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专项突破04 二次函数与几何图形综合
（7种高频考察题型 共28题）
题型1：线段周长问题（二次函数综合）................................................................................................................1
题型2：面积问题（二次函数综合）..........................................................................................................................8
题型3：角度问题（二次函数综合）........................................................................................................................18
题型4：特殊三角形问题（二次函数综合）..........................................................................................................30
题型5：特殊四边形（二次函数综合）...................................................................................................................40
题型6：相似三角形问题（二次函数综合）..........................................................................................................50
题型7：其他问题（二次函数综合）........................................................................................................................62
题型1：线段周长问题（二次函数综合）
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)．
(1)求△ABC的面积．
(2)若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．
【答案】(1)△ABC的面积为6
9
(2)线段PM的最大值为
4
【思路引导】本题主要考查了待定系数法确定函数关系式、三角形面积的计算以及线段最大值的求法，解
题的关键是利用函数性质求线段最大值．（1）将A(−1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c可求得抛物线的解析式，进而根据抛物线解析式求得点C的
坐标，易得线段OC，AB的长度，所以由三角形面积公式解答即可；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得
PM=(n−3)−(n2−2n−3)，再根据二次函数的性质，可得答案．
【规范解答】（1）解：将A(−1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c，
{1−b+c=0,
)
得
9+3b+c=0,
{b=−2,)
解得
c=−3,
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3．
由A(−1,0),B(3,0)可知，AB=4，
1 1
∴S = AB⋅OC= ×4×3=6，
△ABC 2 2
故答案为：△ABC的面积是6．
（2）（2）设直线BC的解析式为y=kx+t．
{3k+t=0,)
将点B、C的坐标代入函数解析式，得
t=−3,
{k=1,
)
解得
t=−3,
∴直线BC的解析式为y=x−3．
设M(n,n−3)，则P(n,n2−2n−3)，
∴PM=(n−3)−(n2−2n−3)
=−n2+3n
( 3) 2 9
=− n− + ，
2 4
3 9
∴当n= 时，PM有最大值，最大值为 ．
2 4
9
故答案为：线段PM的最大值为 .
42．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图1，已知抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A(−1,0)，B两点，
与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)如图2，点P，Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y
轴，交BC于点M，过点Q作QN∥y轴，交BC于点N．
①求直线BC的解析式；
②求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3，(3,0)
