文档内容
专题 01 一元二次方程
题型1 一元二次方程的有关概念 题型9 判断一元二次方程根的情况（常考点）
题型 10 根据一元二次方程根的情况求参数（重
题型2 直接开平方
点）
题型3 配方法 题型11 根与系数关系的综合应用（重点）
题型4 因式分解法 题型12 与几何图形的综合应用（常考点）
题型5公式法（常考点） 题型13 增长率问题（常考点）
题型6 用适当的方法解方程（常考点） 题型14 传染问题
题型7 含绝对值的一元二次方程 题型15 经济问题（重点）
题型8 换元法（难点） 题型16 动态几何问题（重点）
题型一 一元二次发方程有关的概念（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．3x4-2x2=1
C．x3-2x-4=0 D．(x-1) 2-1=0
【答案】D
【分析】本题需要根据一元二次方程的定义，逐一分析每个选项是否符合一元二次方程的条件．本题
主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），选项A中未明确a≠0，
∴ 选项A不一定是一元二次方程；
∵ 选项B中方程未知数的最高次数是4，
∴ 选项B不是一元二次方程；
∵ 选项C中方程未知数的最高次数是3，
∴ 选项C不是一元二次方程；
∵ 选项D展开为x2-2x+1-1=0，即x2-2x=0，符合一元二次方程的定义，
∴ 选项D是一元二次方程．
故选：D．2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若方程(a+4)x|a|-2+6x-1=0是关于x的一元二次方程，则a的
值为（ ）
A．4 B．-4 C．4或-4 D．0
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程
叫做一元二次方程，据此可得¿，解之即可得到答案．
【详解】解：∵方程(a+4)x|a|-2+6x-1=0是关于x的一元二次方程，
∴¿，
∴a=4，
故选：A．
3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）把一元二次方程x(x+2)=-3化成一般形式是 ．
【答案】x2+2x+3=0
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次
方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一
次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程
化为一般形式即可．
【详解】解：x(x+2)=-3
x2+2x=-3
x2+2x+3=0
∴一元二次方程x(x+2)=-3化成一般形式是x2+2x+3=0，
故答案为：x2+2x+3=0．
4．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程3x2-2x+4=0的二次项系数和一次项系数分别为（）
A．3，2 B．2，3 C．3，-2 D．3，4
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数是a，一次
项系数是b，常数项是c．
【详解】解：对于方程3x2-2x+4=0，二次项系数为3，一次项系数为-2．
故选：C．
5．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）一元二次方程x2-4=0的一个根是（ ）
1 1
A．x=2 B．x= C．x=4 D．x=
2 4【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
利用直接开平方法解方程即可解答．
【详解】解：∵x2-4=0，
则x2=4，
解得：x =2，x =-2，
1 2
故选：A．
题型二 直接开平方（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）一元二次方程(x+7) 2=81可转化为两个一元一次方程，其中一个是
x+7=9，则另一个是（ ）
A．x-7=-9 B．x-7=9 C．x+7=9 D．x+7=-9
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，两边直接开平方即可得．
【详解】解：∵(x+7) 2=81，
∴x+7=9或x+7=-9，
故选：D．
2．（24-25九年级上·广东深圳·期末）解方程
(1)(2x-1) 2=4；
(2)(x+3) 2=2x+5．
【答案】(1)x =1.5，x =-0.5
1 2
(2)x =x =-2
1 2
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）先将方程变形得x2+4x+4=0，再利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：两边直接开平方得：2x-1=±2，
则2x-1=2，2x-1=-2
解得：x =1.5，x =-0.5；
1 2（2）解：(x+3) 2=2x+5，
整理得：x2+4x+4=0，
配方，得：(x+2) 2=0，
两边开平方解得：x =x =-2．
1 2
3．（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程：(3x-1) 2=(x-1) 2
1
【答案】x =0，x = .
