文档内容
专项突破05 实际问题与二次函数
（8种高频考察题型 共32题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：根据实际问题列出二次函数关系式.......................................1
知识点梳理02：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值.................................2
知识点梳理03：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题.............................2
知识点梳理04：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹）...............3
知识点梳理05：利用二次函数解决利润最大化问题.......................................3
优选题型 考点讲练......................................................................4
题型1：图形问题（实际问题与二次函数）..............................................4
题型2：图形运动问题（实际问题与二次函数）.........................................11
题型3：拱桥问题（实际问题与二次函数)..............................................16
题型4：销售问题（实际问题与二次函数)..............................................21
题型5：投球问题（实际问题与二次函数)..............................................27
题型6：喷水问题（实际问题与二次函数)..............................................32
题型7：增长率问题（实际问题与二次函数）...........................................39
题型8：其他问题（实际问题与二次函数)..............................................42
知识点梳理01：根据实际问题列出二次函数关系式
1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。
2.设元：选择一个适当的变量（通常设为 x）表示问题中的一个未知量，并根据题意用含 x 的代数
式表示其他相关的未知量。
3.列关系式：根据题目中的等量关系（如面积公式、利润公式、物理公式等），列出关于 x 的二次
函数关系式 y=ax2+bx+c（a≠0）。
4.确定自变量取值范围：根据实际问题的意义，确定自变量 x 的取值范围（使实际问题有意义，如
长度不能为负，人数不能为小数等）。易错点提示：
1.等量关系找错：未能准确理解题目中的数量关系，导致列出的函数关系式错误。
2.自变量取值范围忽略：只注重列出函数关系式，而忽略了自变量 x 在实际问题中的取值限制，导
致后续求解没有实际意义。
3.单位不统一：在列关系式前，未将所有已知量的单位统一，导致计算错误。
4.表达式不是二次函数：有时可能由于分析错误，列出的表达式不是二次函数，而是一次函数或其他
函数。
知识点梳理02：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值
1.配方或公式法求顶点：对于列出的二次函数 y=ax2+bx+c，可以通过配方转化为顶点式
b 4ac−b2
y=a(x−h) 2+k，或者直接利用顶点坐标公式 (− , ) 求出顶点坐标。
2a 4a
2.判断最值：
4ac−b2
（1）当 a>0 时，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为 k（或 ），此时自变量
4a
b
x=h（或 − ）。
2a
4ac−b2
（2）当 a<0 时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为 k（或 ），此时自变量
4a
b
x=h（或 − ）。
2a
3.结合实际意义：求出的顶点横坐标 x 必须在其取值范围内，此时顶点纵坐标才是实际问题的最
值。若不在，则需根据函数在自变量取值范围内的增减性，在端点处取得最值。
易错点提示：
1.配方或计算顶点坐标出错：配方过程中符号出错，或使用顶点坐标公式时计算失误。
2.忽略自变量取值范围对最值的影响：盲目认为顶点处就是最值，而没有检验顶点的横坐标是否在实
际问题所允许的自变量取值范围内。若不在，则最值应在自变量取值范围的端点处取得。
3.混淆最大值与最小值：忘记根据二次项系数 a 的符号来判断函数有最大值还是最小值。
4.最值单位书写：求出的最值是一个具体的数值，要注意带上相应的单位。
知识点梳理03：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题
1.常见模型：如长方形、正方形、三角形、梯形等图形的面积问题，或利用一面墙围矩形、用定长铁丝围图形等。
2.关键步骤：
（1）设出一个适当的自变量（通常是图形的边长、宽、高或变化的长度等）。
（2）根据图形的性质和题目条件，用含自变量的代数式表示出与面积相关的其他边长或维度。
（3）根据面积公式列出二次函数关系式。
（4）求出函数的最值及对应的自变量的值，并检验是否符合实际意义。
易错点提示：
1.图形几何关系分析错误：未能正确用自变量表示出图形的其他边长，导致面积关系式列错。例如，
在“靠墙围矩形”问题中，忽略了只有三边用材料。
2.自变量取值范围考虑不周：例如，边长不能为负数，围成的图形各部分长度要符合实际。
3.面积公式记错：如梯形面积公式、三角形面积公式等。
知识点梳理04：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹）
1.常见模型：物体做斜抛运动（忽略空气阻力时轨迹为抛物线）、抛物线形桥梁、隧道、拱门等。
2.关键步骤：
（1）建立平面直角坐标系：选择合适的原点、x轴和y轴，通常以抛物线的对称轴为y轴，或物体抛
出点为原点等，使函数关系式形式最简。
（2）根据已知条件（如顶点坐标、与坐标轴交点坐标等）求出函数关系式。
（3）利用函数关系式解决问题：如求最大高度、达到某一高度的时间、落点位置、宽度等。
易错点提示：
1.坐标系建立不当：导致函数关系式复杂或无法求解。
2.坐标意义理解错误：混淆点的横纵坐标所代表的实际意义（如时间、高度、水平距离）。
