文档内容
专题 01 一元二次方程重难点题型汇编
【题型01 ：一元二次方程的概念】
【题型02 ：一元二次方程的解】
【题型03：解一元二次方程】
【题型04：一元二次方程根的判别式】
【题型05：一元二次方程根与系数的关系】
【题型06：有关一元二次方程传播问题】
【题型07：有关一元二次方程面积问题】
【题型08：有关一元二次方程增长率问题】
【题型09：有关一元二次方程利润问题】
【题型10：有关一元二次方程动点问题】
【题型01 ：一元二次方程的概念】
1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
1 1
A．(x+1) 2 =2(x+1) B． + =0
x2 x
C．ax2 +bx+c=0 D．x2 +2x=x2−1
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．只
含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二
次方程；一般形式为：ax²+bx+c=0(a≠0)．先将各个方程化简成一元二次方程的一
般形式，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、方程(x+1) 2 =2(x+1)，化简后为：x2−1=0，是关于x的一元二次
方程，符合题意；
1 1
B、方程 + =0不是整式方程，因此不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
x2 xC、方程ax2 +bx+c=0，必须限定二次项系数不为0，即a≠0，因此不一定是关于x的
一元二次方程，不符合题意；
D、方程x2 +2x=x2−1，化简后为：2x+1=0，不是关于x的一元二次方程，不符合题
意；
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）一元二次方程x2−7x−2=0的二次项系数、一
次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，7，2 B．1，−7，−2 C．0，−7，−2 D．17，−2
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，关键在于理解标准形式中各项系数的定义，
并注意符号的正确性．本题可以通过对比方程与标准形式，可直接判断对应系数．
【详解】解：∵一元二次方程的标准形式为ax2 +bx+c=0 (a≠0)，其中：
a是二次项的系数（二次项为ax2），
b是一次项的系数（一次项为bx），
c是常数项（不含未知数的项）；
∴二次项系数为1，一次项系数为−7，常数项为−2．
故选：B．
3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)一个
根为x=−1，则下列等式成立的是（ ）
A．a+b+c=0 B．a−b+c=0 C．−a−b+c=0 D．−a+b+c=0
【答案】B
【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二
次方程的根的定义是解题的关键
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)一个根为x=−1，
∴将x=−1代入方程得a−b+c=0
故选：B
4．（23-24九年级上·吉林·期末）把方程(x+2) 2−(2x+1)(x−5)=4化成一般形式，则一
次项系数为 ．
【答案】13【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．方程整理为一般形式后，求出一次项
系数即可．
【详解】解：(x+2) 2−(2x+1)(x−5)=4，
则x2 +4x+4−2x2−x+10x+5=4，
则−x2 +13x+5=0，
∴化成一般形式，一次项系数为13．
故答案为：13．
5．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知(m−1)x|m+1)−5x−3=0是一元二次方程，则m
的值为 ．
【答案】−3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如ax2 +bx+c=0（其中
a、b、c是常数且a≠0）的方程叫做一元二次方程，据此可得¿，解之即可得到答案．
【详解】解：∵(m−1)x|m+1)−5x−3=0是一元二次方程，
∴¿，
∴m=−3，
故答案为：−3．
6．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知(k−2)x|k)+3x−1=0是一元二次方程，则
实数k= ．
【答案】−2
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
由一元二次方程的定义可得|k)=2且k−2≠0，解之即可得解．
【详解】解：∵(k−2)x|k)+3x−1=0是一元二次方程，
∴|k)=2且k−2≠0，
解得k=−2，
故答案为：−2．
【题型02 ：一元二次方程的解】
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程 满足
ax2 +bx+c=0(a≠0)4a+2b+c=0和9a−3b+c=0，则该方程的两个根分别为（ ）
A．2, 3 B．2,−3 C．−2,3 D．−2,−3
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解．
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
根据题目条件，将x=2和x=−3代入方程验证，并结合方程根的定义求解．
【详解】已知方程ax2 +bx+c=0满足4a+2b+c=0和9a−3b+c=0．
当x=2时，代入方程得a×22 +b×2+c=4a+2b+c=0，说明x=2是方程的根．
当x=−3时，代入方程得a×(−3) 2 +b×(−3)+c=9a−3b+c=0，
说明x=−3是方程的根．
因此，方程的两个根为2和−3．
故选：B．
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2 +5x−m=0的一个根
是2，则m的值是（ ）
A．−14 B．−9 C．9 D．14
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义．把x=2代入x2 +5x−m=0，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2 +5x−m=0的一个根是2，
∴22 +5×2−m=0，
解得：m=14．
故选：D
3．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若a是方程x2 +3x−1=0的一个根，则
2a2 +6a+2022=
【答案】2024
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到a2 +3a=1，
再把2a2 +6a+2022变形为2(a2 +3a)+2022，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵a是方程x2 +3x−1=0的一个根，
∴a2 +3a−1=0，
∴a2 +3a=1，
∴2a2 +6a+2022=2(a2 +3a)+2022
=2×1+2022
=2+2022
=2024．
故答案为：2024
4．（24-25九年级上·吉林·期中）已知x=a是方程x2−4x−30=0的一个根，则代数式
2a2−8a−2的值为 ．
【答案】58
【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据一
元二次方程根的定义得到a2−4a=30，再整体代入计算即可．
【详解】解：由条件可知：a2−4a=30，
∴2a2−8a−2=2(a2−4a)−2=2×30−2=58．
故答案为：58．
【题型03：解一元二次方程】
1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程x2−6x+3=0时，下列变
形正确的是（ ）
A．(x−3) 2 =3 B．(x−3) 2 =6 C．(x+3) 2 =6 D．(x−3) 2 =12
【答案】B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一
次项系数一半的平方，最后整理得(x−3) 2 =6，即可作答．
【详解】解：依题意，
x2−6x+3=0，
移项得x2−6x=−3，
x2−6x+9=−3+9=6，
∴(x−3) 2 =6，
故选：B2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）方程(x+3) 2 =4的根是（ ）
A．x =−1，x =−5 B．x =1，x =−5
1 2 1 2
C．x =x =−1 D．x =−1，x =5
1 2 1 2
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方
程解法是解题的关键．
【详解】解：(x+3) 2 =4
x+3=±❑√4=±2，
x+3=2 或x+3=−2 ，
∴
x =−1，x =−5，
1 2
故选：A．
3．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）解方程：x2 +8x−9=0
【答案】x =−9；x =1
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法
和公式法是解题的关键．
利用因式分解法直接求解即可．
【详解】解：x2 +8x−9=0
(x+9)(x−1)=0
x+9=0或x−1=0
x =−9或x =1.
