专项突破03 二次函数的图像和性质
（知识技巧点拨+17种高频考察题型 共34题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01： y=ax²图像和性质.....................................................2
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质................................................2
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质.............................................2
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k的图像和性质.........................................3
知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质....................................3
知识点梳理06：比较函数值大小的方法.................................................4
知识点梳理07：二次函数平移的方法...................................................4
知识点梳理08：求对称轴的方法.......................................................4
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法.............................................4
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题...................................................4
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法.........................................5
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围...........................................5
优选题型 ..............................................................................5
题型1：y=ax²的图象和性质...........................................................5
题型2：y=ax²+k的图象和性质........................................................6
题型3：y=a (x-h)）²的图象和性质...................................................10
题型4：y=a (x-h) ²+k的图象和性质..................................................12
题型5：二次函数图象的平移.........................................................14
题型6：把y=ax²+bx+c化成顶点式....................................................15
题型7：画y=ax²+bx+c的图象........................................................18
题型8：y=ax²+bx+c的图象与性质....................................................22
题型9：二次函数图象与各项系数符号.................................................24
题型10：一次函数、二次函数图象综合判断............................................26
题型11：两个二次函数图象综合判断..................................................30
题型12：根据二次函数的图象判断式子符号............................................32
题型13：已知抛物线上对称的两点求对称轴............................................35题型14：根据二次函数的对称性求函数值..............................................37
题型15：y=ax²+bx+c的最值.........................................................39
题型16：利用二次函数对称性求最短路径..............................................41
题型17：待定系数法求二次函数解析式................................................44
知识点梳理01： y=ax²图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x
a>0 向上 (0，0) y轴
的增大而减小；x=0时，y有最小值0．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x
a<0 向下 (0，0) y轴
的增大而增大；x=0时，y有最大值0．
知识点梳理02：y=ax2+c的图像和性质
开口方 顶点坐 对称
a的符号 性质
向 标 轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而
a>0 向上 (0，c) y轴
减小；x=0时，y有最小值c．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而
a<0 向下 (0，c) y轴
增大；x=0时，y有最大值c．
知识点梳理03： y=a(x−h) 2的图像和性质的图像和性质
知识点梳理04：y=a(x−h) 2+k
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (ℎ，0) X=h x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x的增大而
a>0 向上 (ℎ，k) X=h x>ℎ时，y随x的增大而增大；x<ℎ时，y随x
减小；x=ℎ时，y有最小值0．
的增大而减小；x=ℎ时，y有最小值k．
a<0 向下 (ℎ，0) X=h x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x的增大而
增大；x=ℎ时，y有最大值0．
a<0 向下 (ℎ，k) X=h x>ℎ时，y随x的增大而减小；x<ℎ时，y随x
的增大而增大；x=ℎ时，y有最大值k．
知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
b 4ac−b2
用配方法可化成：y=a(x−ℎ) 2+k的形式，其中ℎ=− ，k= .
2a 4a
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）:
顶点坐标是（﹣ ， ），
对称轴直线x＝﹣ ，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；
x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，
x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；
x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向
上或向下平移| |个单位得到的．
知识点梳理06：比较函数值大小的方法
①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较；
②性质法，利用函数的增减性比较；
③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较
知识点梳理07：二次函数平移的方法
平移原则上加下减，左加右减；
注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第
一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。
知识点梳理08：求对称轴的方法
①已知两对称点的坐标，求对称轴；
②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标
方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝
知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法
根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。
知识点梳理10：抛物线的轴对称问题
·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式
·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c.①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)；
②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数)
知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法
①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)；
②二次函数的顶点式：
Y＝a(x-h)²＋k(a≠0);
③二次函数的双根式：
y=a(x-x1)(x－x2)
知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围
表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围.
一般步骤：
第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴；
第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。
题型1：y=ax²的图象和性质
1．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知四个二次函数的图像如图所示，那么a ，a ，a ，a
1 2 3 4
的大小关系是 ．（请用“>”连接排序）
【答案】a >a >a >a
1 2 3 4
【思路引导】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键．
直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案．
【规范解答】解：如图所示：根据图像可知y=a x2 的图像和y=a x2 的图像的开口向上，且y=a x2 的图
1 2 1像的开口小于y=a x2 的图像的开口，
2
则a >a >0．
1 2
根据图像可知y=a x2 的图像和y=a x2 的图像的开口向下，且y=a x2 的图像的开口大于y=a x2 的图像
3 4 3 4
的开口，
则0>a >a ．
3 4
∴a >a >a >a ．
1 2 3 4
故答案为：a >a >a >a ．
1 2 3 4
2．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知y=(k+4)xk2+4k−3是二次函数，且当x<0时，y随x的
增大而增大．
(1)求k的值；
(2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴．
【答案】(1)k=−5
(2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴
【思路引导】本题考查了二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫二次
函数．也考查了二次函数的性质．
（1）根据二次函数的定义得到k+4≠0且k2+4k−3=2，解得k =−5，k =1，由于当x<0时，y随x的
1 2
增大而增大，根据二次函数的性质则有k+4<0，于是得到k=−5；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【规范解答】（1）解：∵y=(k+4)xk2+4k−3是二次函数，
∴k+4≠0且k2+4k−3=2，
解得k =−5，k =1，
1 2
∵二次函数当x<0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+4<0，
∴k<−4，
∴k=−5；
（2）解：由（1）得y=−x2，
∴顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴．题型2：y=ax²+k的图象和性质
3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图
象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y =2x+|x−1)性质及其应用的部分
1
过程，请按要求完成下列各小题．
x … −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 …
y … −4 −3 −2 a 0 1 2 b 8 …
1
(1)写出表格中a，b的值：a= ，b= ；
(2)根据表格中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知函数y =x2−1的图象如图所示，函数y ，y 的图象交点为点A，点B，x <x ．判断在y轴上是
2 1 2 A B
否存在一点P，使|PB−PA)的值最大？若存在，求出这个最大值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)−1，5
(2)见解析
(3)存在，最大值为2❑√17，P(0,−4)
【思路引导】本题考查了二次函数与一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握二次函
数的性质是解题关键．
（1）将点(−2,a)，(2,b)代入函数y =2x+|x−1)计算即可得；
1
（2）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可得；
（3）先根据两个函数的解析式求出点A,B的坐标，再作点B关于y轴的对称点B′，连接B′ A，则， ，从而可得 ，当且仅当点 共线时，等号成立，
PB′=PB B′(−3,8) |PB−PA)=|PB′−PA)≤B′ A P,B′,A
即|PB−PA)的值最大，然后利用勾股定理可得B′ A的长，利用待定系数法可得直线B′ A的解析式，由此
即可得点P的坐标．
【规范解答】（1）解：将(−2,a)代入y =2x+|x−1)得：a=2×(−2)+|−2−1)=−4+3=−1，
1
将点(2,b)代入y =2x+|x−1)得b=2×2+|2−1)=4+1=5，
1
故答案为：−1,5．
（2）解：在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象如下：
．
（3）解：当x≥1时，y =2x+x−1=3x−1，
1
{y=3x−1) {x=3) {x=0<1)
联立 ，解得 或 （舍去），
y=x2−1 y=8 y=−1
∴B(3,8)，
当x<1时，y =2x+1−x=x+1，
1
{ y=x+1) {x=−1) {x=2>1)
联立 ，解得 或 （舍去），
y=x2−1 y=0 y=3
∴A(−1,0)，
如图，作点B关于y轴的对称点B′，连接B′ A，则PB′=PB，B′(−3,8)，
∴|PB−PA)=|PB′−PA)≤B′ A，当且仅当点P,B′,A共线时，等号成立，即|PB−PA)的值最大，
∵A(−1,0)，B′(−3,8)，
∴|PB−PA)的最大值为B′ A=❑√(−1+3) 2+(0−8) 2=2❑√17；
设直线B′ A的解析式为y=kx+m(k≠0)，
将点A(−1,0)，B′(−3,8)代入得：
{−k+m=0
) ，解得
{k=−4)
，
−3k+m=8 m=−4
∴直线B′ A的解析式为y=−4x−4，
将x=0代入y=−4x−4得：y=−4，
∴在y轴上存在一点P，使|PB−PA)的值最大，这个最大值为2❑√17，此时点P的坐标为(0,−4)．
4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线y=−x2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，四边形ABCD为平行四边形．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
【答案】(1)A(−2,0),B(2,0),C(0,4)
(2)y=−x2+20
【思路引导】（1）分别令x=0，y=0代入计算求解；
（2）设平移后的抛物线为y=−x2+4+m，平移后抛物线经过D点，将D(−4,4)代入解析式，求出即可．
【规范解答】（1）解：当x=0时，y=4，即C(0,4)，
当y=0时，−x2+4=0，解得x=±2
∴A(−2,0),B(2,0)．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4,C(0,4)，
∴CD=AB=4,CD∥AB．∴D(−4,4)
设平移后的抛物线为y=−x2+4+m，则4=−(−4) 2+4+m，解得m=16，
∴平移后抛物线的解析式为y=−x2+20．
【考点剖析】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，
坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
题型3：y=a (x-h)）²的图象和性质
5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，直线y=−x−2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线
y=a(x−ℎ) 2的顶点为A，且经过点B．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
( 9)
(2)若点C m,− 在该抛物线上，求m的值．
2
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使PO+PB的值最小，并求出点P的坐标．
1
【答案】(1)y=− (x+2) 2
2
(2)1或−5
(3)点P的坐标为(−2,−1)
【思路引导】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问
题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解.
