文档内容
专题 01 一元二次方程
题型1 一元二次方程的有关概念 题型9 判断一元二次方程根的情况（常考点）
题型2 直接开平方 题型10 确定字母的取值或范围（重点）
题型3 配方法（重点） 题型11 根与系数关系的综合应用（重点）
题型4 因式分解法（重点） 题型12 与几何图形的综合应用（常考点）
题型5公式法 题型13 增长率问题（常考点）
题型6 用适当的方法解方程（常考点） 题型14 传染问题
题型7 含绝对值的一元二次方程 题型15 经济问题（重点）
题型8 换元法（难点） 题型16 动态几何问题（重点）
题型一 一元二次发方程有关的概念 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．7x2+6=3x C．x3−2x−4=0 D．2x2−5 y=0
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数
的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】A、ax2+bx+c=0：当a=0时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题
意；
B、7x2+6=3x：移项整理为7x2−3x+6=0，满足只含一个未知数x且最高次数为2，二次项系数
7≠0，为一元二次方程，符合题意；
C、x3−2x−4=0：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意；
D、2x2−5 y=0：含有两个未知数x和y，是二元方程，不符合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程x2−2x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数
为1，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．−2,−10 B．−2,10 C．2,−10 D．2，10
【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0），特别要注
意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系
数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可．
【详解】解：原方程为x2−2x=10，
移项得：x2−2x−10=0，此时二次项系数为1，一次项系数为−2，常数项为−10，
故选：A．
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如果a是一元二次方程x2−3x−1=0的根，则代数式a2−3a+2024
的值为 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把x=a代入x2−3x−1=0，得a2−3a=1，再整体代入计
算即可作答．
【详解】解：∵a是一元二次方程x2−3x−1=0的一个根，
∴a2−3a−1=0，
∴a2−3a=1，
则a2−3a+2024=1+2024=2025．
故答案为：2025．
题型 二 直接开平方（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）方程x2−4=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=−2 C．x=±2 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法等．
移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：x2−4=0，
x2=4，
x=±2．
故选：C．
2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：4(2x−1) 2=9．
5 1
【答案】x = ，x =−
1 4 2 4【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先变形为
9
(2x−1) 2= ，再利用直接开平方法解一元二次方程即可．
4
【详解】解：4(2x−1) 2=9，
9
变形得(2x−1) 2= ，
4
3 3
开方，得2x−1= ，或2x−1=− ，
2 2
5 1
解得：x = ，x =− ．
1 4 2 4
3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）解方程：(3+x) 2−49=0
【答案】x =4，x =−10
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：(3+x) 2−49=0，
移项得：(3+x) 2=49，
开方得：3+x=±7，
解得：x =4，x =−10．
1 2
题型 三 配方法（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0，则方程可变形为
（ ）
A．(x−2) 2=2025 B．(x+2) 2=2025
C．(x−1) 2=2024 D．(x+1) 2=2024
【答案】C
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．通过移项、配方将方程转化为完全平方形式，再对比选
项即可得出答案．
【详解】解：x2−2x−2023=0，
移项，得x2−2x=2023，配方，得x2−2x+1=2023+1，
∴(x−1) 2=2024．
故选：C
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）把方程x2−6x+3=0化为(x+m) 2=n的形式，则m+n的值是
（ ）
A．7 B．3 C．−3 D．6
【答案】B
【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据一移，二配，三变形的方法，进行配方后，求出m,n
的值，即可．掌握配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：x2−6x+3=0，
x2−6x=−3，
x2−6x+9=−3+9，
∴(x−3) 2=6，
∴m=−3,n=6，
∴m+n=−3+6=3．
故选B．
3．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）用配方法解方程：x2−20x+75=0．
【答案】x =15,x =5
1 2
【分析】本题主要 考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用配方法求解方程是解题的关键；因此此
题可根据配方法进行求解方程．
【详解】解：x2−20x+75=0
x2−20x+100=−75+100
(x−10) 2=25
x−10=±5
∴x =15,x =5．
1 2
题型 四 因式分解法（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）方程x2−2x=0的根是（ ）A．x =0，x =−2 B．x =0，x =2
1 2 1 2
C．x=0 D．x=2
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程．
通过因式分解法解方程即可．
【详解】解：x2−2x=0，
因式分解得：x(x−2)=0，
解得：x =0，x =2，
1 2
故选：B．
2．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程
x2−14x+48=0的一根， 则这个三角形的周长为（ ）
A．20 B．18 C．15 D．18或20