1 2
4．（22-23九年级上·全国·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)(x−2) 2−16=0
(2)5x2 +2x−1=0
(3)x2−3x+2=0
【答案】(1)x =6，x =−2
1 2
−1+❑√6 −1−❑√6
(2)x = ，x =
1 5 2 5
(3)x =2，x =1
1 2
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用直接开方法求解即可；（2）运用公式法求解即可；
（3）运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：(x−2) 2−16=0，
移项，得(x−2) 2 =16，
开方，得x−2=±4，
解得x =6，x =−2．
1 2
（2）解：5x2 +2x−1=0
∵a=5，b=2，c=−1，
Δ=b2−4ac=22−4×5×(−1)=24>0
∴方程有两个不相等的实数根，
−b±❑√b2−4ac −2±❑√24 −1±❑√6
x= = = ，
2a 2×5 5
−1+❑√6 −1−❑√6
∴x = ，x = ．
1 5 2 5
（3）解：x2−3x+2=0，
因式分解，得(x−2)(x−1)=0，
∴x−2=0或x−1=0，
解得x =2，x =1．
1 2
5．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）按要求解方程：
(1)公式法：2x2−4x−5=0；
(2)因式分解法：3x(x−1)=2(x−1)
2+❑√14 2−❑√14
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 ❑ 2
2
(2)x = ，x =1
1 3 2 ❑
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解决问题的关键．
（1）用求根公式解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：2x2−4x−5=0，−(−4)±❑√(−4) 2−4×2×(−5)
x= ，
2×2
4±❑√16+40
x= ，
4
4±2❑√14
x= ，
4
2+❑√14 2−❑√14
x = ，x = ；
1 2 2 ❑ 2
（2）3x(x−1)=2(x−1)，
(3x−2)(x−1)=0，
2
x = ，x =1．
1 3 2 ❑
6．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）解下列方程：
(1)(x−2) 2−25=0；
(2)x2−2x=4；
(3)2x2 +2x−1=0；
(4)2(x+1)−x(x+1)=0．
【答案】(1)x =7，x =−3
1 2
(2)x =1+❑√5，x =1−❑√5
1 2
−1+❑√3 −1−❑√3
(3)x = ，x =
1 2 2 2
(4)x =−1，x =2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）先移项得(x−2) 2 =25，再利用直接开平方法求解；
（2）利用配方法解方程；
（3）利用公式法解方程；
（4）先提公因式(x+1)，利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：(x−2) 2−25=0，
(x−2) 2 =25，x−2=±5，
∴
x =7，x =−3；
1 2
（2）解：x2−2x=4，
x2−2x+1=4+1，
(x−1) 2 =5，
x−1=±❑√5，
∴x =1+❑√5，x =1−❑√5；
1 2
（3）解：2x2 +2x−1=0，
Δ=22−4×2×(−1)=12，
−2±❑√12 −1±❑√3
∴x= = ，
2×2 2
−1+❑√3 −1−❑√3
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）解：2(x+1)−x(x+1)=0，
(x+1)(2−x)=0，
∴x+1=0或2−x=0，
∴
x =−1，x =2．
1 2
【题型04：一元二次方程根的判别式】
1．（21-22九年级上·河南驻马店·期中）一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题
属于基础题型．
根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：Δ=(−2) 2−4×1×1=0，
∴一元二次方程x2−2x+1=0有两个相等的实数根，
故选：B．2．（2025·辽宁沈阳·二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2 +5x=0 B．x2−4=0 C．x2−2x+1=0 D．x2−x−12=0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当
Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方
程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：A、∵Δ=52 =25>0，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、∵Δ =02−4×1×(−4)=16>0，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C、∵Δ =(−2) 2−4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、∵Δ =(−1) 2−4×1×(−12)=49>0，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意．
故选：C．
3．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）关于x的一元二次方程mx2−3x+1=0有实数根，
则m的取值范围是（ ）
9 9 9 9
A．m≤ 且m≠0 B．m≤ 且m≠0 C．m> D．m≥
2 4 4 2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式的关系．根据题意得出Δ≥0
且m≠0，即Δ=(−3) 2−4×m×1=9−4m≥0且m≠0，求解即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−3x+1=0有实数根，
∴Δ≥0且m≠0，
即Δ=(−3) 2−4×m×1=9−4m≥0且m≠0，
9
∴ m≤ 且m≠0．
4
故选：B．
4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若关于x的一元二次方程(k−1)x2−2kx+k−3=0有
实数根，则k的取值范围为（ ）3 3
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥ 且k≠1
4 4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义
结合根的判别式Δ≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解
之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2−2kx+k−3=0有实数根，
∴Δ=(−2k) 2−4(k−1)(k−3)≥0，且k−1≠0，
则4k2−4k2 +16k−12=16k−12≥0，且k≠1
3
解得k≥ 且k≠1
4
故选：D
5．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+ ( m− 1) =0．
4
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当m取00，进而可
证出方程必有两个不等实数根；
（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出m=1，代入后可得出原方程
3
为x2−2x+ =0，且Δ=1，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．
42 ( 1)
【详解】（1）证明：Δ=[−(m+1)) −4×1× m−
4
=m2 +2m+1−4m+1
=m2−2m+2
