文档内容
专项突破05 实际问题与二次函数
（8种高频考察题型 共32题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：根据实际问题列出二次函数关系式.......................................1
知识点梳理02：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值.................................2
知识点梳理03：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题.............................2
知识点梳理04：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹）...............3
知识点梳理05：利用二次函数解决利润最大化问题.......................................3
优选题型 考点讲练......................................................................4
题型1：图形问题（实际问题与二次函数）..............................................4
题型2：图形运动问题（实际问题与二次函数）..........................................7
题型3：拱桥问题（实际问题与二次函数)...............................................9
题型4：销售问题（实际问题与二次函数)..............................................12
题型5：投球问题（实际问题与二次函数)..............................................15
题型6：喷水问题（实际问题与二次函数)..............................................18
题型7：增长率问题（实际问题与二次函数）...........................................22
题型8：其他问题（实际问题与二次函数)..............................................23
知识点梳理01：根据实际问题列出二次函数关系式
1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。
2.设元：选择一个适当的变量（通常设为 x）表示问题中的一个未知量，并根据题意用含 x 的代数
式表示其他相关的未知量。
3.列关系式：根据题目中的等量关系（如面积公式、利润公式、物理公式等），列出关于 x 的二次
函数关系式 y=ax2+bx+c（a≠0）。
4.确定自变量取值范围：根据实际问题的意义，确定自变量 x 的取值范围（使实际问题有意义，如
长度不能为负，人数不能为小数等）。易错点提示：
1.等量关系找错：未能准确理解题目中的数量关系，导致列出的函数关系式错误。
2.自变量取值范围忽略：只注重列出函数关系式，而忽略了自变量 x 在实际问题中的取值限制，导
致后续求解没有实际意义。
3.单位不统一：在列关系式前，未将所有已知量的单位统一，导致计算错误。
4.表达式不是二次函数：有时可能由于分析错误，列出的表达式不是二次函数，而是一次函数或其他
函数。
知识点梳理02：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值
1.配方或公式法求顶点：对于列出的二次函数 y=ax2+bx+c，可以通过配方转化为顶点式
b 4ac−b2
y=a(x−h) 2+k，或者直接利用顶点坐标公式 (− , ) 求出顶点坐标。
2a 4a
2.判断最值：
4ac−b2
（1）当 a>0 时，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为 k（或 ），此时自变量
4a
b
x=h（或 − ）。
2a
4ac−b2
（2）当 a<0 时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为 k（或 ），此时自变量
4a
b
x=h（或 − ）。
2a
3.结合实际意义：求出的顶点横坐标 x 必须在其取值范围内，此时顶点纵坐标才是实际问题的最
值。若不在，则需根据函数在自变量取值范围内的增减性，在端点处取得最值。
易错点提示：
1.配方或计算顶点坐标出错：配方过程中符号出错，或使用顶点坐标公式时计算失误。
2.忽略自变量取值范围对最值的影响：盲目认为顶点处就是最值，而没有检验顶点的横坐标是否在实
际问题所允许的自变量取值范围内。若不在，则最值应在自变量取值范围的端点处取得。
3.混淆最大值与最小值：忘记根据二次项系数 a 的符号来判断函数有最大值还是最小值。
4.最值单位书写：求出的最值是一个具体的数值，要注意带上相应的单位。
知识点梳理03：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题
1.常见模型：如长方形、正方形、三角形、梯形等图形的面积问题，或利用一面墙围矩形、用定长铁丝围图形等。
2.关键步骤：
（1）设出一个适当的自变量（通常是图形的边长、宽、高或变化的长度等）。
（2）根据图形的性质和题目条件，用含自变量的代数式表示出与面积相关的其他边长或维度。
（3）根据面积公式列出二次函数关系式。
（4）求出函数的最值及对应的自变量的值，并检验是否符合实际意义。
易错点提示：
1.图形几何关系分析错误：未能正确用自变量表示出图形的其他边长，导致面积关系式列错。例如，
在“靠墙围矩形”问题中，忽略了只有三边用材料。
2.自变量取值范围考虑不周：例如，边长不能为负数，围成的图形各部分长度要符合实际。
3.面积公式记错：如梯形面积公式、三角形面积公式等。
知识点梳理04：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹）
1.常见模型：物体做斜抛运动（忽略空气阻力时轨迹为抛物线）、抛物线形桥梁、隧道、拱门等。
2.关键步骤：
（1）建立平面直角坐标系：选择合适的原点、x轴和y轴，通常以抛物线的对称轴为y轴，或物体抛
出点为原点等，使函数关系式形式最简。
（2）根据已知条件（如顶点坐标、与坐标轴交点坐标等）求出函数关系式。
（3）利用函数关系式解决问题：如求最大高度、达到某一高度的时间、落点位置、宽度等。
易错点提示：
1.坐标系建立不当：导致函数关系式复杂或无法求解。
2.坐标意义理解错误：混淆点的横纵坐标所代表的实际意义（如时间、高度、水平距离）。
3.未能正确使用已知点坐标求函数解析式：代入点坐标计算错误。
4.单位换算问题：如时间单位（秒、分）、长度单位（米、厘米）等。
5.忽略实际情境对自变量取值的限制：例如，时间不能为负，高度不能为负。
知识点梳理05：利用二次函数解决利润最大化问题
1.基本关系：总利润 = （每件商品的利润）×（销售量），或 总利润 = 总收入 - 总成本。
2.关键步骤：
（1）设出一个自变量（通常是每件商品的涨价或降价金额，或销售单价）。
（2）用含自变量的代数式表示出每件商品的利润和销售量（销售量往往与单价有关，单价变化会引
起销售量反方向变化）。（3）根据总利润公式列出二次函数关系式。
（4）求出利润的最大值及对应的自变量的值（如最佳涨价/降价金额、最佳销售单价）。
易错点提示：
1.“每件利润”和“销售量”的表达式错误：特别是销售量随价格变化的关系，容易弄错增减性或比
例系数。
2.自变量的实际意义混淆：例如，设的是“涨价x元”还是“售价为x元”要清晰。
3.忽略自变量的实际取值范围：如售价不能过高或过低，销售量不能为负数。
4.计算错误：利润关系式往往涉及多项，展开和化简时容易出错。
题型1：图形问题（实际问题与二次函数）
1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏
（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
(1)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(2)矩形围栏ABCD面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏BC的长；不存在，请说明理由．
2．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园