（1）利用x轴上的点y坐标为0，y轴上的点x坐标为0代入直线的表达式求出A,B点的坐标，再利用顶
点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式；
9
（2）把x=m时，y= 代入抛物线的表达式求出m；
2
（3）把点B关于对称轴x=−2的对称点为B′，连接OB′，OB′与对称轴的交点即为点P，利用直线OB′
与对称轴的交点求法即可得到点P的坐标.
【规范解答】（1）解：对于y=−x−2，当x=0时，y=−2；当y=0时，x=−2,∴B(0,−2),A(−2,0)．
∵抛物线的顶点为A(−2,0)，
∴y=a(x+2) 2．又∵抛物线经过点B(0,−2)，
1
∴−2=4a，解得a=− ，
2
1
∴抛物线对应的函数解析式为y=− (x+2) 2 ，
2
（2）∵点C ( m,− 9) 在抛物线y=− 1 (x+2) 2 上，
2 2
1 9
∴− (m+2) 2=− ，解得m =1,m =−5，
2 2 1 2
∴m的值为1或−5．
（3）如图，设点B关于对称轴的对称点为B′，连接OB′，OB′与对称轴的交点即为点P．
∵ B (0,−2) x=−2
点 的坐标为 ，对称轴是直线 ，
1
∴B′ (−4,−2)，则直线OB′的函数解析式为y= x．
2
{x=−2,
) {x=−2,)
联立 1 解得
y= x, y=−1.
2
故点P的坐标为(−2,−1)．
1
6．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数y= x2 的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中
4
1 1
画出二次函数y= (x−3) 2 和y= (x+3) 2 的图象，并解决下列问题：
4 41 1
将抛物线y= (x−3) 2 向_______平移_______个单位得到抛物线y= (x+3) 2 ．
4 4
【答案】图见解析，左，6
【思路引导】本题主要考查了画二次函数图象、二次函数的平移等知识点，正确画出函数图象成为解题的
关键．
1 1
先在坐标系内画出二次函数y= (x−3) 2 和y= (x+3) 2 的图象，然后根据函数图象即可解答．
4 4
1 1
【规范解答】解：二次函数y= (x−3) 2 和y= (x+3) 2 的图象如图所示．
4 4
1 1
所以将抛物线y= (x−3) 2 向左平移6个单位得到抛物线y= (x+3) 2 ．
4 4
故答案为：左，6．
题型4：y=a (x-h) ²+k的图象和性质
7．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）关于函数y=(x+1) 2+2的图像与性质的说法正确的是( )
A．函数值的最大值为2 B．图像关于y轴对称
C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标在第二象限
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数的最值，根据二次函数的解析式，结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可．
【规范解答】解：由题知，二次函数的解析式为y=(x+1) 2+2，开口向上，抛物线的对称轴为直线x=−1，
顶点坐标为(−1,2)，
所以当x=−1时，函数有最小值为2．
故A选项不符合题意；
抛物线的对称轴为直线x=−1，
故B选项不符合题意；
因为抛物线开口向上，且对称轴为直线x=−1，
所以当x>−1时，y随x的增大而增大．
故C选项不符合题意；
抛物线的顶点坐标为(−1,2)，即顶点坐标在第二象限．
故D选项符合题意；
故选：D．
8．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）把二次函数y =a(x−ℎ) 2+k的图象先向左平移3个单位长
1
1
度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数y = (x+1) 2+3的图象
2 2
(1)则a=______，ℎ=______，k=______；
(2)指出二次函数y =a(x−ℎ) 2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标；
1
(3)当−2<x<5时，求二次函数y 的取值范围．
1
1
【答案】(1) ，2，−1
2
(2)函数图象开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，−1)
(3)−1≤ y <7
1
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据平移规律，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，可得答案；
（3）计算出当x=2和x=5对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题．
【规范解答】（1）解：把二次函数y =a(x−ℎ) 2+k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单
1位长度，得到y=a(x−ℎ+3) 2+k+4，
1
∵二次函数y = (x+1) 2+3与y=a(x−ℎ+3) 2+k+4是同一函数，
2 2
1
∴a= ，3−ℎ=1，k+4=3，
2
1
解得a= ，ℎ=2，k=−1．
2
1
故答案为： ，2，−1；
2
1
（2）解：∵二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的解析式为y= (x−2) 2−1，
2
∴函数图象开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，−1)；
1
（3）解：∵y= (x−2) 2−1，
2
∴y的最小值为−1；
∴x=−2时，y=7，
1
∵x=5时，y= (5−2) 2−1=3.5，
2
∴当−2<x<5时，−1≤ y <7．
1
题型5：二次函数图象的平移
9．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，下列各点在抛物线
y=a(x+1) 2+2上的是（ ）
A．(m−1,n+2) B．(m+1,n+2)
C．(m−1,n−2) D．(m+2,n−1)
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数图象的平移、点坐标的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题
关键．根据二次函数图象的平移规律（左加右减、上加下减）、点坐标的平移规律求解即可得．
【规范解答】解：将抛物线y=ax2(a≠0)先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线
y=a(x+1) 2+2，将点P(m,n)先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点坐标为(m−1,n+2)，
∵点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，
∴点(m−1,n+2)在抛物线y=a(x+1) 2+2上，
故选：A．
10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐
标分别为(3,0),(0,4)，连接AB．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式．
(3)抛物线上是否存在一点P，使得AB=AP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4
【答案】(1)y= (x−3) 2
9
4
(2)y= (x+3) 2
9
(3)存在．点P的坐标为(6,4)或(0,4)
【思路引导】（1）已知抛物线的顶点坐标，可设抛物线解析式为y=a(x−3) 2，
然后把点B(0,4)代入进行求值即可；
（2）根据题意求得平移后抛物线的顶点坐标，然后写出平移后抛物线的解析式；
（3）设P(x,y)利用两点间的距离公式得到关于y的方程，通过解方程求得y的值，
进而由抛物线上点的坐标特征得到点P的横坐标．
【规范解答】（1）解：设抛物线解析式为：y=a(x−3) 2，(a≠0).