=(m−1) 2 +1．
∵(m−1) 2≥0，
∴(m−1) 2 +1>0，
即Δ>0，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取00 ⇔方程有两
不等实根，b2−4ac=0 ⇔方程有两相等实根，b2−4ac<0 ⇔方程没有实根．
（1）先求出Δ的值，再根据的意义即可得到结论；
（2）利用因式分解法求得方程的根为x =−1，x =3−k，然后根据方程有一根为正
1 2数列出关于k的不等式并解答．
【详解】（1）证明：（1）∵a=1,b=k−2,c=k−3，
∴b2−4ac=−4×1×(k−3)，
=k2−8k+16 =(k−4) 2，
∵(k−4) 2≥0 ，
∴Δ ≥0，
∴方程总有两个实数根．
−b±❑√b2−4ac 2−k±(k−4)
（2）x= = ，
2a 2
2−k+k−4 2−k−k+4
∴x = =−1,x = =3−k，
1 2 2 2
∵方程有一根为正数，
∴3−k>0 ，
∴k<3．
【题型05：一元二次方程根与系数的关系】
1．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于x的一元二次方程x2−3x−5=0的两个根
是x , x ，则x +x −x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．8 B．−8 C．−2 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题
的关键．
根据根与系数的关系得到x +x =3，x x =−5，即可求出x +x −x x 的值．
1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x−5=0的两个根是x , x ，
1 2
−3 −5
∴ x +x =− =3，x x = =−5，
1 2 1 1 2 1
∴x +x −x x =3−(−5)=8，
1 2 1 2
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东·期末）已知α,β是方程x2−2x−2024=0的两个实数根，则α2−4α−2β+αβ的值是（ ）
A．−4 B．4 C．−2 D．2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握定理是解题
的关键．
【详解】解：α,β是方程x2−2x−2024=0的两个实数根，
则α+β=2,αβ=−2024，α2−2α−2024=0，
故α2−2α=2024，
故α2−4α−2β+αβ=α2−2α−2α−2β+αβ=α2−2α−2(α+β)+αβ
=2024−4−2024=−4，
故选：A．
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知x ，x 是方程x2 +3x−1=0的两个实数根，则
1 2
x +x −x x 的值为 ．
1 2 1 2
【答案】－2
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键在于正确应用韦达
b c
定理．由根与系数的关系求出两根之和 x +x =− =−3，两根之积 x x = =−1，
1 2 a 1 2 a
然后代入表达式 即可求．
【详解】解：∵ x ，x 是一元二次方程x2 +3x−1=0的两根，
1 2
∴
x +x =−3，x x =−1，
1 2 1 2
∴x +x −x x =−3−(−1)=−2．
1 2 1 2
故答案为：−2．
4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知x ,x 是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则
1 2
1 1
+ 的值为 ．
x x
1 2
2
【答案】− /−0.4
5
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程b c
ax2 +bx+c=0(a≠0)，若x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，再由 1 1 x +x
x +x =2，x x =−5 + = 1 2
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
进行求解即可．
【详解】解：∵ x ,x 是方程x2−2x−5=0的两个实数根，
1 2
∴
x +x =2，x x =−5，
1 2 1 2
1 1 x +x 2
∴ + = 1 2=− ，
x x x x 5
1 2 1 2
2
故答案为：− ．
5
5．（24-25九年级上·广东广州·期末）若x 、x 是方程x2 +2x−2028=0的两个实数根，则
1 2
代数式x 2 +4x +2x 的值等于 ．
1 1 2
【答案】2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练
掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程ax2 +bx+c=0
b c
的两个实数根是x 、x ，那么x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知x2 +2x =2028，x +x =−2，
1 1 1 2
将x 2 +4x +2x 变形后得到x 2 +2x +2(x +x )，代入求值即可．
1 1 2 1 1 1 2
【详解】解： x 、x 是方程x2 +2x−2028=0的两个实数根，
1 2
∴x2 +2x −2 ∵ 028=0，x +x =−2，
1 1 1 2
∴x2 +2x =2028，
1 1
x 2 +4x +2x
1 1 2
∴
=x 2 +2x +2x +2x
1 1 1 2=x 2 +2x +2(x +x )
1 1 1 2
=2028+2×(−2)
=2024
故答案为：2024．
【题型06：有关一元二次方程传播问题】
1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个
人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（ ）
A．2x2 +2=162 B．2(x2 +x+1)=162
C．2(x+1) 2 =162 D．x2 +2x+2=162
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染x人．
初始有2人患病，第一轮传染后总人数为2(1+x)，第二轮传染后总人数为
2(1+x)+2(1+x)x=2(1+x)(1+x)=2(1+x) 2，根据题意，两轮后总患者数为162，
由此建立方程．
【详解】解：第一轮传染：初始2人，每人传染x人，新增2x人．总患者数为
2+2x=2(1+x)．
第二轮传染：此时有2(1+x)人，每人再传染x人，新增2(1+x)x人．总患者数为
2(1+x)+2(1+x)x=2(1+x)(1+x)=2(1+x) 2．
根据题意，两轮后总患者数为162，因此方程为：2(1+x) 2 =162．
故选：C．
2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一个同学经过培训后会做某项实验，回到
班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同
学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为
（ ）A．x+(x+1)x=3 B．(x+1) 2 =36
C．x+(x+1) 2 =36 D．1+x+x2 =36
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每节课一人教会x人，根据题
意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．
【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得：
1+x+x（1+x）=36，
即：（x+1） 2 =36，
故选：B．
3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为
单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等
量关系．设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了