3.未能正确使用已知点坐标求函数解析式：代入点坐标计算错误。
4.单位换算问题：如时间单位（秒、分）、长度单位（米、厘米）等。
5.忽略实际情境对自变量取值的限制：例如，时间不能为负，高度不能为负。
知识点梳理05：利用二次函数解决利润最大化问题
1.基本关系：总利润 = （每件商品的利润）×（销售量），或 总利润 = 总收入 - 总成本。
2.关键步骤：
（1）设出一个自变量（通常是每件商品的涨价或降价金额，或销售单价）。
（2）用含自变量的代数式表示出每件商品的利润和销售量（销售量往往与单价有关，单价变化会引
起销售量反方向变化）。（3）根据总利润公式列出二次函数关系式。
（4）求出利润的最大值及对应的自变量的值（如最佳涨价/降价金额、最佳销售单价）。
易错点提示：
1.“每件利润”和“销售量”的表达式错误：特别是销售量随价格变化的关系，容易弄错增减性或比
例系数。
2.自变量的实际意义混淆：例如，设的是“涨价x元”还是“售价为x元”要清晰。
3.忽略自变量的实际取值范围：如售价不能过高或过低，销售量不能为负数。
4.计算错误：利润关系式往往涉及多项，展开和化简时容易出错。
题型1：图形问题（实际问题与二次函数）
1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏
（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(2)矩形围栏ABCD面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏BC的长；不存在，请说明理由．
【答案】(1)栅栏BC的长为10米
17
(2)矩形围栏ABCD面积存在最大值，BC的长为 米
2
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次
函数解析式．
（1）先表示出AB的长，再根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解
之取其较大值即可得出结论；
（2）设矩形围栏ABCD面积为S，首先得到x<17，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可．
【规范解答】（1）解：∵设栅栏BC长为x米，
∴DC=49+2−3x=(51−3x)米，
依题意，得：(51−3x)x=210，整理，得：x2−17x+70=0，
解得：x =7,x =10．
1 2
当x=7时，AB=51−3x=30>28，不合题意，舍去，
当x=10时，AB=51−3x=21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（2）解：矩形围栏ABCD面积存在最大面积；理由如下：
设矩形围栏ABCD面积为S，
根据题意得，51−3x>0，
∴x<17，
17 2 867
∴S=(51−3x)x=−3x2+51x=−3(x− ) + ，
2 4
∵−3<0，
17 17 867
∴当x= 时，即BC= 米时，S有最大值 ．
2 2 4
2．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园
内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度
为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱
笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边
AB长为x米．
(1)求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米；
(2)求垂直于墙的篱笆边AB长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？
【答案】(1)x=9
(2)垂直于墙的篱笆边AB长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米．
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的性质，会求解一元二次方程并熟练掌握二
次函数的增减性是解决本题的关键．
（1）设垂直于墙的篱笆边AB长为x米，则可表示BC，再利用长方形的面积求解即可；
（2）先求解出边AB的取值范围，再根据面积表示为S=x(36−3x)，结合二次函数的增减性求解最大值
即可．【规范解答】（1）解：∵篱笆的总长为34米，设垂直于墙的篱笆边AB长为x米，
则BC=34+2−3x=(36−3x)米，
依题意得：x(36−3x)=81，
整理得：x2−12x+27=0，
解得：x =3，x =9，
1 2
当x=3时，36−3x=36−3×3=27>15，不符合题意，舍去；
当x=9时，36−3x=36−3×9=9<15，符合题意，
∴当x=9时，围成的菜地面积为81平方米；
（2）解：设围成菜地的面积为S平方米，
∵墙的最大可用长度为15米，
∴0S ，理由见解析
1 2
(3)9
【思路引导】本题考查矩形的性质、梯形面积公式以及二次函数的性质．
（1）先根据矩形周长求出AB与BC的关系，再结合已知条件表示出梯形AECF的上底、下底和高，最后根据梯形面积公式列出函数表达式并确定x的取值范围．
（2）将x=2和x=3代入（1）中得到的函数表达式，分别求出S 和S ，再比较大小．
1 2
（3）根据二次函数的性质，结合x的取值范围求出S的最大值．
【规范解答】（1）解：∵矩形ABCD周长为18，
∴2(AB+BC)=18，
即AB+BC=9．
∵CF=1,DF=2BE,BE=x，
∴DF=2x,CD=CF+DF=1+2x．
∵矩形对边相等，
∴AB=CD=1+2x，
∴1+2x+BC=9，
∴BC=8−2x．
∵梯形AECF的上底AE=AB−BE=(1+2x)−x=1+x，下底CF=1，高BC=8−2x，
(1+x+1)(8−2x) (2+x)(8−2x)
∴S= = =−x2+2x+8．
2 2
∵点E，F分别在边AB,CD上（均不与顶点重合），
{
x>0
)
∴ 1+2x>0 ，
8−2x>0
解得05，
∴S >S ．
1 2
（3）解：对于二次函数S=−x2+2x+8，其中a=−1<0，
b 2
∴该函数图像开口向下，对称轴为x=− =− =1．
2a 2×(−1)
∵对称轴x=1在x的取值范围00)，正方形PQMN与△ABC重叠部分的面积为
ycm2．（注：无重叠时，重叠部分面积看作0cm2）
(1)当点M落在线段BC上时，求x的值．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
2
【答案】(1)x=
3
2 2
(2)当02时，y=0．
3 3
【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定