4
把点B的坐标(0,4)代入，得4=a(0−3) 2，解得a= ．
9
4
所以该抛物线的解析式为：y= (x−3) 2 ；
9
（2）解：将y轴向右平移6个单位长度后该抛物线的顶点坐标为(−3,0)，4
则平移后抛物线的解析式为：y= (x+3) 2 .
9
（3）解：存在，理由如下：
设P(x,y)，∵AB=AP，A(3,0)、B(0,4).
∴AB2=AP2，即32+42=(x−3) 2+ y2.
4
∵y= (x−3) 2 ，
9
9
∴(x−3) 2= y.
4
9
∴25= y+ y2 ，即(y−4)(4 y+25)=0，
4
25
解得y=4或y=− （舍去）.
4
4
则4= (x−3) 2 ，
9
解得x=6或x=0．
综上所述，点P的坐标是(6,4)或(0,4)．
【考点剖析】本题考查了二次函数图象的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，
两点间距离公式，以及待定系数法求二次函数解析式.
题型6：把y=ax²+bx+c化成顶点式
11．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）已知抛物线y=x2−(a+2)x+2a+1．
(1)若a=2，直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
(2)若抛物线对称轴为直线x=−1．
①点A(x ,y )、B(x ,y )在这条抛物线上，当−2<x <−1且1<x <2时，请判断y 与y 的大小关系，并
1 1 2 2 1 2 1 2
说明理由．
②点C(m,p)、D(n,q)是这条抛物线上不同的两点，点E(m,n)在直线y=−x+2上，求p+q的取值范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,1)；
(2)① y <y ；② p+q>−8．
1 2
【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式以及二次函数的性质是解题的
关键．
（1）将a=2代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标；（2）①由−2<x <−1，1<x <2，对称轴为直线x=−1，可得|x −(−1))<|x −(−1))，然后通过1>0，
1 2 1 2
抛物线上的点离对称轴距离越近，则函数值越小，即可得出y <y ；
1 2
②由点E(m,n)在直线y=−x+2上，则n=−m+2，又抛物线对称轴为直线x=−1，可得出抛物线为
y=x2+2x−7，然后将p,q的表达式以及n=−m+2代入p+q，从而可得出p+q的取值范围．
【规范解答】（1）解：当a=2时，抛物线为y=x2−4x+5，
∴y=(x−2) 2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,1)；
（2）解：①∵−2<x <−1，1<x <2，对称轴为直线x=−1，
1 2
∴−1<x −(−1)<0，2<x −(−1)<3，
1 2
∴0<|x −(−1))<1，2<||x −(−1)))<3，
1 2
∴|x −(−1))<|x −(−1))，
1 2
∵1>0，
∴抛物线上的点离对称轴距离越近，则函数值越小，
∴y <y ；
1 2
②∵点E(m,n)在直线y=−x+2上，
∴n=−m+2，
∵抛物线对称轴为直线x=−1，
−(a+2)
∴− =−1，
2×1
解得：a=−4，
∴抛物线为y=x2+2x−7，
∵点C(m,p)、D(n,q)是这条抛物线上不同的两点，
∴p=m2+2m−7，q=n2+2n−7，
∴p+q=m2+2m−7+n2+2n−7
=m2+2m−7+(−m+2) 2+2(−m+2)−7
=2m2−4m−6
=2(m−1) 2−8，∵点C(m,p)、D(n,q)是这条抛物线上不同的两点，
∴n≠m，即m≠−m+2，
∴m≠1，
∴对于任意m≠1都有(m−1) 2>0，
∴2(m−1) 2−8>−8，
∴p+q>−8．
12．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程：
用配方法解方程：2x2−8x+3=0．
解：移项，得2x2−8x=−3， 第一步
二次项系数化为1，得x2−4x=−3， 第二步
配方，得x2−4x+4=−3+4， 第三步
因此，(x−2) 2=1， 第四步
∴x−2=±1， 第五步
∴x =3，x =1 第六步
1 2
(1)请指出这道习题的解答过程是从第几步开始出现错误的，并直接写出原方程正确的根；
(2)用配方法将二次函数y=2x2−8x+3化成y=a(x−ℎ) 2+k的形式．
❑√10 ❑√10
【答案】(1)第二步，x =2+ ，x =2−
1 2 2 2
(2)y=2(x−2) 2−5
【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式的方法，比
较简单．
（1）根据配方法的步骤逐步分析即可；
（2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为
顶点式．
【规范解答】（1）解：从第二步开始出现错误，正确的过程如下：
2x2−8x+3=0
移项，得2x2−8x=−3，
3
二次项系数化为1，得x2−4x=−
，
23
配方，得x2−4x+4=− +4，
2
5
因此，(x−2) 2= ，
2
❑√10
∴x−2=± ，
2
❑√10 ❑√10
∴x =2+ ，x =2− ；
1 2 2 2
（2）y=2x2−8x+3
=2(x2−4x)+3
=2(x2−4x+4−4)+3
=2(x2−4x+4)−8+3
=2(x−2) 2−5．
题型7：画y=ax²+bx+c的图象
13．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点
( 3)
(1,−2)和(−1,0)和 0，− ．
2
(1)求此二次函数的解析式；
(2)按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）；
(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？(4)求当−2≤x≤4时，y的取值范围．
1 3
【答案】(1)y= x2−x−
2 2
(2)见详解
(3)当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小
5
(4)−2≤ y≤
2
【思路引导】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数的图象，二次函数的性质等知识，综
合性强，难度较大﹒
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据画函数图象的步骤：列表，描点，连线，即可画出二次函数图象；
1 3
（3）先求出二次函数y= x2−x− 对称轴为直线x=1，再结合开口方向即可得到当x>1时，y随x的增
2 2
大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；
5 5
（4）分别求出当x=1时，y有最小值，y=−2，当x=−2时，y= ，当x=4时，y= ，结合图形即可得
2 2
5
到当−2≤x≤4时，y的取值范围是−2≤ y≤ ﹒
2
( 3)
【规范解答】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(1,−2)和(−1,0)和 0，− ，
2
a+b+c=−2
{ )
a−b+c=0
∴
3
c=−
2
1
{ a= )
2
解得 b=−1
3
c=−
2
1 3
∴二次函数的解析式为y= x2−x− ；
2 2
（2）解：列表，
x … −1 0 1 2 3 …3 3
y … 0 − −2 − 0 …
2 2
1 3
描点，连线，二次函数y= x2−x− 图象如图：
2 2
；
1 3 b
（3）解：由二次函数解析式y= x2−x− 得抛物线对称轴为直线x=− =1，
2 2 2a
∵抛物线开口向上，
∴当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小；
1 3
（4）解：∵抛物线y= x2−x− 开口向上，对称轴为直线x=1，
2 2
∴当x=1时，y有最小值，y=−2；
5
当x=−2时，y= ，
2
5
当x=4时，y= ，
2
5
∴当−2≤x≤4时，y的取值范围是−2≤ y≤ ﹒
2
14．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）已知抛物线y=−x2+2x+2．
(1)自变量x的取值范围是__________；
(2)请将下表补充完整：
x … −1 0 1 2 3 …
y … −1 2 …
(3)在下面的坐标系中画出函数的大致图象；(4)若该抛物线上有两点A(x ,y ),B(x ,y )，它们的横坐标满足x >x >1，则y 与y 的大小关系为
1 1 2 2 1 2 1 2
__________．
【答案】(1)任意实数
(2)表格见解析
(3)图象见解析
(4)y <y
1 2
【思路引导】本题考查二次函数的图象与性质：
（1）根据二次函数的定义即可解答；
（2）将x的值代入二次函数的解析式计算即可；
（3）根据（2）中的数据进行描点，并用光滑的曲线连接，即可得到二次函数的图象；
（4）根据二次函数的图象性质（增减性）即可判断大小．
【规范解答】（1）解：二次函数的自变量取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）解：将x的值代入y=−x2+2x+2计算即可得：
x … −1 0 1 2 3 …
y … −1 2 3 2 −1 …
（3）解：根据（2）中数据在坐标系内描点并连线即可得二次函数的图象：；