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．运用因式分解法求出方程
的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解：∵x2−14x+48=0，
∴(x−6)(x−8)=0，
则x−6=0或x−8=0，
解得x =6，x =8，
1 2
由题意知，第三边的长度需满足：9−3<第三边长度<9+3，即6＜第三边长度<12，
∴第三边的长度为8，
则这个三角形的周长为3+9+8=20，
综上所述，只有A选项正确，符合题意，
故选：A．
3．（24-25九年级上·天津·期中）解下列方程：
(1)x2−3x−4=0；
(2)(x+1)(x−2)=x+1
【答案】(1)x =−1，x =4
1 2
(2)x =−1，x =3
1 2
【分析】（1）利用因式分解法计算即可．
（2）利用因式分解法计算即可．本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x2−3x−4=0,
∴(x+1)(x−4)=0
解得x =−1，x =4．
1 2
（2）解：∵(x+1)(x−2)=x+1，
∴(x+1)(x−2)−(x+1)=0
∴(x+1)(x−3)=0
解得x =−1，x =3．
1 2
4．（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程：
(1)x2−2x−3=0
(2)3x(x−1)=2x−2
【答案】(1)x =3，x =−1；
1 2
2
(2)x = ，x =1．
1 3 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键．
（1）根据十字相乘法将原式因式分解，然后根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将原式变形，然后根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2−2x−3=0，
因式分解得：(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x =3，x =−1；
1 2
（2）3x(x−1)=2x−2，
原式整理为：3x(x−1)−2(x−1)=0，
因式分解为：(3x−2)(x−1)=0，
∴3x−2=0或x−1=0，
2
∴x = ，x =1．
1 3 2
题型 五 公式法（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程x2−2=−3x时，二次项系数、一次项系数和常数项
的值依次是（ ）
A．0，−2，−3 B．1，−3，−2 C．1，3，−2 D．1，−2，−3【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程−公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的
一般形式是解答本题的关键．
首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可．
【详解】解：x2−2=−3x
整理得，x2+3x−2=0
∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，−2．
故选：C．
2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程：5x2−4x−1=0．
1
【答案】x =1，x =−
1 2 5
【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数a、b、c，再计算判别式Δ，最后代入求根公式求解．
本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式
是解题的关键．
【详解】解：5x2−4x−1=0
a=5，b=−4，c=−1，
Δ=16+20=36>0，
4±❑√36 4±6
∴x= = ，
10 10
1
∴x =1，x =− ．
1 2 5
3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：2x2−5x−1=0．
5+❑√33 5−❑√33
【答案】x = ，x =
1 4 2 4
【分析】本题考查了运用公式法解一元二次方程，先求出∴Δ=(−5) 2−4×2×(−1)=33>0，再代入
公式进行化简，即可作答．
【详解】解：2x2−5x−1=0，
∵a=2，b=−5，c=−1，
∴Δ=(−5) 2−4×2×(−1)=25+8=33>0，
5±❑√33
∴x= ，
45+❑√33 5−❑√33
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
题型 六 用适当的方法解方程（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程：
(1)x2+4x−2=0；
(2)(x−3) 2=2(x−3)．
【答案】(1)x =❑√6−2,x =−❑√6−2
1 2
(2)x =3,x =5
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
（1）先移项，可得x2+4x=2，可以通过配方法求出即可；
（2）先整体移项，然后分解因式，即方程左边可得出两个一元一次方程相乘，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：x2+4x−2=0
∴x2+4x=2
∴x2+4x+4=2+4
∴(x+2) 2=6
∴x+2=±❑√6
∴x =❑√6−2,x =−❑√6−2
1 2
（2）解：(x−3) 2=2(x−3)
∴(x−3) 2−2(x−3)=0
∴(x−3)(x−3−2)=0
∴(x−3)(x−5)=0
∴x−3=0或x−5=0
∴x =3,x =5
1 2
2．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)3x2=54
(2)(x+1)(3x−1)=1(3)x2−8x+15=0
(4)(2x−1) 2−x(2x−1)=0
【答案】(1)x =3❑√2,x =−3❑√2
1 2
−1+❑√7 −1−❑√7
(2)x = ，x =
1 3 1 3
(3)x =3,x =5
1 2
1
(4)x = ,x =1
1 2 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根
公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）先把两边都除以3，再用直接开平方法求解；
（2）整理后用求根公式法求解即可；
（3）用因式分解法求解即可；
（4）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）∵3x2=54
∴x2=18
∴x =3❑√2,x =−3❑√2
1 2
（2）∵(x+1)(3x−1)=1
∴3x2+2x−2=0
∵Δ=22−4×3×(−2)=28
−2±❑√28 −1±❑√7
∴x= =
6 3
−1+❑√7 −1−❑√7
∴x = ，x =
1 3 1 3
（3）∵x2−8x+15=0
∴(x−3)(x−5)=0
∴x−3=0或x−5=0
∴x =3,x =5
1 2
（4）∴(2x−1) 2−x(2x−1)=0
∴(2x−1)(2x−1−x)=0∴2x−1=0或2x−1−x=0
1
∴x = ,x =1
1 2 2
3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）解方程：
(1)x2+2x−3=0；
(2)2x2−4x−5=0．
【答案】(1)x =1,x =−3
1 2
2+❑√14 2−❑√14
(2)x = ,x =