理，理解题意，作出图形是解答关键．
（1）当点M落在线段BC上时，求出PQ=PN=❑√2x，BN=PN=CM=QM=❑√2x，根据勾股定理求出
BC，最后利用BN+NM+CM=BC列出方程求解．
2 2
（2）根据题意分三种情况：当02时，利用等腰直角三角形的性质求解．
3 3
【规范解答】（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2cm，
∴∠B=∠C=45°，
当点M落在线段BC上时，四边形PQMN是正方形，
根据题意得AP=AQ=x，
在等腰直角三角形APQ中PQ=❑√AP2+AQ2=❑√x2+x2=❑√2x，
由题意可得△APQ和△BPN、△QCM是等腰直角三角形，
∴BN=PN=CM=QM=❑√2x，
在Rt△ABC中，∠A=90°，
BC=❑√AB2+AC2=❑√22+22=2❑√2，
∵BN+NM+CM=BC，
∴❑√2x+❑√2x+❑√2x=2❑√2，
2
∴x= ；
3
2
（2）①当02时，正方形PQMN与△ABC无重叠，所以y=0；
2 2
综上所述，当02时，y=0．
3 3
题型3：拱桥问题（实际问题与二次函数)
9．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．
(1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式．
(2)水面下降1m，水面宽度增加多少？
1
【答案】(1)y=− x2
2
(2)(2❑√6−4)m
【思路引导】本题考查了平面直角坐标系、二次函数解决实际问题：（1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式；
（2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出增加的宽度
【规范解答】（1）以拱顶为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系
则抛物线的顶点在原点，设其解析式为y=ax2
当拱顶离水面2m时，水面宽4m
即当y=−2时，x=±2
将(2,−2)代入解析式y=ax2得：−2=a×22
1
解得：a=−
2
1
所以函数解析式为：y=− x2
2
（2）当水面下降1m时，此时拱顶离水面3m，即y=−3
1 1
代入解析式y=− x2 得：−3=− x2
2 2
解得：x=±❑√6
此时水面宽度为2❑√6m
原水面宽4m
所以水面宽度增加：(2❑√6−4)m
10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下
是一条宽 200m的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家
的建议，以二次函数y=ax2+k的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32m处各
设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60m，求河面距公路桥的最大高度OE= m．
3200
【答案】
91
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，以CD为x轴，OE为y轴建立平面直角坐标系，将点
B(30,32),D(100,0)代入二次函数y=ax2+k中求解，即可解题．
【规范解答】解：如图，以CD为x轴，OE为y轴建立平面直角坐标系，由题知，二次函数y=ax2+k过点B(30,32),D(100,0)，
{1002a+k=0)
∴ ，
302a+k=32
8
{ a=− )
2275
解得 ，
3200
k=
91
8 3200
∴二次函数解析式为y=− x2+ ，
2275 91
3200
∴ OE= ，
91
3200
故答案为： ．
91
11．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽AB=12m时，桥洞
顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐
标系．
(1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式；
1 3 16
(2)如图2，若拱桥上的路面E−D−F也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：y=− x2+ x+ ．
20 5 5
①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离CD的长度；
②已知桥上路面起点E的横坐标为−2，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还
是下方？并说明理由．1 4
【答案】(1)(6,4)，y=− x2+ x；
9 3
(2)①1m；②点E在水平面上方，见解析．
【思路引导】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
1 3 16
（2）①抛物线y=− x2+ x+ 的顶点D(6,5)，得到CD=5−4=1m．②将E点横坐标x=−2代入
20 5 5
1 3 16 9 1 4 11
y=− x2+ x+ ，则EG= ，当水面宽为10m时，将x=1代入y=− x2+ x，得y= ，比较后
20 5 5 5 9 3 9
即可得到答案．
【规范解答】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标(6,4)．
设y=a(x−6) 2+4（a≠0），
代入点A(0,0)，得0=a(0−6) 2+4，
1
解得a=− ，
9
1 1 4
所以解析式为y=− (x−6) 2+4=− x2+ x．
9 9 3
1 3 16 1
（2）①∵y=− x2+ x+ =− (x−6) 2+5
20 5 5 20
1 3 16
∴抛物线y=− x2+ x+ 的顶点D(6,5)，
20 5 5
∴CD=5−4=1m．
1 3 16
②将E点横坐标x=−2代入y=− x2+ x+ ，得
20 5 5
1 3 16 1 3 16 9
y=− x2+ x+ =− ×(−2) 2+ ×(−2)+ = ，
20 5 5 20 5 5 5
9
则EG= ，
5
当水面宽为10m时，
1 4 11
将x=1代入y=− x2+ x，得y= ，
9 3 9
9 11
因为 > ，所以点E在水平面上方．
5 912．（2025·贵州遵义·二模）一座桥如图，桥下水面宽度AO是20米，高CD是4米．如图，若把桥看
