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专题 01 一元二次方程重难点题型汇编
【题型01 ：一元二次方程的概念】.............................................................................................1
【题型02 ：一元二次方程的解】.................................................................................................2
【题型03：解一元二次方程】.......................................................................................................2
【题型04：一元二次方程根的判别式】........................................................................................
3
【题型05：一元二次方程根与系数的关系】...............................................................................4
【题型06：有关一元二次方程传播问题】......................................................................................
4
【题型07：有关一元二次方程面积问题】......................................................................................
5
【 题 型 08 ： 有 关 一 元 二 次 方 程 增 长 率 问
题】...................................................................................8
【题型09：有关一元二次方程利润问题】......................................................................................
9
【题型10：有关一元二次方程动点问题】.................................................................................12
【题型01 ：一元二次方程的概念】
1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
1 1
A．(x+1) 2 =2(x+1) B． + =0
x2 x
C．ax2 +bx+c=0 D．x2 +2x=x2−1
2．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）一元二次方程x2−7x−2=0的二次项系数、一
次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，7，2 B．1，−7，−2 C．0，−7，−2 D．17，−23．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程 一个
ax2 +bx+c=0(a≠0)
根为x=−1，则下列等式成立的是（ ）
A．a+b+c=0 B．a−b+c=0 C．−a−b+c=0 D．−a+b+c=0
4．（23-24九年级上·吉林·期末）把方程 化成一般形式，则一
(x+2) 2−(2x+1)(x−5)=4
次项系数为 ．
5．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知 是一元二次方程，则
(m−1)x|m+1)−5x−3=0 m
的值为 ．
6．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知 是一元二次方程，则
(k−2)x|k)+3x−1=0
实数k= ．
【题型02 ：一元二次方程的解】
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程 满足
ax2 +bx+c=0(a≠0)
4a+2b+c=0和9a−3b+c=0，则该方程的两个根分别为（ ）
A．2, 3 B．2,−3 C．−2,3 D．−2,−3
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2 +5x−m=0的一个根
是2，则m的值是（ ）
A．−14 B．−9 C．9 D．14
3．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若a是方程x2 +3x−1=0的一个根，则
2a2 +6a+2022=
4．（24-25九年级上·吉林·期中）已知x=a是方程x2−4x−30=0的一个根，则代数式
2a2−8a−2的值为 ．
【题型03：解一元二次方程】
1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程x2−6x+3=0时，下列变
形正确的是（ ）
A． B． C． D．
(x−3) 2 =3 (x−3) 2 =6 (x+3) 2 =6 (x−3) 2 =12
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）方程 的根是（ ）
(x+3) 2 =4A．x =−1，x =−5 B．x =1，x =−5
1 2 1 2
C．x =x =−1 D．x =−1，x =5
1 2 1 2
3．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）解方程：x2 +8x−9=0
4．（22-23九年级上·全国·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)
(x−2) 2−16=0
(2)5x2 +2x−1=0
(3)x2−3x+2=0
5．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）按要求解方程：
(1)公式法：2x2−4x−5=0；
(2)因式分解法：3x(x−1)=2(x−1)
6．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）解下列方程：
(1) ；
(x−2) 2−25=0
(2)x2−2x=4；
(3)2x2 +2x−1=0；
(4)2(x+1)−x(x+1)=0．
【题型04：一元二次方程根的判别式】
1．（21-22九年级上·河南驻马店·期中）一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（2025·辽宁沈阳·二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2 +5x=0 B．x2−4=0 C．x2−2x+1=0 D．x2−x−12=0
3．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于x的一元二次方程mx2−3x+1=0有实数根，
则m的取值范围是（ ）9 9 9 9
A．m≤ 且m≠0 B．m≤ 且m≠0 C．m> D．m≥
2 4 4 2
4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若关于 的一元二次方程 有
x (k−1)x2−2kx+k−3=0
实数根，则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥ 且k≠1
4 4
5．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于 x 的方程 x2−(m+1)x+ ( m− 1) =0 ．
4
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当m取0<m<5的整数时，存在两个有理数根，求m的值和这两个有理数根．
6．（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于 的一元二次方程
x x2 +(k−2)x+k−3=0
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．
【题型05：一元二次方程根与系数的关系】
1．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于x的一元二次方程x2−3x−5=0的两个根
是x , x ，则x +x −x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．8 B．−8 C．−2 D．2
2．（24-25九年级上·广东·期末）已知α,β是方程x2−2x−2024=0的两个实数根，则
α2−4α−2β+αβ的值是（ ）
A．−4 B．4 C．−2 D．2
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知x ，x 是方程x2 +3x−1=0的两个实数根，则
1 2
x +x −x x 的值为 ．
1 2 1 2
4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知x ,x 是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则
1 2
1 1
+ 的值为 ．
x x
1 25．（24-25九年级上·广东广州·期末）若x 、x 是方程x2 +2x−2028=0的两个实数根，则
1 2
代数式 的值等于 ．
x 2 +4x +2x
1 1 2
【题型06：有关一元二次方程传播问题】
1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个
人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（ ）
A． B．
2x2 +2=162 2(x2 +x+1)=162
C． D．
2(x+1) 2 =162 x2 +2x+2=162
2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一个同学经过培训后会做某项实验，回到
班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同
学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为
（ ）
A． B．
x+(x+1)x=3 (x+1) 2 =36
C． D．
x+(x+1) 2 =36 1+x+x2 =36
3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为
单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张
贺卡，设该小组共有x人，则可列方程
5．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种
植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和
小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ．
6．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人
数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发
送短信中，平均一个人向x个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ．
7．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人
们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，
如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有111人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
8．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染
后共有81人患了流感．
(1)每轮传播中平均一人传染几个人？
(2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由．
【题型07：有关一元二次方程面积问题】
1．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，有一面积为600m 2的长方形鸡场，它的一边靠
墙（墙长35m），另三边用总长为69m的竹篱笆围成，其中一边开有1m的门．设鸡场
垂直于墙的一边为xm，则可列方程（ ）
A．x(69+1−2x)=600 B．x(69−1+2x)=600
C．x(69−2x)=600 D．x(35+1−2x)=600
