文档文本内容
专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）
题型一 一元二次方程的定义
题型二 根据一元二次方程的定义求参数
题型三 一元二次方程的一般形式
题型四 一元二次方程的解
题型五 赋值法求一元二次方程的解
题型六 降次求代数式的值
题型七 一元二次方程估值计算
知识点01 一元二次方程的概念
ax2 +bx+c=0(a≠0)
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这
样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知
数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
知识点02 一元二次方程的一般形式
ax2 +bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
知识点03 一元二次方程的根
1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3、常考点：为利用根的概念求代数式的值；
4、一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使 ，一个使 ，则一元二次方ax2 +bx+c=0
程 的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
【经典例题一 一元二次方程的定义】
【例1】（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
① ② ③ ④
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
1．（2023九年级下·全国·专题练习）下列方程中，一元二次方程共有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；② ＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣
5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列关于 的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元
几次方程？
①
②
③
④
⑤
【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】
【例2】（22-23九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x的方程 是一元二次方程，
则m的值为（ ）A．1 B． C． D．不能确定
1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果关于x的一元二次方程 ，有一个解是
0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于 的方程 是一元二次方程，
则 为 .
3．（23-24八年级上·上海·课后作业）方程 ．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
【经典例题三 一元二次方程的一般形式】
【例3】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）方程 化成一元二次方程的一般形式后，其中的
二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）将方程 化为一元二次方程的一般式，正确的是
（ ）
A． B． C． D．2．（2022九年级上·全国·专题练习）方程 化为一般形式是 ；其中二次项系
数是 ．
3．（2021九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项
系数和常数项：
（1） ；
（2） ．
【经典例题四 一元二次方程的解】
【例4】（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）若 是关于 的一元二次方程 的一个根，
则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．9
1．（2024九年级·全国·竞赛）方程 和方程 有一个实数根相同，则 的值是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若 为方程 的一个根，则代数式 的值为
．
3．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值： ，其中x是方程 的根．
【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式
的值为（ ）．
A． B．23-24 C．2024 D．2025
1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则
的值等于（ ）
A．2027 B．2024 C．2025 D．2026
2、（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若 ，求证： 必是该方程的一个根；
(2)当 之间的关系是___________时，方程必有一个根是 ？
3、（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知 是方程 的一个根．求：
(1) 的值．
(2)代数式 的值．
【经典例题六 降次求代数式的值】
【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程 的一个根，则 的值
为（ ）
A．23-24 B． C．23-24 D．1、（2024·江苏南通·二模）若m是方程 的一个实数根，则代数式 的值为
．
2、（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知 是方程 的一个根，求 的值．
3、（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程 的解，求式子 的值．
【经典例题七 一元二次方程估值计算】
【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于 的一元二次方
程 的一个解 的范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程 +12x﹣15=0必有一
个解x满足（ ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84
2．（16-17八年级下·浙江杭州·阶段练习）根据下列表格中关于x的代数式 的值与x的对应值，
判断方程 ＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是 ( )x 5.12 5.13 5.14 5.15
－0.04 －0.02 0.01 0.03
A．5.14＜x＜5.15 B．5.13＜x＜5.14
C．5.12＜x＜5.13 D．5.10＜x＜5.12
3．（23-24九年级·山东青岛·期中）根据如下表格对应值：
x ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2
ax2+bx+c 2 1 2
判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是 ．
1．（2024年广东省东莞市东莞外国语学校中考二模数学试题）如果关于 的一元二次方程
的一个解是 ，则代数式 的值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
2．（山东省淄博市周村区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）已知关于 的方程
（ 为常数， ）的解是 ， ，那么方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．
3．（安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）关于 的一元二次方
程 的两根为 ， ，记 ， ，则的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
4．（2023年河南省平顶山市鲁山县一模数学模拟试题）若关于 的一元二次方程
的一个根为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
5．（2023年贵州省黔东南苗族侗族自治州三穗县州省三穗中学九年级第二次模拟数学模拟试题）若 ，
（ ）是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，则a，b，m，n的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024年广东省韶关市九年级中考二模数学试题）若 是方程 的根，则 的值
是 ．
7．（2024年重庆市南岸区九年级质量监测数学试题）已知m为方程 的一个根，则代数式
的值为 ．
8．（2024学年贵州省黔东南苗族侗族自治州天柱县九年级第一次模拟检测数学模拟试题）若a是一元二
次方程 的一个根，则代数式 的值为 。
9．（四川省凉山州宁南县初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）已知关于 的一元
二次方程 （ 均为常数，且 ）的解是 ， ，则关于 的一元二次方程
的解是 ．
10．（江苏省淮安市清江浦区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）如表是某同学求代数式
（ 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程 的根是 ．
0 1 2 3 …
6 2 0 0 2 6 …11．（2024年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学中考三模数学试题）已知，
．
(1)化简A；
(2)若a是方程 的一个根，求A的值．
12．方程（m﹣3） ＋（m﹣2）x＋5＝0
(1)m为何值时，方程是一元二次方程；
(2)m为何值时，方程是一元一次方程．
13．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的
一元二次方程：
(1) ，且a＋b＋c＝12；
(2) ．
14．（广东省梅州市丰顺县大同中学2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题）已知一元二次方程
，
(1)如果方程有一个根是 ，那么 ， ， 之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是 ，那么 ， ， 之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是 ，那么未知项的系数或常数项有什么特征？15．阅读下题的材料：
已知： 是一元二次方程 的根，求 的值．
小明是这样做的：将 代入 中，得到 ；两边同时除以 ，得到 ；解得 ．
小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将 代入 中，得到 ；移项，得 ；
解得 ， ， ．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由．
