文档内容
专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）
题型一 直接开方法解一元二次方程
题型二 直接开方法解一元二次方程的应用
题型三 配方法解一元二次方程
题型四 配方法的应用
题型五 公式法解一元二次方程
题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型七 根据一元二次方程根的情况求参数
题型八 根的判别式综合应用
题型九 因式分解解一元二次方程
题型十 换元法解一元二次方程
题型十一 一元二次方程的新定义解法
知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成(x+a) 2=b(b≥0)的形式，则x＝−a±❑√b(b≥0).
知识点02 一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对 且 为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用
公式法来更加简单。
知识点04 公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是: ( =b2－4ac≥0)
推导过程：一元二次方程 ，用配方法将其变形为：
2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的
值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x ,x．若b2－4ac＜0，则方程无解．
1 2
知识点04 一元二次方程根的判别式 ( =b2－4ac)
①当 时，方程有两个不相等的实根；
② 当 时，方程有两个相等的实根；
③ 当 时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明 恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
知识点05 因式分解法
将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于 0的形式，再使这两个一次因式分别等
于0，实现降次的方法。
(x−x )(x−x )=0
即将一元二次方程化简为 1 2 ；从而得出： ，因式分解法的关键是分解成两
个一次因式相乘的形式。
因式分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于 0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好
解决。①平方差公式：a2−b2=（a+b）（a−b）；②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a+b）2
十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：2x2−x−6=0
3
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴x =− ,x =2
1 2 2
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】
【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2) ．
1、（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
3、（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】
【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程 有一个根是
1，则m的值是（ ）
A． B．2 C．0 D．
1、（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程 的两根分别是 与 ，则这两
根分别是（ ）
A．1，4 B．1， C．2， D．3，0
2、（2023·吉林长春·模拟预测）方程 有实数根，则 的值可以是 （写出一个即可）．
3、（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程 的两根分别为 与 ．
(1)求 的值；(2)求 的值．
【经典例题三 配方法解一元二次方程】
【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程： ．
2、（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程：
3、（23-24八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若该方程的一个根是1，求a的值；
(2)在（1）的条件下，用配方法解该方程．【经典例题四 配方法的应用】
【例4】（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）一元二次方程 经过配方后，可变形为（ ）
A． B． C． D．
1．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点 和点 在 轴上，
点 在 轴负半轴上， ，当线段 最长时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川巴中·一模）若x、y均为实数，则代数式 的最小值是 ．
3．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答：
例：
，
请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题；
探究：
（1）无论x取何值，试说明代数式 的值一定是负数；应用：
（2）记某个正方形的面积为 ，边长为 ，某个矩形的面积为 ，若该矩形的一边长比正方形的边
长少3，另一边长为6，请比较 与 的大小，并说明理由．
【经典例题五 公式法解一元二次方程】
【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：
1、（2024·广东深圳·模拟预测）解方程： ．
2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．3、（2024·浙江金华·二模）设关于 的一元二次方程 ，已知① ， ；② ，
；③ ， ．请在上述三组条件中选择其中一组 ， 的值，使这个方程有两个实数根，并解
这个方程．
【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【例1】（2024·河南周口·模拟预测）一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组 有且仅有4个整数解，则关于 的方程
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
2（2023·山东滨州·模拟预测）关于 的一元二次方程 的实数根情况为 ．
3．（23-24八年级下·北京·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为 ，求m的值．【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例7】（2024·河南南阳·二模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）对于实数 定义新运算： ，若关于 的方程
有两个不相等的实数根，则 的取值范围（ ）
A． B． C． 且 D． 且
2．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
取值范围是 ．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程：
方程①： ；方程②：
(1)证明方程①总有实数根，
(2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值．
(3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式 的值．
【经典例题八 根的判别式综合应用】