1 2 2 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法求解是关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2+2x−3=0，
∴(x+3)(x−1)=0，
∴x+3=0或x−1=0，
∴x =1,x =−3；
1 2
（2）解：2x2−4x−5=0，
a=2,b=−4,c=5，
∴Δ=b2−4ac=16−4×2×(−5)=56，
4±❑√56 2±❑√14
∴x= = ，
4 2
2+❑√14 2−❑√14
解得：x = ,x = ．
1 2 2 2
4．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)x2−6x−11=0；
(2)2(2x−1) 2=6x−3．
【答案】(1)x =3+2❑√5，x =3−2❑√5
1 2
1 5
(2)x = ，x =
1 2 2 4
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根
公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：移项，得x2−6x=11，
配方，得x2−6x+9=9+11，
(x−3) 2=20．
方程两边同时开方，得
x−3=±2❑√5，
则x−3=2❑√5，或x−3=−2❑√5．
x =3+2❑√5，x =3−2❑√5；
1 2
（2）解：2(2x−1) 2−3(2x−1)=0．
(2x−1)[2(2x−1)−3)=0，
(2x−1)(4x−5)=0．
2x−1=0，或4x−5=0．
1 5
x = ，x = ．
1 2 2 4
5．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用适当的方法解下列方程
(1)(3x−1) 2=(x+1) 2
(2)x2−2x−3=0
【答案】(1)x =0，x =1
1 2
(2)x =−1，x =3；
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用适当的方法解方程是解题的关键．
（1）先移项，用因式分解的方法解方程，即可得到答案；
（2）用因式分解的方法解方程，即可得到答案．
【详解】（1）解：(3x−1) 2=(x+1) 2，
整理得(3x−1) 2−(x+1) 2=0，
因式分解得(3x−1+x+1)(3x−1−x−1)=0，即4x(2x−2)=0，
∴x=0，2x−2=0，∴x =0，x =1；
1 2
（2）解：x2−2x−3=0，
因式分解得(x+1)(x−3)=0，
∴x+1=0，x−3=0，
∴x =−1，x =3．
1 2
题型 七 含绝对值的一元二次方程（共 3 小题）
1．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）根据绝对值定义：可将|a)表示为|a)= { a(a≥0) )
，故化简
−a(a<0)
|a)+|b)可得a+b，a−b，−a−b或−a+b四种不同结果，给出下列说法：
①化简|x)+|y)+|z)一共有8种不同的结果；
②化简|x)+|x−1)+|x+2)一共有8种不同的结果；
③若a =|2n−9)，S =a +a +…+a （n为正整数），则当S =916时，n=34．
n n 1 2 n n
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】①由于|x|、|y|、|z|的结果分别有2种，则|x|+|y|+|z|的结果共有2×2×2=8种；
②根据x的取值范围化简绝对值可得当x≥1时，|x|+|x−1|+|x+2|=3x+1；当0≤x<1时，
|x|+|x−1|+|x+2|=x+3；当−2≤x<0时|x|+|x−1|+|x+2|=−x−1；当x<−2时，
|x|+|x−1|+|x+2|=−3x+3；则|x|+|x−1|+|x+2|的结果共有4种；③根据题意可得
S =16+(n−4) 2 ，再由16+(n−4) 2=916求出n的值即可
n
【详解】解：①∴|x|的结果有两种，|y|的结果有两种，|z|的结果有两种，
∴|x|+|y|+|z|的结果共有2×2×2=8种，故①说法正确；
当x≥1时，|x|+|x−1|+|x+2|
=x+x−1+x+2
=3x+1；
当0≤x<1时，|x|+|x−1|+|x+2|
=x+1−x+x+2
=x+3；
当−2≤x<0时，|x|+|x−1|+|x+2|=−x+1−x+x−2
=−x−1
当x<−2时，|x|+|x−1|+|x+2|=−x+1−x−x+2=−3x+3；
∴|x|+|x−1|+|x−2|的结果共有4种情况，故②说法错误；
③∵a =|2n−9|
n
∴S =a +a +…+a
n 1 2 n
=7+5+3+1+1+3+5+7+⋯+2n−9
=16+(n−4) 2
∵S =916
n
∴16+(n−4) 2=916
解得，n=34或n=−26（舍去）
∴n=34
故③说法正确，
∴正确的说法有2个，
故选：C
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握绝对值的性质、一元二次方程的解法是解题的关
键
2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和
“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程x2−2|x|−3=0．
解：①当x≥0时，原方程为x2−2x−3=0，
解得x =−1（与x≥0矛盾，舍去），x =3．
1 2
②当x<0时，原方程为x2+2x−3=0，
解得x =1（与x<0矛盾，舍去），x =−3．
1 2
所以原方程的根是x =3，x =−3．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——
分类讨论．
任务：请参照上述方法解方程：x2−|x|−2=0．
【答案】x =2，x =−2
1 2【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思
想思考问题．
本题先分类讨论，将绝对值方程化为一元二次方程，进而求解一元二次方程，舍弃不符合条件的答案，
即可得到本题的答案；
【详解】解：分两种情况讨论
（1）当x≥0时，原方程可化为x2−x−2=0，
解得：x =2，x =−1（舍去）；
1 2
（2）当x<0时，原方程可化为x2+x−2=0，
解得：x =−2，x =1（舍去）；
1 2
∴综上所述，原方程的根是x =2，x =−2．
1 2
3.（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程：x2−3|x)−10=0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为：x2−3x−10=0解得x =5，x =−2（舍去）；
1 2
②当x<0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程：x2+2|x+2)−4=0．
【答案】x =−5，x =2（舍去）；x =5，x =−5；x =0，x =−2
1 2 1 2 1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：②当x<0时，原方程化为x2+3x−10=0，
(x−2)(x+5)=0
x−2=0或x+5=0
解得x =−5，x =2（舍去）；
1 2
综上所述，原方程的解是x =5，x =−5；
1 2
x2+2|x+2)−4=0
①当x+2≥0时，即x≥−2时，原方程化为：x2+2(x+2)−4=0
∴x2+2x=0
x(x+2)=0
x=0或x+2=0
解得x =0，x =−2（舍去）；
1 2②当x+2<0时，即x<−2时，原方程化为x2−2(x+2)−4=0
x2−2x−8=0
x2−2x=8
x2−2x+1=8+1
