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期末综合试题 2025-2026学年上学期
初中数学人教版九年级上册期末复习
一、单选题
1．剪纸是中国古老的民间艺术之一．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．方程 的两根为 、 ，则 等于（ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
4．如图所示的是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅲ”所在区域
内的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中， 是以点 ）为圆心， 为半径的圆．则下列说法正确的是
（ ）
A．原点 在 外 B．原点 在 内
C．原点 在 上 D．无法确定
6．对于抛物线 ，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．与y轴相交于点 D．顶点坐标是
7．如图， 是 的直径，C，D是 上的点，过点C作 的切线交 的延长线于点E，
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
8．若点 都在二次函数 的图象上，则 的大
小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 中 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，这时点B、C、D
恰好在同一直线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 是 的弦， 是 上的一个动点，且 ，若M，N分别是 ，
的中点，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、填空题
11．抛物线 的顶点坐标是 ．
12．在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为 ．则 .
13．如图， 是 的内切圆且与 ， ， 相切于点 ， ， ，若 ， ，，则 的周长为 ．
14．如图， 是直径，点C是 中点，四边形 内接于 ，若 ，则
．
15．已知正方形的边长为 ，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图的面积
为 ．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
17．抛物线 与 轴的公共点是 ，求这条抛物线的顶点坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)画出 关于原点O对称的 ；
(2)画出 绕原点O顺时针旋转 得到的 ，并写出点 的坐标．
19．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯．已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯．
4
3
2
1
车库
(1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______；
(2)请你用列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率．
20．已知关于 的方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为 和 ，当 时，求 的值．
21．如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的
延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．
22．如图，已知 是圆 的直径， 是圆 的弦， 交 于 ，过点 作圆 的切
线交 的延长线于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
23．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单
价x（元）之间满足一次函数关系： ，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50
元．
(1)销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润；
(2)若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元?最大利润为多少元?
24．如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线
经过A，B两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作 轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上一动点（点P在AC上方），作
轴交AB于点 ．当点P在什么位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)当 时，函数 的最大值为2，求t的值．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D C D A C C C
1．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕
着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
这个点就是它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的
整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵ 是一元二次方程，
∴ ，
解得 ，
故选A．
3．C
【分析】根据对于一元二次方程，当 时，两根之和为 即可求出答案．
【详解】∵由于 ，∴ ，故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
4．D
【分析】直接利用“Ⅲ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．
【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是： ，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键．5．C
【分析】根据勾股定理计算出 的长度，与 的半径相比较，即可判断求解，本题考查了点与圆
的位置关系，解题的关键是：熟练根据点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系．
【详解】
解： 点 的坐标是 ，
,
而 的半径为 ，
等于圆的半径，
点 在 上，
故选： ．
6．D
【分析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标和对称轴，
判断即可．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标是 ，
故选项A、B错误，D正确；
令 ，所以与y轴相交于点 ，故选项C错误；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称
轴、顶点坐标与y轴的交点．
7．A
【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题
的关键．连接 ，根据切线的性质可知 ，再由直角三角形的性质得出 的度数，
由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：连接 ，∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式的特点，确定其开口方向和对称
轴，根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点 都在二次函数 的图象上， ，
∴ ，
故选：C．
9．C
【分析】根据图象旋转的性质，得AB=AD，∠BAD=150°，从而得∠B=15°，结合∠ADE=∠B=15°，
∠DAE= ，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
∴AB=AD，∠BAD=150°，
∴∠B=∠ADB=(180°-150°)÷2=15°，
∴∠ADE=∠B=15°，∠DAE= ，
∴ =180°-100°-15°=65°．
故选C．
【点睛】本题主要考查旋转变换的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定，勾股定理，圆周角定理等知识
点，解题的关键是了解当什么时候 的值最大，根据中位线定理得到 的长最大时， 最大，
当 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【详解】解： 点 ， 分别是 ， 的中点，，
当 取得最大值时， 就取得最大值，当 是直径时， 最大，
如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
是 的直径，
，
， ，
，
，
，
由勾股定理得， ，
，
故选： ．
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的一般式与顶点式之间的转换是解题的关键，
利用配方法将二次函数的一般式转换成顶点式，根据顶点式的特点即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标是 ．
故答案为： ．
12．1
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标横纵坐
标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称，得到 ， ，再代入计算乘方即可．
【详解】解：点 关于原点对称的点为 ，
， ，，
故答案为：1．
13．
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出
三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【详解】解： 是 的内切圆，且与 ， ， 相切于点 ， ， ，
， ， ，
，
，
，
的周长为 ，
故答案为： ．
14． / 度
【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．连接 ，根据
圆周角定理得到 ， ，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，
点 为劣弧 的中点， ，
，
为 的直径，
，
，
故答案为： ．
15． πa2-a2．
【分析】仔细分析图形可得阴影部分的面积等于2个以 为直径的圆的面积的和再减去1个以 为边
长的正方形的面积.【详解】解:由图可得阴影部分的面积
故答案为: πa2-a2．
【点睛】本题考查圆、正方形的面积公式，解题的关键是读懂题意及图形，找到阴影部分的面积等
于2个以 为直径的圆的面积的和再减去1个以 为边长的正方形的面积的规律.
