 ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程 的有两个相等的实数根，则
．
【答案】 或
【知识点】解一元二次方程——配方法、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得到 ，然
后解关于k的方程即可．
【详解】解： ，
， ， ，
，
整理得： ，即
或 ，
故答案为： 或 ．
4．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则 m 的取值范围是 ．【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．
由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
一元二次方程的根与系数的关系
1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）一元二次方程 有两根 ，则 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于 ，
代入求值即可．
【详解】解：一元二次方程 中，
， ，
∴ ，
故答案为：3．
2．（23-24九年级上·全国·期末）若m，n是一元二次方程 的两根，则 的值为
．
【答案】1【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到 ， ，整体代
入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：1．
3．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）若 、 分别为方程 的两根，则
．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查根与系数的关系，根据题意，得到 ，整体代入法求代数式的值即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故答案为：3．
4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）设α、β是方程 的两个实数根，则 的值为
．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题
的关键．根据一元二次方程根与系数关系可以求出 ， 可化为 ，代入求值
即可解答．
【详解】∵ 是方程 的两个实数根，
，=1
故答案为：1．
5．（22-23九年级上·广东湛江·期末）若 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，灵活利用整体代入的思想解决问题是解题的关键．
根与根与系数的可得 ，再对代数式变形进行最后将 代入计算即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
求解一元二次方程
1．（24-25九年级上·全国·期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程成为解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：
或 ，
解得： ， ；
（2）
即
或
解得 ， ．
2．（24-25九年级上·四川·期末）用适当的方法解下列方程．
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2)无实数根
【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了接一元二次方程，解题的关键是：
（1）移项后，根据因式分解法求解即可；
（2）把原方程化成一般式后，根据公式法求解即可．
【详解】（1）解： ，∴
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2）解：原方程可化为 ，
∴ ，
∴方程无实数根．
3．（23-24九年级上·全国·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和公式法是解题的关键；
（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）利用公式法解方程即可求解；
【详解】（1）解：
，
（2）解：
， ，，
4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
， ；
（2）解： ，，
，
，
或 ，
， ．
5．（23-24九年级上·云南红河·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得 ．
6．（23-24九年级上·广东广州·期末）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握根据方程特征选择恰当的解法是解题的关键．
（1）利用公式法求解可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：由题可得： ，
，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解： ，
，
，
或 ，
∴ ， ．利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”
1．（23-24九年级上·新疆和田·期末）方程 是关于 的一元二次方程，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（ ）未知数的最高次数是
；（ ）二次项系数不为 ；（ ）是整式方程；（ ）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的
关键．
【详解】解：∵方程 是关于 的一元二次方程，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程 为一元二次方程，则m的值
是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于 的一元二次方程和一元
一次不等式，解之即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得： ， ，
，
解得： ，即 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于 的方程 是一元二次方程，则
．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方
程）即可得．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）若 是关于 的一元二次方程，则 的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高
次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解．
【详解】解：由题意得： 且 ，
∴ ，
故答案为：
利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”
1．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则k的值是
．【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将 代入方程，结合一元二次方程的定义
求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：1．
2．（2023秋·辽宁丹东·九年级统考期末）若关于 的一元二次方程 有一个根为
0，则 ．
【答案】
【分析】把 代入方程 ，解方程即可求得 的值，且 ，从而即可得
到答案．
【详解】解：把 代入方程 得，
，
解得： ， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于 的一元二次方程
二次项系数不为零，即 ．
3．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
则 的值为 ．
【答案】【分析】根据一元二次方程根的定义，将 代入关于x的一元二次方程 得到关于k
的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
把 代入方程 ，得：
，