(2)①y=x−3；②4，(2,−3)
【思路引导】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的
综合等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）①直接运用待定系数法即可解答；
②设P(a,a2−2a−3)(00)个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与x轴交于
点D，E（点D在点E的左侧），与y轴交于点F，设FC的长为d．
①求d关于m的函数解析式；
②在抛物线平移过程中，是否存在FC=2OE？若存在，求出m的所有可能值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)b=2，B(3,0)，C(0,3)
(2)①d=|−m2+2m)②存在，m=❑√6
【思路引导】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，熟练掌握平移规则，正确的求出函数
解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出B、C的坐标即可；
（2）①求出平移后的解析式，进而求出点F的坐标，利用两点间的距离列出函数关系式即可；②先求出E
点坐标，根据FC=2OE，列出方程进行求解即可．
【规范解答】（1）解：把A(−1,0)代入y=−x2+bx+3，得：−1−b+3=0，
∴b=2，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，
∴当y=−x2+2x+3=0时，解得：x =3,x =−1，当x=0时，y=3，
1 2
∴B(3,0)，C(0,3)；
（2）①∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴平移后的解析式为：y=−(x−1+m) 2+4，
∴当x=0时，y=−(m−1) 2+4=−m2+2m+3，
∴F(0,−m2+2m+3)，
∵C(0,3)，
∴CF=|−m2+2m+3−3)=|−m2+2m)，即：d=|−m2+2m)；
②存在，由题意，点E为点B向左平移m个单位得到，
∴E(3−m,0)，
∴OE=|3−m)，
当FC=2OE时，则：|−m2+2m)=2|3−m)，解得：m=❑√6或m=−❑√6（舍去）．
故m=❑√6．
题型2：面积问题（二次函数综合）
5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y=a(x+6)(x−2)
交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0,−1)
(1)a的值为 ．
(2)如图1，在第二象限的抛物线上取点P，点D为抛物线的顶点，连接AP、AD、BD、BP，若点P的横
坐标为t，四边形APBD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上取点E，且点E在x轴的上方，连接PE、BE，
∠BEP=90°，∠PED−∠BED=2∠ABP，再在第二象限的抛物线上另取一点Q，点Q在点P的上方，
连接BQ交PE于G，并在BE上取点H，连接PH交BQ于T,TH=BH,EG:EH=2:3，求点Q的坐标．
1
【答案】(1)
12
1 4 4
(2)S= t2+ t+
3 3 3
51
(3)Q(−15, )
4
【思路引导】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）由待定系数法即可求解；
1 1
（2）由S=S +S = AB⋅PK+ AB⋅DR，即可求解；
△ABP △ABD 2 2
（3）证明△PWE≌△ERB(AAS)得到P(−10,4)，E(−2,8)，证明△PEH≌△BEF(AAS)得到
EF=EH=3m，BG=2m，在△BEF中，利用勾股定理和中点公式得到G(−6,6)，进而求解．
【规范解答】（1）解：y=a(x+6)(x−2)=a(x2+4x−12)，由于函数经过C(0,−1)，
则−12a=−1，
1
解得：a= ，
12
1
故答案为： ；
12
（2）解：作DR⊥AB于点R，PK⊥x轴于点K，
4
由抛物线解析式得A(−6,0)、B(2,0)、D(−2,− )，
3
1 1
设P(t, t2+ t−1)，
12 3
1 1 4
∴ PK= t2+ t−1，AB=8，DR= ，
12 3 3
1 1
∴S=S +S = AB⋅PK+ AB⋅DR
△ABP △ABD 2 2
1 1 1 4
= ×8( t2+ t−1+ )
2 12 3 3
1 4 4
= t2+ t+ ；
3 3 3
（3）解：设抛物线的对称轴DE交x轴于R，作PW⊥ER于点W，
设∠BED=α，
∵∠BEP=90°，
∴∠PED=90°−α，
∴2∠ABP=90°−α−α=90°−2α，
∴∠ABP=45°−α，
又∵ER⊥AB，
∴∠EBR=90°−α，
∴∠PBE=90°−α−(45°−α)=45°，
∵∠BEP=90°，∴∠BPE=∠PBE=45°，
∴PE=BE，
又∵∠PWE=∠BRE=90°，∠PEW=∠EBR=90°−α，