2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部
分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm 2
的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为（ ）A．(28−2x)(16−2x)=80 B．(28−2×2x)(16−2x)=80
C．(1 ) D．1
×28−2x (16−2x)=80 (28−2x)(16−2x)=80
2 2
3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，某小区有一块长20m，宽10m的长方形空地，
计划在其中修建两个相同的长方形花坛，要求两个花坛的面积之和为84m2，且两个花
坛之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为x米，则可列方程
4．（24-25九年级上·贵州·期末）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为
12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房
墙的一边留一扇1米宽的门．
(1)如图，设猪舍与墙垂直的一边AD长为x米，用含x的式子表示另一边长AB的长．
(2)当x为多少时，猪舍面积为80平方米？
5．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三
边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木
栏总长30米．
(1)矩形ABCD的面积为72m 2， 求出AB的长；
(2)矩形ABCD的面积能否为80m 2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大
可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱
笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为61平方米吗？请说明理由．
【题型08：有关一元二次方程增长率问题】
1．（24-25九年级上·广东珠海·期末）某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根
据题意得方程为（ ）
A． B．
50(1+x) 2 =175 50+50(1+x) 2 =175
C． D．
50(1+x)+50(1+x) 2 =175 50+50(1+x)+50(1+x) 2 =175
2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所
示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（
）
A． B．
180(1−x) 2 =461
180(1+x) 2 =461
C． D．
368(1−x) 2 =442 368(1+x) 2 =442
3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫
生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年10月，国内某企业口罩出口订单
额为1000万元，2020年12月该企业口罩出口订单额为1210万元．
(1)求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率；
(2)按照（1）的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额为多少万元？
4．（24-25九年级上·云南保山·期末）4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年
“共建书香社会·共享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践
中心举行，活动旨在全社会大力营造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数
和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是6500本，2024年
图书借阅总量是9360本．
(1)求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率；
(2)如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？
【题型09：有关一元二次方程利润问题】
1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）阳朔糍粑是桂林的特色美食．今有某店铺销售，
通过分析销售情况发现，阳朔糍粑的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次
函数，销售单价、日销售量的部分对应值如表，已知销售单价不低于成本价．当店铺
将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元．
销售单价x（元/盒） 15 17
日销售量y（盒） 150 100
(1)求糍粑的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式．
(2)十一国庆为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销方式，当销售单价
x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？
2．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价
是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出
厂价调整为128元/件．
(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平
均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2
元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？
3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发现，每箱
售价x（单位：元）与每天销量y（单位；箱）之间满足如图所示的函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围）
(2)葡萄的进价是40元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利1540元，尽量要使顾客获得实
惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？
4．（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，
2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，
设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.
(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元
至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为
多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．
(1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率；
(2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100
元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定
降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少
元？
6．（24-25九年级上·贵州·期末）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，
已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110
元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该
电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件；
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
7．（23-24九年级上·河南周口·期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的
定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房
间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【题型10：有关一元二次方程动点问题】
1．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，
BC=7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/ s，点Q的速度为2cm/ s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运
动，当四边形APQC的面积为13cm2时，则点P运动的时间是（ ）
A．3s B．5s C．3s或5s D．6s
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，
AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，
一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm 2；
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，
BC=24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重
合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（小与点C重合）．
若P、Q两点同时移动t(s)；
(1)当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2．
(2)设四边形APQC的面积为Scm2，当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
请说明理由．4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A开
始沿AB边以3cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果
点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停
止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为5cm；
(2)连接PD、PQ，当t为何值时，△DPQ为直角三角形．
5．（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，
BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿
BC边向点C以2cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm 2？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积能否等于10cm 2？
(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于6cm？6.（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，
AB=16cm,AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向
点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点
Q随之停止运动，设运动时间为ts．
(1)AP=______，CQ=______，（用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm 2；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
(4)P，Q同时出发，直接写出t为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形．
