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专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值
题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值
题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值
题型四 构造一元二次方程求代数式的值
题型五 由两根关系求方程字母系数
题型六 根与系数关系的新定义问题
题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题
题型八 一元二次方程根与系数的关系综合
如果一元二次方程 （ ）的两根为 那么，就有
比较等式两边对应项的系数，得
①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．
因此，给定一元二次方程 就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数 满足①与②，
那么这两数 必是一个一元二次方程 的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．
利用根与系数的关系，我们可以不求方程 的根，而知其根的正、负性．
在 的条件下，我们有如下结论：
当 时，方程的两根必一正一负．若 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 ，则此
方程的正根小于负根的绝对值．
当 时，方程的两根同正或同负．若 ，则此方程的两根均为正根；若 ，则此方程的两根
均为负根．
⑴ 韦达定理（根与系数的关系）：
如果 的两根是 ， ，则 ， ．(隐含的条件： )
⑵ 若 ， 是 的两根(其中 )，且 为实数，当 时，一般地：
① ，
② 且 ，
③ 且 ，
特殊地：当 时，上述就转化为 有两异根、两正根、两负根的条件．
⑶ 以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： ．⑷ 其他：
① 若有理系数一元二次方程有一根 ，则必有一根 ( ， 为有理数)．
② 若 ，则方程 必有实数根．
③ 若 ，方程 不一定有实数根．
④ 若 ，则 必有一根 ．
⑤ 若 ，则 必有一根 ．
⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：
① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
③ 已知方程的两根，求作方程；
④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一
元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 ．一些考试中，往往利用这一
点设置陷阱．
【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（2024·天津河北·一模）若 是方程 的两根，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握： 是
的两根，则 ， 是解题的关键．
由题意知， ， ，然后代值求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故选：A．
1．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知元二次方程 的两根分别为m，n，则 的
值是（ ）
A． B．2 C．16 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程
的 是解题的关键．
根据根与系数的关系可得 ，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵二次方程 的两根分别为m，n，
∴ ，
∴ ．
故选A．
2．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，则
．
【答案】10
【分析】本题考查了根与系数的关系，先利用根与系数的关系得到 ， ，然后利用整体代
入的方法计算，若 ， 是一元二次方程 的两根时， ， ．
【详解】解：根据根与系数的关系得 ， ，
所以 ．
故答案为：10．3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个实数根，求 的取值范围；
(2)在（1）中，设 ， 是该方程的两个根，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记当 时，方程有两个实数根，和根与
系数的关系是解题的关键是．
（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式， ，得到关于 的一元一次不等式，
解之即可．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到 ， ，结合
，得到关于 的一元一次方程，解之即可．
【详解】（1）由一元二次方程的根的判别式，当 时，方程有两个实数根，
解得： ，
即 的取值范围为： ．
（2）由一元二次方程的根与系数的关系，得 ， ，
，
，
解得 ，即 的值为 ．
【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】【例2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知 是方程 的两个实数根，则 的值
（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、分式化简求值等知识，先根据一元二次方程根与系数的
关系得到 ，再由 ，代值求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程根与
系数的关系及分式化简求值是解决问题关键．
【详解】解： 是方程 的两个实数根，
，
，
故选：D．
1．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）若m，n为方程 的两个实数根，则
（ ）
A． B． C．7.5 D．-1.8
【答案】A
【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握 ， 是一元二次方程
的两根时， ， ．
由 ， 是方程 的两个实数根，推出 ， ， ，推出 ，
再利用整体代入的思想解决问题．
【详解】解： ， 是方程 的两个实数根，∴ ， ， ，
∴ ，
∴
．
故选：A．
2．（2024·四川泸州·中考真题）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，
若该方程的两个实数根为 ， ，则 ， ．先根据根与系数的关系得到 ，
，再根据完全平方公式的变形 ，求出 ，由此即可得到
答案．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
，
，
．
故答案为： ．3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知 是关于x的一元二次方程 的两实
数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若 ，求m的值．
(3)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最小值为
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，
解题的关键是熟练掌握当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等
的实数根；当 时，方程没有实数根．以及一元二次方程 根与系数关系：
．
（1）根据题意得出 ，即可解答；
（2）先得出 ，再根据 ，列出
方程求解即可；
（3）先得出 ，再将 代入，即可解答．
【详解】（1）解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两实数根，
∴ ，
∴
解得： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
（3）解：
∵
∴当 时， 最小等于32
∴ 的最小值为 ．
【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例3】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知 ， 是方程 的两个实根，则
的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．21