(x−1) 2=9
x−1=±3
解得x =−2，x =4（舍去）；
1 2
综上所述，原方程的解是x =0，x =−2．
1 2
题型 八 换元法（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设x2= y，那么x4= y2，于是原方程可变为①，解得y =1,y =4．
1 2
当y =1时，x2=1,x=±1；当y =4时，x2=4,x=±2；
1 2
∴原方程有四个根：x =1,x =−1,x =2,x =−2．
1 2 3 4
(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现
了数学的转化思想．
(2)已知实数x,y满足(x2+ y2+3) 2 −7x2−7 y2−3=26，求x2+ y2的值；
(3)解方程：(x2+x) 2 −4(x2+x)−12=0．
【答案】(1)y2−5 y+4=0
(2)5
(3)x =−3，x =2
1 1
【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关
键．
（1）设x2= y，则x4−5x2+4=0可化为y2−5 y+4=0；
（2）原方程可化为(x2+ y2+3) 2 −7(x2+ y2+3)−8=0，设x2+ y2+3=m，则m2−7m−8=0，解得
m =8，m =−1，可得x2+ y2=5或x2+ y2=−4（舍去），x2+ y2的值为5；
1 2（3）设x2+x= y，则(x2+x) 2 −4(x2+x)−12=0化为y2−4 y−12=0，解得y =−2，y =6，得
1 2
x2+x+2=0（无实数根），或x2+x−6=0，解得x =−3，x =2．
1 1
【详解】（1）解：设x2= y，
那么x4= y2，
于是方程x4−5x2+4=0可变为y2−5 y+4=0，
故答案为：y2−5 y+4=0；
（2）解：∵(x2+ y2+3) 2 −7x2−7 y2−3=26，
∴(x2+ y2+3) 2 −7(x2+ y2+3)−8=0，
设x2+ y2+3=m，
则m2−7m−8=0，
解得m =8，m =−1，
1 2
∴x2+ y2+3=8或x2+ y2+3=−1，
∴x2+ y2=5或x2+ y2=−4（实数范围内无意义，舍去），
故x2+ y2的值为5．
（3）解：设x2+x= y，则(x2+x) 2 −4(x2+x)−12=0可化为y2−4 y−12=0，
解得y =−2，y =6，
1 2
∴x2+x=−2，
∴x2+x+2=0（无实数根），
或x2+x=6，
∴x2+x−6=0，
解得x =−3，x =2．
1 1
2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读并填空：为解方程(x2−1) 2 −3(x2−1)=0，我们可以将x2−1视
为一个整体，然后设x2−1= y，原方程化为______①
解得______．
当y=0时，x2−1=0,x2=1,∴x=±1．
当y=3时，x2−1=3,x2=4,∴x=±2．
∴原方程的解为x =1,x =−1,x =2,x =−2．
1 2 3 4
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想．
请你利用上述材料中的方法解方程：(x2+3) 2 −4(x2+3)=0．
【答案】y2−3 y=0；y=0或y=3；x=±1
【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设x2+3=m，最
后仿照题干过程解方程即可．
【详解】解：设x2−1= y，原方程化为y2−3 y=0①，
∴y(y−3)=0，
解得y=0或y=3．
当y=0时，x2−1=0，
∴x2=1，
∴x=±1；
当y=3时，x2−1=3，
∴x2=4，
∴x=±2；
∴原方程的解为x =1,x =−1,x =2,x =−2．
1 2 3 4
设x2+3=m，则原方程可化为m2−4m=0，
∴m(m−4)=0，
∴m=0或m=4，
当m=0时，x2+3=0，此时方程无解；
当m=4时，x2+3=4，
∴x2=1，
∴x=±1．
3．（24-25九年级上·广东韶关·期中）为解方程(x2−3) 2 −7(x2−3)+6=0，我们可以将x2−3视为一个整
体，然后设x2−3=t，则原方程化为t2−7t+6=0，解此方程得t =1,t =6．当t=1时，
1 2
x2−3=1,∴x=±2．当t=6时，x2−3=6,∴x=±3.∴原方程的解为x =2,x =−2,x =3,x =−3．
1 2 3 4
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)请用上述方法解方程：x4−5x2+4=0．
(2)已知实数x,y满足(2x2+2y2) 2 −2(2x2+2y2)−15=0，求x2+ y2的值．【答案】(1)x =1，x =−1，x =2，x =−2；
1 2 3 4
5
(2)
2
【分析】本题考查换元法解一元二次方程：
（1）设x2= y，将原方程变形为y2−5 y+4=0，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可；
（2）设w=2x2+2y2，将原方程变形为w2−2w−15=0，利用因式分解法解方程求出w值，进而即
可求解．
【详解】（1）解：设y=x2，
则原方程化为：y2−5 y+4=0，
解得：y =1，y =4，
1 2
当y=1时，x2=1，
∴x=±1，
当y=4时，x2=4，
∴x=±2，
∴原方程的解为：x =1，x =−1，x =2，x =−2；
1 2 3 4
（2）解：设w=2x2+2y2，
则原方程化为：w2−2w−15=0，
解得：w =5，w =−3，
1 2
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2=5，
5
∴x2+ y2=
．
2
4．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程(x−1) 2−5(x−1)+4=0，
解：设x−1= y，则原方程化为y2−5 y+4=0，
解得y =1；y =4，
1 2
当y=1时，即x−1=1，解得x=2，
当y=4时，即x−1=4，解得x=5，
所以原方程的解为x =2，x =5，
1 2
上述解法法称为“整体换元法”
请利用“整体换元法”解方程：(2x−5) 2−4(5−2x)+3=0．
【答案】x =1，x =2
1 2【分析】本题考查了一元二次方程，设2x−5= y，先把原方程化为关于y的一元二次方程，求出它的
根，再代入设中求出x掌握一元二次方程的因式分解法和换元法的一般步骤是解决本题的关键．
【详解】解：(2x−5) 2−4(5−2x)+3=0，
设2x−5= y，
则原方程可化为y2+4 y+3=0，
∴(y+1)(y+3)=0．
解得y =−3，y =−1．
1 2
当y =−3时，即2x−5=−3，解得x=1；
1
当y =−1时，即2x−5=−1，解得x=2．
2
所以原方程的解为：x =1，x =2．
1 2
题型 九 判断一元二次方程根的情况（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程x2−x−1=0的根的情况，描述准确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定根的情况
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当b2−4ac>0时，方程有两
个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式Δ，即可判断方程根的情况．
【详解】解：对于方程x2−x−1=0，其中a=1，b=−1，c=−1，
则Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×1×(−1)=1+4=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