解得： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．
利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”
1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）关于x的方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范
围是 ．
【答案】 且
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握根的
判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一
元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且
列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
且 ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．2．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则
的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，明白根据关于 的方程
有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程且 ，得出不等式 和
求解是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
即 ，且 ，
解得： 且 ，
∴ 的取值范围是： 且 ，
故答案为 且 ．
3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则
的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下
列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足 ．据此求解即可．
【详解】解∶∵方程 有两个不相等的实数根，∴ 且 ，
∴ 且 ，
故答案为∶ 且 ．
4．（23-24九年级上·四川南充·期末）方程 有两个实数根，则 的取值范围
【答案】 且
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件，由题意得
出 ，计算即可得出答案．
【详解】解：∵方程 有两个实数根，
∴ ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”
1．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知 ， 是关于 的方程 的两个实数根．
(1)求 的取值范围；(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) ，且
(2)
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与 有
如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没
有实数根，关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关
系： ， ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个实数根结合一元二次方程的定义得出 ，
，计算即可得出答案；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，结合
计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， 是关于 的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
解得： ，且 ；
（2）解：∵ ， 是关于 的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ．
2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个实数根，求 的取值范围；
(2)若方程的两个根为 ， 且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及其判别式的相关知识，将待求式根据完全平方公
式适当的变形是解答本题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，有 ， ，再将 转化为
，再代入计算即可．
【详解】（1）解：原方程可化为： ，
一元二次方程 有两个实数根，
且 ，
即 且 ，
解得： ；
（2）根据根与系数的关系得： ， ，
，
，解得 ， （舍去），
经检验 是方程的解，
的值为 ．
3．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程的一个根是 ，求方程的另一个根；
(2)若该一元二次方程的两个根分别为 ， ，当 时，求 的值．
【答案】(1)方程的另一个根为 ；
(2) ．
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次
方程、一元二次方程的解
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及解一元二次方程．
（1）将 代入 中，得 ，再解方程即可；
（2）先根据判别式求得m的取值范围，再根据根与系数的关系代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的一个根是 ，
∴将 代入 中，得 ，解得 ，
∴解一元二次方程 ，得 或 ，
∴方程的另一个根为 ；
（2）解：由题意知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 且 ；
∵一元二次方程 的两个根分别为 ， ，∴ ， ， ，
∴ ，可化为 ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
4．（23-24八年级下·广东湛江·期末）阅读材料：在一元二次方程 中，我们定义方程
的判别式为 ，当 时，方程有两不同的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为 ，两根之积为 ．
已知关于x的方程：
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围．
(2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值．
(3)若方程的两个实数根为 ，且 ，求m的值．
【答案】(1)
(2) ， 或 ，
(3)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，正确
理解题意是解题的关键：
（1）根据判别式大于等于零列不等式求解；
（2）将 代入方程得， ，求出m，再根据两根和列方程求出n；
（3）由根与系数的关系得到 ，利用完全平方公式变形即可求出m的值．
【详解】（1）解：因为方程有两个实数根，
所以 ，
解得 ，所以m的取值范围是 ；
（2）将 代入方程得， ，
解得 ．
当 时，方程为
因为 ，
所以 ．
当 时，方程为
因为 ，
所以 ．
综上所述， 或 ．
（3）因为方程的两个实数根为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ．
因为 ，
所以 ，
即m的值为 ．
与几何图形结合时取舍不当或考虑不全1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）三角形两边的长是 和 ，第三边的长是方程 的根，
则该三角形的周长为 ．
【答案】
【知识点】构成三角形的条件、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
先利用因式分解法解方程得到 ， ，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为 ，然后计
算此三角形的周长．
【详解】解： ，
，
或 ，
所以 ， ，
而 ，不能构成三角形；而 ，能构成三角形，
所以三角形第三边长为 ，
所以此三角形的周长为 ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知 的两边 、 的长是关于 的一元二次方程