1 2 2
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直
接开平方法或因式分解法都可以．
【详解】解：(3x-1) 2=(x-1) 2
开方得，3x-1=x-1或3x-1=-(x-1)
1
解得x =0，x = ．
1 2 2
题型三 配方法（共 6 小题）
1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）用配方法解一元二次方程x2-8x-7=-5时，下列变形正确的是
（ ）
A．(x+4) 2=18 B．(x+4) 2=11
C．(x-4) 2=18 D．(x-4) 2=11
【答案】C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程整理后，通过配方法转化为完全平方形式．首先移
项，使方程左边保留二次项和一次项，右边为常数项；接着配方，将一次项系数的一半的平方加到两
边，形成完全平方式．
【详解】解：移项，得x2-8x=2
配方：x2-8x+16=2+16，即(x-4) 2=18
故选：C．
2．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程：
(1)x2-2x-1=0(2)x²-2x-5=0
【答案】(1)x =1+❑√2,x =1-❑√2
1 2
(2)x =1+❑√6,x =1-❑√6
1 2
【分析】此题考查一元二次方程的解法，解方程时依据方程的特点选择恰当的解法是解方程的关键．
（1）根据配方法求解即可；
（2）根据配方法求解即可；
【详解】（1）解：x2-2x-1=0，
移项，得x2-2x=1，
配方，得x2-2x+12=1+12，
即(x-1) 2=2，
开平方得x-1=±❑√2，
即x-1=❑√2或x-1=-❑√2，
即x =1+❑√2,x =1-❑√2．
1 2
（2）解：x²-2x-5=0，
移项，得x2-2x=5，
配方，得x2-2x+12=5+12，
即(x-1) 2=6，
开平方得x-1=±❑√6，
即x-1=❑√6或x-1=-❑√6，
即x =1+❑√6,x =1-❑√6．
1 2
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）用配方法解方程：x2-8x-1=0．
【答案】x =4+❑√17，x =4-❑√17
1 2
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项将原方程变形为x2-8x=1，再将等号左边写成完
全平方式的形式，即可求解．
【详解】解：x2-8x-1=0，
x2-8x=1，x2-8x+16=17，
(x-4) 2=17，
x-4=±❑√17，
∴x =4+❑√17，x =4-❑√17．
1 2
4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）方程(x+3)(x-2)=0的解是（ ）
A．x=-3 B．x=2 C．x =-3，x =2 D．x=3，x=-2
1 2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公
式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．根据“两式
相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解．
【详解】解：由方程(x+3)(x-2)=0，得x+3=0或x-2=0，
解得x =-3，x =2．
1 2
故选：C．
5．（24-25九年级上·青海海东·期末）若x2-6x+9=(x-2) 0，则x= ．
【答案】4
【分析】本题考查了零指数幂的意义，解一元二次方程，先根据零指数幂的意义得出x≠2，
(x-2) 0=1，然后代入方程，根据因式分解法求解即可．
【详解】解：∵x2-6x+9=(x-2) 0，
∴x2-6x+9=1，
∴x2-6x+8=0，
∴(x-2)(x-4)=0，
∴x-2=0或x-4=0，
∴x =2，x =4
1 2
又(x-2) 0有意义，
∴x-2≠0，
∴x≠2，
∴x=4，故答案为：4．
6．（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程：x2-4x+1=0
【答案】x =2+❑√3，x =2-❑√3
1 2
【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用配方法解该一元二次方程即可．
【详解】解：x2-4x+1=0
移项得x2-4x=-1，
配方得x2-4x+4=-1+4，即(x-2) 2=3，
开方得x-2=±❑√3，
解得x =2+❑√3，x =2-❑√3．
1 2
题型四 因式分解法（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）用十字相乘法解一元二次方程x2-6x-7=0，变形正确的是（ ）
A．(x-3) 2=16 B．(x-3) 2=7
C．(x-7)(x+1)=0 D．(x+7)(x-1)=0
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
直接根据十字相乘法求解即可．
【详解】解：∵x2-6x-7=0，
∴(x-7)(x+1)=0．
故选：C．
2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的一边长是6，另外两边长分别是方程x2-9x+20=0的两
根，则该三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是解一元二次方程．
利用因式分解法求出x的值，再根据三角形的周长求解即可．
【详解】解：∵x2-9x+20=0，
∴(x-4)(x-5)=0，
则x-4=0或x-5=0，
解得：x=4或x=5，故三角形的三边分别为4,5,6，能组成三角形，周长为4+5+6=15．
故选：B．
3．（24-25九年级上·广西河池·期末）解方程：(x-3)(x-2)=0
【答案】x =3，x =2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解答即可，掌握解解一元二次方程的方法是解
题的关键．
【详解】解：∵(x-3)(x-2)=0，
∴x-3=0或x-2=0，
∴x =3，x =2．
1 2
4．（24-25九年级上·四川·期末）解方程：
(1)x2-2x=3；
(2)2(x+3) 2=x(x+3)．
【答案】(1)x =-1，x =3
1 2
(2)x =-3，x =-6
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题
的关键．
利用因式分解法依次对所给方程进行求解即可．
【详解】（1）解：x2-2x=3，
x2-2x-3=0，
(x+1)(x-3)=0，
则x+1=0或x-3=0，
所以x =-1，x =3．
1 2
（2）解：2(x+3) 2=x(x+3)，
2(x+3) 2-x(x+3)=0，
(x+3)(2x+6-x)=0，
(x+3)(x+6)=0，
则x+3=0或x+6=0，
所以x =-3，x =-6．
1 2
题型五 公式法（共 2 小题）1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：(2x+3)(x-1)=6．
-1+❑√73 -1-❑√73
【答案】x = ，x =
1 4 2 4
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解一元二次方程的方法是解题的关键；
先把方程整理为一般形式：2x2+x-9=0，利用公式法求解即可．
【详解】解：原方程整理为：2x2+x-9=0，
∵Δ=12-4×2×(-9)=73>0，
-1±❑√73 -1±❑√73
∴x= = ，
2×2 4
-1+❑√73 -1-❑√73
即x = ，x = ．
1 4 2 4
2．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：2x2=1-3x．
-3+❑√17 -3-❑√17
【答案】x = ，x =
1 4 2 4
【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法、因式分解法或配方法求解一元二次
方程是解题的关键．先将一元二次方程整理成一般形式，求出判别式Δ=9+8=17>0，得方程有两个