∴ △PWE≌△ERB(AAS)，
1 1
∴EW=BR=4，PW =ER=EW+RW = t2+ t−1+4，
12 3
1 1
∴ PW = t2+ t+3，
12 3
∵PW+∨=t，
1 1
∴ t2+ t+3+2=t，
12 3
解得t =−10，t =6（舍），
1 2
∴P(−10,4)，E(−2,8)，
∴PE=BE=❑√5，
延长PE至点F，连接BF且满足BF=GF，设∠EBG=β，
∵TH=BH，
∴∠BTH=∠EBG=β，
∴∠PHE=2β，
∴∠EPH=90°−2β，∠BGE=90°−β，
∵BF=GF
∴∠F=180°−2(90°−β)=2β=∠PHE，
∴∠PEH=∠PEB=90°，
∵BE=PE，
∴ △PEH≌△BEF(AAS)，
设EG=2m,EH=3m，
∴EF=EH=3m，GF=BF=5m，
根据勾股定理可得BE=❑√(5m) 2−(3m) 2=4m，
在△BEF中，BE=4m=4❑√5，
∴m=❑√5，EG=2m=2❑√5，
∴PG=PE−EG=2❑√5=EG，
∴G为PE的中点，
∵P(−10,4)，E(−2,8)，∴G(−6,6)
设直线BQ解析式为y=kx+b，
{ 0=2k+b )
把G(−6,6)，B(2,0)代入可得， ，
6=−6k+b
3
{ k=− )
4
解得 ，
3
b=
2
3 3
∴直线BQ解析式为y=− x+ ，
4 2
3 3 1
解方程− x+ = (x+6)(x−2)得：x =−15，x =2（舍去），
4 2 12 1 2
51
故点Q(−15, )．
4
6．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−2,0)和点B(4,0)，
与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求拋物线及直线BC的解析式；
(2)如图1，过点B作BD⊥AC，交抛物线于另一点D，求点D的坐标；
(3)如图2，P是x轴正半轴一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线CB于点E，连接AE，
设点P的横坐标为m，△APE的面积为S．①求S关于m的函数解析式；
9
②若当04两种情况，
9 9
分别得S关于m的函数解析式；②当04时，S= ，m=1+3❑√2时，
max 2 2
即可求解．
【规范解答】（1）解：把点A(−2,0)和点B(4,0)代入y=ax2+bx+4，
{4a−2b+4=0)
得 ，
16a+4b+4=0
{ a=− 1 )
解得 2 ，
b=1
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+x+4，
2
当x=0 时y=4，
∴C(0,4)，
设直线BC为y=kx+b，
将B(4,0)，C(0,4)代入，
{4k+b=0)
得 ，
b=4
{k=−1)
解得 ，
b=4∴直线BC的解析式为y=−x+4；
（2）解：设直线BD与y轴交于点F，
∵B(4,0) C(0,4)
， ，
∴OB=OC，
∵BD⊥AC，∠AOC=∠BOE=90°，
∴∠ACO+∠CFD=∠BFO+∠OBF=∠ACO+∠CAO=90°，
∵∠CFD=∠BFO，
∴∠ACO=∠OBF，
∴△ACO≌△FBO，
∴OA=OF，
∴F(0,2)，
设直线BD为y=cx+d，
将B(4,0)，F(0,2)代入，
{4c+d=0)
得 ，
d=2
{ c=− 1 )
解得 2 ，
d=2
1
∴直线BD的解析式为y=− x+2，
2
1 1
∴− x+2=− x2+x+4，
2 2
解得x =−1，x =4（舍去），
1 2
1 5
x=−1时，y=− ×(−1)+2= ，
2 2( 5)
∴D −1, ；
2
（3）解：①∵点P的横坐标为m，PE∥y轴交直线CB于点E，
∴E(m,−m+4)，
∴PE=|−m+4)，PA=m+2，
当04时，PE=m−4，
1 1
S= ×(m+2)×(m−4)= m2−m−4，
2 2
1
{ − m2+m+4(04)
2
②当04时，S随m的增大而增大，
1 9
当
m2−m−4=
时，
2 2
解得m=1+3❑√2或m=1−3❑√2（舍去），
9
综上所述，当03，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+1
时，求m的值；
(3)在第一象限的抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出点P的坐标；若不
存在，说明理由．
(3 25)
【答案】(1)y=−x2+3x+4，顶点D坐标为 ,
2 4
21 7+❑√17
(2)m＝ 或
4 2
(3)存在，P(3,4)
【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出B(4,0)，然后表示出P的坐标为 ( m− 3 ,−m2+6m− 11) ，然后分三种情况：①当点P在x
2 4
轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可；
（3）如图所示，在x轴的正半轴上取点E(1,0)，连接CE，过点B作BP∥CE交抛物线于点P，根据题意
得到∠PBC+∠ACO=45°，然后求出直线CE的解析式为y=−4x+4，直线PB的解析式为