（4）解：抛物线的对称轴是x=1，图象开口向下，
∴当x>1时，随着x的增大y减小，
∵x >x >1，
1 2
∴y <y ，
1 2
故答案为：y <y ．
1 2
题型8：y=ax²+bx+c的图象与性质
15．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）对于二次函数y=x2−2mx−3，有下列说法：
①如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1，
②如果它的图像与x轴的两交点的距离是4，则m=±1，
③如果将它的图像向左平移3个单位后的函数的最小值是−4，则m=−1，
④如果当x=1时的函数值与x=2015时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为−3．
其中正确的说法是 ．
【答案】②④
【思路引导】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，首先用m表示出二次函
数图象的对称轴，然后结合图象的单调性即可对①判断；用m表示出图象与x轴的两交点的距离，再解出m
的值即可对②判断；先把二次函数y=x2−2mx−3化为顶点坐标式，根据函数最小值为−4，即可求出m
的值，进而对③判断；先求出对称轴为x=1008，然后可知x=2016时的函数值与x=0值相等，据此对④
判断．
【规范解答】解：①∵当x≤1时y随x的增大而减小，
−2m
∴函数的对称轴x=− =m在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），
2
∴m≥1，故本项错误；
②令y=x2−2mx−3=0，则x +x =2m，x x =−3，
1 2 1 2∴|x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =4m2+12=16，
1 2 1 2 1 2
解得：m=±1，故本项正确；
③二次函数y=x2−2mx−3=(x−m) 2−m2−3，当图象向左平移3个单位后的函数的最小值是−4，
则−m2−3=−4，
解得：m=±1，故本项错误；
④当x=1时的函数值与x=2015时的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为x=1008，
∴x=2016时的函数值与x=0值相等，
∴当x=2016时的函数值为−3，故本项正确；
故答案为：②④．
16．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为(1,−4)，与x轴正半轴
的一个交点的坐标为(3,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当y≤2时，请结合图象直接写出x的取值范围；
(3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移n(n>0)个单位长度，图象恰好经过点
(5,−2)，求n的值．
【答案】(1)y=(x−1) 2−4
(2)1−❑√6≤x≤1+❑√6
(3)2
【思路引导】（1）已知顶点坐标(ℎ,k)，设顶点式y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，再利用待定系数法，代入已
知点坐标求解即可；
（2）令y=2，代入函数解析式求出两个x的值，结合该二次函数图象开口的方向即可确定x的取值范围；（3）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，熟练掌握平
移的规律：左加右减，上加下减，并用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【规范解答】（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为(1,−4)，设该二次函数的解析式为
y=a(x−1) 2−4(a≠0)，
将函数与x轴正半轴交点的坐标(3,0)代入得0=a(3−1) 2−4，
解得a=1，
则该二次函数的解析式为y=(x−1) 2−4．
（2）当y=2时，2=(x−1) 2−4，
整理得6=(x−1) 2，解得x =1+❑√6,x =1−❑√6，
1 2
∵二次函数y=(x−1) 2−4中a=1>0，
∴函数图象开口向上，当y≤2时，x的取值范围是1−❑√6≤x≤1+❑√6．
（3）由题意，平移后的函数解析式为y=(x−1−2) 2−4−n=(x−3) 2−4−n，
将点(5,−2)代入得−2=(5−3) 2−4−n，解得n=2．
题型9：二次函数图象与各项系数符号
17．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−1,0)，
抛物线的对称轴是直线x=1，顶点在第一象限，给出下列结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；
④若A(x ,y )、B(x ,y )（其中x <x ）是抛物线上的两点，且x +x =2，则y = y ．其中正确的结论
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关
键．根据二次函数的性质可得a<0，b=−2a，b>0，即可判断结论①；由x=2处的函数值可判断结论②；
由x=−1处函数值可判断结论③；根据x +x =2得到点A(x ,y )到对称轴的距离等于点B(x ,y )到对称
1 2 1 1 2 2
轴的距离可判断结论④．
【规范解答】解：∵二次函数开口向下，
∴a<0，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，
b
∴− =1，b=−2a>0，
2a
∴ab<0，故①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1，
∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为(3,0)，
由函数图象可得x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，故②正确；
∵x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
∴a−(−2a)+c=0，即3a+c=0，故③错误；
∵对称轴是直线x=1，
x +x
∴若 1 2=1，即x +x =2时，故④正确．
2 1 2
综上所述，正确的选项是①②④，共3个．
故选： C．
18．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=a(x+1)(x−m) (a为非零常数，1<m<2)，当x<−1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x>2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点(0,1)，则−1<a<0；
③若(−2021,y )，(2021,y )是函数图象上的两点，则y <y ；
1 2 1 2
1 1 3
④若图象上两点( ,y )，( +n,y )对一切正数n，总有y >y ，则1<m≤ ．
4 1 4 2 1 2 2
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【思路引导】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正
确，从而可以解答本题．
【规范解答】解：∵二次函数y=a(x+1)(x−m)(a为非零常数，1<m<2)，
∴当y=0时，x =−1，x =m，x <x ，
1 2 1 2
又∵当x<−1时，y随x的增大而增大，
∴a<0，开口向下，
∴当x>2>x 时，y随x的增大而减小，故①正确；
2
−1+m
又∵对称轴为直线x= ，1<m<2，
2
−1+m 1
∴0< < ，
2 2
∴若(−2021,y )，(2021,y )是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y <y ，故③正确；
1 2 1 2
1 1
若图象上两点( ，y )，( +n，y )对一切正数n，总有y >y ，1<m<2，
4 1 4 2 1 2
∴该函数与x轴的两个交点为(−1,0)，(m,0)，
−1+m 1
∴0< ≤ ，
2 4
3
解得1<m≤ ，故④正确；
2
∵二次函数y=a(x+1)(x−m)(a为非零常数，1<m<2)，当x<−1时，y随x的增大而增大，
∴a<0，
若图象经过点(0,1)，则1=a(0+1)(0−m)，得1=−am，
∵a<0，1<m<2，
1
∴−1<a<− ，故②错误；
2∴①③④正确；
故选：D．
题型10：一次函数、二次函数图象综合判断
19．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，则二次函数
y=−m(x+n) 2的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断m、n的符号；
再根据m、n的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【规范解答】解：由一次函数y=mx+n的图象可知m<0，n>0，
则二次函数y=−m(x+n) 2可得−m>0，开口向上，
又二次函数的对称轴为直线x=−n<0，在y轴左侧，
故二次函数y=−m(x+n) 2的图象大致为：
故选：C．
20．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过Rt△ABC的
两个顶点，则函数R是Rt△ABC的“勾股函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为， ，且 ，当自变量x满足 时，此时函数R的最大值记为 ，最小值记为