内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱
笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边
AB长为x米．
(1)求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米；
(2)求垂直于墙的篱笆边AB长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？
3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在周长为18的矩形ABCD中，点E，F分别在边
AB,CD上（均不与顶点重合），CF=1,DF=2BE，设BE=x，梯形AECF的面积为S．
(1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
(2)当x=2,3时，对应的梯形AECF的面积分别为S ,S ，比较S ,S 的大小，并说明理由．
1 2 1 2
(3)求S的最大值．
4．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P从点A
出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交
直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，点P运动时间为t（秒）．
(1)当点M与点B重合时，t=_______秒；
(2)当t为何值时，△APQ与△BMF全等；
(3)求S与t的函数关系式．
题型2：图形运动问题（实际问题与二次函数）
5．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=12cm，
点P沿CA方向以1cm/s的速度从点C向点A运动，同时点Q沿BC方向以2❑√3cm/s的速度从点B向点C
运动，当点Q运动到点C时，点P也停止运动．(1)当运动时间为ts时，则CQ=_____cm，CP=____cm．
(2)当t为何值时，△PCQ的面积为2❑√3cm2？
(3)求四边形ABQP面积的最小值．
6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在△BEF中，∠BFE=90°，EF=BF=2，正方形
ABCD的边BC与BF在同一条直线上，AB=2，将△BEF沿BC平移，当点F与点C重合时，停止平移．
设点B平移的距离为x，△BEF与正方形ABCD重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还
有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x−1最小值．
解：
x2+6x−1=x2+2×3x+32−32−1 =(x+3) 2−10无论 取何实数，总有 ．
∵ x (x+3) 2≥0
，
∴(x+3) 2−10≥−10
即x2+6x−1的最小值是-10．
即无论x取何实数，x2+6x−1的值总是不小于−10实数．
问题：
(1)已知 ，则 有___________（最大或最小）值为___________
y=−5(x−3) 2+4 y
知识迁移：
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6cm，BC=4cm，点P在边AC上，从点A向点C以3cm/s
的速度移动，点Q在CB边上以2cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终
点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．
8．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2cm，动
点P，Q同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向均以1cm/s的速度匀速运动，连接PQ，以PQ
为边向下作正方形PQMN，设点P运动的时间为xs(x>0)，正方形PQMN与△ABC重叠部分的面积为ycm2．（注：无重叠时，重叠部分面积看作0cm2）
(1)当点M落在线段BC上时，求x的值．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
题型3：拱桥问题（实际问题与二次函数)
9．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．
(1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式．
(2)水面下降1m，水面宽度增加多少？
10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下
是一条宽 200m的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家
的建议，以二次函数y=ax2+k的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32m处各
设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60m，求河面距公路桥的最大高度OE= m．11．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽AB=12m时，桥洞
顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐
标系．
(1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式；
1 3 16
(2)如图2，若拱桥上的路面E−D−F也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：y=− x2+ x+ ．
20 5 5
①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离CD的长度；
②已知桥上路面起点E的横坐标为−2，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还
是下方？并说明理由．
12．（2025·贵州遵义·二模）一座桥如图，桥下水面宽度AO是20米，高CD是4米．如图，若把桥看
作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．(1)求抛物线的解析式；
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(3)如图2，桥拱所在的函数图象是抛物线 ，该抛物线在 轴下方部分与桥拱 在
y=ax2+bx+c(a≠0) x ODA
平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度．
1
①平移后的函数图象与直线y= x−16没有交点，结合函数图象，直接写出m的取值范围__________．
2
1
②直接写出当m=__________时，平移后的函数图象与直线y= x−16有三个交点．
2
参考公式：
(x−y−z) 2=x2+ y2+z2−2xy−2xz+2yz
题型4：销售问题（实际问题与二次函数)
13．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由
粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，
B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒
价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变）
(1)若每盒礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为y 元和y 元，请求出y 、y 与x
A B A B
之间的函数关系式；
(2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的
利润之和最大？最大是多少元？
14．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）综合与实践
【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、
顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允