不相等的实数根，然后利用公式法求出此方程的解．
【详解】解：2x2=1-3x，
移项，得，2x2+3x-1=0，
∴Δ=9+8=17>0，
-3±❑√17
∴x= ，
4
-3+❑√17 -3-❑√17
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
题型六 用适当的方法解方程（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程：
(1)x2-8x+12=0
(2)(x-3) 2=2x(x-3)
【答案】(1)x =6，x =2
1 2
(2)x =3，x =-3
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键；
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案；
（2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可．
【详解】（1）解：x2-8x=-12，
x2-8x+16=4，
(x-4) 2=4，
x-4=±2，
x =6，x =2；
1 2
（2）解：(x-3) 2-2x(x-3)=0，
(x-3)[(x-3)-2x]=0，
(x-3)(-x-3)=0，
x-3=0或-x-3=0，
x =3，x =-3．
1 2
2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）用适当方法解方程．
(1)x2-7=6x；
(2)2(2x-3)=3x(2x-3)．
【答案】(1)x =7,x =-1
1 2
3 2
(2)x = ,x =
1 2 2 3
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根
公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵x2-7=6x
∴x2-6x-7=0
∴(x-7)(x+1)=0
∴x-7=0或x+1=0
∴x =7,x =-1
1 2
（2）解：∵2(2x-3)=3x(2x-3)
∴2(2x-3)-3x(2x-3)=0
∴(2x-3)(2-3x)=0∴2x-3=0或2-3x=0
3 2
∴x = ,x =
1 2 2 3
3．（24-25九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解方程：
(1)x²+x-3=0；
(2)x²-4x-5=0．
-1+❑√13 -1-❑√13
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2
(2)x =-1,x =5
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵a=1，b=1，c=-3，Δ=b²-4ac=1²-4×1×(-3)=13>0
-b±❑√b2-4ac -1±❑√13
∴x= =
2a 2
-1+❑√13 -1-❑√13
解得：x = ，x =
1 2 2 2
（2）解：x²-4x-5=0
∴(x+1)(x-5)=0
∴x+1=0或x-5=0
解得：x =-1,x =5
1 2
4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解下列方程：
(1)x(x-4)=0；
(2)x2-2x-3=0．
【答案】(1)x =0,x =4
1 2
(2)x =3,x =-1
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、
因式分解法、公式法和换元法等）是解题关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：x(x-4)=0，
x=0或x-4=0，x =0,x =4．
1 2
（2）解：x2-2x-3=0，
(x-3)(x+1)=0，
x-3=0或x+1=0，
x =3,x =-1．
1 2
题型七 含绝对值的一元二次方程（共 2 小题）
1．（23-24九年级上·河南·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数
学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程x2-2|x|-3=0．
解：①当x≥0时，原方程为x2-2x-3=0，
解得x =-1（与x≥0矛盾，舍去），x =3．
1 2
②当x<0时，原方程为x2+2x-3=0，
解得x =1（与x<0矛盾，舍去），x =-3．
1 2
所以原方程的根是x =3，x =-3．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——
分类讨论．
请仿照上述例题的解答过程，解方程：x2-|x|-1=0．
1+❑√5 -1-❑√5
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思
想思考问题．
【详解】解：当x≥0时，原方程可化为：x2-x-1=0，
1-❑√5 1+❑√5
解得：x = （与x≥0矛盾，舍去），x = ；
1 2 2 2
当x<0时，原方程可化为x2+x-1=0，
-1+❑√5 -1-❑√5
解得：x = （与x<0矛盾，舍去），x = ；
1 2 2 2
1+❑√5 -1-❑√5
∴原方程的解是x = ，x =
1 2 2 2
2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为：x2-3x-10=0解得x =5，x =-2（舍去）；
1 2②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程：x2+2|x+2|-4=0．
【答案】x =-5，x =2（舍去）；x =5，x =-5；x =0，x =-2
1 2 1 2 1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，
(x-2)(x+5)=0
x-2=0或x+5=0
解得x =-5，x =2（舍去）；
1 2
综上所述，原方程的解是x =5，x =-5；
1 2
x2+2|x+2|-4=0
①当x+2≥0时，即x≥-2时，原方程化为：x2+2(x+2)-4=0
∴x2+2x=0
x(x+2)=0
x=0或x+2=0
解得x =0，x =-2（舍去）；
1 2
②当x+2<0时，即x<-2时，原方程化为x2-2(x+2)-4=0
x2-2x-8=0
x2-2x=8
x2-2x+1=8+1
(x-1) 2=9
x-1=±3
解得x =-2，x =4（舍去）；
1 2
综上所述，原方程的解是x =0，x =-2．
1 2
题型八 换元法（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数m、n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80，试求2m2 ＋n2的值．
解：设2m2+n2= y，
则原方程可化为(y+1)(y-1)=80，即y2=81：
解得y=±9．∵2m2 ＋n2≥0，
∴2m2+n2=9
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式
的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，
根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数．
(2)已知实数x、y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，求x2+ y2的值．
【答案】(1)这四个连续的正整数为2，3，4，5；
(2)x2+ y2的值为3．
【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”．
（1）设这四个连续的正整数为a，a+1，a+2，a+3，a>0，根据题意列方程，用换元法求解即可；
（2）设x2+ y2=p，根据题意列方程，用换元法求解即可．
【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为a，a+1，a+2，a+3，a为正整数，
根据题意可得a(a+1)(a+2)(a+3)=120，
∴(a2+3a)(a2+3a+2)=120，
