文档内容
专题 01 一元二次方程（期中复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
①准确判断一元二次方程；
一元二次方程的定 ②根据一元二次方程的定义求值；
基础必考点，常出现在小题
义及其一般形式
③把一元二次方程化为一般形式并判
断其各项系数
根据一元二次方程的解的意义求字母
一元二次方程的解 基础必考点，常出现在小题（易错题）
或式子的值
①掌握解一元二次方程的所有方法，
能够熟练的选择适当的方法解方程 ①综合题考解方程的基本方法
解一元二次方程 ②利用配方法求代数式的最值 ②小题或综合题考配方法的应用（易错
题）
③利用配方法比较代数式的大小关系
①根据方程判断根的情况
根的判别式的应用 ②根据根的情况求方程中未知字母的 常考小题与综合题（易错题）
取值范围
①熟练求出与两根有关的代数式的
值，包含基本式与拓展式
②已知方程的一根，求另一根及字母
根与系数的关系 常考小题与综合题（易错题）
系数
③已知两根满足某种关系，求字母系
数
一元二次方程的实 熟练解决一元二次方程实际应用的各
常考小题或综合题（必考题）
际应用 种类型
知识点01一元二次方程的定义及其一般形式
1. 一元二次方程的定义：
只含有1个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a是二次项系数。bx是一次项，
b一次项系数。c是常数项。
·易错点：判断一元二次方程的每一项时必须先将其化成一般形式再进行判断，且每一项包含前面的符号。知识点02二元一次方程的解
一元二次方程的根：
使一元二次方程左右两边的成立的未知数的值是一元二次方程的根。也叫做一元二次方程的解。
注意：若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为1，则有a+b+c=0；
若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为﹣1，则有a-b+c=0；
若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为0，则有c=0；
知识点03解一元二次方程
1. 直接开方法：
2
x =p
（1）解 的一元二次方程：
2
p＞0 x =p x =❑√p x =-❑√p
① 时，一元二次方程 有2个不相等的实数根，即 1 ， 2 。他们互为相反数。
2
p=0 x =p x =x =0
②当 时，一元二次方程 有2个相等的实数根，即 1 2 。
2
p＜0 x =p
③当 时，一元二次方程 没有实数根。
(ax+b) 2 =p
（2）解 的一元二次方程：
①当
p＞0
时，一元二次方程
(ax+b) 2 =p
有2个不相等的实数根。x =
❑√p-b
，x =
-❑√p-b
。
1 a 2 a
②当 p=0 时，一元二次方程 (ax+b) 2 =p 有2个相等的实数根。x =x =- b 。
1 2 a
p＜0
ax+b=√p
当 时，一元二次方程 没有实数根。
③
2
(x+b) =p
2. 配方法：将一元二次方程化成 的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
（1）配方法解一元二次方程的具体步骤：
①将方程变形，含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。
②将二次项系数化为1。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数。且将常数项移到
等号的右边。
③方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方。
④把方程的左边写成完全平方式，右边是一个常数。
⑤根据直接开方法解方程。
·示例：利用配方法解2x2+3＝7x
解：移项得2x2﹣7x＝﹣3，7 3
二次项系数化为1，得x2- x=- ．
2 2
7 7 3 7
配方，得x2- x+（ ）2=- +（ ）2
2 4 2 4
7 25
即（x- ）2= ，
4 16
7 5
开方得x- =± ，
4 4
1
∴x ＝3，x = ．
1 2 2
（2）配方法求二次三项式的最值：
2
a(x+b) +k k a＞0 k
利用配方法将二次三项式化成 的形式判断二次三项式的最值为 。若 ，则 为二次三
a＜0 k
项式的最小值；若 ，则 为二次三项式的最大值。
具体步骤：
①提公因式：即提二次项系数。
②配方：在一次项后面加上一次项系数一半的平方，为了式子的值不发生变化，再减去一次项系数一
半的平方。
③将式子写成的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以a再拿出来。
·示例：求代数式x2﹣10x+5的最小值
x2﹣10x+5
＝x2﹣10x+25－25+5
＝（x﹣5）2﹣20，
∴当x＝5时，代数式的最小值为﹣20
（3）利用配方法比较式子的大小关系：
步骤：作差→配方→与0比较大小→得出结论。
2 7
·示例：已知M= a﹣1，N＝a2- a（a为任意实数），试比较M、N的大小关系。
9 9
2 7
∵M= a﹣1，N＝a2- a（a为任意实数），
9 9
1 3
∴N-M=a2-a+1=(a-
)
2+
，
2 4
∴N＞M3. 公式法：
（1）求根公式
x=-b±❑√b2-4ac
做一元二次方程的求根公式。
2a
Δ=b2 −4ac＞0
① 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
x = x =
1 -b+❑√b2-4ac 2 -b-❑√b2-4ac
即 ； 。
2a 2a
②
Δ=b2 −4ac=0
时，一元二次方程有两个相等的实数根。即
x
1
=x
2
=
-
b
。
2a
Δ=b2 −4ac＜0
③ 时，一元二次方程没有实数根。
（2）公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成一般形式，并确定 a，b，c的值。
②计算∆=b2-4ac的值，确定一元二次方程的根的情况。
a，b，c
③根据根的情况把 的值带入相应的求根公式求解。
·示例：用公式法解x（x+8）＝16
x（x+8）＝16，
x2+8x﹣16＝0，
a＝1，b＝8，c＝﹣16，
b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣16）＝128＞0，
-8±❑√128
x= ，
2
x ＝﹣4+4❑√2，x ＝﹣4﹣4❑√2；
1 2
4. 因式分解法：
（1）因式分解法解一元二次方程的定义：