1
x(x−1)场比赛，即可列出方程，求解即可．
2
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
1
x(x−1)=15，
2
x2−x−30=0，
解得：x =6,x =−5（舍），
1 2
则共有6个班级参加比赛，
故选：C．
4．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张
贺卡，设该小组共有x人，则可列方程
【答案】x(x−1)=72
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，
列出方程．
设该小组共有x人，则每人需送出(x−1)张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出．【详解】解：设该小组共有x人，则每人需送出(x−1)张贺卡，
依题意得：x(x−1)=72．
故答案为：x(x−1)=72．
5．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种
植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和
小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ．
【答案】1+x+x2 =31
【分析】本题考查了列方程解决实际问题，准确理解题意是解题的关键．设这种植物
每个支干长出x个小分支，根据每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小
分支的总数是31，列方程即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得1+x+x2 =31，
故答案为：1+x+x2 =31．
6．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人
数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发
送短信中，平均一个人向x个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ．
【答案】(1+x)x=90
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送
人数与接收人数列方程即可．
【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，
则(1+x)x=90，
故答案为：(1+x)x=90
7．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人
们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，
如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有111人有此短
信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)10人
(2)1111人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
依题意得：1+x+x2 =111
解得x=10或−11（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给10人；
（2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：
1+1×10+10×10+10×100=1111（人）．
答：从小王开始计算，三轮后会有1111人有此短信．
8．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染
后共有81人患了流感．
(1)每轮传播中平均一人传染几个人？
(2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由．
【答案】(1)8个人
(2)会，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染
中有x(x+1)人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流
感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数×(1+8)，
即可求出结论．
【详解】（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，
第二轮传染中有x(x+1)人被感染，根据题意得，
1+x+x(x+1)=81，
解得：x =8,x =−10（不符合题意，舍去）.
1 2
答：每轮传播中平均一人传染8个人；
（2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下：
根据题意得：81×(1+8)=81×9=729（人），
∵729>700，
∴经过三轮传染后会超过700人患流感．【题型07：有关一元二次方程面积问题】
1．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，有一面积为600m 2的长方形鸡场，它的一边靠
墙（墙长35m），另三边用总长为69m的竹篱笆围成，其中一边开有1m的门．设鸡场
垂直于墙的一边为xm，则可列方程（ ）
A．x(69+1−2x)=600 B．x(69−1+2x)=600
C．x(69−2x)=600 D．x(35+1−2x)=600
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为(69+1−2x)m，根据面积为
600m 2，列出方程，即可求解．
【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为(69+1−2x)m，
根据题意得：x(69+1−2x)=600，
故选：A．
2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部
分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm 2
的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．(28−2x)(16−2x)=80 B．(28−2×2x)(16−2x)=80
(1 ) 1
C． ×28−2x (16−2x)=80 D． (28−2x)(16−2x)=80
2 2【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
设该盒子的高为xcm，根据题意可知折成的有盖长方体盒子的底面是长为
1
(28−2x)cm，宽为(16−2x)cm的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为
2
80cm 2，列出方程即可．
1
【详解】解：设该盒子的高为xcm，根据题意可得 (28−2x)(16−2x)=80．
2
故选：D．
3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，某小区有一块长20m，宽10m的长方形空地，
计划在其中修建两个相同的长方形花坛，要求两个花坛的面积之和为84m2，且两个花
坛之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为x米，则可列方程
【答案】(20−3x)(10−2x)=84
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是根据题意中的图形的面积列
出方程．
设人行道的宽度为x米，然后表示出两个相同的长方形花坛的长与宽； 然后根据两
个相同的长方形花坛的面积之和为84m2，即可列出一元二次方程．
【详解】解：设人行通道的宽度为x米，
根据题意得(20−3x)(10−2x)=84．
故答案为：(20−3x)(10−2x)=84．
4．（24-25九年级上·贵州·期末）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为
12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房