设a2+3a=k，k>0，则k(k+2)=120，
解得k =10或k =-12（舍去），
1 2
∴a2+3a=10，a>0，
∴a=2，
∴a+1=3，a+2=4，a+3=5，
答：这四个连续的正整数为2，3，4，5．
（2）解：设x2+ y2=p，p≥0，则2x2+2y2=2p，
∵(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，
∴(2p+3)(2p-3)=27，
∴4 p2-9=27，p≥0，
∴p=3，
∴x2+ y2=3，
答：x2+ y2的值为3．
2．（23-24八年级下·山东·期末）阅读理解【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化
为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程
进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将x3-5x+2=0变形为x3-(4+1)x+2=0，
∴x3-4x-x+2=0．
∴(x3-4x)-(x-2)=0．
∴x(x+2)(x-2)-(x-2)=0．
∴(x-2)(x2+2x-1)=0．
∴x-2=0或x2+2x-1=0．
∴原方程有三个根：x =2，x =-1+❑√2，x =-1-❑√2．
1 2 3
②换元法求解特殊的四次方程：
x4-5x2+4=0
设x2= y，那么x4= y2，于是原方程可变为y2-5 y+4=0，解得y =1，y =4，
1 2
当y=1，x2=1时，∴x=±1；
当y=4，x2=4时，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =-1，x =2，x =-2．
1 2 3 4
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）x3-10x+3=0；
②（换元法）x4+3x2-4=0；
【拓展延伸】
（2）已知：x2-2x-1=0，且x>0，请综合运用以上方法，通过“降次”求x4-2x3-3x的值．
-3+❑√13 -3-❑√13
【答案】（1）①x =3，x = ，x = ；②x =1，x =-1；（2）-❑√2
1 2 2 3 2 1 2
【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．
（1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程
即可；
（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．【详解】（1）①将x3-10x+3=0变形为x3-(9+1)x+3=0，
∴x3-9x-x+3=0，
∴x(x2-9)-(x-3)=0，
∴x(x+3)(x-3)-(x-3)=0，
∴(x-3)(x2+3x-1)=0.
∴x-3=0或x2+3x-1=0.
解方程x-3=0得x =3.
1
-3+❑√13 -3-❑√13
解方程x2+3x-1=0得x = ，x = ，
2 2 3 2
-3+❑√13 -3-❑√13
∴原方程的根为：x =3，x = ，x = ；
1 2 2 3 2
②x4+3x2-4=0，
设x2= y，则x4= y2，方程变形为y2+3 y-4=0，
∴(y+4)(y-1)=0，
解得：y =-4，y =1
1 2
当y =-4，x2=-4时，无实根，舍去，
1
当y =1，x2=1时，解得x =1或x =-1；
2 1 2
∴原方程有两个根：x =1，x =-1；
1 2
2±❑√4+4
（2）解：∵方程x2-2x-1=0的解为：x= =1±❑√2，
2
由于x>0，
∴x=1+❑√2，
∵x2-2x-1=0，
∴x2-2x=1，x2=2x+1，
∴x4-2x3-3x
=x2(x2-2x)-3x
=x2-3x
=2x+1-3x
=1-x，
当x=1+❑√2时，原式=1-(1+❑√2)
=-❑√2．
3．（23-24九年级上·吉林松原·期中）阅读材料：解方程(x2-1) 2 -5(x2-1)+4=0，我们可以将(x2-1)视
为一个整体，然后设(x2-1)= y，则(x2-1) 2 = y2，原方程化为y2-5 y+4=0，解得y =1，y =4．
1 2
当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±❑√2
当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±❑√5
∴原方程的解为x =❑√2，x =-❑√2，x =❑√5，x =-❑√5
1 2 3 4
根据上面的解答，解决下面的问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学
思想；
(2)解方程x4-x2-12=0．
【答案】(1)换元；转化
(2)该方程的解为x =2；x =-2
1 2
【分析】（1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题解决的思想．
（2）令x2=a，原方程化为a2-a-12=0，解得a得值，再分情况即可求解．
【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数
学思想，
故答案为：换元；转化．
（2）令x2=a，原方程化为a2-a-12=0，
解得a =-3 ，a =4，
1 2
当a=-3时，x2=-3，
∴该方程无解；
当a=4时， x2=4，
∴x=±2，
综上，该方程的解为x =2， x =-2．
1 2
【点睛】本题主要考查换元法解方程的方法，我们常用的是整体换元法，把一些形式复杂的方程通过
换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
4．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下列材料：解方程：x4-6x2+5=0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设x2= y，那么x4= y2，于是原方程可变为y2-6 y+5=0 ①，
解这个方程得：y =1，y =5．
1 2
当y =1时，x2=1．∴x=±1；当y =5时，x2=5，∴x=±❑√5
1 2
以原方程有四个根：x =1，x =-1，x =❑√5，x =-❑√5．
1 2 3 4
这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)用换元法解方程：(x2-x) 2 -4(x2-x)-12=0
(2)Rt△ABC三边是a，b，c，若两直角边a，b满足(a+b)(a+b-7)+10=0，斜边c=4，求
Rt△ABC的面积．
【答案】(1)x =-2，x =3．
1 2
9
(2)
4
【分析】（1）设y=x2-x，直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果；
（2）设a+b=x，解方程，得出a+b=5，进而根据完全平方公式以及勾股定理求得ab的值，即可求
解．
【详解】（1）解：设y=x2-x，原方程可变形为：y2-4 y-12=0，
∴因式分解为：(y-6)(y+2)=0，
∴y=6或y=-2，
∴x2-x=6或x2-x=-2，
对于方程x2-x=6，
解得：x =-2，x =3，
1 2
对于方程x2-x=-2，
移项得：x2-x+2=0，
∵Δ=-7<0，
∴上述方程无解，
∴原方程的解为：x =-2，x =3．
1 2
（2）设a+b=x，
∵(a+b)(a+b-7)+10=0，
∴x(x-7)+10=0，即x2-7x+10=0，
∴(x-2)(x-5)=0，
解得：x =2,x =5；
1 2
∵斜边c=4，
∴a+b>c，则a+b=5
∴(a+b) 2=25
∴a2+b2+2ab=25
又a2+b2=c2=16，
∴2ab=9，
9
∴ab= ，
2
1 9
∴Rt△ABC的面积为 ab= ．
2 4
【点睛】本题考查了一元二次方程、勾股定理．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：
设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．