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．利用一元二次方程根与系数
的关系，一元二次方程的解的定义可得 ， ， ， ，再
代入，即可求解．【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实根，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程 的两根分别为 ，则
的值为（ ）
A．0 B．7 C．13 D．6
【答案】A
【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别为 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴
．故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体
代入思想，关键是变形．
2．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）已知方程 的两个根分别是 ，则 =
．
【答案】
【分析】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系： ， ．
由根与系数的关系可得： ， ，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【详解】解： 方程 的两个根分别是 ，
， ，
．
故答案为： ．
3．（2024·四川南充·三模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
(1)求实数 的取值范围，
(2)当 时，设方程的两个实数根分别为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)13【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了根的判别式．
（1）根据根的判别式的意义得到 ，然后解不等式即可；
（2） 时，方程变为 ，利用根与系数的关系得到 ， ，再将
变形代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得 ，
解得 ；
（2）解： 时，方程变为 ，
设方程的两个实数根分别为 ， ，
， ，
．
【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知 ， 是不为0的实数，且 ，若 ， ，
则 的值为（ ）
A．23 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关
系是解决问题的关键．将 ， 进行变形可知 ， 为方程 的两个不相等实根，
然后利用根与系数的关系得到 ， 的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值．
【详解】解： ， 是不为0的实数，
由 ， ，得 ， ，
又 ，
， 为一元二次方程 的两个不相等实根，
， ，
，
故选：A．
1．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知 ， ，且 ，则 的值为
（ ）．
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的性质、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据等式的性质可将
化为 ，可发现m、n是一元二次方程 的解；再根据根与系数的关
系可得 ；然后再运算并整体代入即可解答；发现m、n是一元二次方程 的解成为解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴m、n是一元二次方程 的解，
∴ ，
∴ ．
故选D．
2．（2024·四川内江·二模）已知实数 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练
掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键．
由题意知， ， ，则 是 的两个根，即 ，根据
，代值求解即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
∴ 是 的两个根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料：
材料：关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数a，b，c有如下关系：， ；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)类比：一元二次方程 的两个实数根为m，n，则 ； ；
(2)应用：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 ， 且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 的值为
【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键．
（1）利用根与系数的关系即可解决问题．
（2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题．
（3）将s和t看作方程 的两个根即可解决问题．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ，
（2）解：根据题意，一元二次方程 的两个实数根为m，n，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵实数s，t满足 ， 且 ，
∴实数s，t是一元二次方程 的两个实数根，∴ ， ，
∴
．
【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】
【例5】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 的两个实
数根分别为 ，且 ，则 的值是（ ）
A． 或 B． 或2 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．
熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键．
由题意得 ， ， ，解得， ，由 ，可得
，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
解得， ，∵ ，
∴ ，
解得， 或 （舍去），
故选：D．
1．（23-24九年级上·河南郑州·期中）若一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，
且 ，则 的值是（ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或3
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与 有
如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没
有实数根．关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关
系： ， ，先根据根的判别式得出 ，再由方程根与系数的关系得出
， ，从而得到 ，求解即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】解： 一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，
，
，
， ， ，
，
解得： 或 ，，
，
故选：B．
2．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，则
．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系
得出 ，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次
方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解： 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，
，
原方程为 ，
解得： ， ，
，
故答案为： ．
3．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)如果方程有实数根，求 的取值范围；
(2)如果 是这个方程的两个根，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识．
熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式是解题的关键．（1）由题意知 ，计算求解即可；
