文档内容
专项突破04 二次函数与几何图形综合
（7种高频考察题型 共28题）
题型1：线段周长问题（二次函数综合）................................................................................................................1
题型2：面积问题（二次函数综合）..........................................................................................................................3
题型3：角度问题（二次函数综合）..........................................................................................................................7
题型4：特殊三角形问题（二次函数综合）..........................................................................................................11
题型5：特殊四边形（二次函数综合）...................................................................................................................15
题型6：相似三角形问题（二次函数综合）..........................................................................................................19
题型7：其他问题（二次函数综合）........................................................................................................................23
题型1：线段周长问题（二次函数综合）
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)．
(1)求△ABC的面积．
(2)若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．
2．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图1，已知抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)如图2，点P，Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y
轴，交BC于点M，过点Q作QN∥y轴，交BC于点N．
①求直线BC的解析式；
②求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标．
3．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为
y=ax2+bx+c(a≠0) A(4,0)
，点C为 的中点．
B(2,2❑√3) OB
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接OB，点C为线段OB的中点，过点C作CH⊥OA，垂足为点H，交抛物线于点E；求线段
CE的长
(3)点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，直接写出BD+BF的最小值4．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图1，将△ABC放置在平面直角坐标系xOy中，使边AB与x
轴重合，点C在y轴上，已知A(−1,0)，过A、B、C三点画抛物线y=−x2+bx+3．
(1)求b的值及点B、C的坐标；
(2)如图2，将此拋物线沿水平方向向左平移m(m>0)个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与x轴交于
点D，E（点D在点E的左侧），与y轴交于点F，设FC的长为d．
①求d关于m的函数解析式；
②在抛物线平移过程中，是否存在FC=2OE？若存在，求出m的所有可能值；若不存在，请说明理由．
题型2：面积问题（二次函数综合）
5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y=a(x+6)(x−2)
交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0,−1)
(1)a的值为 ．
(2)如图1，在第二象限的抛物线上取点P，点D为抛物线的顶点，连接AP、AD、BD、BP，若点P的横坐标为t，四边形APBD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上取点E，且点E在x轴的上方，连接PE、BE，
∠BEP=90°，∠PED−∠BED=2∠ABP，再在第二象限的抛物线上另取一点Q，点Q在点P的上方，
连接BQ交PE于G，并在BE上取点H，连接PH交BQ于T,TH=BH,EG:EH=2:3，求点Q的坐标．
6．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−2,0)和点B(4,0)，
与y轴交于点C，连接AC，BC．(1)求拋物线及直线BC的解析式；
(2)如图1，过点B作BD⊥AC，交抛物线于另一点D，求点D的坐标；
(3)如图2，P是x轴正半轴一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线CB于点E，连接AE，
设点P的横坐标为m，△APE的面积为S．
①求S关于m的函数解析式；
9
②若当03，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+1
时，求m的值；
(3)在第一象限的抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出点P的坐标；若不
存在，说明理由．
11．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，
与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），Q为抛物线上第一象限内一点，若∠AQC=2∠BAQ，求点Q的坐标；
(3)如图（2），P为x轴上方一动点，直线PM,PN与抛物线均只有唯一公共点M,N，OH⊥MN于点H，
且△PAB的面积是10，求线段OH长度的最大值．
12．（24-25九年级上·重庆南川·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点
y=ax2+bx+3(a≠0)
(2,−5)，交x轴于点A(−3,0)和点B．交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点．连接PA，PC．求△PAC面积最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线y′与x轴的负半轴交于点M．点
N为平移后的新抛物线上一动点，当∠NMB=∠CAB．请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
题型4：特殊三角形问题（二次函数综合）
13．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与
C :y=ax2+3(a≠0) x
1
轴交于A(−3,0)、B两点，将抛物线C 向右平移4个单位长度得到的抛物线C 与x轴交于C、D两点（点C
1 2在点D的左侧）．
(1)求点B的坐标和抛物线C 的函数解析式；
2
(2)记抛物线C 的对称轴l与x轴交于点H，在直线l上是否存在点E，使得以点B、D、E为顶点的三角形是
2
等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B
左边），与y轴交于点C．直线y=x−3经过B，C两点，点P是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值；
(3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A′,连接A′C,A′F,当△F A′C是直角三角形时，直
接写出点F的坐标．
15．（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(m,0)两点，
与y轴交于点C(0,7)．(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交
抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长
最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找