题型九 判断一元二次方程根的情况（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·广东河源·期末）一元二次方程x2-4x+4=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，Δ>0，一元二次方程有两个不相等的实数
根；Δ=0，一元二次方程有两个相等的实数根；Δ<0，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是
解决问题的关键．
根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程x2-4x+4=0的判别式
Δ=(-4) 2-4×4=0，确定有两个相等的实数根即可得到答案．
【详解】解：x2-4x+4=0，
∵ a=1，b=-4，c=4，∴Δ=b2-4ac=(-4) 2-4×1×4=0，
∴一元二次方程x2-4x+4=0有两个相等的实数根，
故选：B．
2．（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于x的方程x2-(m+4)x+2m+4=0．
(1)求证：方程总有两个实数根：
(2)若方程的一个根比另一个根大3，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)m=3或m=-3
【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关
系建立关于m的方程解决问题．
（1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解；
（2）利用根与系数的关系建立关于m的方程即可求解．
【详解】（1）证明：Δ=(m+4) 2-4×1×(2m+4)=m2+8m+16-8m-16=m2，
因为m2≥0，所以Δ≥0，
所以方程总有两个实数根．
(m+4)±❑√m2 (m+4)±m
（2）解：解方程，得x= = ，
2 2
整理，得x=2或x=m+2，
∵方程的一个根比另一个根大3，∴m+2-2=3或2-m-2=3，
∴m=3或m=-3．
3．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC是等腰三角形，AB=4，另外两边是方程的根，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析；
(2)10或14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角
形的条件：
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先解方程得到x =m+1，x =m-1，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到x=4是方程
1 2的解，据此求出方程的两个根，进而确定△ABC的三边长，结合构成三角形的条件求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，Δ=(-2m) 2-4×1×(m2-1)=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
2m±2
（2）解：解方程x2-2kx+k2-1=0得x= =m±1，
2
∴x =m+1，x =m-1．
1 2
当m+1=4时，解得m=3，此时等腰三角形三边分别为4，4，2，
∵2+4>4，
∴此时能构成三角形，
∴△ABC的周长为4+4+2=10；
当m-1=4时，解得m=5，此时等腰三角形三边分别为4，4，6，
∵4+4>6，
∴此时能构成三角形，
∴△ABC的周长为4+4+6=14．
综上所述，△ABC的周长为10或14．
题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程x2-mx+9=0有两个相等的实数根，则
m= ．
【答案】±6
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，根据根的判别式列出
关于m的一元二次方程是解题的关键．
根据根的判别式列出关于m的一元二次方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-mx+9=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-m) 2-4×9=m2-36=0，解得：m=±6．
故答案为±6．
2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于x的一元二次方程(x+2) 2+k=3有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是 ．
【答案】k<3/3>k
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实
数根；当Δ<0时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到Δ=42-4(1+k)>0，然后解不等式即
可．
【详解】解：由(x+2) 2+k=3得：x2+4x+1+k=0，
∵关于x的一元二次方程(x+2) 2+k=3有两个不相等的实数根，
∴Δ=42-4(1+k)>0，
解得：k<3．
故答案为：k<3．
3．（24-25九年级上·四川广安·期末）若关于x的一元二次方程(m-1)x2-4x+2=0有两个实数根，则m的
取值范围为 ．
【答案】m≤3且m≠1
【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数k的范围，解题的关
键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac，当方程有两个不相等的实
数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0．根据定义可得
m-1≠0且Δ=(-4) 2-4×2×(m-1)=24-8m≥0，再进一步解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-4x+2=0有两个实数根，
∴m-1≠0且Δ=(-4) 2-4×2×(m-1)=24-8m≥0，
解得：m≤3且m≠1，
故答案为：m≤3且m≠1．
题型十一 根与系数关系的综合应用（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知x ,x 是方程x2-2x-1=0的两根，则x x = ．
1 2 1 2
【答案】-1
b
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系：x +x =- ，
1 2 a
c
x x = ．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
1 2 a
【详解】解：∵x ,x 是方程x2-2x-1=0的两根，
1 2-1
∴x x = =-1，
1 2 1
故答案为：-1．
2．（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知x ，x 是一元二次方程x2-3x+m-2=0的两个根，且该方程
❑1 2
的两根互为倒数，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二
次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x ，x ，那么x +x =- ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
根据一元二次方程的根与系数的关系可得x x =m-2，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得
1 2
x x =1，于是可得关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
1 2
m-2
【详解】解：∵x x = =m-2，
1 2 1
又∵该方程的两根互为倒数，即：x x =1，
1 2
∴m-2=1，
解得：m=3，
3．（24-25九年级下·江苏南京·期末）设a,b分别是方程x2+x-2023=0的两个实数根，则a2+2a+b的值
是 ．
【答案】2022