y=−4x+16，然后和抛物线联立求解即可．
【规范解答】（1）将点A(−1,0)代入抛物线y=−x2+bx+4中
得0=−1−b+4
解得：b=3
∴抛物线解析式为y=−x2+3x+4=− ( x− 3) 2 + 25
2 4(3 25)
∴顶点D坐标为 , ；
2 4
（2）令−x2+3x+4=0
解得x =−1，x =4
1 2
∴B(4,0)
3
∵P的横坐标为m− 且m>3
2
3 3
∴m− >
2 2
∴将x=m− 3 代入y=−x2+3x+4=− ( m− 3) 2 +3 ( m− 3) +4=−m2+6m− 11
2 2 2 4
∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为 ( m− 3 ,−m2+6m− 11) ；
2 4
①如右图所示，当点P在x轴上方时，
3 3
则 4，即m>5.5
2
此时：m+1= y −y = 25 − ( −m2+6m− 11)
D P 4 4
7+❑√17 7−❑√17
解得：m = ，m = <5.5（舍去）
1 2 2 2
③当点P在x轴上时，
3
则m− =4，即m=5.5
2
25 21
此时：m+1= y −y （或y ）= ，解得：m= ≠5.5（舍去）
D A P 4 4
21 7+❑√17
综上所述，m= 或 ；
4 2
（3）存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，点P的坐标为(3,4)
理由如下：
如图所示，在x轴的正半轴上取点E(1,0)，连接CE，过点B作BP∥CE交抛物线于点P
∵A(−1,0)，E(1,0)，
∴∠ACO=∠ECO
∵BP∥CE，∴∠PBC=∠ECB，
∴∠PBC+∠ACO=∠ECB+∠ECO=∠BCO
∵OB=OC=4，∠BOC=90°
∴∠BCO=45°
∴∠PBC+∠ACO=45°
设直线CE的解析式为y=px+q，过C(0,4)，E(1,0)
∴直线CE的解析式为y=−4x+4
∵BP∥CE
∴设直线PB的解析式为y=−4x+n
将B(4,0)代入得0=−16+n
解得：n=16
∴直线PB的解析式为y=−4x+16
由−x2+3x+4=−4x+16
解得：x =3，x =4（舍去）
1 2
∴P(3,4)．
【考点剖析】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次
函数解析式，一次函数解析式是解题的关键．
11．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），Q为抛物线上第一象限内一点，若∠AQC=2∠BAQ，求点Q的坐标；
(3)如图（2），P为x轴上方一动点，直线PM,PN与抛物线均只有唯一公共点M,N，OH⊥MN于点H，
且△PAB的面积是10，求线段OH长度的最大值．
【答案】(1)y=−x2+2x+3；(5 7)
(2)点Q的坐标为 , ；
2 4
(3)OH长度的最大值为❑√10．
【思路引导】本题考查了二次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用函数思想转化角
度和线段的关系是解题的关键．
（1）代入A(−1,0)，B(3,0)到抛物线y=ax2+bx+3，求解a、b的值即可；
（2）过点Q作QM⊥y轴交y轴于点M，设Q(t,−t2+2t+3)，结合∠AQC=2∠BAQ得出CM=NM，
得出N(0,−2t2+4t+3)，代入直线AQ的解析式，解出t的值即可；
（3）设M(m,−m2+2m+3)，N(n,−n2+2n+3)，依据题意表示出直线PM和PN的解析式，再求出交
点P的坐标，结合△PAB的面积是10，得出m、n的关系式，代入直线MN解析式可得定点坐标，再利用
定点坐标确定OH长度的最大值即可．
{ a−b+3=0 )
【规范解答】（1）解：代入A(−1,0)，B(3,0)得： ，
9a+3b+3=0
{a=−1)
解得： ，
b=2
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．
（2）如图，过点Q作QM⊥y轴交y轴于点M，则∠CMQ=∠NMQ=90°，
设Q(t,−t2+2t+3)，则M(0,−t2+2t+3)，
∵QM⊥y轴，
∴QM∥x轴，
∴∠MQN=∠BAQ，
∵∠AQC=2∠BAQ，
∴∠AQC=2∠MQN，∴∠CQM=∠NQM，
又∵MQ=MQ，
∴△CQM≌△NQM，
∴CM=NM，
又∵C(0,3)，M(0,−t2+2t+3)，
∴N(0,−2t2+4t+3)，
∵A(−1,0)，
∴AQ:y=(3−t)x+3−t，
∴3−t=−2t2+4t+3，
5
解得：t =0（舍），t = ，
1 2 2
(5 7)
∴点Q的坐标为 , ．
2 4
（3）设M(m,−m2+2m+3)，N(n,−n2+2n+3)，
设PM的解析式为y=kx+p，
代入M(m,−m2+2m+3)得，−m2+2m+3=km+p，
∴p=−km−m2+2m+3，
∴y=kx−km−m2+2m+3，
{y=kx−km−m2+2m+3)
联立 ，
y=−x2+2x+3
消去y整理得：x2+(k−2)x−m2−km+2m=0，
∵PM与抛物线只有唯一公共点，