2．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(k+4)x+k+3=0．
(1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)k<−3
【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键；
（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵方程x2−(k+4)x+k+3=0，
a=1，b=−(k+4)，c=k+3，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+4)) 2 −4×1×(k+3)=k2+4k+4=(k+2) 2≥0，
∴无论k为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：由方程x2−(k+4)x+k+3=0得(x−1)(x−k−3)=0，
∴x−1=0或x−k−3=0，
∴x =1，x =k+3，
1 2
∵方程有一个根为负数，
∴k+3<0．
∴k<−3．
∴k的取值范围是k<−3．
3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关
于x的一元二次方程x2−(m+1)x+3(m−2)=0的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)11或13
【分析】本题主要考查了根的判别式、等腰三角形的判定．
（1）依据题意，由Δ=(m+1) 2−12(m−2)=(m−5) 2≥0，进而可以判断得解；
（2）依据题意，分①当BC为腰长时；②当BC为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解．
【详解】（1）证明：∵Δ=(m+1) 2−12(m−2)
=m2+2m+1−12m+24
=m2−10m+25
=(m−5) 2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：①当BC为腰长时，则方程必有一个根为5，
∴52−5(m+1)+3(m−2)=0，∴m=7，
∴方程为：x2−8x+15=0，
∴x=3或x=5，
∴等腰三角形的三边为：5，5，3，
∴周长为：5+5+3=13；
②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴Δ=(m−5) 2=0，
∴m=5，
∴方程为：x2−6x+9=0，
解得：x =x =3，
1 2
∴等腰三角形的周长为：5+3+3=11．
综上：周长为11或13．
题型 十 确定字母的取值或范围（共 3 小题）
1．（2024·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是（ ）
A．k≥4 B．k>4 C．k≤4 D．k<4
【答案】D
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到Δ>0，进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−4) 2−4k>0，解得：k<4；
故选D．
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+2=0有实数根，则m的取值范围
为 ．
3
【答案】m≤ 且m≠1
2
【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数k的范围，解题的关
键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，当方程有两个不相等的实
数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0．根据定义可得且 ，再进一步解答即可．
m−1≠0 Δ=(−2) 2−4×2×(m−1)=12−8m≥0
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+2=0有两个实数根，
∴m−1≠0且Δ=(−2) 2−4×2×(m−1)=12−8m≥0，
3
解得：m≤ 且m≠1，
2
3
故答案为：m≤ 且m≠1．
2
3．（2025·江苏镇江·二模）若关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=
．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当
Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，
方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则有Δ=0，得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=0，即(−4) 2−4×2×m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
题型十 一 根与系数关系的综合应用（共 4 小题）
1．（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知a，b是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则
(a+1)(b+1)的值是(
)
A．2022 B．−2022 C．−2023 D．2023
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
1 2
b c
两根，则x +x =− ，x x = ．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系内容是解题的关键．利用一
1 2 a 1 2 a
元二次方程根与系数的关系可得a+b=1，ab=−2024，将代数式化简，再代入，即可得出答案．
【详解】解：∵a，b是方程x2−x−2024=0的两个实数根，，
∴a+b=1，ab=−2024，∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=−2024+1+1=−2022．
故选：B．
2．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程x2−3x−2020=0的两个实数根，则n2−2n+m的
值为（ ）
A．2020 B．2022 C．2023 D．2019
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x ，x 为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，
1 2
b c
则x ，x 与系数的关系式：x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
先根据n方程x2−3x−2020=0的实数根得出n2=3n+2020，结合根与系数的关系求出m+n=3，然
后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m、n是方程x2−3x−2020=0的两个实数根，
∴n2−3n−2020=0，即n²=3n+2020，
∴n2−2n+m=3n+2020−2n+m=m+n+2020，
∵m，n是方程x2−3x−2020=0的两个实数根，
∴n+n=3，
∴n2−2n+m=(m+n)+2020=3+2020=2023．
故选：C．
1 1