(x ,y ) (x ,y ) x <x x ≤x≤x y
1 1 2 2 1 2 1 2 max
y −y
y ，ℎ= max min，则h是Rt△ABC的“DX”值．
min 2
已知：在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB=90°，BC∥y轴．
(1)如图，若点C坐标为(1,1)，AC=BC=4．
一次函数y =−x+6是Rt△ABC的“勾股函数”，求出Rt△ABC的“DX”值．
1
(2)若点A的坐标为(2,2)，点B的坐标为(1,m)，二次函数y =x2+bx+c是Rt△ABC的“勾股函数”．
3
①若二次函数y =x2+bx+c经过A，C两点，则Rt△ABC的“DX”值h＝ ；
3
②若二次函数y =x2+bx+c经过A，B两点，且与Rt△ABC的边有第三个交点，求m的取值范围；
3
1
③若二次函数y =x2+bx+c经过A，B两点，且Rt△ABC的“DX”值ℎ= m2 ，直接写出m的值．
3 16
【答案】(1)2；
1
(2)① ；②2<m<3；③4， −4−4❑√2，6−3❑√2
8
【思路引导】本题考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是
解题的关键．
（1）先求出A、B的坐标，然后根据Rt△ABC的“勾股函数”的定义判断即可；根据一次函数的性质求
出y ， y ，最后根据Rt△ABC的“DX”定义求解即可；
max min
（2）①先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出y 的解析式，根据二次函数的性质求出y ， y ，
3 max min
最后根据Rt△ABC的“DX”定义求解即可；
m+1
②把A、B的坐标代入y =x2+bx+c，出b、c，然后根据对称轴公式求出该抛物线对称轴为直线x= ，
3 2{
m>2
)
结合已知可判断点B在AC上方，对称轴在点A、C之间，则可得不等式组 m+1 ，解不等式组即可；
1< <2
2
③先求出顶点坐标，然后分情况讨论：第一种情况，点B在点A上方，即m>2，（i）当点B和点A在对称
轴左侧；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即2<m<3；第二种情况，点B在点A下方，即m<2，（i）
m+1
当点B和点A在对称轴右侧，即 ≤1，解得m≤1；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即1<m<2，
2
讨论即可．
【规范解答】（1）解：∵∠ACB=90°，BC∥y轴，点C坐标为(1,1)，AC=BC=4，
∴点A的坐标为(5,1)，点B的坐标为(1,5)，
当x=1时，y=−1+6=5；当x=5时，y=−5+6=1，
∴(5,1)和(1,5)这两点都在直线y =−x+6上，
1
∴一次函数y =−x+6是Rt△ABC的“勾股函数”，
1
∵−1<0，
∴一次函数y =−x+6的函数值y随x的增大而减小，
1
∴当1≤x≤5时，y =5，y =1，
max min
5−1
∴ℎ= =2，
2
∴Rt△ABC的“DX”值为2；
（2）解：①∵点A的坐标为(2,2)，点B的坐标为(1,m)，∠ACB=90°，BC∥y轴，
∴C(1,2)，
∵二次函数y =x2+bx+c经过A，C两点，
3
{4+2b+c=2)
∴ ，
1+b+c=2
{b=−3)
解得： ，
c=4
∴y =x2−3x+4= ( x− 3) 2 + 7 ，
3 2 4
| 3) | 3)
∵1≤x≤2， 1− = 2− ，
2 2
∴当x=1或2时，函数y 有最大值为y =2，
3 max3 7
当x= 时，函数y 有最小值为y = ，
2 3 min 4
7
2− 1
∴ 4 1，即Rt△ABC的“DX”值为 ，
ℎ= = 8
2 8
1
故答案为： ；
8
②∵二次函数y =x2+bx+c经过A，B两点，
3
∴将A(2,2)，B(1,m)代入y =x2+bx+c得：
{4+2b+c=2)
，
3 1+b+c=m
{b=−m−1)
解得： ，
c=2m
∴y =x2−(m+1)x+2m，
3
−(m+1) m+1
∴抛物线的对称轴为：直线x=− = ，
2 2
∵二次函数y =x2+bx+c与Rt△ABC的边有第三个交点，
3
∴点B在AC上方，对称轴在点A、C之间，
{
m>2
)
∴ m+1 ，
1< <2
2
∴2<m<3；
③由y =x2−(m+1)x+2m= ( x−
m+1) 2
+
−m2+6m−1
，
3 2 4
(m+1 −m2+6m−1)
∴顶点坐标为： , ，
2 4
第一种情况，点B在点A上方，即m>2，
m+1
（i）当点B和点A在对称轴左侧，即 ≥2，解得m≥3，
2
此时y 随x的增大而减小，
3
∴y = y =m，y = y =2，
max B min A
m−2
∴ℎ= ，
21 m−2
∴
m2=
，
16 2
解得：m =m =4，
1 2
（ii）当对称轴在点A和点C之间，即2<m<3，
此时y 最大，顶点y值最小，
B
−m2+6m−1
m−
∴ 4 ，
ℎ=
2
−m2+6m−1
m−
∴ 1 4 ，
m2=
16 2
解得：m =2+❑√2，m =2−❑√2，
1 2
∵2<m<3，
∴m ，m 都舍掉；
1 2
第二种情况，点B在点A下方，即m<2，
m+1
（i）当点B和点A在对称轴右侧，即 ≤1，解得m≤1，
2
此时y 随x的增大而增大，
3
∴y = y =2，y = y =m，
max A min B
2−m
∴ℎ= ，
2
1 2−m
∴
m2=
，
16 2
解得：m =−4+4❑√2，m =−4−4❑√2，
1 2
∵m≤1，
∴m=−4−4❑√2；
（ii）当对称轴在点A和点C之间，即1<m<2，
此时y 最大，顶点y值最小，
A
−m2+6m−1
2−
∴ 4 ，
ℎ=
2
−m2+6m−1
2−
∴ 1 4 ，
m2=
16 2解得：m =6+3❑√2，m =6−3❑√2，
1 2
又1<m<2，
∴m=6−3❑√2；
综上所述，m的值为4，−4−4❑√2，6−3❑√2．
题型11：两个二次函数图象综合判断
21．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数y =ax2+bx+c，y =cx2+bx+a（a，b，c是实
1 2
数，ac<0）．
(1)若a=−1，函数y 的对称轴为直线x=1，且函数y 的图象经过点(1,0)，求b，c的值．
1 1
(2)设函数y 的最大值为m，函数y 的最小值为n，若a+c=0，求证：m+n=0．
1 2
(3)若函数y 的图象与函数y 的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：b<0．
1 2
【答案】(1)b为2，c为−1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【思路引导】（1）根据a=−1，对称轴x=1，求出b的值，再把点(1,0)代入函数y =ax2+bx+c即可求出
1
c的值；
（2）根据顶点坐标公式得出m和n，再利用a+c=0得出m+n=0；
（3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可．
【规范解答】（1）解：∵函数y 的对称轴为直线x=1，a=−1
1
b
∴− =1，
2×(−1)
∴b=2，
∵函数y 的图象经过点(1,0)，
1
∴(−1)×12+2+c=0，
∴c=−1；
（2）∵函数y 的最大值为m，
1
4ac−b2
∴a<0，m= ，
4a
∵函数y 的最小值为n，
24ac−b2
∴c>0，n= ，
4c
4ac−b2 4ac−b2 (4ac−b2)(a+c)
∴m+n= + = ，
4a 4c 4ac
∵a+c=0，
∴m+n=0；
（3）∵函数y 的图象与函数y 的图象的两个交点分别在二、四象限，且ac<0，
1 2
①若a<0，c>0，
b b
则− <− ，
2a 2c
b(a−c)
即 <0，
2ac
∵ac<0，(a−c)<0，
∴b<0，
②若a>0，c<0，
b b
则− >− ，
2a 2c
b(a−c)
即 >0，
2ac
∵ac<0，(a−c)>0，
∴b<0，
综上可知，b<0．
【考点剖析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是
解题的关键．
22．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y
1 1
＝x2（x≥0）和抛物线y＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B
4 4
BD
作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则 的值为（ ）
AC1 ❑√2 1 ❑√2
A． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】C
1 1 1
【思路引导】设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m， m2），即可求得BD
4 2 4
1 1 BD 1
＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．
2 2 AC 2
1
【规范解答】设A（m，m2），则B（m， m2），
4
1
∵AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
4
1 1
∴C（2m，m2），D（ m， m2），
2 4
1 1
∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
2 2
1
m
BD 2 1.