墙的一边留一扇1米宽的门．(1)如图，设猪舍与墙垂直的一边AD长为x米，用含x的式子表示另一边长AB的长．
(2)当x为多少时，猪舍面积为80平方米？
【答案】(1)(26−2x)米
(2)x=8
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，看懂图形，列出一元二次方
程是解题关键．
（1）结合矩形猪舍三边用25米长的建筑材料围成的，在垂直于住房墙的一边留一扇
1米宽的门，进行列式表达另一边长AB的长为(26−2x)米；
（2）根据长乘宽等于矩形的面积，列方程x(26−2x)=80，再解得x =8,x =5，最
1 2
后检验，即可作答．
【详解】（1）解：∵另外三边用25米长的建筑材料围成的，在垂直于住房墙的一边
留一扇1米宽的门．且设猪舍与墙垂直的一边AD长为x米，
∴25+1−2x=26−2x（米）
∴另一边长AB的长为(26−2x)米；
（2）解：∵猪舍面积为80平方米，
∴AD×AB=80，
即x(26−2x)=80，
∴x2−13x+40=0，
解得x =8,x =5，
1 2
当x=5时，则26−2x=26−2×5=16>12（舍去），
当x=8时，则26−2x=26−2×8=10<12，
∴当x=8时，猪舍面积为80平方米．
5．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．
某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三
边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木
栏总长30米．
(1)矩形ABCD的面积为72m 2， 求出AB的长；(2)矩形ABCD的面积能否为80m 2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)6米
(2)不能，理由见详解
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准
确的列出方程，是解题的关键．
（1）根据题意，求出BC的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行
求解即可；
（2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论．
【详解】（1）解：设矩形ABCD的一边CD长为x，
则：BC=30−3x=30−3x，
由题意，得：(30−3x)⋅x=72，
解得：x =4,x =6，
1 2
当x=4时，30−3x=30−12=18>15，不合题意，舍去；
∴x=6，
∴AB的长为 6 米；
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得：(30−3x)⋅x=80，
整理，得：3x2−30x+80=0，
∴Δ=(−30) 2−4×3×80=−60<0
∴一元二次方程没有实数根，
∴矩形ABCD的面积不能为80m 2．
6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大
可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱
笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为61平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)27−3x(2)宽为5米，长为12米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量
关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为60平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合
题意的值即可．
（3）设花圃的一边AB长为y米，则AD=25+1+1−3 y=27−3 y (m)，根据花圃的
面积为61平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽AB长为x米，
∴另一边AD的长为AD=BC=25−3x+2=27−3x米，
故答案为：27−3x；
（2）解：∵花圃的面积刚好为60平方米，
∴x(27−3x)=60，
化简得：x2−9x+20=0，
解得：x =4，x =5，
1 2
∵墙的最大可用长度为14米，
当x=4时，27−3x=15>14，不符合题意，舍去；
当x=5时，27−3x=12<14，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为12米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为61平方米，理由如下：
设花圃的一边AB长为y米，
则AD=25+1+1−3 y=27−3 y (m)，
根据题意可得：y(27−3 y)=61，
整理得：3 y2−27 y+61=0，
∵Δ=(−27) 2−4×3×61=−3<0，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为61平方米．
【题型08：有关一元二次方程增长率问题】
1．（24-25九年级上·广东珠海·期末）某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根
据题意得方程为（ ）
A．50(1+x) 2 =175 B．50+50(1+x) 2 =175
C．50(1+x)+50(1+x) 2 =175 D．50+50(1+x)+50(1+x) 2 =175
【答案】D
【分析】本题主要考査了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量
关系是解题的关键．本题可先用x表示出二月份的总收入，再根据题意表示出三月份
的总收入，然后将三个月的总收入相加，即可列出方程．
【详解】解：设平均每月的增长率为x，则二月份的总收入为：50(1+x)，三月份的
总收入为：50(1+x)(1+x)=50(1+x) 2，
根据题意得：50+50(1+x)+50(1+x) 2 =175．
故选：D．
2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所
示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（
）
A．180(1−x) 2 =461 B．
180(1+x) 2 =461
C．368(1−x) 2 =442 D．368(1+x) 2 =442
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用．本题为增长率问题，一般用增长后的
量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，
根据题意可得方程：180(1+x) 2 =461，
故选：B．
3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫
生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年10月，国内某企业口罩出口订单
额为1000万元，2020年12月该企业口罩出口订单额为1210万元．
(1)求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率；
(2)按照（1）的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额为多少万元？
【答案】(1)10%
(2)2021年1月订单额为1331万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
（1）设该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为x，根据2020
年10月及12月该企业口罩出口订单额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其
正值即可得出结论；
（2）根据该企业2021年1月口罩出口订单额=该企业2020年12月口罩出口订单额×
（1+增长率），即可求出结论．
【详解】（1）设月平均增长率为x，则1000(1+x) 2 =1210，
1 21
解得：x = ，x =− （舍去），