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根
与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵a,b分别是方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴a2+a-2023=0,a+b=-1，
∴a2+a=2023,a+b=-1，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2023+(-1)=2022，
故答案为：2022．
4．（24-25九年级上·福建·期末）若m，n是一元二次方程x2+5x+2=0的两个实数根，则-m+(n+2) 2的
值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系．先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系求出m+n=-5，n2+5n=-2，再将-m+(n+2) 2化为
-(m+n)+n2+5n+4计算即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+5x+2=0的两个实数根，
∴m+n=-5，n2+5n=-2，
∴-m+(n+2) 2=-m+n2+4n+4
=-m-n+n+n2+4n+4
=-(m+n)+n2+5n+4
=5-2+4
=7
故答案为：7
题型十二 与几何图形的综合应用（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地．为便于学
生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400m2，若设
小道的宽为xm，则根据题意，那么x满足的方程是（ ）
A．30×16-30x-16x+2x2=400 B．30×16-30x-2×16x=400
C．(30-x)(16-2x)=400 D．(30-2x)(16-x)=400
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为(30-2x)，宽为
(16-x)的矩形，再结合种植面积为400m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地，且小道的宽为xm，
∴除小路的其余部分可合成长为(30-2x)m，宽为(16-x)m的矩形．
根据题意得：(30-2x)(16-x)=400，
故选：D．
2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）
围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD(CD>2)边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？
【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设AB=x米，则BC=(18+2-x)米，根据围成车棚的面积为96m2，可列出关于x的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【详解】解：设AB=x米，则BC=(18+2-x)米，
根据题意得：x(18+2-x)=96，
整理得：x2-20x+96=0，
解得：x =8，x =12，
1 2
当x=8时，18+2-x=18+2-8=12（米）；
当x=12时，18+2-x=18+2-12=8（米）；
答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚．
3．（23-24九年级上·天津和平·期末）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是李叔叔的软笔作品，
是长180cm，宽90cm的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽
度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变
成原作品的1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？
【答案】4.5cm
【分析】首先设上下边衬的宽度为未知数，根据左右边衬与上下边衬宽度的关系表示出左右边衬宽度。
再依据装裱后面积与原作品面积的倍数关系，列出方程，最后求解方程并舍去不符合实际意义的解，
从而得到上下边衬的宽度4.5cm．本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出方程并求解是解题的
关键．
【详解】解：设上下边衬的宽度是xcm，则左右边衬的宽度是2xcm，
依题意得：(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90
(90+2x) 2=9801
x =4.5,x =-94.5（舍）
1 2
答：此作品上下边衬的宽度是4.5cm．
题型十三 增长率问题（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销
售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销
售额为600万元，若设5月、6月每月的增长率为x，则（ ）
A．300(1+x)=600 B．300+300(1+x)=600
C．300(1+x) 2=600 D．300(1+2x)=600
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
方程．
根据题意，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】由题知，300(1+x) 2=600，
故选：C．
2．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢
铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．560(1+x) 2=1860
B．560+560(1+x)+560(1+2x)=1860
C．560+560(1+x)+560(1+x) 2=1860
D．560+560(1+2x) 2=1860
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁 吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得
560(1+x) 560(1+x) 2
到答案．
【详解】解：设月平均增长率为x，
由题意得，560+560(1+x)+560(1+x) 2=1860，
故选：C．
3．（24-25九年级上·吉林·期末）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶
段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标．
(1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率．
(2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算
说明他们的目标能否实现．
【答案】(1)20％
(2)他们的目标能实现，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(1)设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量=第一阶段水稻亩产量×(1+x) 2，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)利用第四阶段水稻亩产量=第三阶段水稻亩产量×(1+x)，可求出第四阶段水稻亩产量，将其与
1200公斤比较后即可得出结论．
【详解】（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得，700(1+x) 2=1008，
解得x =0.2=20％，x =-2.2（不合题意，舍去）
1 2
答：第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率为20％．