∴ = =
AC m 2
故选C．
【考点剖析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关
键．
题型12：根据二次函数的图象判断式子符号
23．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C
的纵坐标为−2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a x2+b x+c ，则下列结论正确的是
1 1 1
（ ）A．b>0 B．a−b+c<0
C．阴影部分的面积为4 D．若c=1，则b2=−4a
【答案】C
b
【思路引导】首先根据抛物线开口向上，可得a>0；然后根据对称轴为直线x=− >0，可得b<0，据此
2a
判断A；根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=−1时，y>0，即a−b+c>0，据此判断B；首先判断
出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积即可判断C；根
4ac−b2
据函数的最小值是 =−2，判断出c=1时，a、b的关系即可判断D．
4a
【规范解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵对称轴为直线x=− >0，
2a
∴b<0，故A不正确；
∵x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，故B不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴阴影部分是平行四边形，且平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c顶点C的纵坐标为−2，
∴最小值是y=−2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，故C正确；
4ac−b2
∵ =−2，c=1，
4a
∴b2=12a，故D不正确．
故选：C．
【考点剖析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，平行四边形的性质等知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点．
24．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象向右平移1个单位
长度，得到的新抛物线关于y轴对称．则下列说法正确的是 ．（填序号）
b
① =2；
a
3 5
②当 ≤a≤ 时，代数式a2+b2−5b+8的最小值为3；
2 2
③对于任意实数m，不等式am2+bm−a+b≥0一定成立；
④ P(x ,y )，Q(x ,y )为该二次函数图象上任意两点，且x <x ．当x +x +2>0时，一定有y >y ．
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
【答案】①③
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象
与几何变换、二次函数的最值，由平移可得二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴为直线x=−1，
从而判断①；由b=2a，则有a2+b2−5b+8=a2+(2a) 2−5×2a+8=5a2−10a+8=5(a−1) 2+3，把
3 x +x
a= 代入即可判断②；由b=2a代入am2+bm−a+b即可判断③；根据题意得 1 2>−1，则直线
2 2
x +x
x= 1 2在对称轴右侧，可得点P离对称轴的距离比点Q离对称轴的距离近，从而判断④；熟练掌握并能
2
灵活运用是解题的关键．
【规范解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象向右平移1个单位长度，得到的新抛物线关于y
轴对称，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1，
2a
b
∴ =2，故①正确；
a
∴b=2a，
∴a2+b2−5b+8=a2+(2a) 2−5×2a+8=5a2−10a+8=5(a−1) 2+3，3 5
∵ ≤a≤ ，
2 2
3 (3 ) 2 17
∴当a= 时，a2+b2−5b+8的最小值为5 −1 +3= ，故②错误；
2 2 4
∵b=2a，
∴am2+bm−a+b=am2+2am−a+2a=am2+2am+a=a(m+1) 2≥0，故③正确；
∵x +x +2>0，
1 2
x +x
∴ 1 2>−1，
2
x +x
∴直线x= 1 2在对称轴右侧，
2
∵x <x ，
1 2
∴点P到对称轴的距离比点Q离对称轴的距离近，
∵a>0，
∴y <y ，故④错误，
1 2
综上可知：①③正确，
故答案为：①③．
题型13：已知抛物线上对称的两点求对称轴
25．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线y =(x−2) 2−2与y轴交于点A，过点A且平
1
行于x轴的直线与抛物线y =−(x−ℎ) 2+k交于B,C两点，与抛物线y 交于点D，抛物线y 与x轴交于点
2 1 2
E,F，连接BE，CF．若AD=2BC,AB=CD，则梯形BEFC的面积为（ ）
A．4 B．2+2❑√3 C．2❑√5−1 D．2❑√3+1
【答案】B【思路引导】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，根据题意可得抛物线
y =(x−2) 2−2的对称轴为直线x=2，当x=0时，y=2，则A(0,2)，D(4,2),AD=4．结合AD=2BC，
1
得BC=2．由题意可知，B,C两点关于对称轴直线x=2对称，则B(1,2),C(3,2)，将B(1,2)代入y =
2
−(x−ℎ) 2+k，结合抛物线y 的对称轴是直线x=2，求出y =−(x−2) 2+3，令y =0，求出
2 2 2
1
E(2−❑√3,0),F(2+❑√3,0)，则EF= 2❑√3，根据S = (BC+EF)⋅AO求解即可．
梯形BCFE 2
【规范解答】解：抛物线y =(x−2) 2−2的对称轴为直线x=2，
1
当x=0时，y=2，
∴A(0,2)，D(4,2),AD=4．
∵AD=2BC，
∴BC=2．
由题意可知，B,C两点关于对称轴直线x=2对称，
∴B(1,2),C(3,2)，将B(1,2)代入y = −(x−ℎ) 2+k，得2=−(1−ℎ) 2+k．
2
∵抛物线y 的对称轴是直线x=2，
2
∴2=−(1−2) 2+k，
∴k=3，
∴y =−(x−2) 2+3，
2
令y =0，
2
∴(x−2) 2=3，
∴x =2+❑√3,x =2−❑√3，
1 2
∴E(2−❑√3,0),F(2+❑√3,0)，
∴EF= 2❑√3，
1 1
∴S = (BC+EF)⋅AO= ×(2+2❑√3)×2=2+2❑√3．
梯形BCFE 2 2
故选： B．26．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图．
(1)若抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为(0,2)，当y<2时，求x的取值范围．
(2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点M(x ,−2025),N(x ,−2025)，求当x=x +x 时，二次
1 2 1 2
函数的值．
(3)若此抛物线图象上有两点(x ,m),(x ,m)，当x=x +x 时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说
1 2 1 2
明理由．
【答案】(1)x<0或x>2
(2)函数值y=2
(3)函数值与解析式中的系数c有关，理由见解析
【思路引导】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质
是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为(0,2)，得到点(0,2)关于直线x=1的对称点为(2,2)，
于是得到当y<2时，x的取值范围为x<0或x>2；
（2）根据已知条件得到点M与点N关于直线x=1对称，求得x +x =2，当x=2时，函数的值y=2；
1 2
b b
（3）由点(x ,m),(x ,m)，得到两点(x ,m),(x ,m)关于对称轴直线x=− 对称，求得x +x =− ，当
1 2 1 2 2a 1 2 a
b
x=− 时，代入解析式进行求解即可．
a
【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为(0,2)，
∴点(0,2)关于直线x=1的对称点为(2,2)，
∴当y<2时，x的取值范围为x<0或x>2；
（2）解：∵M(x ,−2025),N(x ,−2025)，
1 2
∴点M与点N关于直线x=1对称，
x +x
∴ 1 2=1，
2∴x +x =2，
1 2
∵x=x +x ，
1 2
∴x=2，
由（1）可知：当x=2时，函数的值y=2；
（3）解：函数值与解析式中的系数c有关，