作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(3)如图2，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱ODA在
平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度．
1
①平移后的函数图象与直线y= x−16没有交点，结合函数图象，直接写出m的取值范围__________．
2
1
②直接写出当m=__________时，平移后的函数图象与直线y= x−16有三个交点．
2
参考公式：(x−y−z) 2=x2+ y2+z2−2xy−2xz+2yz
1 4
【答案】(1)抛物线解析式为y=− x2+ x；
25 5
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米；
265 87
(3)①m＞ ，②
8 8
【思路引导】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物
线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键．
（1）根据题意找出A、D坐标，设出函数解析式，代入坐标求解即可；
（2）求出当高度正好为3米时x的两个值，作差即可；
（3）表示出根据“倒影”和平移表示出新函数解析式，与直线没有交点即联立解析式后方程无解，与直
线有三个交点，则直线与平移后的“倒影”函数图象相切，即联立解析式后方程有两个相等实数根．
【规范解答】（1）解：由题意得：水面宽度AO是20米，高CD是4米，
结合函数图象可知，顶点D (10,4)，点A(20,0),
设二次函数表达式为y=a(x−10) 2+4(a≠0)，将A(20,0)代入函数表达式得0=a(20−10) 2+4，
1
解得：a=−
25
1
∴二次函数表达式为y=− (x−10) 2+4
25
1 4
即y=− x2+ x
25 5
1 4
（2）当y=3时，即3=− x2+ x
25 5
解得：x =5，x =15
1 2
x −x =15−5=10
2 1
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米．
（3）①由题可知倒影函数图象与原函数图象关于x轴对称，
1 4
∴倒影函数解析式为：y= x2− x
25 5
1 4
平移后的原抛物线解析式为：y=− (x−m) 2+ (x−m)
25 5
1
∵ y= x−16，当y=0时，x=32
2
1 1
∴直线y= x−16经过(32,0)，要使直线y= x−16与倒影函数图象没有交点，则m>32
2 2
1
要使直线y= x−16与平移后的原抛物线没有交点，
2
1 1 4
则 x−16=− (x−m) 2+ (x−m)无解
2 25 5
1 −15−4m m2+20m
整理得： x2+( )x+(−16+ )=0
25 50 25
−15−4m 2 1 m2+20m 2m 53
Δ=b2−4ac=( ) −4× ×(−16+ )=− +
50 25 25 25 20
2m 53
Δ<0，即− + <0
25 20
265
解得：m＞
8
265
综上所述m＞
81 4
②倒影函数平移后的解析式为：y= (x−m) 2− (x−m)
25 5
1
平移后的函数图象与直线y= x−16有三个交点
2
1
则倒影函数平移后与直线y= x−16相切
2
1 1 4
即 x−16= (x−m) 2− (x−m)有两个相等实数根
2 25 5
1 −65−4m m2+20m
整理得： x2+( )x+(16+ )=0
25 50 25
−65−4m 2 1 m2+20m 8m−87
Δ=b2−4ac=( ) −4× ×(16+ )=
50 25 25 100
87
Δ=0，即m=
8
题型4：销售问题（实际问题与二次函数)
13．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集
拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由
粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，
B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒
价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变）
(1)若每盒礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为y 元和y 元，请求出y 、y 与x
A B A B
之间的函数关系式；
(2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的
利润之和最大？最大是多少元？
【答案】(1)y =−3x2+36x+3360，y =−4x2+80x+3200；
A B
(2)A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元．
【思路引导】本题考查了二次函数的实际应用，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据利润=每盒利润×销量列式即可；
（2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高
(9−m)元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；
【规范解答】（1）解：由题意可得y =(28+x)(120−3x)=−3x2+36x+3360，
A
y =(20+x)(160−4x)=−4x2+80x+3200；
B
（2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高
(9−m)元，由题意得：
∴W =−3m2+36m+3360+[−4(9−m) 2+80(9−m)+3200)
=−7m2+28m+6956=−7(m−2) 2+6984(0≤m≤9)，
∴当m=2时，W取得最大值，为6984元，
即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元．
14．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）综合与实践
【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、
顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允
许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5米－6.5米．