【例8】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知 和 均是以 为自变量的函数，当 时，函数值分别为 和 ，若存在实数 ，使得 ，则称函数 和 具有性质 ．以下函数 和 具有
性质 的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）对于一元二次方程 ，下列说法：①若
，则 ；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不
相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；②若 是一元二次方程
的根，则 其中正确的（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③
2．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且
关于x的方程 有解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于 的一元二次方程 两个实数解分别为
和 ，且
(1)求 的最大值；
(2)若 ，求 的值．【经典例题九 因式分解解一元二次方程】
【例9】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程： （因式分解）．
1、（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于 的方程（因式分解方法）：
(1) ；
(2) ．
2、（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程 ，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式
①竖分二次项与常数项： （2）根据乘法原理，若 ，则 或 ，则方程
可以这样求解：
，
②交叉相乘，验中项： 方程左边因式分解得
∴ 或
∴ ，
③横向写出两因式： ∴
试用上述这种十字相乘法解下列方程(1) ；
(2) ．
3、（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式 因式分解，可以如下分解：
(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式 因式分解；
(2)拓展：
①把代数式 因式分解；
②若代数式 为 时（其中 ， ），则 的值为______．
【经典例题十 换元法解一元二次方程】
【例10】（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）若 ，则 的值是（ ）A． 或3 B． C．3 D．4
1．（23-24九年级上·河北沧州·期中）若关于x的方程 的解是 ， （a，m，b均
为常数， ），则方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（22-23九年级上·山西运城·期中）已知实数a，b满足 ，则
．
3．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）为了解方程 ，
我们可以将 看作一个整体，然后设 ，则 ，那么原方程可化为 ，解
得
当 时， ．
当 时， ．
故原方程的解为 ．
请借鉴上面的方法解方程 ．
【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】
【例11】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程 与 为“友好方
程”，则m的值为（ ）
A． B． C．1或 D． 或
1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）定义符号 的含义为∶ 当 时， ；当
时， ，如： ， ，则方程 的解是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若 、 是方程 的两个整数根，且满足
，则称此类方程为“自然方程”，例如： 是“自然方程”．
（1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号）
① ；② ；③ ．
（2）若方程 是“自然方程”，m的值为 ．
3．（23-24九年级上·河南安阳·期中）定义：如果关于 的一元二次方程 满足
，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
(1)写出一个“凤凰”方程是______；
(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；
(3)已知方程 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求 的值．1．（2024年河南省周口市郸城县押题模拟联考三模数学试题）已知实数m，现甲、乙、丙、丁四人对关
于x的方程( 讨论如下，则下列判断正确的是（ ）
甲：该方程一定是关于x 乙：该方程有可能是关于 丙：当 时，该方 丁：当 时，该方
的一元二次方程 x的一元二次方程 程没有实数根 程有两个实数根
A．甲和丙说得对 B．甲和丁说得对 C．乙和丙说得对 D．乙和丁说得对
2．（2024年山东省济宁市邹城市第十中学中考数学模拟试题）若关于x的方程 有实数
根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
3．（2024年山东省济宁市邹城市第十中学中考数学模拟试题）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方
程 的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．1 B．11和13 C．11或8 D．13
4．（2024年四川省德阳市罗江区九年级中考二模数学试题）关于x的一元二次方程 有
两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
5．（2024年四川省德阳市中江县中考二模数学试题）若实数m、n满足， 则m的取值
范围是（ ）
A． B． C． D． 或6．（2024年甘肃省定西市安定区城区学校联考九年级中考三模数学试题）若关于 的一元二次方程
有实数根，则 的取值范围是 ．
7．（2024年山东省聊城市运河教育联合体九年级中考数学模拟试题（二））对于实数 ， ，先定义一
种新运算“ ”如下： ，若 ，则实数 的值为 ．
8．（2024年山东省淄博市桓台县中考二模数学试题）已知点 是一次函数 的图象上位于第一
象限的点，其中实数 ， 满足 ，则点 的坐标是 ．
9．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，过点O作 ，交 于点E，若 ，
，则 的长为 ．
10．（2024年山东省威海市环翠区中考一模数学试题）已知实数k满足以下条件：
①关于x的一元二次方程 有实数根；
② 的解集为 ．
则满足以上所有条件的整数k的和为 ．
11．（山东省烟台市烟台经济技术开发区实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）解方程
(1) ；
(2)12．（2024年甘肃省金昌市永昌县第五中学联片教研中考三模数学试题）已知关于 的一元二次方程
．
(1)当 时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求 的取值范围．
13．阅读下列材料：
(1)将 分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项： ．
③横向写出两因式： ．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若 ，则 或 ．
① ；
② ．
14．观察下列方程及其解的特征：(1)请猜想：方程 的解为 ；
(2)请猜想：关于 的方程 的解为 ， ；
(3)下面以解方程 为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为 ．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
15．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)设 是方程的一个实数根，且满足 ，求 的值．