理由：∵两点(x ,m),(x ,m)，
1 2
b
∴这两点(x ,m),(x ,m)关于对称轴直线x=− 对称，
1 2 2a
x +x b
∵ 1 2=− ，
2 2a
b
∴x +x =− ，
1 2 a
∵x=x +x ，
1 2
b ( b) 2 ( b) b2 b2
∴当x=− 时，y=a − +b − +c= − +c=c，
a a a a a
即函数值与解析式中的系数c有关．
题型14：根据二次函数的对称性求函数值
27．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）设二次函数y=ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数
值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … −1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若m=4，
①求二次函数的表达式；
②求9a+3b的值．
(2)若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向．
【答案】(1)①y=x2−2x+1；②3
(2)开口向下
【思路引导】（1）①利用待定系数法即可求得；②将a、b值代入9a+3b中求解即可；
b
（2）根据表格数据得到对称轴为直线− =1，进而可得(1,n)是顶点，(−1,m)和(3,p)关于对称轴对称，
2a
则m=p，根据二次函数的图象特征求解即可．{ a−b+1=4 )
【规范解答】（1）解：①由题意得 ，
4a+2b+1=1
{ a=1 )
解得 ，
b=−2
∴二次函数的表达式是y=x2−2x+1；
②∵a=1，b=−2，
∴9a+3b=9×1+3×(−2)=9−6=3；
（2）解：∵x=0和x=2时的函数值都是1，
b
∴抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴(1,n)是顶点，(−1,m)和(3,p)关于对称轴对称，则m=p，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，
即该二次函数图象的开口向下．
【考点剖析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性
质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
28．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−a(x−3) 2+m与
y=b(x+2) 2+n的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于
点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则BC的值为（ ）
A．9 B．9.5 C．10 D．10.5
【答案】C
【思路引导】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确
定出点B与C的横坐标，进而求出BC的长．
【规范解答】解：抛物线y=−a(x−3) 2+m与y=b(x+2) 2+n的对称轴分别为直线x=3与直线x=−2，
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为−5，
∴BC=10，故选：C．
题型15：y=ax²+bx+c的最值
29．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知二次函数y=4(x+2m) 2−100+48m（x取任意实数，
1
− ≤m≤1）．
2
（1）当m=1，x=3时，函数值为 ．
（2）若P(p+1,q)，Q(−4m+5+p,q)两点都在该二次函数的图象上，则q的取值范围是 ．
【答案】 48 −88≤q≤−52
【思路引导】本题主要考查了代数式求值、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）直接将m=1、x=3代入y=4(x+2m) 2−100+48m求解即可；
p+1−4m+5+p
（2）先根据二次函数的对称性可得 =−2m，解得：p=−3；即p+1=−2；当x=−2时，
2
1
q=4(2m−2) 2−100+48m=16m2+16m−84，根据二次函数的性质可得当− ≤m≤1时，q随m的增大
2
而增大，据此即可求得q的取值范围．
【规范解答】解：（1）当m=1，x=3时，y=4(3+2) 2−100+48=4×25−100+48=48．
故答案为：48．
（2）∵P(p+1,q)，Q(−4m+5+p,q)两点的纵坐标相同且都在二次函数的图象上，
p+1−4m+5+p
∴ =−2m，解得：p=−3，
2
∴p+1=−2，
当x=−2时，q=4(2m−2) 2−100+48m=16m2+16m−84，
1
∵16>0，抛物线的开口向上，对称轴为直线m=− ，
2
1
∴当− ≤m≤1时，q随m的增大而增大，
2
1
∴当m=− 时，q =−88；当m=1时，q =−52，
2 最小 最大
∴−88≤q≤−52．故答案为：−88≤q≤−52．
30．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，
且a≠0）如图，小明同学得出了以下结论：①abc<0；②b2>4ac；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤
a+b≤m(am+b)（m为任意实数）；⑥当x<−1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的为（ ）．
A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方
向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x
轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【规范解答】①由图象可知：a>0，c<0，
b
∵− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，故②正确；
③当x=2时，y=4a+2b+c<0，故③错误；
④当x=−1时，y=a−b+c=a−（−2a）+c>0，
∴3a+c>0，故④正确；
⑤当x=1时，y取到值最小值，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x<−1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
所以②④⑤正确．故选：C．
题型16：利用二次函数对称性求最短路径
31．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交
于点A，B，与y轴交于点C，OA=OC=3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标；
(3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，△APC的面积是否存在最大值？
若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)点D的坐标为(−1,2)
( 3 15)
(3)存在，点P − ，
2 4
【思路引导】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小，进而
求解；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，由题意可设点P(x,−x2−2x+3)，则点H(x,x+3)，由铅垂法可
得S =
1
×3×PH=
3
(−x2−3x)=−
3(
x2+
3) 2
+
27
，然后问题可求解．
△APC 2 2 2 2 8
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
【规范解答】（1）解：∵OA=OC=3，
则点A、C的坐标分别为：(−3,0)、(0,3)，{−9−3b+c=0) {b=−2)
将A，C的坐标代入抛物线y=−x2+bx+c得： ，解得： ，
c=3 c=3
∴抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3；
（2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小；
如图1，BD+CD=AD+CD=AC为最小；
{−3k+b=0)
设直线AC的表达式为：y=kx+b，将点A、C的坐标代入得： ，
b=3
{k=1)
解得： ，
b=3
−2
∴直线AC的表达式为y=x+3，抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2×(−1)
当x=−1时，y=2，即点D的坐标为(−1,2)；
（3）解：△APC的面积存在最大值；理由如下：
过点P作PH∥y轴交AC于点H，如图2，
由（2）可得直线AC的表达式为y=x+3，