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知x ,x 是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则 + 的值为
1 2 x x
1 2
．
2
【答案】− /−0.4
5
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
b c
若x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ．根据一元二次方程根与系数的关系得
1 2 1 2 a 1 2 a
1 1 x +x
到x +x =2，x x =−5，再由 + = 1 2 进行求解即可．
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
【详解】解：∵x ,x 是方程x2−2x−5=0的两个实数根，
1 2∴x +x =2，x x =−5，
1 2 1 2
1 1 x +x 2
∴ + = 1 2=− ，
x x x x 5
1 2 1 2
2
故答案为：− ．
5
4．（2025·湖北咸宁·二模）若m，n是方程x2−5x−4=0的两个不同的根，则m2+n2= ．
【答案】33
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、整体代入法求代数式的值，根据一元二次方程根
与系数的关系可得：m+n=5，mn=−4，再根据m2+n2=m2+2mn+n2−2mn，利用完全平方公式
进行变形得到m2+n2=(m+n) 2−2mn，然后再利用整体代入法求代数式的值即可．
【详解】解：∵ m，n是方程x2−5x−4=0的两个不同的根，
b −5 c −4
∴m+n=− =− =5，mn= = =−4，
a 1 a 1
∴m2+n2
=m2+2mn+n2−2mn
=(m+n) 2−2mn
=52−2×(−4)
=25+8
=33．
故答案为：33．
题型十 二 与几何图形的综合应用（共 4 小题）
1．（2024·山西·模拟预测）某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长
18m、宽12m的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，
四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为54m2，求人行通道的宽度．若设人行
通道的宽度为xm，则根据题意可列方程为（ ）A．(18−x)(12−x)=54 B．(18−x)(12−2x)=54
C．(18−3x)(12−2x)=54 D．(18−3x)(12−2x)=108
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为xm，根据题意列方程
(18−3x)(12−2x)=54即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设人行通道的宽度为xm，
根据题意得，(18−3x)(12−2x)=54，
故选：C．
2．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）现有可建造60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的
仓库，墙长为am．
(1)若a=50，能否围成总面积为225m2的仓库？若能，AD和AB的长分别为多少米？
(2)能否围成总面积为400m2的仓库？说说你的理由．
【答案】(1)能，AB的长为15m，AD的长为15m；或AB的长为45m，AD的长为5m；
(2)不能围成面积为400m2的仓库，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解
题的关键．
60−x
（1）设AB=xm，则AD= m，根据矩形面积公式列出方程求解即可；
3
60−x
（2）设AB=xm，则AD= m，根据矩形面积公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案．
3
60−x
【详解】（1）解：设AB=xm，则AD= m，
3
60−x
根据题意得：x⋅ =225，
3解得：x=15或x=45，
∵15<45<50，
∴x=15和x=45都满足题意，
60−15
∴当AB=15m时，AD= =15(m)；
3
60−45
当AB=45m时，AD= =5(m)；
3
∴当a=50，能围成总面积为225m的仓库，AB的长为15m，AD的长为15m；或AB的长为45m，AD
的长为5m；
（2）解：不能围成面积为400m2的仓库，理由如下：
60−x
设AB=xm，则AD= m，
3
60−x
根据题意得：x⋅ =400，
3
整理得：x2−60x+1200=0，
∵Δ=b2−4ac=(−60) 2−4×1×1200=−1200<0，
∴此方程无实数根，即不能围成面积为400m2的仓库．
3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所
示．已知AD=52m，AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道
路．已知铺花砖的面积为640m2．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位
的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入
为10080元？
【答案】(1)道路的宽为6米；
(2)每个车位的月租金上涨10或40元时，停车场的月租金收入为10080元．
【分析】（1）由道路的宽为x米，根据题意得(52−2x)(28−2x)=640，然后解方程并检验即可；
( a)
（2）设月租金上涨a元， 根据题意得(200+a) 50− =10080，然后解方程即可；
5
本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】（1）
解：根据道路的宽为x米，
根据题意得：(52−2x)(28−2x)=640，
整理得：x2−40x+204=0，
解得：x =34（舍去），x =6，
1 2
答：道路的宽为6米；
（2）
解：设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10080元，
( a)
根据题意得：(200+a) 50− =10080，
5
整理得：a2−50a+400=0，
解得：a =10，a =40，
1 2
答：每个车位的月租金上涨10或40元时，停车场的月租金收入为10080元．
4．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC
边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38米长的木板（全部使用完），若设AB为x米．
(1)BC的长为 米；（用含x的代数式表示）
(2)仓库的面积能为150m2吗？若能，求出AB的长；若不能，说明理由．
【答案】(1)40−2x
(2)仓库的面积能为150m2，AB=15米
【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程—— 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的
理解题意是解题的关键．
（1）设AB的长为x米，则BC=(38+2−2x)米，即可作答．
（2）根据题意得到x(40−2x)=150，解方程即可得到结论．【详解】（1）解：设AB的长为x米，
∵要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m)，并在BC边上开一道宽2m的门，现在可用的材
料为38米长的木板(全部使用完），
∴ BC=38+2−2x=(40−2x)米，