∴Δ=(k−2) 2−4(−m2−km+2m)=0，
整理得：(k+2m−2) 2=0，
解得：k=−2m+2，
∴PM:y=(−2m+2)x−m(−2m+2)−m2+2m+3=(−2m+2)x+m2+3，同理可得，PN:y=(−2n+2)x+n2+3，
(m+n
)
联立PM与PN可得交点P ,m+n−mn+3 ；
2
∵S =10，
△PAB
1
∴ AB⋅y =10，
2 P
∴y =5，
P
∴m+n−mn+3=5，
∴−m−n+mn=−2，
MN:y=(−m−n+2)x+mn+3，
当x=1时，y=−m−n+2+mn+3=−m−n+mn+5=−2+5=3，
即MN经过定点S(1,3)，
∵OH⊥MN，
∴OH≤OS=❑√10，
当OS⊥MN时，OH长度有最大值❑√10，
∴线段OH长度的最大值为❑√10．
12．（24-25九年级上·重庆南川·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过点
(2,−5)，交x轴于点A(−3,0)和点B．交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点．连接PA，PC．求△PAC面积最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线y′与x轴的负半轴交于点M．点
N为平移后的新抛物线上一动点，当∠NMB=∠CAB．请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)y=−x2−2x+327 ( 3 15)
(2) ，P − ,
8 2 4
(3)(2,3)或(4,−5)
【思路引导】（1）将点A的坐标和(2,−5)代入解析式，即可求解；
（2）过点P作PD⊥x轴，交x轴于D，交BC于E，待定系数法求得直线AC的解析式为y=x+3， 设
x =m，P(m,−m2−2m+3)，E(m,m+3)，则有PE= y −y =−m2−3m，由S =S +S
P P E △PAC △PAE △PCE
及二次函数的性质即可求解；
（3）由二次函数图象平移得y′=−(x−1) 2+4，①当∠N MB=∠CAB时，由平行线的判定方法得
1
M N ∥AC，由待定系数法得直线M N 的解析式为y=x+1，联立二者解析式，即可求解；②当
1 1
∠N MB=∠CAB时，直线M N 与直线M N 关于x轴对称，直线M N 经过N 关于x轴对称点(2,−3)，
2 1 2 2 1
同理可求．
【规范解答】（1）解：由题意得
{4a+2b+3=−5)
，
9a−3b+3=0
{a=−1)
解得： ，
b=−2
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
（2）解：如图，过点P作PD⊥x轴，交x轴于D，交BC于E，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有
{−3k+b=0)
，
b=3
{k=1)
解得： ，
b=3∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵ A(−3,0)，
∴OA=3，
设x =m，
P
∴P(m,−m2−2m+3)，
E(m,m+3)，
∴PE= y −y
P E
=−m2−2m+3−(m+3)
=−m2−3m，
∴S =S +S
△PAC △PAE △PCE
1 1
= PE⋅AD+ PE⋅OD
2 2
1
= PE⋅(AD+OD)
2
1
= PE⋅OA
2
1
= (−m2−3m)×3
2
3 9
=− m2− m，
2 2
∵点P是直线AC上方抛物线上一动点，
∴ −30)，与x轴交于A，B
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，点A(−1,0)．(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)若抛物线L的顶点为D，抛物线的对称轴交直线BC于点E，点P为直线DE右侧抛物线上一点，点Q在
直线BC上，是否存在以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线L的函数表达式为y=x2−2x−3；
(3+❑√17 −3+❑√17)
(2)存在，点Q的坐标为(2,−1)或 , 或(0,−3)．
2 2
【思路引导】（1）由A(−1,0)，OB=OC=3OA，OB=OC=3，求出B(3,0)，C(0,−3)，然后利用待
定系数法即可求解；
（2）先求出直线BC解析式为y=x−3，设Q(m,m−3)，P(n,n2−2n−3)(n>1)，则分当DE为边时，
四边形EDP Q 为平行四边形时；当DE为边时，四边形EDQ P 为平行四边形时；当DE为对角线时，
1 1 2 2
四边形EP DQ 为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解；
3 3
本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识
点的应用是解题的关键．
【规范解答】（1）解：∵A(−1,0)，
∴OA=1，
∵OB=OC=3OA，
∴OB=OC=3，
