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专题 01 一元二次方程（期末复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
一元二次方程及 能准确判断正负数在实际情境中的意 基础必考点，常出现在选择或填空题
有关概念 义。
解一元二次方程 掌握配方法、公式法、因式分解法等求 优先看能否因式分解（十字相乘常见），
的方法 解一元二次方程的解法。 不行则用公式法，如果题目明确“用配方
法解方程”，则必须按配方法的步骤写过
程。
根的判别式 熟记根的判别式和求根公式，准确找到 已知方程根的情况，求参数范围（Δ≥0）。
对应系数，同时能够利用判别式的值判
断方程解的情况。
根与系数的关系 适用于已知根的关系求系数，或不解方 韦达定理应用常在综合题出现，注意“不
（韦达定理） 程求根的表达式值。 解方程”条件下求对称式。
一元二次方程的 掌握根据实际问题建立数学模型的方 增长率问题和利润与销售问题考查较高
实际应用 法。 频。
知识点01 一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫
一元二次方程．
（2）一元二次方程的一般形式： ．
（3）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5个方面：“化简后”；“一个未知
数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点02 一元二次方程的解及解法一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个
未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程
的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程
1 2
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次
方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±❑√p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±❑√p．
配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元
二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个
负数，则判定此方程无实数解．
公式法
（1）把x -b±❑√b2-4ac （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公
=
2a
式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次
方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的
形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也
就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化
思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个
因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原
方程的解．
换元法
1．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，
将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
变得容易处理．
2．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字
母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通
过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
知识点03 根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
知识点04 根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣
1 2 1 2
p，x x ＝q，反过来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，
1 2 1 2 1 2
后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
1 2
b c b c
的两根时，x +x =- ，x x = ，反过来也成立，即 =-（x +x ）， =x x ．
1 2 1 2 1 2 1 2
a a a a
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．
1 2
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根
与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点05 一元二次方程的实际应用
由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，
找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等
量关系，即列出一元二次方程．
一元二次方程的应用
1．列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所
列方程的解，检验和作答．
2．列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分
率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百
分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角
形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．
③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到
一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件
会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
题型一 一元二次方程的定义
解｜题｜技｜巧
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
1．是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那
么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根
号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）；
2．只含有一个未知数；
3．未知数项的最高次数是2；
4．在判断一个方程是否为一元二次方程时一定要先将其化成一般形式．
易｜错｜点｜拨
当二次项系数含待定字母时，易忽略字母值不可使二次项系数为0。
【典例1】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2y=3 B．x+ y=2 C．ax2+16x+1=0 D．x2-9=0
【典例2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）一元二次方程5x2-4x+1=0的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．5，4，1 B．5，-4，1 C．-5，-4，1 D．-5，-4，-1
【变式1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+4=0 B．ax2+bx+c=0 C．x2+ y+1=0 D．x2+5=
x
【变式2】关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根为0，那么m的值为 ．
【变式3】（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知一元二次方程(2-x)(x+3)=0，将其化成二次项系数为
正数的一般形式后，它的常数项是 ．题型二 一元二次方程的解
解｜题｜技｜巧
根据题中所给方程的解（根），将其代入方程，然后再求解方程中参数的值或者含参数的代
数式的值。
【典例1】（21-22九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为x=1的是（ ）
A．x2=3x-4 B．x2=2x-1 C．x2-2x=1 D．x2+2x=1
【典例2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若x=-1是方程x2+x+2+k=0的一个根，则k的值是（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
【典例3】（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知一元二次方程2x2-x-3=0的一个根为m，则
4m2-2m+3的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【变式1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有一个实数根是-1，
则m= ．
【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知a为一元二次方程x2+3x-10=0的根，那么2a2+6a-3
的值是 ．
题型三 一元二次方程的解法
解｜题｜技｜巧
1、直接开平方法解一元二次方程需注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2、用配方法解一元二次方程的步骤为：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个
负数，则判定此方程无实数解．
3、公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4、因式分解法解一元二次方程的一般步骤为：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
建议：
首选因式分解法（如果容易分解）
次选配方法（适用于二次项系数为1或完全平方）
万能公式法（适用所有情况，但计算要细心）
直接开平方法（适用于缺少一次项或完全平方形式）
养成检验习惯，避免丢根、增根
注意判别式，先判断实数根的存在性
保持步骤完整，减少计算错误
易｜错｜点｜拨
1、系数辨识错误
2、系数代入公式时符号错误
3、判别式计算错误
4、解答格式不规范
【典例1】解方程：（2x﹣1）2＝81．
【典例2】用配方法解方程：2x2﹣6x+3＝0；
【典例3】用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0．【典例4】3x（x﹣1）＝2﹣2x（因式分解法）．
【变式1】解方程：2（x﹣2）2﹣4＝0．
【变式2】用配方法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【变式3】用公式法解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【变式4】解方程：（x﹣2）2＝（2x﹣1）2．
题型四 根的判别式
解｜题｜技｜巧
已知根的情况，求参数取值范围：
步骤：
写出一元二次方程一般形式。
列出判别式 Δ 关于参数的表达式。
根据条件列不等式：
两个不等实根 ⇨ Δ > 0
两个相等实根 ⇨ Δ = 0
无实根 ⇨ Δ < 0有实根 ⇨ Δ ≥ 0
解不等式，注意二次项系数不为 0。
易｜错｜点｜拨
当二次项系数含参数时，要保证二次项系数不为0且满足Δ的条件。
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．
【变式1】已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
（1）求实数a的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
题型五 一元二次方程的实际应用
解｜题｜技｜巧
列一元二次方程解应用题的“六字诀”：
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方
程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
易｜错｜点｜拨（选取其一或者其他版块均可）
列方程解实际问题的三个重要环节：
1．整体地、系统地审题；
2．把握问题中的等量关系；
3．正确求解方程并检验解的合理性.