故答案为：40−2x；
（2）根据题意得：x(40−2x)=150，
解得：x =15，x =5，
1 2
当x=15时，AD=10，
当x=5时，AD=30>22（不合题意舍去），
∴ AB=15米．仓库的面积能为150m2，
题型十 三 增长率问题 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·广东河源·期末）某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该
校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，
则依题意可列方程（ ）
A．1000(1−x) 2=1440 B．1000(1+x) 2=1440
C．1440(1−x) 2=1000 D．1440(1+x) 2=1000
【答案】B
【分析】本题主要考查了列一元二次方程，
根据题意得出形如m(1+x) 2=n的方程即可.
【详解】解：根据题意，得1000(1+x) 2=1440.
故选：B.
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本
地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）
每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的
收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（ ）
A．400(1+x)=1900B．400(1+x) 2=1900
C．400(1+x)+400(1+x) 2=1900
D．400+400(1+x)+400(1+x) 2=1900
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据每年的增长率相同，可以列出方程，本题得以解决．
【详解】设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，
根据题意得，400+400(1+x)+400(1+x) 2=1900．
故选：D．
3．（24-25九年级上·云南保山·期末）4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年“共建书香社会·共
享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践中心举行，活动旨在全社会大力营
造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室
借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是
6500本，2024年图书借阅总量是9360本．
(1)求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率；
(2)如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？
【答案】(1)20%
(2)11232本
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；
（1）设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方
程并求解即可；
（2）2024年图书借阅总量× (1+该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率)即可求
出．
【详解】（1）解：设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为x，
根据题意得：6500(1+x) 2=9360
解得：x =0.2,x =−2.2（舍去）
1 2
答：该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为20%；（2）解：9360(1+20%)=11232（本）．
答：预计2025年图书借阅总量是11232本
题型十 四 传染 问题（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张
贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有x人，列方程正确的是（ ）
A．x(x−1)=90 B．x(x−1)=180
C．x(x+1)=90 D．x(x+1)=180
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该小组共有x人，则每人赠送(x−1)张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方
程即可解答．
【详解】解：设该小组共有x人，则每人赠送(x−1)张贺卡，
依题意得：x(x−1)=90．
故选A．
2．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主
干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题
意可以列方程为（ ）
A．1+x+x2=91 B．1+x+x(1+x)=91
C．1+x+(1+x) 2=91 D．1+(1+x)+(1+x) 2=91
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小
分支=91，进而得出答案．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为x⋅x=x2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91．
故选：A．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．
若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛．
【答案】8【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解答本题的关键．
【详解】解：设x个队伍参赛，
依题意可列方程：1+2+3+⋯+x−1=28，
1
整理得： x(x−1)=28，
2
解得：x =8，x =−7（舍）；
1 2
故应邀请8个队伍参赛．
故答案为：8．
4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，列出方程进行求
解即可；
（2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得，
1+x+x(1+x)=81，
解得x =8,x =−10（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
（2）81+81×8=729人，
∵729<800，
∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800．
题型十 五 经济 问题（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设
计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；
经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？
【答案】(1)降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降25元．
【分析】本题考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用.