∴B(3,0)，C(0,−3)，
∵抛物线L:y=ax2+bx+c(a>0)，与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，
{
a−b+c=0
) {
a=1
)
∴ 9a+3b+c=0 ，解得： b=−2 ，
c=3 c=−3∴抛物线L的函数表达式为y=x2−2x−3；
（2）解：存在点Q，理由如下，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴设直线BC解析式为y=k x+b ，
1 1
{3k +b =0) { k =1 )
∴ 1 1 ，解得： 1 ，
b =−3 b =−3
1 1
∴直线BC解析式为y=x−3，
∵点Q在直线BC上，
∴设Q(m,m−3)，
∵点P为直线DE右侧抛物线上一点，
设P(n,n2−2n−3)(n>1)，
由抛物线L的函数表达式为y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴D(1,−4)，
∴当x=1时，y=1−3=−2，
∴E(1,−2)，
当DE为边时，四边形EDP Q 为平行四边形时，如图，
1 1
{ 1+m=1+n )
由中点坐标可得： ，
m−3+(−4)=n2−2n−3−2
{m=2) {m=1)
解得： 或 （舍去），
n=2 n=1
∴点Q (2,−1)；
1
当DE为边时，四边形EDQ P 为平行四边形时，如图，
2 2{ 1+m=1+n )
由中点坐标可得： ，
m−3+(−2)=n2−2n−3−4
{ m=
3+❑√17
) { m=
3−❑√17
)
2 2
解得： 或 （舍去），
3+❑√17 3−❑√17
n= n=
2 2
(3+❑√17 −3+❑√17)
∴点Q , ；
2 2 2
当DE为对角线时，四边形EP DQ 为平行四边形时，如图，
3 3
{ 1+1=m+n )
由中点坐标可得： ，
−2−4=n2−2n−3+m−3
{m=0) {m=1)
解得： 或 （舍去），
n=2 n=1
∴点Q (0,−3)，此时与点Q重合；
3(3+❑√17 −3+❑√17)
综上可知：点Q的坐标为(2,−1)或 , 或(0,−3)．
2 2
18．（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数
1
y=−2x−1与y轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数y= x+b的图象上．
2
(1)求b的值；
(2)若一次函数y=−2x−1与一次函数y=−x交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点
对应的二次函数表达式；
(3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形PBQC为菱形时，求点P
的坐标．
【答案】(1)b=1；
(2)y=x2−x−1；
(3)(1−❑√2,1−❑√2)或(1+❑√2,1+❑√2)；
【思路引导】此题考查二次函数和一次函数综合题，准确求出二次函数表达式是解题的关键．
1
（1）由一次函数y=−2x−1与y轴交于点A，得A(0,−1)，则D(0,1)，再把点D(0,1)代入y= x+b求
2
出b值；
（2）通过由两个一次函数组成方程组求出点B的坐标，再由对称知识求出点C的坐标，后将A、B、C三
点坐标代入即可；
（3）求出直线BC、PQ的解析式，再联立解得点P的坐标．
【规范解答】（1）解：∵一次函数y=−2x−1与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点D在一次函数
1
y= x+b的图象上，
2
∴点A坐标为(0,−1)，∴点D坐标为(0,1)，
1
∵点D在一次函数y= x+b的图象上，
2
1
∴1= ×0+b，
2
∴b=1；
{y=−2x−1) {x=−1)
（2）解：由方程组 ，解得 ，
y=−x y=1
∴B点坐标为(−1,1)，
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为(1,−1)，
∵一次函数y=−2x−1与y轴交于点A，
∴A点坐标为(0,−1)，
设二次函数对应的函数表达式为y=mx2+nx+p，
{
−1=p
) {
m=1
)
把A，B，C三点的坐标分别代入，得 1=m−n+p ，解得 n=−1 ，
−1=m+n+p p=−1
∴二次函数对应的函数表达式为y=x2−x−1；
（3）当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，
∵直线BC对应的函数表达式为y=−x，
∴直线PQ对应的函数表达式为y=x．
{ y=x )
联立方程组 ．
y=x2−x−1
{x=1−❑√2) {x=1+❑√2)
解得 或 ，
y=1−❑√2 y=1+❑√2
∴P点坐标为(1−❑√2,1−❑√2)或(1+❑√2,1+❑√2)；
19．（22-23九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，该三角形的三个顶
点均在坐标轴上．二次函数y=ax2+bx+c过A(−1,0)，B(0,2)，C(4,0)．(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