设点P(x,−x2−2x+3)，则点H(x,x+3)，
∴PH=−x2−2x+3−x−3=−x2−3x，△APC的水平宽为3，
∴S =
1
×3×PH=
3
(−x2−3x)=−
3(
x2+
3) 2
+
27
，
△APC 2 2 2 2 83 27
∴当x=− 时，△APC的面积最大，最大值为 ，
2 8
( 3 15)
此时点P − , ．
2 4
32．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点A, B，抛物
线y=ax2−5x+c(a≠0)经过A, B两点．
(1)求抛物线的函数表达式
(2)若P是直线y=−x+4下方的抛物线上一动点（不与点A, B重合），过点P作y轴的平行线交直线AB
于点C，设点P的横坐标为m．用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的长的最大值．
【答案】(1)y=x2−5x+4
(2)−m2+4m，4
【思路引导】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的应用是解
题的关键．
（1）先求出点A, B的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）设P(m,m2−5m+4)(0<m<4)，则C(m,−m+4)，即可用含m的代数式表示出PC的长，然后运用
二次函数的性质求最值即可．
【规范解答】（1）解：∵直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点A, B，
∴A(4,0),B(0,4)，
∵y=ax2−5x+c(a≠0)经过A, B两点，
{0=16a−20+c) {a=1)
∴ ，解得： ，
4=c c=4
∴y=x2−5x+4．（2）解：设P(m,m2−5m+4)(0<m<4)，
∵过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，
∴C(m,−m+4)，
∴PC=−m+4−(m2−5m+4)=−m2+4m．
∵PC=−m2+4m=−(m2−4m)=−(m−2) 2+4，
∴当m=2时，线段PC的长的最大值为4．
题型17：待定系数法求二次函数解析式
1
33．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数y=− x2+x+c的部分图象如图所示．
4
(1)求该抛物线与x轴的另外一个交点坐标和c的值．
(2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说
明点(−2,5)是否在平移后的抛物线上．
【答案】(1)(−4,0)；c=8
1
(2)y=− x2+6；点(−2,5)在平移后的抛物线上
4
【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数图象的平移问题，熟知二
次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可得对称轴和与x轴的一个交点坐标，则由对称性可求出与x轴的另一个交点坐标，再利用
待定系数法可求出c的值；
（2）根据（1）所求可得平移前的抛物线解析式，进而根据平移方式可得平移后的抛物线解析式，再求出
当x=−2时，平移后抛物线所对应的函数值即可得到答案．
【规范解答】（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线x=2，且与x轴的一个交点坐标为(8,0)，
∴该抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(2×2−8,0)，即(−4,0)，1 1
把(−4,0)代入y=− x2+x+c中得0=− ×(−4) 2−4+c，解得c=8；
4 4
1 1
（2）解：由（1）得该抛物线解析式为y=− x2+x+8=− (x−2) 2+9，
4 4
1
∴将抛物线y=− (x−2) 2+9先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为
4
1 1
y=− (x−2+2) 2+9−3=− x2+6，
4 4
1 1
在y=− x2+6中，当x=−2时，y=− ×(−2) 2+6=5，
4 4
1
∴点(−2,5)在抛物线y=− x2+6上，即点(−2,5)在平移后的抛物线上．
4
34．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(4,0)，C(−1,0)两点，与
y轴交于点B，P为抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为第一象限抛物线上的动点，设△APQ的面积为S ，△BCQ的面积为S ，当S −S =5时，求点
1 2 1 2
P的坐标；
(3)是否存在点P，使∠PAB+∠CBO=45°，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=−x2+3x+4；
(2)P(1,6)或P(2,6)；
3 19
(3)存在，点P的坐标为(3,4)或(− , )．
4 16
【思路引导】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质等知
识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将A(4,0)，C(−1,0)代入y=−x2+bx+c，即可求解析式；（2）由已知可得S −S =5，则S =15，设P(t,−t2+3t+4)，则有
△ACP △ABC △ACP
1
S = ×5×(−t2+3t+4)=15，解出t=1或t=2，即可求P(1,6)或P(2,6)；
△ACP 2
（3）分两种情况：①当点P在AB上方时，如图1，在x轴正半轴上取点E(1，0)，连接BE，过点A作
AP∥BE交抛物线于另一点P，先证明△BOC≌△BOE，可得∠CBO=∠EBO，再由AP∥BE，
得出∠ABE=∠PAB，可推出∠PAB+∠CBO=45°，运用待定系数法可求得直线BE的解析式为
y=−4x+4，进而得出直线AP的解析式为：y=-4x+16，联立方程组即可求得点P的坐标；②当点P在AB
下方时，如图2，在y轴上取点K(0,1)，连接AK交抛物线于点P，可证△AOK≌△BOC，进而推出
1
∠PAB+CBO=45°，利用待定系数可得直线AK的解析式为y=− x+1，联立即可求得点P的坐标．
4
【规范解答】（1）解：将A(4,0)，C(−1,0)代入y=−x2+bx+c，
{−16+4b+c=0)
得： ，
−1−b+c=0
{b=3)
解得： ，
c=4
∴抛物线的解析式为y=−x2+3x+4；
（2）解：∵S −S =5，
1 2
∴S −S =5，
△ACP △ABC
∵B(0,4),A(4,0),C(−1,0)，
∴AC=5，OB=4，
1 1
∴S = ×AC×OB= ×5×4=10，
△ABC 2 2
∴S =15，
△ACP
设P(t,−t2+3t+4)，
1 1
∴S = ×AC×y = ×5×(−t2+3t+4)=15，
△ACP 2 P 2
∴t=1或t=2，
∴P(1,6)或P(2,6)；
（3）解：存在点P，使∠PAB+∠CBO=45°，理由如下：
①当点P在AB上方时，如图1，在x轴正半轴上取点E(1,0)，连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另
一点P，∵C(−1,0),E(1,0)，
∴OC=OE=1，
在△BOC和△BOE中，
{
OC=OE
)
∠BOC=∠BOE=90° ，
OB=OB
∴△BOC≌△BOE(SAS)，
∴∠CBO=∠EBO，
∵AP∥BE，
∴∠ABE=∠PAB，
∴∠PAB+∠CBO=∠ABE+∠EBO=∠ABO，
∵OA=OB=4,∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∴∠PAB+∠CBO=45°，
设直线BE的解析式为y=kx+d，把B(0,4),E(1,0)代入得：
{ d=4 )
，
k+d=0
{k=−4)
解得： ，
d=4
∴直线BE的解析式为y=−4x+4，
∵AP∥BE，
∴设直线AP的解析式为y=−4x+f，把A(4,0)代入得：0=−16+f，
解得：f =16，
∴直线AP的解析式为y=−4x+16，
由−x2+3x+4=−4x+16解得：x =3，x =4（不符合题意，舍去），
1 2
∴P(3,4)；
②当点P在AB下方时，如图2，在y轴上取点K(0,1)，连接AK交抛物线于点P，
则OK=OC=1，
∵OA=OB=4, ∠AOK=∠BOC=90°，
∴△AOK≌△BOC(SAS)，
∴∠KAO=∠CBO，
∵∠KAO+∠PAB=∠BAO=45°，
∴∠PAB+CBO=45°，
设直线AK的解析式为y=mx+n，把点A(4,0),K(0,1)代入得：
{4m+n=0)
，
n=1
{ m=− 1 )
解得： 4 ，
n=1
1
∴直线AK的解析式为y=− x+1，
4
1
由−x2+3x+4=− x+1，
4
3
解得：x =4（舍去），x =− ，
1 2 4
( 3 19)
∴P − , ，
4 16
3 19
综上所述，点P的坐标为(3,4)或(− , )．
4 16