【数据收集】我市某小区地下车库分为A、B、C、D、E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22
米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租
金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月
租金上涨金额为y元．
【建立模型】（1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544m2时，通过计算判断车道宽度是否
符合标准?
（2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入
为10125元?
【拓展应用】
（3）由于租金过高，车位租出个数相应减少，小区物业决定将车位月租金上涨金额控制在不低于5元且不
高于15元，则当E区域每个停车位月租金上涨多少元时，该区域的月租金收入最大?最大值是多少元?【答案】（1）车道宽度符合标准（2）每个车位月租金上涨25元（3）每个车位月租金上涨15元时，收入
最大，最大值是10105元
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
（1）设车道的宽度为x米，根据A区域占地面积544m2，可列方程(40−x)(22−x)=544，求解方程再进
行判断即可；
( y)
（2）设每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为 50− 个，根据月租金收入为10125元列方程
5
求解即可；
1
（3）设月租金收入为W元，根据题意得W =− y2+10 y+10000，根据二次函数的性质可求解．
5
【规范解答】解：（1）先将图形平移，如图，
因为停车位占地面积为544m2，则
(40−x)(22−x)=544，
解得x=6或x=56（x=56不符合实际，舍去），
因为5.5<6<6.5，所以车道宽度符合标准；
( y)
（2）设每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为 50− 个，根据题意得，
5
( y)
(200+ y) 50− =10125
5
整理得y2−50 y+625=0，
解得y = y =25，
1 2
所以，每个车位月租金上涨25元；
（3）设月租金收入为W元，根据题意得，
W =(200+ y) ( 50− y) =− 1 y2+10 y+10000，
5 51
∵a=− <0，
5
10
y=− =25
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ( 1) ，
2× −
5
∵5≤ y≤15，
( 15)
∴当y=15时，W取得最大值，最大值为(200+15) 50− =215×47=10105（元）
5
所以，每个车位月租金上涨15元时，月租金收入最大，最大值是10105元．
15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利
3
900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的 倍．
2
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天
可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的
利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元．
(2)降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元．
【思路引导】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出
分式方程及函数关系式．
（1）设乙商品每箱盈利x元，甲商品每箱盈利(x+5)元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设降价a元，该超市的利润最大，利润为W．根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函
数的最值．
【规范解答】（1）解：设乙商品每箱盈利x元，甲商品每箱盈利(x+5)元，
900 400 3
= ×
x+5 x 2
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
∴x+5=10+5=15，
答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元．
（2）解：设降价a元，该超市的利润最大，利润为W．
W =(15−a)(100+20a)=−20(a−5) 2+2000∵−20(a−5) 2≤0
∴a=5时，利润W取得最大值，且最大值为2000元．
答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元．
16．（24-25九年级上·山西朔州·期中）项目化学习
项目主题：大同黄花的最优销售单价
项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国
内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：
（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
收集数据：
黄花销售
单价x
… 92 96 100 104 108 …
（元/千
克）
每月销售
数量y … 880 840 800 760 720 …
（千克）
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
(1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的______函数
（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为______．
(2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？
(3)若要使每月销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润．
【答案】(1)一次，y=−10x+1800
(2)销售单价应定为140元
(3)黄花的最优销售单价为130元/千克，最大利润为25000元
【思路引导】本题是二次函数的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的最值
问题．