将方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫
做因式分解法。依据是
A⋅B=0
，则A＝0或B＝0。
（2）因式分解的方法：
①提公因式法：
am+bm+cm=m（a+b+c）；
a2 −b2
=(a+b)(a-b)
②公式法：平方差公式： ；完全平方公式：
a2 ±2ab+b2 =(a±b) 2
；
x2 +bx+c c=mn m+n=b x2 +bx+c= (x+m)(x+n)
③十字相乘法：分解 ，若 且 ，则 。
（3）因式分解法解一元二次方程的步骤：
①移项：将方程的右边化为0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
5. 换元法（整体法）：
在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，
起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
·示例：解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，
设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y ＝0，y ＝3．
1 2
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
知识点04 根的判别式的应用
1. 根的判别式：
b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式。用符号Δ来表示。
Δ=b2 −4ac＞0⇔
①若 方程有两个不相等的实数根。
Δ=b2 −4ac=0⇔
②若 方程有两个相等的实数根。
Δ=b2 −4ac＜0⇔
③若 方程没有实数根。
知识点05 根与系数的关系
1. 一元二次方程根与系数的关系：
Δ=b2 −4ac＞0
若一元二次方程的 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是
-b+❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac x +x = b x ⋅x = c
x = 与x = 。由此可求出：① 1 2 - ；② 1 2 。
1 2a 2 2a a a2. 根与系数的关系的推广应用：
x2 +x2 =(x +x ) 2 −2x x
1 2 1 2 1 2
① ；
x2x +x2x
=x x (x +x )
1 2 2 1 1 2 1 2
② ；
1 1 x +x
+ = 1 2
x x x x
1 2 1 2
③ ；
x x x2 +x2 (x +x ) 2 −2x x
1 2 1 2 1 2 1 2
+ = =
x x x x x x
④ 2 1 1 2 1 2 ；
(x −x ) 2 =x2 +x2 −2x x =(x +x ) 2 −4x x
⑤ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2。
(x +p)(x +p)=x x +p(x +x )+p2
⑥ 1 2 1 2 1 2 。
知识点06 一元二次方程的实际应用
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
④解：准确求出方程的解．
⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
⑥答：写出答案。
2. 一元二次方程与传播问题：
若原病例数是a，传播数为x，传播2轮后总病例数为b，则：
计算公式：a（1＋x）2=b。
3. 一元二次方程与数字问题：
若一个两位数，个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a。若是一个三位数，则百位
乘100，十位乘10，把他们相加再加上个位数字就是该数。
4. 一元二次方程与单（双）循环问题：
n(n-1)
计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）： =总数。
2
双循环（两两之间比赛（握手）两次）：n（n-1）=总数。
5. 一元二次方程与平均增长率：若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x
计算公式：平均增长类型：a(1+x) n=b。
平均下降类型：a(1-x) n=b。
6. 一元二次方程与销售利润问题：
计算公式：总利润＝单利润×数量
现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝原数量－ ×变化数量（原数量＋ ×变化数量）
涨价基础 降价基础
7. 一元二次方程与几何图形：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。
题型一 判断一元二次方程以及利用一元二次方程的定义求未知系数
解｜题｜技｜巧
根据一元二次方程的最高次数是2以及二次项系数不等于0建立等量关系或不等关系进行求解
【典例1】（2025春•定海区期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+ =2 B．x2+xy＝3 C．x2+3x＝4 D．3（x﹣2）＝5x
x
【答案】C
【解答】解：A是分式方程，故A不符合题意；
B是二元二次方程，故B不符合题意；
C是一元二次方程，故C符合题意；
D化简为2x+6＝0，是一元一次方程，故D不符合题意．
故选：C．
【变式1】（2025春•蒙城县期中）方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠一1 B．m≠1 C．m≠2 D．m≠3
【答案】B
【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1．故选：B．
【变式2】（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值
为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．±❑√3
【答案】C
{|m-1|=2
【解答】解：由题意可知： ，
m-3≠0
解得：m＝﹣1，
故选：C．
题型二 利用一元二次方程的解求字母或式子
解｜题｜技｜巧
将一元二次方程的解带入方程即可得到字母的值；若求式子，则需确定所求式子与已知式子之间的倍
数关系即可
【典例1】若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0，