1 10 2 10
答：月平均增长率是10%．
（2）1210×(1+0.1)=1331（万元）
答：2021年1月订单额为1331万元．
4．（24-25九年级上·云南保山·期末）4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年
“共建书香社会·共享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践
中心举行，活动旨在全社会大力营造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国
家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数
和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是6500本，2024年
图书借阅总量是9360本．(1)求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率；
(2)如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？
【答案】(1)20%
(2)11232本
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；
（1）设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为x，根据题意，
列出一元二次方程并求解即可；
（2）2024年图书借阅总量× (1+该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平
均增长率)即可求出．
【详解】（1）解：设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为x，
根据题意得：6500(1+x) 2 =9360
解得：x =0.2,x =−2.2（舍去）
1 2
答：该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为20%；
（2）解：9360(1+20%)=11232（本）．
答：预计2025年图书借阅总量是11232本
【题型09：有关一元二次方程利润问题】
1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）阳朔糍粑是桂林的特色美食．今有某店铺销售，
通过分析销售情况发现，阳朔糍粑的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次
函数，销售单价、日销售量的部分对应值如表，已知销售单价不低于成本价．当店铺
将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元．
销售单价x（元/盒） 15 17
日销售量y（盒） 150 100
(1)求糍粑的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式．
(2)十一国庆为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销方式，当销售单价
x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？
【答案】(1)y=−25x+525
(2)13元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是∶
（1）利用待定系数法，求出y关于x的函数关系式； （2）根据各数量之间的关系，找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式， （2）利用
总利润=每盒的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的
值，再结合要尽可能让利顾客，即可得出结论，
【详解】（1）解∶设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将(15, 150)，(17, 100)代入y=kx+b
{15k+b=150)
得∶ ，
17k+b=100
{k=−25)
解得∶ ，
b=525
∴y关于x的函数表达式为y=−25x+525；
（2）解：当x=18时，y=−25×18+525=75．
∴每盒糍粑的销售利润为750÷75=10 (元)，
∴每盒糍粑的成本为18−10=8 (元)，
根据题意得∶(x−8)(−25x+525)=1000，
整理得∶x2−29x+208=0．
解得∶ x =13，x =16，
1 2
∵要尽可能让利顾客，
∴x=13．
答∶当销售单价x(元/盒)定为13时，日销售利润为1000元．
2．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价
是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出
厂价调整为128元/件．
(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平
均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2
元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少
元？
【答案】(1)平均下降率为20%
(2)单价应降低16元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题
的关键：（1）设平均下降率为x，根据平均下降率的等量关系a(1−x) 2 =b，列出等量关系，
进行求解即可；
（2）设单价应降低y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设平均下降率为x，由题意，得：
200(1−x) 2 =128，
解得：x=0.2=20%或x=1.8（舍去）；
答：平均下降率为20%．
( y )
（2）设单价应降低y元，由题意，得：(166−y−128) 20+ ×4 =1144，
2
解得：y =16,y =12，
1 2
∵要尽快减少库存，
∴y=16；
答：单价应降低16元．
3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发现，每箱
售价x（单位：元）与每天销量y（单位；箱）之间满足如图所示的函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围）
(2)葡萄的进价是40元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利1540元，尽量要使顾客获得实
惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？
【答案】(1)y=−5x+380
(2)54元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用和一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数
法，是解题的关键．
（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据总利润=单个的利润×销售量，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系是y=kx+b，
{68k+b=40)
根据题意，可得 ，
66k+b=50
{k=−5)
解得：
b=380
故y与x之间的函数关系式是y=−5x+380．
（2）由题意可得(x−40)(−5x+380)=1540，
解得x =54，x =62．
1 2
∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低，
∴x=54．
答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是54元．
4．（2023·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，
2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，
设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.