【典例1】陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由
2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，试求月平
均降价率．
【典例2】（25-26九年级上·河北衡水·期中）淘宝网站上一家化妆品网店一款面膜每盒进价为80元，销售
价为120元时，每周可售出200盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒面膜降价5
元，那么平均每周可多售出30盒，设每盒面膜降价x元．
(1)每周销售量增加______盒，每盒面膜盈利______元；（用含x的代数式表示）
(2)商家能达到平均每周盈利8200元吗？请说明你的理由．
【典例3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在直角△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8
cm．点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以
2cm/s的速度移动，设运动时间为t（秒）．
(1)用t的代数式表示：BP=_______，BQ=_______．
(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．
【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到
智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．
据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学
校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由．
【变式2】新晋网红打卡地一一重庆规划展览馆吸引众多游客，某商家借此购进一批文创产品钥匙扣和手
账本．商家用1600元购买钥匙扣，800元购买手账本，每个钥匙扣和手账本的进价之和为10元，且购
进手账本的数量是钥匙扣的2倍．
（1）求商家购买每个钥匙扣的进价和每个手账本的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当手账本的售价为每个5元，钥匙扣的售价为每个15元时，平均每天可
售出40个手账本，20个钥匙扣．据统计，钥匙扣的售价每降低 0.5元平均每天可多售出5个，且降价
幅度不超过20%．商家在保证手账本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钥匙扣和手账
本平均每天的总获利为300元，则每个钥匙扣的售价为多少元？
【变式3】（25-26九年级上·广西河池·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速
度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒．
(1)用含t的式子表示：AP=______cm，BP=______cm，BQ=______cm；
(2)当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm2．期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
2
A．y-2x=0 B．x2= +1
x
C．4- y2=0 D．ax2+bx+c=0
2．方程2x2-6x+9=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，-6，-9 D．-2，6，-9
3．若x=1是方程x2-x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．用配方法解方程x2-4x-5=0时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
(x+2) 2=9 (x+2) 2=1 (x-2) 2=9 (x-2) 2=21
5．关于x的一元二次方程x2+5x-4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根
6．方程x2+2x-3=m有两个实数根，m的取值范围为（ ）
A．m>-4 B．m≥-4 C．m<-4 D．m≤-4
7．关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是 ．
x (m-1)x|m|+1-(m-1)x+1=0 m
8．已知a是方程x2-3x-2=0的一个根，则a2-3a值为 ．
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传
染中平均一个人传染x人，则可列方程是 ．
10．用适当的方法解下列方程
(1)x2+6x-7=0；
(2)2x2+3x-5=0期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．设x ，x 是关于x的方程x2-3x-5=0的两个根，则x +x = ．
1 2 1 2
2．已知方程 （m为常数）．
x2+(m-3)x+1-2m=0
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
1 1
(2)若x ，x 是原方程的两根，且 + =-2，求m的值．
1 2 x x
1 2
3．顺应2025年AI教育硬件爆发趋势，某品牌AI学习机经销商统计了产品销量，该品牌AI学习机8月份销
售50台，10月份销售72台，8月份到10月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌AI学习机销售量的月增长率；
(2)若此种AI学习机的进价为30元/台，商家调查显示，当售价为40元/台时，月销售量为500台，在此基础
上售价每上涨1元/台，月销售量将减少10台，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则
该品牌AI学习机每个售价应定为多少元？
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．阅读与思考
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几
个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在
因式分解、最值问题中有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：
；
x2+2x-3=(x2+2x+1)-1-3=(x+1) 2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)②求代数式 x2-6x+11的最小值：
，
x2-6x+11=(x2-6x+9)-9+11=(x-3) 2+2
是非负数，即
∵(x-3) 2 (x-3) 2≥0，
则代数式． 的最小值是2．
∴(x-3) 2+2≥2， x2-6x+11
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： x2+4x-12；
(2)求 x2+8x+12的最小值；
2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A出发，沿边AB以1cm/s的速度
向点B移动，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，点P、Q同时出发．当其中一点到达终
点时，另一点也停止移动．
(1)几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
(2)几秒后，PQ的长为5cm？