（1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可；
（2）利用（1）中销售量求得利润函数，解一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可；
（3）利用（2）中利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质讨论得出最值．【规范解答】（1）解：观察表格可知黄花每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．
设一次函数关系式为y=kx+b，
将点(92,880)，(96,840)代入，得
¿，
解得¿，
∴一次函数关系式为y=−10x+1800．
故答案为：一次函数，y=−10x+1800；
（2）解：根据题意知，月销售利润为：
w=(x−80)y=(−10x+1800)(x−80)=−10x2+2600x−144000，
∵月销售利润达到24000元，
∴−10x2+2600x−144000=24000，
解得x =120，x =140，
1 2
当x =120时，
1
销售成本为80×(−10×120+1800)=48000>40000，
不符合题意舍去；
当x =140时，
2
销售成本为80×(−10×140+1800)=32000<40000，
符合题意；
故销售单价应定为140元；
（3）解：根据题意，得w=−10x2+2600x−144000=−10(x−130) 2+25000，
∵−10<0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x=130时，w =25000，
最大
答：当黄花的单价为130元/千克，最大利润为25000元．
题型5：投球问题（实际问题与二次函数)
17．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）苍南队在浙BA训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物
1 3 5
线y=− x2+ x+ ，篮球出手至入筐过程中的水平距离OA长为 米．
16 8 2【答案】4
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将y=3代入二次函数的
解析式可得x=2或x=4，再根据二次函数的对称轴为直线x=3，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧
即可得．
1 3 5 1 3 5
【规范解答】解：由题意，将y=3代入抛物线y=− x2+ x+ 得：− x2+ x+ =3，
16 8 2 16 8 2
解得x=2或x=4，
3
1 3 5 b 8
抛物线y=− x2+ x+ 的对称轴为直线 x=− =− =3 ，
16 8 2 2a ( 1 )
2× −
16
∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且4>3，
∴篮球出手至入筐过程中的水平距离OA长为4米，
故答案为：4．
18．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y
1 2 5
（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=− x2+ x+ ．
12 3 3
(1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度；
(2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分；
(3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距
离x（米）的函数解析中a、b、c的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要
的数据，通过计算验证你的结论．5
【答案】(1)球的高度是 米
3
(2)得分100分
(3)|a)的绝对值变小，b,c可以不变（答案不唯一），作图见解析，验证见解析
【思路引导】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）直接令x=0求解即可；
（2）令y=0，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分；
2 5
（3）|a)的绝对值变小，b,c可以不变，假设落地距离为12米，保持b= ,c= ，再计算说理，即可作图．
3 3
5
【规范解答】（1）解：当x=0时，y= ，
3
5
∴小普把球脱手时，球的高度是 米；
3
1 2 5
（2）解：当y=0时，− x2+ x+ =0，
12 3 3
整理得x2−8x−20=0，
解得x =10，x =−2（舍），
1 2
∵铅球扔出10米的得分为100分，
∴小普得分100分；
（3）解：|a)变小，b,c可以不变（答案不唯一），
2 5
假设落地距离为12米，保持b= ,c= ，
3 3
2 5
将x=12代入y=ax2+ x+ ，
3 3
2 5
则122a+ ×12+ =0，
3 3
29 | 29 ) | 1 )
解得a=− ，此时 − < −
432 432 12
作图如图：19．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，x轴上依次有A,B,C,D,E,F六个点，且
AB=BC=CD=DE=EF=2，从点A处向右上方沿抛物线y=−x2+4x+12发出一个发光的点P．
(1)在图中补画出y轴；
(2)当点P与上述六个点中的某个点重合时，重合的这个点就会发光，则发光的点是___________；
(3)在x轴上从左到右有两点M,N，且MN=2，从点N向上作NG垂直x轴，且NG=4，在△MNG沿x轴
左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在MG（包括端点）上，请写出点N横坐标的最大值与最
小值．
【答案】(1)见解析
(2)E
(3)点N横坐标的最大值为8，最小值为2+2❑√3
【思路引导】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会
寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
（1）令x=0，则y=12，可得抛物线与y轴交于点(0,12)，即可求解；
（2）由（1）可知抛物线与x轴的另一个交点为(6,0)，点B为坐标原点，根据BC=CD=DE=2，即可解
答；
（3）判断出当点M与点(6,0)重合时，点N的横坐标最大，当点G与(2+2❑√3,4)重合时，点N的横坐标最