许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5米－6.5米．
【数据收集】我市某小区地下车库分为A、B、C、D、E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22
米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租
金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月
租金上涨金额为y元．
【建立模型】（1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544m2时，通过计算判断车道宽度是否
符合标准?
（2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入
为10125元?
【拓展应用】（3）由于租金过高，车位租出个数相应减少，小区物业决定将车位月租金上涨金额控制在不低于5元且不
高于15元，则当E区域每个停车位月租金上涨多少元时，该区域的月租金收入最大?最大值是多少元?
15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利
3
900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的 倍．
2
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天
可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的
利润最大？最大利润是多少元？
16．（24-25九年级上·山西朔州·期中）项目化学习
项目主题：大同黄花的最优销售单价
项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国
内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
收集数据：
黄花销售
单价x
… 92 96 100 104 108 …
（元/千
克）
每月销售
数量y … 880 840 800 760 720 …
（千克）
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
(1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的______函数
（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为______．
(2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？
(3)若要使每月销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润．
题型5：投球问题（实际问题与二次函数)
17．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）苍南队在浙BA训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物
1 3 5
线y=− x2+ x+ ，篮球出手至入筐过程中的水平距离OA长为 米．
16 8 218．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y
1 2 5
（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=− x2+ x+ ．
12 3 3
(1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度；
(2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分；
(3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距
离x（米）的函数解析中a、b、c的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要
的数据，通过计算验证你的结论．
19．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，x轴上依次有A,B,C,D,E,F六个点，且
AB=BC=CD=DE=EF=2，从点A处向右上方沿抛物线y=−x2+4x+12发出一个发光的点P．
(1)在图中补画出y轴；
(2)当点P与上述六个点中的某个点重合时，重合的这个点就会发光，则发光的点是___________；(3)在x轴上从左到右有两点M,N，且MN=2，从点N向上作NG垂直x轴，且NG=4，在△MNG沿x轴
左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在MG（包括端点）上，请写出点N横坐标的最大值与最
小值．
20．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹
操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙
的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点P的
正下方O点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，
其飞行路线可以近似看作抛物线 ．
y=a(x−15) 2+k(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C），求出a的取值范围．
题型6：喷水问题（实际问题与二次函数)
21．（25-26九年级上·北京·阶段练习）某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长
为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．
建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系
，下面是水流高度 和水平距离 之间的几组数据：
y=ax2+bx+c(a≠0) y xx/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y/米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2
(1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式 ；
y=ax2+bx+c(a≠0)
1
(2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y=− x2+x+2，调整后水流落
3
点为B′，则OB____________OB′．（填“>”，“＝”或“<”）．
22．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一
根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线 的一部分，已知落水点
y=a(x+3) 2+5
B到池中心O的距离为8米．(1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管OA的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯EF，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯
EF与池中心的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水
柱形状和对称轴不变，求水管OA要升高多少米？
23．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）【项目式学习】
项目主题：无人机灌溉研究．
项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化．
驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉．
建立模型：如图1，设无人机控制中心为点O，两个喷水口分别为点A,B，且点A,B,O在同一条水平直线上，AB=60cm．如图2，以O为坐标原点，竖直方向为y轴，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛
物线，抛物线与y轴的交点为C，OC=300cm．
（1）求点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）无人机控制中心距地面的初始高度为300cm，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置，
如图3，要使宽度为EF=30cm的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度．
（3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且MA=AB=BN，当无
人机上升到距地面的高度为675cm时，求此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长．
24．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践
【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学
兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离．
【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且AB=6m,AB的垂直平分线与抛物线
交于点P，与AB交于点O,OP即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根
长4.5m的竹竿CD，竖直地放在线段OB上(CD⊥OB),当水流刚好经过竹竿顶部点C时，测得竹竿底部点D到点O的距离为1.5m．
【问题解决】
(1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和OP的长．
(2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是1.68m，请问他们最多能站多宽才不会被
水淋到.(该小组成员站在线段AB上拍照．❑√2≈1.414，结果保留整数)
题型7：增长率问题（实际问题与二次函数）
25．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电
动自行车，计划第三个月投放电动自行车y辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增
长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A． B．
y=1500(1+x) 2 y=1500(1+x)
C． D．
y=1500(1−x) 2 y=1500+x226．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售
500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，
求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若
剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
27．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、
技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单
价为200元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y（元）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为128元，求每次降价的百分率．
28．（18-19九年级上·重庆·期末）丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活
动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商
品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样
不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产
品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品
实际花费为 元．题型8：其他问题（实际问题与二次函数)
29．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系
进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，
用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、
滑行距离y（单位：cm）的数据：任务一：记录的数据如下：
运动时间
0 2 4 6 8 10 ．．．
x/s
运动速度
10 9 8 7 6 5 ．．．
v/cm/s
滑行距离
0 19 36 51 64 75 ．．．
y/cm
(1)任务二：数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函
数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关
系式和y与x的函数关系式：（不必写出自变量的取值范围．）
(2)任务三：当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离；
(3)当小球到达木板点A的同时，在点A的前方38cm处有一辆电动小车，以4cm/s的速度匀速向右直线运
动，请判断小球与电动小车是否会发生碰撞，若会，请求出在第几秒发生碰撞；若不会，请求出小球与电
动小车之间的最小距离．
30．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车刹车距离有疑惑，
于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶
中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的
0 1 2 3
时间t
刹车后行驶的
0 27 48 63
距离y
发现：①开始刹车后行驶的距离y(单位：m)与刹车后行驶的时间t(单位：s)之间成二次函数关系；②汽
车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方30m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会
撞到抛锚的车？试说明理由．
31．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作
如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m
）进行的测量，得到以下数据：
水平距离
0 0.4 1 1.4 2 2.8
x/m
竖直高度
0 0.48 0.9 0.98 0.8 0
y/m
(1)根据上述数据，求抛物线的表达式；(2)若在野兔起跳点（原点O）前方1.8m处有一个高为0.92m的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说
明理由．
32．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团
队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶
段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面
60cm，起跳点与落地点的距离为160cm．如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，
对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x
轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图1，若仿青蛙机器人从
点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点
Q的水平距离OQ的长；