解得a＝2，
故选：A．
【变式1】（2025春•宁海县期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2025的值为（ ）
A．2024 B．2026 C．2028 D．2030
【答案】C
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴3a2+3a+2024＝3（a2+a）+2025＝3×1+2025＝2028．
故选：C．
题型三 解一元二次方程
解｜题｜技｜巧
选择合适的方法解一元二次方程即可
易｜错｜点｜拨
再利用换元法时，需注意被换式子整体的取值范围
【典例1】（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程：（1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3．
【答案】（1）x ＝2+❑√2，x ＝2-❑√2；
1 2
1
（2）x ＝3，x =- ．
1 2 2
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝±❑√2，
∴x ＝2+❑√2，x ＝2-❑√2；
1 2
（2）2x（x﹣3）+x＝3，
2x2﹣6x+x﹣3＝0，
2x2﹣5x﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）＝25+24＝49，
5±❑√49 5±7
∴x= = ，
2×2 4
1
∴x ＝3，x =- ．
1 2 2
【变式1】已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【答案】A
【解答】解：设x＝a2+b2，
∴x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
解得，x＝﹣2（舍去）或x＝6，
∴原式＝6+1＝7，
故选：A．
【变式2】【阅读材料】方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0是一个一元四次方程，我们可以把x2﹣1
看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0 ①
解方程①可得y
1
＝1，y
2
＝4．
⋯
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x=±❑√2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x=±❑√5；
∴原方程的解为x =❑√2，x =-❑√2，x =❑√5，x =-❑√5．
1 2 3 4
【解决问题】（1）在由原方程的到方程①的过程中，是利用换元法达到 降次 的目的（填
“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想．（2）请仿照材料的方法，解下列方程：
①x4﹣x2﹣6＝0；
②（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
【答案】（1）降次．
（2）x =❑√3，x =-❑√3；②x ＝3，x ＝﹣2
1 2 1 2
【解答】解：（1）利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想，
故答案为：降次．
（2）①x4﹣x2﹣6＝0，
设x2＝a，
∴原方程化为：a2﹣a﹣6＝0，
∴（a﹣3）（a+2）＝0，
解得：a ＝3，a ＝﹣2，
1 2
当a＝3时，x2＝3，
解得：x =❑√3，x =-❑√3；
1 2
当a＝﹣2时，x2＝﹣2，
∴此方程无解，
∴原方程的根为x =❑√3，x =-❑√3；
1 2
②（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
设x2﹣x＝y，
∴原方程化为：y2﹣4y﹣12＝0，
∴（y﹣6）（y+2）＝0，
解得：y ＝6，y ＝﹣2，
1 2
当y＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣2；
1 2
当y＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣8＜0，
∴此方程无解，
∴原方程的根为x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
题型四 利用配方法求式子的最值或比较式子的大小关系
解｜题｜技｜巧
再求最值时，利用配方法将ax2+bx+c化为a(x+h) 2+k的形式，若a＞0，则k为最小值；若a＜0则k为最大值
若比较两个式子的大小关系时，将式子作差，配方，再将最值与0进行大小比较
【典例1】（2025春•东台市期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值
等于（ ）
A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16
【答案】A
【解答】解：∵m﹣n2＝2，
∴n2＝m﹣2≥0，m≥2，
∴m2+2n2+4m﹣3
＝m2+2m﹣4+4m﹣3
＝m2+6m+9﹣16
＝（m+3）2﹣16，
则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16＝9．
故选：A．
【典例2】（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小
关系是（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N
【答案】A
【解答】解：∵M﹣N＝4a2﹣4a+3﹣（3a2﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴M≥N，
故选：A．
题型五 判断根的情况以及根据根的情况求值
解｜题｜技｜巧
求△的值判断根的情况；根据根的情况利用△建立不等关系求值
易｜错｜点｜拨
注意不要忽略二次项系数不能为0的限制条件
【典例1】一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断【答案】A