（2）由题意知， ， ，由 ，可得 ，即
，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得， ；
（2）解：由题意知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的值为 ．
【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】
【例6】（2022·湖北荆州·三模）定义 为方程 的特征数．若特征数为
的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（ ）
A． 或4 B． C． D． 或1
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的方程，根据方程的两实数根的平方
和为12，得 ， ， ，列出方程和不等式是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意可知，该方程为 ，
∵方程的两实数根的平方和为12，
∴ ，∴ ，
设两实数根为 ， ，则 ， ，
∴ ，
即： ，整理得： ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
0．（23-24九年级上·河南新乡·期末）对于实数 ， 定义运算“ ”为 ，例如：
，则关于 的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运算，把
化简，再根据根的判别式进行判断，即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴关于 的方程 有两个不相等的实数根，故选：A．
2．（23-24九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）①设 是方程 的两个根，则
．
②对于实数a，b定义一种新运算“ ”： ，例如， ，则方程
的解是 ．
【答案】 177
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系和分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程根与系数关系
和分式方程的解法是解题的关键．
①根据根与系数关系得到 ，再整体代入
即可求得答案；
②由新定义得到 ，再代入得分式方程，解分式方程并检验后即可得到答案．
【详解】解：① 是方程 的两个根，
∴ ，
∴
故答案为： ；
②∵
∴ ，∴
去分母得， ，
解得
经检验， 是分式方程的解，
故答案为：
3．（23-24九年级上·湖北十堰·期中）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 的
两个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，通过计算，判断一元二次方程 是不是“倍根方程”；
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，求c的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，求a、b、c之间的关系．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，
（1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论；
（2）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案；
（3）设 与 是方程 的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】（1）解： ，即 ，
解得 和 ，
故一元二次方程 是“倍根方程”．（2）由题意可设： 与 且 是方程 的两个根，
∴ ，
解得： ， ；
（3）设 与 是方程 的解，
∴ ， ，
∴消去 得： ．
【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】
【例8】（22-23九年级上·福建宁德·期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ，
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握以上知识点是
解题的关键，按照方程的解的含义，一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程
的求根公式对各选项分别讨论，即可得到答案．
【详解】解：①当 时， ，那么一元二次方程 有两个
不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时成立，那么①一定正确；
②方程 有两个不相等的实数根，则 ，那么 ，故方程 必
有两个不相等的实数根，进而推断出②正确；
③由 是方程 的一个根，得 ，当 ，则 ，当 ，则不一定等于0，那么③不一定正确；
④ ，由 ，得 ，由 是一元二次方
程 的根，则 成立，那么④正确．
综上所述：说法正确的有①②④，
故选：D．
1．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）对于一元二次方程 （ ），下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若方程的两根互为相反数，则 ，
④若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
其中正确的（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系及
等式的性质分别进行讨论即可求解．
【详解】解：当 时， ，
∴一元二次方程 （ ）有两个不相等的实数根或两个相等的实数根，
∴ ，故①正确；
若方程 有两个不相等的实根，则 ，
∴ ，
∴方程 必有两个不相等的实根，故②正确；
若方程的两根互为相反数，则 ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，故③正确；
若 是方程 的一个根，
∴ ，
当 时， 成立，故④不一定成立；
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关
系及等式的性质，熟练掌握一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、一元二次方程的根与
系数的关系及等式的性质是解题的关键．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程 ．下列说法：
若 ，则方程一定有两个不相等的实数根；
若 ，则 一定是这个方程的实数根；
若 ，则方程一定有两个不相等的实数根；
若 的两个根为 和 ，则 是方 的根，
其中正确的是 （填序号）
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．
【详解】 ∵ ， ，
∴ 、 异号，
∴ ，所以方程有两个不等的实数根故 正确；
②∵ 时， ，
∴ 时，一定有一个根是 ，故 正确；
根据 ，不能得到 ，从而不能证得方程 一定有两个不相等的实数根，
故 错误；
∵ 和 是 的两个根，
∴ ， ，
∴ ， ，
而 ， ，∴ ， 是方程 的根，故 正确，
∴正确的结论是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、
解的意义是解题的关键．
3．（22-23九年级上·广东广州·开学考试）如果关于x的一元二次方程 有下列说法：
①若 ，则 ；②若方程两根为 和2，则 ；③若方程 有两个不相
等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；④若 ，则方程有两个不相等的实根．
其中结论正确的是有 ．
【答案】①②③④
【分析】①若 ，那么 为一个实数根，根据判别式即可判断；②根据根与系数的关系即可得
到 ；③方程 有两个不相等的实根，则 ，得出 ，即可判断方程
必有两个不相等的实数根；④若 ，计算根的判别式的值得到 ，
于是根据根的判别式的意义可对其进行判断．
【详解】解：若 ，则方程 有一根为1，
又∵ ，
∴ ，故①正确；
由根与系数的关系可知， ，整理得： ，故②正确；
若方程 有两个不相等的实根，则 ，
∴ ，
∴方程 必有两个不相等的实数根，故③正确；
若 ，则 ，
即方程有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能
力．【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】
【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程 .