（2）1008×(1+20％)=1209.6（公斤），
∵1209.6>1200，
∴他们的目标能实现．
题型十四 传染问题（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作
为纪念，全班学生共写了870份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 （ ）x(x-1) x(x+1)
A． =870 B． =870 C．x(x-1)=870 D．x(x+1)=870
2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
假设全班有x名学生，根据留言的数量，列出方程即可．
【详解】解：假设全班有x名学生，根据题意得，
x(x-1)=870
故选：C．
2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）巴黎奥运会网球女子单打冠军中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA
年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．如果计
划安排36场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有x名选手参加组内循环赛，根据题
意可列方程为（ ）
A．x(x-1)=36 B．x(x+1)=36
1 1
C． x(x+1)=36 D． x(x-1)=36
2 2
【答案】D
【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，设一共有x名选手参加组内循环赛，则每
1
个队参加(x-1)场比赛，则共有 x(x-1)场比赛，可以列出一个一元二次方程．
2
1
【详解】解：由题意可列方程为： x(x-1)=36．
2
故选：D．
3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传
染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（ ）
A．x+x⋅x=225 B．x-x(1-x)=225
C．1+x+x(1+x)=225 D．1-x-(1-x)(1-x)=225
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传
染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列
方程：1+x+x(1+x)=225．本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等
量关系准确地列出方程是解决问题的关键．【详解】解：依题意得1+x+x(1+x)=225，
故选：C．
4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目
的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（ ）小分支．
A．8 B．9 C．2 D．8或2
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长
出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x⋅x=x2个，然后根据主干、支干
和小分支的总数是91就可以列出方程，求解即可．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2=91，
解得：x =9，x =-10（舍去），
1 2
∴每个支干长出9个小分支．
故选：B．
5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流
感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
【答案】(1)7
(2)512
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x；
（2）用第二轮×(1+每轮传染中平均每人传染的人数)，可求出第三轮过后，患流感的人数．
【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x(x+1)=64
x=7或x=-9(舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）64×(1+7)=512(人)．
答：第三轮感染后，患流感的共有512人．
题型十五 经济问题（共 4 小题）
1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）大家乐超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，
为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价5元，则平均每天销售数量为 件；
(2)为尽快减少库存，并保证该超市每天销售这种商品的利润为1200元，每件商品应降价多少元？
【答案】(1)30
(2)每件商品应降价20元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解
题的关键．
（1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可；
（2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为(20+2x)件，再根据总利润=单件利润×销售量列出
方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，若降价5元，则平均每天销售数量20+5×2=30件；
（2）解：设每件商品应降价x元，
由题意得，(40-x)(20+2x)=1200，
整理得，x2-30x+200=0，
解得x=20或x=10，
∵要尽快减少库存，
∴x=20，
答：每件商品应降价20元．
2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买
A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2
倍．
(1)求商家购买A书籍和B书籍的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可
卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家
在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书
籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？
【答案】(1)商家购买A书籍的进价为16元，购买B书籍的进价为24元
(2)29元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关
键．
（1）设商家购买A书籍的进价为x元，则购买B书籍的进价为(40-x)元，根据购买A书籍的数量是B书籍的2倍建立方程，解方程求出x的值，由此即可得；
（2）设每本B书籍的售价为y元，则平均每天可卖出B书籍(355-10 y)本，根据利润=（A书籍的售
价-A书籍的进价）×A书籍的销量+（B书籍的售价-B书籍的进价）×B书籍的销量建立方程，解方
程求出y的值，再根据要促进B书籍的销量，选择较小的y值即可得．
【详解】（1）解：设商家购买A书籍的进价为x元，则购买B书籍的进价为(40-x)元，
1600 1200
由题意得： =2× ，
x 40-x
解得x=16，
经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意，
则40-x=40-16=24，
答：商家购买A书籍的进价为16元，购买B书籍的进价为24元．
(33- y)
（2）解：设每本B书籍的售价为y元，则平均每天可卖出B书籍25+5× =(355-10 y)本，
0.5
由题意得：50×(25-16)+(355-10 y)(y-24)=775，
整理得：2y2-119 y+1769=0，
解得y=29或y=30.5，
∵要促进B书籍的销量，
∴y=29，