(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元
至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为
多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为20%
(2)该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量=一月份
的销售量×(1+月均增长率) 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得
出结论；
（2）设每台售价定为y元，则每台的销售利润为(y−30)元，四月份可售出
[ 6 )
576+ (40−y) 台，利用总利润=每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关
0.5
于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：400(1+x) 2 =576，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为20%．
（2）设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
[ 6 )
依题意，得：(y−30) 576+ (40−y) =4800，
0.5
整理，得y2−118y+3040=0，
解得y =38，y =80（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出
“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．
(1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率；
(2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100
元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定
降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少
元？
【答案】(1)20%
(2)20元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设月平均增长率为x，根据9月份的销售量×(1+x) 2 =11月份的销售量建立方程，
解方程即可得；
（2）设售价应降低a元，根据利润=每件的利润×销售量建立方程，解方程可得a的值，
再根据商家要求尽量减少库存即可得．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，
由题意得：500(1+x) 2 =720，
解得x=0.2=20%或x=−2.2<0（不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为20%．（2）解：设售价应降低a元，
由题意得：(100−a−60)(20+2a)=1200，
整理得：a2−30a+200=0，
解得a=10或a=20，
∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，
∴a=20，
答：售价应降低20元．
6．（24-25九年级上·贵州·期末）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，
已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110
元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该
电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件；
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
【答案】(1)105
(2)y=−2x+240(70≤x≤99)
(3)90元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）结合商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销
售量增加2件，进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，列式化简得y=−2x+240，结合成本价以及该电商在直播中承诺自
家商品价格永远不会超过99元/件，得出自变量的取值范围，即可作答．
（3）结合电商每天可盈利1200元，进行列出一元二次方程，再解得x =100,x =90，
1 2
然后进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：设当产品售价为x元/件时，销售量为30件，
依题意，得2×(110−x)+20=30，
解得x=105，
即当销售量为30件时，产品售价为105元/件；
（2）解：依题意，y=2×(110−x)+20=−2x+240，
∵已知该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．
∴70≤x≤99，
∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y=−2x+240(70≤x≤99)．
（3）解：该产品的售价每件应定为x元，电商每天可盈利1200元，
由（2）得y=−2x+240，
则1200=(x−70)×y=(x−70)(−2x+240)，
整理得600=(x−70)(−x+120)，
∴600=−x2 +120x+70x−8400，
整理得x2−190x+9000=(x−100)(x−90)=0，
解得x =100,x =90，
1 2
∵为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．
∴x=100>99（舍去）
即该产品的售价每件应定为90元，电商每天可盈利1200元．
7．（23-24九年级上·河南周口·期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的
定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一
个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【答案】(1)7770元
(2)房价定为300元或320元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题
意找到题目蕴含的相等关系，列出方程．
（1）根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得；
（2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得．
【详解】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
( 30)
(200+30−20)× 40− =7770（元）；
10
（2）设每个房间的定价为a元，
( a−200)
根据题意，得：(a−20) 40− =8400，
10解得：a=300或a=320．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
【题型10：有关一元二次方程动点问题】
1．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，
BC=7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的
速度为1cm/ s，点Q的速度为2cm/ s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运
动，当四边形APQC的面积为13cm2时，则点P运动的时间是（ ）
A．3s B．5s C．3s或5s D．6s
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的
动点问题．设点P运动的时间是ts，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面
积计算公式即可解答．
【详解】解：设点P运动的时间是ts，
1 1
×8×7− (8−t)⋅2t=13，
2 2
解得：t =3，t =5，
1 2
当t=5时，2t=10>7，不符合题意，舍去，
∴t=3，
故答案为：A．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，
AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，
一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm 2；
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
【答案】(1)5秒
8
(2)从出发到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
5
【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示，
（1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则PB=(16−3x)cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式求解即可；
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作QE⊥AB，垂足为E，则
PA=3t，CQ=BE=2t，有PE=|16−5t)，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm 2，
则PB=(16−3x)cm，QC=2xcm，
1
根据梯形的面积公式得 (16−3x+2x)×6=33(cm)，
2
解之得x=5，
答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm 2；
（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6cm，PQ=10cm，
∵PA=3tcm，CQ=BE=2tcm，
∴PE=AB−AP−BE=|16−5t)，
由勾股定理，得(16−5t) 2 +62 =102，
8 24
解得t = ，t = （舍去）．
1 5 2 58
答：从出发到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
5
3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，
BC=24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重
合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（小与点C重合）．
若P、Q两点同时移动t(s)；
(1)当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2．