的两个根，第三边 的长是5．
(1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意直接列出根的判别式 ，即可证明；（2）根据韦达定理用 表示出 ， ，再利用勾股定理 ，变式得到
，代入即可得到 的方程，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明： ， ，
无论 为何值，方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 和 是 的两个根
，
是以 为斜边的直角三角形
，即
解得： ， （ ，不合题意，舍去）
的值为3
3．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若关于x的一元二次方程 的两根为 ( )．
(1)求k的取值范围；
(2)若 是一个矩形两条邻边长且矩形的对角线的长为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、根据矩形的性质求线段
长【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ；
（2）解：设方程的两根为 ，则 ，
由题意得： ，
∴ ，
即： ，
解得： ，且符合 ，
综上所述： ．
4．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)设方程的两根分别为 ， ．若以 ， 的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
【答案】(1)见详解
(2)m的值为3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、利用菱形的性质求
面积
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，又由菱形的面积为 ，即可求出m的
值．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系
数的关系是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，
方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系可得 ，∵菱形面积为 ，
∴ ，
解得 ，
所以m的值为3．
一元二次方程中的新定义型问题
1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“ ”：对于实数m，n，p，q．有
，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如： ．
(1)求关于x的方程 的根；
(2)若关于x的方程 有两个实数根，求k的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 且
【知识点】新定义下的实数运算、公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运
算规则是解题的关键．
（1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决．
【详解】（1） ，
，
．
，
，，
（2）
，
整理得： ．
方程有两个实数根，
且 ，
解得： 且
2．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）定义：若 ， 是方程 的两个整数根，且满足
，则称此类方程为“差1方程”．例如： 是“差 方程”．
(1)下列方程是“差 方程”的是______；（填序号）
① ② ③ ；
(2)若方程 是“差 方程”，求 的值．
【答案】(1)②
(2) 或
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键．
（1）分别求出方程的解即可判断；
（2）利用因式分解法解出方程，再根据“差 方程”的定义即可求解．
【详解】（1）解：① ，
，
∴ ，， 不是整数根，故①不是“差 方程”；
② ，
，
∴ ，
∴ ，故②是“差 方程”；
③ ，
，
，
∴方程无整数根，故③不是“差 方程”；
故答案为：②；
（2）解：方程因式分解得 ，
解得： ， .
∵方程为“差 方程”，
∴ ，
解得： 或 .
3．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于 的一元二次方程 的两个实数根分
别为 ， ，分别以 ， 为横坐标和纵坐标得到点 ，则称点 为该一元二次方程的
衍生点．
(1)直接写出方程 的衍生点 的坐标为______；
(2)已知关于 的方程 ．
①求证：不论 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点 的坐标；
③已知不论 为何值，关于 的方程 的䘕生点 始终在直线 上，求b，c的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；② ；③
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元
二次方程
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；
（2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M
的坐标；③将 变形，可得过定点 ，根据题意方程 的两个根为
，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴该方程的衍生点M的坐标为
（2）①∵方程为 ，
∴ ，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②
∴ ，∴该方程的衍生点M的坐标为 ；
③解∶直线 ，过定点 ，
∴ 两个根为 ，
∴ ，
∴ ．
4．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次
方程 的两个实数根分别为 、 ，那么两个根的关系为
， ．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程 根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：
， ．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根（都不为0），且其中一个根等
于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根（都不为0），且其中一个根的
平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)请你判断：方程 是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，求c的值；
(3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程 ，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方
程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
【答案】(1)倍根方程
(2)c的值是8(3)方程的两个根是 ， 或 ，
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
（2）设方程 的两个根为 ， ，由倍根方程”的定义可知 ，利用根与系数的关系即
可求得 的值；
（3）设一元二次方程 ，的两个实数根分别为 、 ，由题意可知 ， 或 ，
，即可得到方程的根是2、4或 、 ．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方
程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】（1）解：解方程 得：
， ，
，
方程 是倍根方程；
故答案为：“倍根方程”；
（2）解：程 的两个根为 ， ，
一元二次方程 是“倍根方程”，
，
， ，
， ，
，
；
（3）解：元二次方程 ，的两个实数根分别为 、 ，这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
， ，
，
解得 或 （舍去），
，
或 ， ，
，
解得 或 （舍去），
，
这个方程的根是2、4或 、 ．