小，两种特殊位置点N的横坐标的值，可得结论．
【规范解答】（1）解：当x=0时，y=12，
∴抛物线与y轴交于点(0,12)，
当y=0时，−x2+4x+12=0，
解得：x =−2,x =6，
1 2
∴点A的坐标为(−2,0)，
∵AB=2，
∴点B的坐标为(0,0)，
图形如图所示，（2）解：由（1）得：抛物线与x轴的另一个交点为(6,0)，点B为坐标原点，
∵BC=CD=DE=2，
∴BE=6，
∴点E的坐标为(6,0)，
∴发光的点是点E；
故答案为：E
（3）解：当点M与点(6,0)重合时，点N的横坐标最大，
∵MN=2，
∴此时点N的横坐标的最大值为8；
当y=4时，−x2+4x+12=4，
解得：x =2+2❑√3,x =2−2❑√3，
1 2
∴抛物线经过点(2+2❑√3,4)，
∴当点G与(2+2❑√3,4)重合时，点N的横坐标最小，最小值为2+2❑√3；
综上所述，点N横坐标的最大值为8，最小值为2+2❑√3．
20．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹
操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙
的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点P的
正下方O点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，
其飞行路线可以近似看作抛物线y=a(x−15) 2+k．(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C），求出a的取值范围．
1
【答案】(1)①y=− （x−15）2+12；②石块能飞越防御墙
25
3 3
(2)− ≤a≤−
125 161
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次
函数的性质．
（1）①根据石块在空中飞行的最大高度为12米，可得出y=a（x−15）2+12，再将P（0,3）代入，
求出抛物线的函数解析式；
②依据题意，由墙高为6米，则令y=6，得到关于x的一元二次方程求解，再结合墙宽BC为2米，点P与
点B的水平距离为23米，可判断得解；
（2）把（0,3），（23,6）代解析式求出a，把（25,6），（0,3）代入解析式求出a，得出a的取值范
围．
【规范解答】（1）解：①∵发石车发射点点P离地面高3米，
∴P（0,3），
∵抛物线为y=a（x−15）2+k，且石块在空中飞行的最大高度为12米，
∴y=a（x−15）2+12，
把P（0,3）代入y=a（x−15）2+12，
得：3=a×（0−15）2+12，
1
解得a=− ，
25
1
所以抛物线的解析式为y=− （x−15）2+12；
25②∵墙高为6米，
1
∴当y=6时，6=− （x−15）2+12，
25
解得x=15−5❑√6（舍去）或x=15+5❑√6，
∵15+5❑√4<15+5❑√6<15+5❑√9，
∴15+5×2<15+5❑√6<15+5×3，
∴25<15+5❑√6<30，
∵墙宽BC为2米，点P与点B的水平距离为23米，且23+2=25<15+5❑√9，
∴石块能飞越防御墙；
（2）由题意，得y=a（x−15）2+k，
把（0,3），（23,6）代入解析式，
{ 152a+k=3 ) 3
得： ，解得：a=− ，
a（23−15）2+k=6 161
把C（25,6），（0,3）代入解析式，
{3=a（0−15）2+k ) 3
得： ，解得：a=− ，
6=a（25−15）2+k 125
3 3
∴若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B，C），则− ≤a≤− ．
125 161
题型6：喷水问题（实际问题与二次函数)
21．（25-26九年级上·北京·阶段练习）某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长
为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．
建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系
y=ax2+bx+c(a≠0)，下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据：
x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y/米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2(1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式y=ax2+bx+c(a≠0)；
1
(2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y=− x2+x+2，调整后水流落
3
点为B′，则OB____________OB′．（填“>”，“＝”或“<”）．
1 3
【答案】(1)水流喷出的最大高度为3.125米；y=− x2+ x+2
2 2
(2)<
【思路引导】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）由表格数据可得水流喷出的最大高度，再由待定系数法求解函数解析式；
（2）分别令两个方程y=0，解一元二次方程求解出OB和OB′即可．
1+2
【规范解答】（1）解： 由表格可得抛物线对称轴为直线x= =1.5，
2
∴水流喷出的最大高度为3.125米，
由题意可得，抛物线经过点(0,2)，(3,2)，(1,3)，
将上述三个点坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0)中，得
{
c=2
)
9a+3b+c=2 ，
a+b+c=3
1
{a=−
)
2
解得 3 ，
b=
2
c=2
1 3
∴函数关系式为y=− x2+ x+2；
2 2
1 3 1 3
（2）解：对于y=− x2+ x+2，当y=0，则− x2+ x+2=0，
2 2 2 2
解得：x=4或x=−1（舍），∴OB=4，
1 1
对于y=− x2+x+2，当y=0，则− x2+x+2=0，
3 3
3+❑√33 3−❑√33
x= 或x= （舍），
2 2
3+❑√33
∴OB′=
，
2
∴OB0，函数图象开口向上，有最小值，
4 4
b −6
t=− =− =12
根据二次函数顶点公式得 2a 1 ，
2×
4
1 1
将t=12代入d= t2−6t+38，得d= ×122−6×12+38=36−72+38=2(cm)，
4 4
因为d=2>0，
所以小球与电动小车不会发生碰撞，最小距离为2cm．