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2+4×1×3＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式1】关于x的方程x2+kx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式2】（2025春•龙口市校级期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数
根，则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥ B．k≥ 且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
4 4
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
3
解得：k≥ 且k≠1，
4
故选：B．
【变式3】已知：关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣（m+2）x+4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求m的值．
【答案】（1）见解答；
（2）m＝4或3．
【解答】（1）证明：由一元二次方程得m﹣2≠0，
Δ＝（m+2）2﹣4（m﹣2）×4
＝m2+4m﹣16m+36
＝（m﹣6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（m﹣2）x2﹣（m+2）x+4＝0，即[（m﹣2）x﹣4]（x﹣1）＝0，4
解得：x = ，x ＝1．
1 m-2 2
∵方程的两个根为不相等的正整数，
∴m＝4或3．
题型六 根与系数的关系
解｜题｜技｜巧
若求两根之和与两根之积的基本式子，直接带入求值即可；若求拓展式子，则用相应的计算转换用基
本式子表达，再带入求值；若求两根的次数不对称的式子，则需要进行降次转换再带入求值
易｜错｜点｜拨
在解决利用根与系数的关系满足的式子求值时，注意字母一定时在一元二次方程有根时的取值范围内
进行取值
【典例1】（2025春•丰城市校级期中）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x ，x ，则x +x ﹣
1 2 1 2
x x 的值为（ ）
1 2
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x ，x ，
1 2
-3 -5
∴x +x =- =3，x ⋅x = =-5，
1 2 1 1 2 1
∴x +x ﹣x x ＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8，
1 2 1 2
故选：C．
【变式1】已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9
【答案】A
【解答】解：因为a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，
所以a+b＝﹣6，
将x＝a代入方程得，
a2+6a﹣2＝0，
即a2+6a＝2，
所以a2+7a+b＝a2+6a+a+b＝2+（﹣6）＝﹣4．
故选：A．
2 2
【变式2】关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x ，x 满足 + =1，则m的值
1 2 x x
1 2
为（ ）
A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5
【答案】C【解答】解：由条件可知x +x ＝﹣（2m﹣3），x ⋅x =m2+1，
1 2 1 2
2 2 2(x +x )
∵ + = 1 2 =1，
x x x x
1 2 1 2
-2(2m-3)
∴ =1，
m2+1
整理得m2+4m﹣5＝0，
解得m＝﹣5或m＝1，
当m＝﹣5时，方程为x2﹣13x+26＝0，
而Δ＝（﹣13）2﹣4×1×26＝65＞0，符合题意；
当m＝1时，方程为x2﹣x+2＝0，
而Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴m＝1不合题意，舍去，
故选：C．
【变式3】（2025春•珠海期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0．
（1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围．
（2）当方程的两个根x 、x 满足x2+x2=x x +12时，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0，
解得：m≤3，
即m的取值范围是m≤3；
（2）∵方程的两个根为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝2（m﹣1），x x ＝m2﹣5，
1 2 1 2
∴x2+x2-x x ＝（x +x ）2﹣2x x ﹣x x ＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵x2+x2=x
x +12，
1 2 1 2
∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0，
解得m＝1或m＝7，
∵m≤3，
∴m＝1，
故m的值为1．
题型六 一元二次方程的实际应用
解｜题｜技｜巧按照步骤进行即可
易｜错｜点｜拨
注意方程的解一定要满足实际情况
【典例1】某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛 36场，共有多少个
球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
1 1
C． x(x+1)=36 D． x(x-1)=36
2 2
【答案】D
【解答】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得：
1
x(x-1)=36．
2
故选：D．
【变式1】红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂十、十一月
份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．50（1+x）2＝72 B．50（1﹣x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50 D．50（1+x）＝72
【答案】A
【解答】解：设平均每月增长的百分率为x，