(2)设四边形APQC的面积为Scm2，当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
请说明理由．
【答案】(1)当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；
(2)当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积．
（1）求运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计
算即可；
（2）令△ABC的面积减去△BPQ的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，
求解即可．
【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t<6），PB=AB−2t=12−2t，BQ=4t，
1
∴ S = PB⋅BQ=24t−4t2 =32，
△BPQ 2
解得：t =2，t =4．
1 2
答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；1
（2）解： S=S −S = AB⋅BC−(24t−4t2)=4t2−24t+144=108，
△ABC △BPQ 2
解得：t =t =3．
1 2
答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2．
4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A开
始沿AB边以3cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果
点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停
止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为5cm；
(2)连接PD、PQ，当t为何值时，△DPQ为直角三角形．
3
【答案】(1)t=
4
3 7
(2)t=1或t= 或t=
4 4
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握
以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．
（1）作QH⊥AB交AB于点H，利用矩形的性质得到BH=CQ=tcm，
QH=BC=3cm，再利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）分两种情况①∠DPQ=90°；②∠DQP=90°，根据矩形的性质和勾股定理分
别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：作QH⊥AB交AB于点H，则∠QHB=90°，
由题意得，AP=3tcm，CQ=tcm，
∵∠QHB=∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQH是矩形，∴BH=CQ=tcm，QH=BC=3cm，
在Rt△PQH中，PH2 +QH2 =PQ2，
∴PH=❑√PQ2−QH2 =❑√52−32 =4(cm)，
∵AB=AP+PH+BH，
∴7=3t+4+t，
3
解得：t= ，
4
3
∴当t= 时，点P、Q之间的距离为5cm．
4
（2）解：①若∠DPQ=90°，作QE⊥AB交AB于点E，则∠QEB=90°，
由题意得，AP=3tcm，CQ=tcm，
∴DQ=CD−CQ=(7−t)cm，
在Rt△ADP中，DP2 =AP2 +AD2 =(3t) 2 +9，
∵∠QEB=∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴BE=CQ=tcm，QE=BC=3cm，
∴PE=AB−AP−BE=(7−4t)cm，
在Rt△PQE中，PQ2 =PE2 +QE2 =(7−4t) 2 +9，
在Rt△DPQ中，DQ2 =DP2 +PQ2，
∴(7−t) 2 =(3t) 2 +9+(7−4t) 2 +9，
3
解得：t =1，t = ，
1 2 4
3
∴t=1或t= ；
4
②若∠DQP=90°，∵∠QPB=∠B=∠C=90°
，
∴四边形BCQP是矩形，
∴BP=CQ=tcm，QP=BC=3cm，
∴DQ=(7−t)cm，
由①得，DP2 =AP2 +AD2 =(3t) 2 +9，
在Rt△DPQ中，DP2 =DQ2 +PQ2，
∴(3t) 2 +9=(7−t) 2 +32，
7 7
解得：t = ，t =− （舍去负值），
1 4 2 2
7
∴t= ；
4
3 7
∴综上所述，当t=1或t= 或t= 时，△DPQ为直角三角形．
4 4
5．（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，
BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿
BC边向点C以2cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm 2？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积能否等于10cm 2？
(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于6cm？
【答案】(1)2秒
(2)△PBQ的面积不能等于10cm 2；12
(3) s
5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解
决问题的关键．
（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm 2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出
BP=AB−AP=(6−x)cm和BQ=2xcm，可列方程求解；
（2）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于10cm 2，根据点P从A点开始沿AB边向点B
以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出
BP=AB−AP=(6−x)cm和BQ=2xcm，可列方程，根据方程有无实数根进行判断
即可；
（3）设经过x秒，PQ的长度等于6cm，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：设xs后，BP=AB−AP=(6−x)cm，BQ=2xcm.
根据三角形的面积公式列方程，
1
得： ×2x(6−x)=8.
2
解得：x =2，x =4
.
1 2
当x=4时，BQ=4×2=8cm>7cm，不合题意，舍去.
所以2秒后，△PBQ的面积等于8cm 2；
（2）△PBQ的面积不能等于10cm 2，
理由：根据三角形的面积公式列方程，
1
得： ×2x(6−x)=10，
2
整理，得：x2−6x+10=0.
∵Δ=(−6) 2−4×1×10=−4<0，
∴x2−6x+10=0没有实数根，
所以△PBQ的面积不能等于10cm 2 .
（3）根据勾股定理得到，BP2 +BQ2 =PQ2，
得：(6−x) 2 +(2x) 2 =36.
12
解得：x = ，x =0（不符合题意，舍去）.
1 5 212
所以 s后，PQ的长度等于6cm．
5
6.（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，
AB=16cm,AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向
点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点
Q随之停止运动，设运动时间为ts．
(1)AP=______，CQ=______，（用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm 2；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
(4)P，Q同时出发，直接写出t为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形．
【答案】(1)3tcm；(16−2t)cm
(2)5
8 24
(3)t为 或
5 5
6❑√59−32 2❑√43+16 16−2❑√43
(4)t= 或2或 或
5 7 7
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾
股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程；
（1）当运动时间为ts时，根据点P和点Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数
式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即
可得出结论．
（4）分PD=PQ，PQ=DQ，DP=DQ三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即
可．
【详解】（1）解：当运动时间为ts时，AP=3tcm,BP=(16−3t)cm，
CQ=2tcm,DQ=(16−2t)cm，
故答案为：3tcm；(16−2t)cm．1
（2）依题意得： [(16−3t)+2t]×6=33，解得：t=5．
2
答：当t为5时，四边形的面积为33cm 2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示．
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵QE⊥AB，
∴四边形BCQE是矩形，
∴BE=QC=2tcm，QE=BC=AD=6cm，
∴PE=|(16−3t)−2t)=|16−5t)cm，
在Rt△PEQ中，PE2 +QE2 =PQ2，
∴|16−5t) 2 +62 =102，即(16−5t) 2 =82，
8 24
解得t = ,t = ，
1 5 2 5
8 24
答：当t为 或 时，点P和点Q的距离为10cm．
5 5
（4）解：当PD=PQ时，过P作PF⊥CD，
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∵PF⊥CD, PD=PQ，
1 1
∴DF=FQ= DQ= (16−2t)=(8−t)cm，∠PFD=90°，
2 2
∴四边形APFD是矩形，
∴AP=DF，∴3t=8−t，
解得：t=2；
当PQ=DQ时，过Q作QE⊥AB于E，
同理可证：四边形BEQC是矩形，
∴QE=AD=6, BE=QC=2tcm，DQ=(16−2t)cm，
∴PE=PB−BE=|16−3t−2t)=|16−5t)cm，
在Rt△PEQ中，PE2 +EQ2 =PQ2 =QD2，
∴|16−5t) 2 +62 =(16−2t) 2，即(16−5t) 2 +62 =(16−2t) 2，
2❑√43+16 16−2❑√43
解得：t= 或t= ，
7 7
当DP=DQ时，
在Rt△APD中，AP2 +AD2 =PD2 =QD2，
∴(3t) 2 +62 =(16−2t) 2，
6❑√59−32 −6❑√59−32
解得：t= 或t= （舍去），
5 5
6❑√59−32 2❑√43+16 16−2❑√43
综上所述，t= 或2或 或 ．
5 7 7