(3)M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标．
1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+2
2 2
(2)P(2,3)
(−5+❑√41 ) (−5−❑√41 )
(3)N点坐标为(1,0)或 ,0 或 ,0 或(7,0)
2 2
【思路引导】本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函
数的图像与性质、平行线的性质等知识，难度较大，解题关键是综合运用数形结合的思想和分类讨论的思
想分析问题．
（1）利用待定系数法解二次函数解析式即可；
1
（2）利用待定系数法解得直线BC的函数解析式为y=− x+2，过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设
2
P ( t,− 1 t2+ 3 t+2 ) ，则Q ( t,− 1 t+2 ) ，可得S= 1 ×4× ( − 1 t2+2t ) =−t2+4t=−(t−2) 2+4，利用
2 2 2 2 2
二次函数的图像与性质即可获得答案；
（3）分BC为平行四边形的对角线；BM为平行四边形的对角线；BN为平行四边形的对角线，分别作出
图形求解即可．
【规范解答】（1）解：将A(−1,0)，B(0,2)，C(4,0)代入y=ax2+bx+c，
∴¿，
1
{ a=− )
2
解得 ，
3
b=
21 3
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+2；
2 2
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+2，
1
∴4k+2=0，解得k=− ，
2
1
∴直线BC的解析式为y=− x+2，
2
过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P ( t,− 1 t2+ 3 t+2 ) ，则Q ( t,− 1 t+2 ) ，
2 2 2
1 3 1 1
∴PQ=− t2+ t+2+ t−2=− t2+2t，
2 2 2 2
∴S= 1 ×4× ( − 1 t2+2t ) =−t2+4t=−(t−2) 2+4，
2 2
当t=2时，△BCP的面积最大，此时P(2,3)；
（3）设M ( m,− 1 m2+ 3 m+2 ) ，N(n,0)，
2 2
1 3
当BC为平行四边形的对角线时，4=m+n，2=− m2+ m+2，
2 2
解得m=0，n=4（舍）或m=3，n=1，
∴N(1,0)；
1 3
当BM为平行四边形的对角线时，m=4+n，0=− m2+ m+4，
2 2
3+❑√41 −5+❑√41 3−❑√41 −5−❑√41
解得m= ，n= 或m= ，n= ，
2 2 2 2(−5+❑√41 ) (−5−❑√41 )
∴N ,0 或 ,0 ；
2 2
1 3
当BN为平行四边形的对角线时，n=4+m，2=− m2+ m+2，
2 2
解得m=0，n=4（舍）或m=3，n=7，
∴N(7,0)；
(−5+❑√41 ) (−5−❑√41 )
综上所述：N点坐标为(1,0)或 ,0 或 ,0 或(7,0)．
2 2
20．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4与x轴交于点A，
1
与y轴交于点B，抛物线y=− x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C，D为抛物线上的一个
2
动点，连接BC，BD，AD．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在直线AB上方时，求△ABD面积的最大值；
(3)当点D在y轴右侧时：
①连接CD，当△BCD的面积是△OBC面积的一半时，直接写出点D的坐标______；
②设E(1,m)是抛物线对称轴上一动点，当A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合
条件的m的值．
1
【答案】(1)y=− x2+x+4
2
(2)4
3 1
(3)①(❑√5−1,2❑√5)；② 或
2 2
【思路引导】（1）先求出直线与坐标轴交点A，B的坐标，再代入抛物线解析式求出b，c的值．
（2）过点D作DF⊥x轴交AB于点F，设F点的横坐标为m，则F(m,−m+4)，得到点D的坐标为( m,− 1 m2+m+4 )，通过三角形面积公式表示出 △ABD 面积，再根据二次函数性质求最大值．
2
（3）①先求出△OBC面积，再根据△BCD面积与△OBC面积关系求出点D纵坐标，进而求出横坐标．
②分二种情况，根据平行四边形对边平行且相等的性质，利用点的坐标关系求出m的值．
【规范解答】（1）对于直线y=−x+4，当y=0时，−x+4=0，解得x=4，
∴ A(4,0)；
当x=0时，y=4，
∴ B(0,4)，
1
把A(4,0)，B(0,4)代入y=− x2+bx+c得：
2
{ − 1 ×42+4b+c=0)
2 ，
c=4
1