根据题意，得50（1+x）2＝72，
故选：A．
【变式2】如图，在长为80cm、宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面
积为6300cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为 x cm．则可列的一元二
次方程是（ ）
A．（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B．（80+2x）（60+2x）＝6300
C．（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D．（80+2）（60+x）＝6300
【答案】B
【解答】解：根据题意得（80+2x）（60+2x）＝6300，
故选：B．
【变式3】（2025春•蜀山区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国
庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经
市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保
证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这个降价率为x，
依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝1.9（舍去）．
1 2
答：这个降价率为10%．
（2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克，
依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000，
整理，得：y2﹣15y+50＝0，
解得：y ＝10，y ＝5．
1 2
∵要使顾客得到实惠，
∴y＝5．
答：每千克应涨价5元．
题型三（跨章节/学科题型）
易｜错｜点｜拨
解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题
【典例1】根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过xs离地
面的高度（单位：m）为 10x﹣4.9x2.根据该规律，下列对方程 10x﹣4.9x2＝5的两根 x ≈0.88与
1
x ≈1.16的解释正确的是（ ）
2
A．小球经过约1.02s离地面的高度为5m
B．小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s
C．小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升
D．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s
【答案】D
【解答】解：∵方程10x﹣4.9x2＝5的两根x ≈0.88与x ≈1.16，
1 2
∴小球经过约0.88s和1.16s离地面的高度为5m，故选项A，B不符合题意；
小球上升时经过约0.88s离地面的高度为5m，并将继续上升，小球下降时经过约0.16s离地面的高
度为5m，并将继续下降，故选项C不符合题意；
小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为1.16﹣0.88＝0.28s，故选项D符合题
意．
故选：D．
【典例2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运
动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速
20+30
度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为v= =25米/秒．运动路程等
2
于时间与平均速度的乘积（即s=vt．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且
均匀减速，5秒后小球停止运动．
（1）小球的滚动速度平均每秒减少 2 米/秒，从开始到滚动了t秒后小球的速度为 （ 10﹣
2 t ） 米/秒；（2）小球滚动24米用了多少秒？
（3）小球在最后一秒滚动了多少米？
【答案】（1）2，（10﹣2t）；
（2）4；
（3）1．
【解答】解：（1）小球的滚动速度平均每秒减少10÷5＝2（m/s），
从开始到滚动了t秒后小球的速度为（10﹣2t）米/秒，
故答案为：2，（10﹣2t）；
（2）设小球滚动24米约用了x秒，此时速度为（10﹣2x）米/秒，
10+(10-2x)
由题意得：x⋅ =24，
2
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x＝4或x＝6，
当x＝6时，10﹣2x＝10﹣2×6＝﹣2＜0，不符题意，舍去，
∴x＝4．
所以小球滚动24米用了4秒，
答：小球滚动24米用了4秒；
（3）根据题意，小球的滚动速度平均每秒减少 10÷5＝2（m/s），从开始到滚动了t秒后小球的速
度为（10﹣2t）米/秒，
10+10-2t
∴小球滚动距离
⋅t=-t2+10t，
2
当t＝5时，﹣t2+10t＝﹣52+10×5＝25（m），
∴小球滚动25米后停止，
当t＝4时，﹣t2+10t＝﹣42+10×4＝﹣16+40＝24（m），
故小球在最后一秒滚动了25﹣24＝1（米）．
答：小球在最后一秒滚动了1米．
期中基础通关练（测试时间：10分钟）
1.下列属于一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣4x
C．x2+2x﹣3＝0 D．x﹣2y＝3
【答案】C【解答】解：A．当a≠0时，ax2+bx+c＝0是一元二次方程，不符合题意；
B．是多项式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．若x＝3是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：把x＝3代入x2+kx﹣6＝0，
得32+3k﹣6＝0，即9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：D．
3．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2
【答案】A
【解答】解：根据题意可得：
{k-2≠0
，
k2-4=0
解得k＝﹣2．