答：每本B书籍的售价为29元．
3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前
来旅游．某旅行社推出“丹东畅游团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进
行调研．
素材 9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的报
1 名人数将达到5760人．
经过研讨，旅行社初步制定方案为：
素材
①每团60人；
2
②每人团费1000元．
素材 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团
3 费不低于800元
问题解决
任务 确定增长率 求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率．
1任务 拟定价格方案 若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费．
2
请根据以上素材，完成任务1，2．
【答案】任务一：20%；任务二：950元
【分析】本题考查了列一元二次方程的应用——增长率问题和购买问题，解应用题的关键是熟练掌握
终止量与起始量和增长次数的关系，总价与单价和数量的关系，列出方程．
任务一：设这两个月报名人数的月平均增长率为x，列方程4000(1+x) 2=5760，解方程即可求解；
( a )
任务二：设每人的团费下调a元，根据题意列方程(1000-a) 60+ =61750，求解即可．
10
【详解】解：任务1：设这两个月报名人数的月平均增长率为x，
由题意，得4000(1+x) 2=5760．
解得x =0.2，x =-2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
∴x=0.2=20%．
答：这两个月报名人数的月平均增长率为20%．
任务2：设每人的团费下调a元，
( a )
由题意，得(1000-a) 60+ =61750．
10
解得a =350，a =50．
1 2
当a=350时，1000-350=650<800（不符合题意，舍去），
当a=50时，1000-50=950，
答：下调后每人的团费为950元．
4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出
一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和
销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】(1)y=-5x+200
(2)30
【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关
键．
（1）根据图像上点坐标(28,60)，(32,40)，代入y=kx+b，用待定系数法求出即可．
（2）根据总利润=单个利润×销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
依题意，得¿，解得¿
所以y与x的函数关系式为y=-5x+200；
（2）解：依题知(x-25)(-5x+200)=250．
整理方程，得x2-65x+1050=0．
解得x =35，x =30．
1 2
∵此设备的销售单价不得高于32万元，
∴x =35（舍），所以x=30．
2
答：该设备的销售单价应是30万元．
题型十六 动态几何问题（共 5 小题）
1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点
P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度
均为1cm/s．
(1)运动几秒时，点P，Q相距6cm？
(2)△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？
【答案】(1)运动(4+❑√2)秒或(4-❑√2)秒时，点P，Q相距6cm
(2)△PCQ的面积不能等于10cm2．理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用：（1）设运动时间为ts，则CP=BQ=tcm，则CQ=(8-t)cm，利用勾股定理建立方程t2+(8-t) 2=62，
解方程即可得到答案；
1
（2）根据三角形面积公式建立方程 t⋅(8-t)=10，看方程是否有解即可得到结论．
2
【详解】（1）解：设运动时间为ts，则CP=BQ=tcm，则CQ=(8-t)cm．
∵在Rt△CPQ中，∠C=90°，PQ=6cm，
∴PC2+CQ2=PQ2，即：t2+(8-t) 2=62．
解得：t =4+❑√2，t =4-❑√2．
1 2
∴运动(4+❑√2)秒或(4-❑√2)秒时，点P，Q相距6cm．
（2）解：△PCQ的面积不能等于10cm2．理由如下：
1
当△PCQ的面积等于10cm2时，则 CP⋅CQ=10，
2
1
∴ t⋅(8-t)=10，即：t2-8t+20=0．
2
∵Δ=(-8) 2-4×1×20=-16<0．
∴方程t2-8t+20=0无实数解．
∴△PCQ的面积不能等于10cm2．
2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm．点P从
点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4❑√2cm？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积1:2的两部分？若能，求出运
动时间；若不能说明理由．2
【答案】(1) ,2
5
(2)经过2秒或4秒时，线段PQ能将△ABC分成面积1:2的两部分
【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，解一元二次方程．解题的关键是掌握勾股定理，列出一
元二次方程．
（1）在Rt△PBQ中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；
1 2
（2）分△BPQ的面积为△ABC面积的 和△BPQ的面积为△ABC面积的 ，列出方程进行求解
3 3
即可．
【详解】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于4❑√2cm，
由题意，得：AP=tcm，BQ=2tcm，
∴BP=AB-AP=(6-t)cm，
当PQ=4❑√2时，在Rt△PBQ中，
∵BP2+BQ2=PQ2，
∴(6-t) 2+(2t) 2=(4❑√2) 2
整理，得：5t2-12t+4=0，
2
解得：t = ,t =2；
1 5 2
2
∴当t = ,t =2时，PQ的长度等于4❑√2．
1 5 2
（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积1:2的两部分，
1
依题意有：△ABC的面积= ×6×8=24，BP=AB-AP=(6- y)cm，BQ=2ycm
2
1
①当△BPQ的面积为△ABC面积的 时，
3
1 1
则： (6- y)×2y=24× ,
2 3
整理，得：y2-6 y+8=0,
解得：y=2或y=4；
2
②当△BPQ的面积为△ABC面积的 时，
3
1 2
则： (6- y)×2y=24× ，
2 3整理，得：y2-6 y+16=0，
∵Δ=36-64<0，
∴方程无实数根；
∴经过2秒或4秒时，线段PQ能将△ABC分成面积1:2的两部分．
3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图1，矩形ABCD纸片，AB=4cm，BC=3cm，动点P，Q分别从点
A同时出发，均以1cm/s的速度，点P沿AB-BC方向，到终点C停止运动：点Q沿AD-DC方向，
到终点C停止运动，连接PQ，将矩形ABCD在PQ左下方的部分纸片沿PQ折叠得到如图2，设点P运
动的时间为x(s)，重叠部分图形的面积为y(cm2)．
(1)当点A落到CD边上时，求x的值；
(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x>3时，若△ACD以CD为腰的等腰三角形，直接写出x的值．
【答案】(1)x=3；
(2)y=¿；
3+❑√23 7+❑√31
(3) 或 ．
2 2
【分析】（1）当点A落到CD边上时，则点Q与点D重合，从而有AP=AD=3，即可求出x得值；
（2）分①当0