（1）根据利润=（原来售价−降价−成本价）×销售量列式求解即可；
（2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润=（原来售价−降价−成本价）×销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：(100−8−60)×(20+2×8)=1152（元）．
答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）解：设此时每件T恤衫降价x元，
由题意得，(100−x−60)(20+2x)=1050，
整理得x2−30x+125=0，
解得x=5或x=25．
又∵优惠最大，
∴x=25．
答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降25元．
2．（24-25九年级上·重庆合川·期中）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买
T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍．
(1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价；
(2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每
天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为
减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天
的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？
【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元
(2)衬衣的销售单价为100元
【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用，
（1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为(100−x)元，根据题意列分式方程求解
即可；
（2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为(100−x)元，
16000 12000
由题意得， =2× ，
x 100−x
解得x=40，
经检验，x=40符合题意，是原方程的解，∴100−x=60元，
答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元；
（2）解：设衬衣的销售单价为a元，
( 120−a )
由题意得，(80−40)×50+(a−60)× 30+ ×5 =4000，
5
解得a=100，a=110（舍），
答：衬衣的销售单价为100元．
3．（23-24九年级上·河南周口·期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，
房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，
宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【答案】(1)7770元
(2)房价定为300元或320元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意找到题目蕴含
的相等关系，列出方程．
（1）根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得；
（2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得．
【详解】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
( 30)
(200+30−20)× 40− =7770（元）；
10
（2）设每个房间的定价为a元，
( a−200)
根据题意，得：(a−20) 40− =8400，
10
解得：a=300或a=320．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
题型十 六 动态几何 问题（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点
P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC
向点C以4cm/s的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动t(s)；(1)当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2．
(2)设四边形APQC的面积为Scm2，当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？请说明理由．
【答案】(1)当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；
(2)当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积．
（1）求运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可；
（2）令△ABC的面积减去△BPQ的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t<6），PB=AB−2t=12−2t，BQ=4t，
1
∴S = PB⋅BQ=24t−4t2=32，
△BPQ 2
解得：t =2，t =4．
1 2
答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；
1
（2）解： S=S −S = AB⋅BC−(24t−4t2)=4t2−24t+144=108，
△ABC △BPQ 2
解得：t =t =3．
1 2
答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2．
2．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P
从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若
一动点运动到终点，则另一个也随之停止．
(1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
【答案】(1)1秒后△PBQ的面积等于4cm2(2)不能等于7cm2，理由见详解
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度
移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到7cm2．
【详解】（1）解：设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，依题意，PB=AB−AP=5−x,BQ=2x
1
则 ×(5−x)⋅2x=4，
2
整理得：x2−5x+4=0，
解得：x =1,x =4（舍去），
1 2
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）解：△PQB的面积不能等于7cm2，理由如下∶
设经过t秒以后△PQB面积为7cm2，
1
则 ×(5−t)×2t=7，
2
整理得：t2−5t+7=0，
Δ=52−4×1×7=−3<0，
所以此方程无解，
故△PQB的面积不能等于7cm2．
3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P
从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以
2cm/s的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动
时间为ts(t>0)．
(1)当t为何值时，PQ的长为5cm？
(2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)t=2(2)存在，t=1
【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中
的约束条件检验所得的解．
（1）在Rt△PBQ中，利用勾股定理即可求解；
2t(5−t)
（2）根据 =4即可求解．
2
【详解】（1）解：当点Q移动到点C时，t=6÷2=3(s)，
当点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动到点B需要的时间是：5÷1=5(s),
∴00
∴当t=2时，PQ=5；
2t(5−t)
（2）解：由题意得 =4，
2
解得：t =1,t =4（不合题意，舍去）
1 2
∴当t=1，使得△PBQ的面积为4cm2
4．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始
以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分
别从A、B同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时，△PQD的面积等于8cm2？
(2)当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？【答案】(1)不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2
3
(2)当t为 秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形
2
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的
解法是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案．
（2）用含t的代数式分别表示图中各线段，在Rt△ADP中，利用勾股定理可求出DP2，同理，在
Rt△DPQ中利用勾股定理也可以求出DP2，联合起来，得到关于t的一元二次方程，解即可，然后
根据实际意义确定t的值．
【详解】（1）解：不存在．
设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm2．
∵S −S −S −S =S ，
矩形ABCD △APD △BPQ △CDQ △DPQ
1 1 1
∴6×12− ×12×x− ×(6−x)⋅2x− (12−2x)×6=8，
2 2 2
∴x2−6x+28=0，
∵ Δ=b2−4ac=36−4×28=−76<0，
∴原方程无实数根，
即不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2．
（2）解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴PD2=t2+122，PQ2=(6−t) 2+(2t) 2，QD2=(12−2t) 2+62，
∵△PQD是以DP为斜边的直角三角形，
∴PD2=PQ2+QD2，即t2+122=(6−t) 2+(2t) 2+(12−2t) 2+62，
整理得2t2−15t+18=0，
3
解之得t =6，t = ，
1 2 2
3
即当t为 秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形．
2