故选：A．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（ ）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024，
∴（x﹣1）2＝2025，
∴a＝﹣1，b＝2025，
∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1；
故选：C．
5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
（ ）1 1
A．k＞- B．k＜
8 8
1 1
C．k＞- 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
8 8
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有两个不相等的实数根，
{Δ=[-(2k-1)] 2-4k(k-3)＞0
∴ ，
k≠0
1
解得：k＞- 且k≠0，
8
故选：C．
6．已知x ，x 是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x +x ﹣x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴x +x ﹣x x ＝2﹣（﹣1）＝3．
1 2 1 2
故选：C．
7．宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加
10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用．当房价定
为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
x-170
A．(x-15)(60- )=10890
10
x
B．(170+x-15)(60- )=10890
10
x-170
C．x(60- )-60×15=10890
10
x
D．(x+170)(60- )-60×15=10890
10
【答案】A
【解答】解：设房价定为x元，
x-170
根据题意，得（x﹣15）（60- ）＝10890．
10故选：A．
期中重难突破练（测试时间：10分钟）
8．（2025春•瑞安市期中）已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x ＝1，x ＝﹣4，则方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）
1 2
﹣4＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣2，x ＝﹣0.5 B．x ＝2，x ＝0.5
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝﹣0.5 D．x ＝﹣2，x ＝0.5
1 2 1 2
【答案】C
【解答】解：设2x﹣3＝y，
方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0可变形为：y2+3y﹣4＝0．
∵方程x2+3x﹣4＝0的解是x ＝1，x ＝﹣4，
1 2
∴y ＝1，y ＝﹣4．
1 2
当y＝1时，即2x﹣3＝1，
解得x＝2，
当y＝﹣4时，即2x﹣3＝﹣4，
解得x＝﹣0.5，
∴方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0的解是x ＝2，x ＝﹣0.5，
1 2
故选：C．
9．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，
则实数x的值是（ ）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4
【答案】C
【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，
∴x★2＝x2﹣3x+2，
即：x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x ＝4，x ＝﹣1．
1 2
故选：C．
10．已知（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ ﹣ 3 ．【答案】﹣3．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0且|m+1|＝2，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．（2025春•绿园区校级期中）若 x＝a是方程x2+2x﹣8＝0的一个实数根，则 2a2+4a+2025的值为
2041 ．
【答案】2041．
【解答】解：由条件可得：a2+2a﹣8＝0，
∴2a2+4a+2025＝2（a2+2a）+5＝2×8+2025＝2041．
故答案为：2041．
12．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m、n，则2m2﹣3m+n的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
-4
∴2m2﹣4m＝1，m+n=- =2，
2
∴2m2﹣3m+n
＝2m2﹣4m+m+n
＝1+2
＝3．
故答案为：3．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根x ，x 满足（x ﹣1）（x ﹣1）＝14，求k的值．
1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得 Δ＝（2k﹣2）2﹣4（k2+3）≥0，
解得k≤﹣1；
（2）根据题意得：x +x =2k-2，x x =k2+3，
1 2 1 2
∵（x ﹣1）（x ﹣1）＝14，
1 2
∴x x ﹣（x +x ）+1＝14，
1 2 1 2
即 k2+3﹣（2k﹣2）+1＝14，整理得 k2﹣2k﹣8＝0，
解得 k ＝﹣2，k ＝4，
1 2
∵k≤﹣1，
∴k＝﹣2．
14．（2025春•龙口市期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽
章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价
格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年