16．(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的方法．根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．
（1）根据方程的特点利用因式分解法来解答，先对其变形，再结合提公因式进行因式分解可得
，至此问题即可迎刃而解；
（2）先确定方程中的a、b、c分别是什么数，再求判别式判别式的值，然后根据求根公式解方程即
可.
【详解】（1）解： ，
移项，得 ，
提公因式，得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ，
这里 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．17．
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，配方法求顶点坐标，掌握待定系数法求解析式，配方
法的运用是解题的关键．
运用待定系数法求出 的值，再求出抛物线的解析式，运用配方法即可求解．
【详解】解：依题意得： ，
解得： ，
解析式为： ，
配方得： ，
顶点坐标为： ．
18．(1)作图见解析
(2)作图见解析；
【分析】本题考查作中心对称图形，作旋转图形，掌握中心对称图形与旋转图形是解题的关键．
（1）根据关于原点对称点的坐标变化得到 的三个顶点关于原点O的对称点 ， ， 的坐
标，再在坐标系中描出点 ， ， ，依次连接即可得到 ；
（2）根据旋转的性质作出点 ， ， ，依次连接即可得到 ，由平面直角坐标系直接写出
点 的坐标．
【详解】（1）解：∵ ， ， ， 与 关于原点O对称，
∴ ， ， ，
∴如图， 即为所求．（2）解：如图， 为所求．
点 的坐标为 ．
19．(1)
(2)见解析，
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表得出所有等可能的结果数以及甲、乙在相邻楼层出电梯的结果数，再利用概率公式可得出
答案．
【详解】（1）解：由题意得，乙在 层出电梯的概率为 ，
∴乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 ．
故答案为： ．（2）解：列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
一共出现16种等可能的结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的结果有6种，
（甲、乙在相邻楼层出电梯） ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答
本题的关键．
20．（1） ；（1）1.
【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，由此可得关于k的方程，解方程即
可得.
【详解】(1)当 时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，
当 时，方程是一元二次方程，由题意得
，
解得： ，
综上， 的取值范围是 ；
(2) 和 是方程 的两根，
， ，
，
，
解得 ，经检验： 是分式方程的解，且 ，
答： 的值为 .
【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解
题的关键.
21．（1）∠BDE＝90°；（2）DF＝PF，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质即可求得结果；
（2）由旋转的性质可得∠ACE=∠ADB=45゜，则易得∠FPD=∠DAC+∠ACE=∠CDF+∠ADB=∠FDP，
从而可得DF=PF．
【详解】（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE=∠B，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）DF＝PF．理由如下：
由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌
握旋转的性质．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据平行线的性质得到 ，由圆周角定理得到
，根据线段垂直平分线的性质得到 ，求得 ，根据切线的性
质得到 ，求得 ，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是圆 的直径，∴ ，
∴ ，由垂径定理得 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ 为圆 的切线， 是半径，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 是圆 的半径，
∴ 是圆 的切线；
（2）解：在 中， ，
∴ ，又 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出
辅助线是解题的关键．
23．(1)销售单价为40元时，每天能获得800元的利润；
(2)若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元．
【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解；（2）设商品的利润为w元，得到w与x的二次函数关系式并配成顶点式，根据自变量取值范围和二
次函数的性质，即可求出当x=50时，w有最大值，此时w=1200，问题得解．
【详解】（1）解：由题意得 ，
整理得 ，
解得 ，
由题意得 ，
∴ 不合题意，舍去，
∴ ，
答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润；
（2）解：设商品的利润为w元，由题意得
（ ），
∵-2＜0，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∴当x=50时，w有最大值，此时w=1200，
答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，熟知二次函数的性质，根
据题意正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解题关键，解题时一定要注意商品单价的取值范
围．
24．(1)
(2)点P的坐标为 ；最大面积为
(3) 或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识
是解题的关键．
（1）先利用一次函数求出A、B的坐标，然后把A、B坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（2）先求出点C坐标为 ，设点P的坐标为 ，点D的坐标为 ．证明，则 ，据此求解即可；
（3）先求出 时，y的值最大，最大值为4，然后分两种情况求解即可．
【详解】（1）对于 ，当 时， ；
当 时， ，
所以 ，
将 ， 代入抛物线的解析式，得
解得
所以抛物线的解析式为
（2）抛物线的对称轴为直线
由 轴可得点C的坐标为
设点P的坐标为 ，则由 轴可得点D的坐标为
因为 轴， 轴，
所以 ，
所以可得
．
因为 ，所以当 时， 有最大值
当 时， ，此时
故点P的坐标为 时，四边形APCD的面积最大，最大面积为（3）
因为 ，所以当 时，y取得最大值，最大值为
又当 时，函数 的最大值为2，
所以根据二次函数的增减性，分两种情况讨论：
①当 ，即 时， ，
解得 ， 舍去 ；
②当 时， ，
解得 ， 舍去
综上所述，t的值为 或