30．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车刹车距离有疑惑，
于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶
中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的
刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的
0 1 2 3
时间t
刹车后行驶的
0 27 48 63
距离y
发现：①开始刹车后行驶的距离y(单位：m)与刹车后行驶的时间t(单位：s)之间成二次函数关系；②汽
车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方30m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会
撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】(1)y=−3t2+30t；
(2)汽车刹车4s后，行驶了72m；
(3)该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，见解析．
【思路引导】(1)根据表格数据，利用待定系数法求解函数表达式即可；
(2)求当t=4时的函数值即可求解；
(3)先求解函数的最大值，即求得刹车后行驶的最远距离，进而比较大小可得答案．
【规范解答】（1）设y=at2+bt+c(a≠0)．
将(0,0)，(1,27)，(2,48)代入y=at2+bt+c(a≠0)，
{
c=0
)
∴ a+b+c=27 ．
4a+2b+c=48
{a=−3
)
∴ b=30 ．
c=0
∴y=−3t2+30t．
（2）当t=4时， y=−3×42+30×4=72．
答：汽车刹车4s后，行驶了72m．
（3）∵y=−3t2+30t=−3(t−5) 2+75，
∴当t=5时，y=75，即汽车停下时，行驶了75m．
∵75>30，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
【考点剖析】本题主要考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的性质，正确求
得函数表达式是解答的关键．
31．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作
如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m
）进行的测量，得到以下数据：
水平距离
0 0.4 1 1.4 2 2.8
x/m竖直高度
0 0.48 0.9 0.98 0.8 0
y/m
(1)根据上述数据，求抛物线的表达式；
(2)若在野兔起跳点（原点O）前方1.8m处有一个高为0.92m的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说
明理由．
【答案】(1)y=−0.5(x−1.4) 2+0.98；
(2)野兔此次跳跃不能跃过篱笆．
【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式．
（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）代入1.8计算出函数值，比较即可判断．
【规范解答】（1）解：由题意可知，当x=0和x=2.8时，y=0，
0+2.8
∴对称轴为直线x= =1.4，
2
由表格知，抛物线经过(1.4,0.98)，
设野兔某次跳跃的抛物线为y=a(x−1.4) 2+0.98，
把(1,0.9)代入y=a(x−1.4) 2+0.98可得：a(1−1.4) 2+0.98=0.9，
解得：a=−0.5，
∴抛物线的解析式为：y=−0.5(x−1.4) 2+0.98；
（2）解：当x=1.8时，y=−0.5×(1.8−1.4) 2+0.98=0.9，
∵0.92>0.9，
∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆．
32．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团
队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶
段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm．如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，
对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x
轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图1，若仿青蛙机器人从
点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点
Q的水平距离OQ的长；
3
【答案】(1)y=− (x−80) 2+60
320
(2)OQ长为200厘米
【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据起跳点与落地点的距离为160cm，得到对称轴为直线x=80，根据运动路线的最高点距地面
60cm，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把(0,0)代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令y=0，求出x的值，进而求出OQ
的长即可；
160
【规范解答】（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线x= =80，顶点纵坐标为60，
2
∴顶点坐标为(80,60)，
设抛物线的函数解析式为：y=a(x−80) 2+60，
∵图象过原点，
3
∴a(0−80) 2+60=0，解：a=− ，
320
3
∴y=− (x−80) 2+60；
320
（2）∵抛物线的形状不变，点(0,75)，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
3 3
∴新的抛物线的解析式为：y=− (x−80) 2+60+75=− (x−80) 2+135，
320 3203
当y=0时，− (x−80) 2+135=0，
320
解得：x =200，x =−40（舍去）；
1 2
故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm．