一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
16．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的
图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0,3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)．点P是抛物线上
一个动点，且在直线BC的上方．(1)求这个二次函数及直线BC的表达式；
(2)过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值；
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点N，使△MNO为等腰直角
三角形，且∠NMO为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型5：特殊四边形（二次函数综合）
17．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线 ，与 轴交于 ，
L:y=ax2+bx+c(a>0) x A B
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，点A(−1,0)．(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)若抛物线L的顶点为D，抛物线的对称轴交直线BC于点E，点P为直线DE右侧抛物线上一点，点Q在
直线BC上，是否存在以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不
存在，请说明理由．
18．（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数
1
y=−2x−1与y轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数y= x+b的图象上．
2(1)求b的值；
(2)若一次函数y=−2x−1与一次函数y=−x交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点
对应的二次函数表达式；
(3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形PBQC为菱形时，求点P
的坐标．
19．（22-23九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，该三角形的三个顶
点均在坐标轴上．二次函数y=ax2+bx+c过A(−1,0)，B(0,2)，C(4,0)．(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
(3)M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标．
20．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4与x轴交于点A，
1
与y轴交于点B，抛物线y=− x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C，D为抛物线上的一个
2
动点，连接BC，BD，AD．(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在直线AB上方时，求△ABD面积的最大值；
(3)当点D在y轴右侧时：
①连接CD，当△BCD的面积是△OBC面积的一半时，直接写出点D的坐标______；
②设E(1,m)是抛物线对称轴上一动点，当A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合
条件的m的值．
题型6：相似三角形问题（二次函数综合）
21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线
1
y=− x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一
2
个交点为点C．(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线AB上方抛物线上是否存在点M，使得△MAB的面积等于3，若存在，写出点M的坐标，
若不存在，请说明理由．
(3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，记
， 的面积分别为 ， ，求S 的最大值．
△ADP △ADO S S 1
1 2 S
2
22．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点
A(3,0)，与y轴交点B(0,−3)，连接AB．若点P是直线AB下方抛物线上一动点，其横坐标为m．(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接OP交AB于点G，当OG=2PG时，求点P的坐标；
(3)设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d,n，设
F=d−n．
①直接写出F关于m的函数解析式；
②当F=−1时，直接写出m的取值范围．
23．（2024·山东济宁·二模）综合与探究
3 9
如图1，二次函数y=− x2+ x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P
4 4
是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)如图2，当点P在第二象限时，连接BC，交直线PE于点F．当PF=EF时，求m的值．
(3)当点P在第三象限时，以BD为边作正方形DBMN，当点C在正方形DBMN的边上时，直接写出点D
的坐标．
24．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：y=ax2+bx−3与x轴
交于A(−1,0)和B(3,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，D是线段BC下方抛物线上的一点，作DE⊥BC于E，求DE的最大值；
(3)如图3，点P在第四象限内的抛物线上且CB平分∠ACP，求点P的坐标；
(4)如图4，过点(1,0)作直线MN与抛物线相交于点M和点N，若点M和点N的纵坐标之和为2，求该直线
的解析式．
题型7：其他问题（二次函数综合）
25．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点A(−1,0)和
B(3,0)与y轴交点为点C(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，若在线段BC下方的抛物线上有一点P，若P到BC距离最大，求出点P的坐标；
(3)如图2，若在线段BC下方的抛物线上有两点P和Q且PQ∥BC，连接射线CP和BQ相交于点M，请猜
想点M运动轨迹 （填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并证明你的猜想．
1 1
26．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，抛物线y=− x2− x+2交x轴于A，B两点A在B左边，
4 2
交y轴于点C，点P是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为n．(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图1，连接AC，过点P作直线PD∥y轴，交AC于点D．当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接AC，BC，过点P作直线PQ∥BC，交y轴于点Q．若AC平分线段PQ，求直线PQ的解
析式．
27．（24-25九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与x轴相交于A(−1,0)，
B(3,0)两点，与y轴相交于点C，设点P在抛物线上．(1)求已知抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P位于第四象限时，若△BCP面积的最大，求点P坐标；
(3)如图2，过点P作直线y=−2x+m与抛物线还交于另一点Q，直线BP，BQ分别交y轴于点D，E，设
点P在y轴的左侧．证明：点C为线段DE的中点．
28．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，拋物线
1
y=ax2+ x+3与x轴交于A，B两点（A在B左），与y轴交于点C，OB=OC．
2(1)如图1，求拋物线的解析式；
(2)如图2，点P为第一象限内抛物线上一点，连接BC，过点P作PD⊥BC，垂足为D，设点P的横坐标
为t，线段PD的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段OC的延长线上，连接AE，DE，DE=AC，延长AC交DE于
点F，点G在BD上，连接AG，若∠AGC−∠AEC=45°，∠AFD=∠EAG，求点P的坐标．