4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价 1元，月销
售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
【解答】解：（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
1 2
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为（68﹣45﹣m）元，月销售量为（400+20m）枚，
根据题意得：（68﹣45﹣m）（400+20m）＝8400，
整理得：m2﹣3m﹣40＝0，
解得：m ＝8，m ＝﹣5 （不符合题意，舍去），
1 2
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
期中综合拓展练（测试时间：15分钟）
√b √a 21
15．（2025春•莱州市期中）已知 a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b❑ +a❑ = - ❑√2
a b 2
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，则a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
b❑√ab a❑√ab
则原式=- -
a b
b2❑√ab+a2❑√ab
=-
ab
❑√ab[(a+b) 2-2ab]
=-
ab
❑√2×(25-4)
=-
2
21
=- ❑√2，
2
21
故答案为：- ❑√2．
2
16．对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值也等于m，则称m为这个
代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式的值等0；当x＝1时，代数
式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．
（1）关于x的代数式x2﹣6的不动值是 3 或﹣ 2 ．
（2）判断关于x的代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理
由．
（3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）．
①若此代数式仅有一个不动值，求a的值；
②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值．
【答案】（1）3或﹣2；
（2）关于x的代数式2x2﹣x+1没有不动值；
（3）①a＝﹣2；
②a＝1或2．
【解答】解：（1）x2﹣6＝x，
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x ＝3，x ＝﹣2，
1 2
故答案为3或﹣2；
（2）2x2﹣x+1＝x，2x2﹣2x+1＝0，
∵Δ＝4﹣4×2＝﹣4＜0，
∴原方程无解，
∴关于x的代数式2x2﹣x+1没有不动值，
（3）①a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x，
∴a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0，
∵仅有一个不动值，
∴Δ＝0，
[﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15）＝0，
整理得：a4+4a3+4a2＝0，
a2（a2+4a+4）＝0，
a2（a+2）2＝0，
解得：a＝0（不合题意，舍去），a＝﹣2，
∴a＝﹣2；
②a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x，
整理得：a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0，
设方程两个解为s，t，
3a-8 2a2-13a+15
∴s+t= ，st= ，
a a2
(a+2) 2
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st= ，
a2
∵s﹣t为整数，
a+2 2
∴ =1+ 为整数，
a a
∴正整数a＝1或2．
17．（2025春•张店区校级期中）已知x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的
1 2
两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
1 2
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S
ABC
△a+b+c
=❑√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p= ，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于
2
点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）由题意知：x ，x 恰好是等腰△ABC的腰长，
1 2
∴x ＝x ，
1 2
∵x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
1 2
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝0，
解得x ＝x ＝3，
1 2
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+3+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，
3+3+4
∴p= =5，
2
∴S =❑√p(p-a)(p-b)(p-c)=❑√5×(5-3)×(5-3)×(5-4)=2❑√5，
ABC
过I△分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF＝ID＝IE，∴ S
ABC
△
1 1 1 1 1
= AB⋅IF+ BC⋅ID+ AC⋅IE= ID⋅(AB+BC+AC)= ID×(3+3+4)=5ID=2❑√5，
2 2 2 2 2
2❑√5
解得ID= ，
5
1 1 2❑√5 4❑√5
∴S = BC⋅ID= ×4× = ．
BIC 2 2 5 5
△