将c=4代入− ×42+4b+c=0，
2
得−8+4b+4=0，4b=4，解得b=1，
1
∴抛物线解析式为y=− x2+x+4；
2
（2）过点D作DF⊥x轴交AB于点F，设F点的横坐标为m，把x=m代入y=−x+4得y=−m+4，
∴ F(m,−m+4)．
∴点D的坐标为 ( m,− 1 m2+m+4 ) ，
2
∴ DF= ( − 1 m2+m+4 ) −(−m+4)=− 1 m2+2m
2 2
∵ S =S +S
△ABD △BDF △ADF1 1
S = ×DF×m，S = ×DF×(4−m)．
△BDF 2 △ADF 2
1 1 1 1
∴ S = ×DF×m+ ×DF×(4−m)= ×DF×(m+4−m)= ×DF×4
△ABD 2 2 2 2
1
将DF=− m2+2m代入，
2
1
∴ S = ×DF×4=−(m−2) 2+4，
△ABD 2
∴ △ABD面积的最大值最大值是4；
1 1
（3）①抛物线y=− x2+x+4，令y=0，即− x2+x+4=0，
2 2
解得x =4,x =−2，
1 2
∴ C(−2,0)．
1
S = ×2×4=4，
△OBC 2
∵ △BCD的面积是△OBC面积的一半，
∴ S =2，
△BCD
过点D作DH⊥x轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n，
∴H点坐标为(n,0)，D ( n,− 1 n2+n+4 ) ，
2
∴ DH= ( − 1 n2+n+4 )
2
∵ S +S =S +S
△BCD △CDH 梯形OBDH △OBC
∴ S =S +S −S
△BCD 梯形OBDH △OBC △CDH
∵ S = 1 (OB+DH)·OH= 1( 4− 1 n2+n+4 ) ·n
梯形OBDH 2 2 21 1 1
∵ S = CH·DH= ·(n+2)·(− n2+n+4)
△CDH 2 2 2
代入化简解得n=❑√5−1，
代入抛物线得y=2❑√5，
∴ D(❑√5−1,2❑√5)；
②由题意A(4,0)，B(0,4)
当AB是对角线时，如图，BE∥AD，BE=AD
由E(1,m)及平移得，D(3,−m+4)
1 3
代入y=− x2+x+4，解得m= ；
2 2
当AB是平行四边形的边时，如图，BE∥AD，BE=AD
由E(1,m)及平移得，D(5,−4+m)
1 3
代入y=− x2+x+4，解得m= ；
2 2
1
解得m=
2
3 1
∴ m的值是 或 ．
2 2
【考点剖析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，三角形面积计算，平行四边形的性质等，解题的
关键是熟练掌握函数的性质，利用相关公式和性质建立方程求解．
题型6：相似三角形问题（二次函数综合）
21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线
1
y=− x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一
2个交点为点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线AB上方抛物线上是否存在点M，使得△MAB的面积等于3，若存在，写出点M的坐标，
若不存在，请说明理由．
(3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，记
S
△ADP，△ADO的面积分别为S ，S ，求 1 的最大值．
1 2 S
2
1
【答案】(1)y=− x2−x+4
2
( 9) ( 5)
(2)存在，M −1, ，M −3,
2 2
1
(3)
2
【思路引导】（1）由直线y=x+4与两坐标的交点可得A(−4,0)，B(0,4)，然后利用待定系数法求解即可；
（2）在图1中，过点M作MN∥OB交直线AB于点N，设M ( t,− 1 t2−t+4 ) ，则N(t,t+4)，−40
6±2❑√3
∴m= ，
4
3+❑√3 3−❑√3
解得，m = ,m = ，
1 2 2 2
3+❑√3 (3+❑√3) 2 3+❑√3 ❑√3−6 (3+❑√3 ❑√3−6)
当m= 时，y= −2× −3= ，即P , ，
2 2 2 2 2 23−❑√3 (3−❑√3) 2 3−❑√3 −❑√3−6 (3+❑√3 −❑√3−6)
当m= 时，y= −2× −3= ，即P , ，
2 2 2 2 2 2
(3+❑√3 ❑√3−6) (3+❑√3 −❑√3−6)
综上所述，当OG=2PG时，点P的坐标为 , 或 , ；
2 2 2 2
（3）解：①二次函数y=x2−2x−3的图像如图所示，设顶点坐标为E，点B关于对称轴对称的点为F，
∴对称轴直线为x=1，即E(1,−4)
由题意可得，P(m,m2−2m−3)，抛物线在点B与点P之间的部分包含点B和点P，
∴0≤m<3，
令y=−3时，x2−2x−3=−3，
解得，x =0,x =2，
1 2
∴点B关于对称轴对称的点的坐标为F(2,−3)，
当0≤m<1时，d=0−(−3)=3,n=0−(m2−2m−3)=−m2+2m+3，
∴F=3−(−m2+2m+3)=m2−2m(0≤m<1)；
当1≤m≤2时，d=0−(−3)=3,n=0−(−4)=4，
∴F=3−4=−1(1≤m<2)；
当2