(1)当 时，解这个方程；
(2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；
(3) ， 是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且 ，求n的值.
【答案】(1) ，
(2)方程有两个实数解．理由见详解
(3) 的值为1或2
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先计算根的判别式的值得到△ ，利用根的判别式的意义即可解答；
（3）先利用公式法解方程得 或 ，由于 ，所以 或 ，当
，则 ，利用整除性得当 时， ；当 时， ；当 时，
．
本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ，
．也考查了根的判别式．
【详解】（1）解：当 时，原方程化为 ，
，
或 ，
∴ ， ；
（2）解：方程有两个实数解．
理由如下：，
当 时， ，方程有两个相等的实数解；
当 时， ，方程有两个不相等的实数解；
综上所述，方程有两个实数解；
（3）依题意，解方程得 或 ，
，
或 ，
当 时， ，
、 为正整数，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
综上所述， 的值为1或2．
1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若 、 是一元二次方程 ， 、 、
为系数且为常数）的两个实数根，则 、 ，这个定理叫做韦达定理．如： 、 是方
程 的两个实数根，则 、 ．若 ， 是方程 的两个实
根．试求：
(1) 与 的值（用含有 的代数式表示）；
(2) 的值（用含有 的代数式表示）；
(3)若 ，试求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式．
（ ）根据根与系数的关系可得 ， 即可；
（ ）由 ，将（1）代入即可解答；
（ ）由 ，将（1）代入即可得方程： 即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， 是方程 的两个实根，
∴ ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
解得： ， ，
当 时，原方程为： ， ，符合题意；
当 时，原方程为： ， ，符合题意；
∴ 的值为 或 ．
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x 、x 是方程 的两个实数根，若
₁ ₂满足 ，则称此类方程为“差积方程”．例如： 是差积方程．
(1)判断方程 是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程 是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程( 为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【答案】(1)是，证明见解析
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得 ， ；根据新定义列出方程即可求解．
【详解】（1）方程 是“差积方程”，
证明： ，
即 ，
解得 ， ，
，
是差积方程；
（2）解： ，
解得方程的解为： ， ，是差积方程，
，
即： 或 ．
解得： 或 ，
（3）解： ，
解得 ， ，
是差积方程，
，
即 ，
即 ．
3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程 有两个
实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程 就是一个连根
方程．
(1)问题解决：请你判断方程 是否是连根方程；
(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程 （m是常数）是连根方程，求m的值；
(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程 （b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间
的关系式．
【答案】(1)方程 是连根方程
(2)(3)
【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关
键．
（1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可；
（2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为 ，再根据根与系数的关系进行求解
即可；
（3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ 是连根方程．
（2）
解：∵方程 （ 是常数）是“连根方程”，
设 的两个根为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
（3）解：方程 （b、c是常数）是“连根方程”，
设方程的两个根为： ，且 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
∴ ．
1．（浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）已知关于x的一元二
次方程 ，有下列结论：①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程不可
能有两个异号的实数根；③当 时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式
的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，
进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴①当 时， ，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当 时，两根之积 ，方程的两根异号，故②错误，
③∵ ，
∴方程的根为 ，
∴ ， ，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
2．（2024年天津市和平区中考三模数学试题）若 ， 是方程 的两个根，则 的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系 ， ．
由一元二次方程根与系数的关系直接求出 的值，再将问题中代数式展开代入即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， 是方程的两根，
∴ ，
∴ ，
故选A．
3．（2024年四川省乐山市犍为县中考适应性考试数学试题）已知一元二次方程 的两个实数
根为 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B．7 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系分别求出 ，
的值代入 求解即可，若 ， 为方程 的两个根，则 ， 与系
数的关系式： ， ．
【详解】解： ， ，
，
，
解得 ，故选：A．
4．（2024年湖北省大冶市五月中考模拟数学试题）设 分别为一元二次方程 的两个
实数根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方
程根的定义可得 ，进而得 ，由一元二次方程根和系数的关系可得
，再把 转化为 ，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二
次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ 分别为一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5．（2024年湖北省荆楚联盟中考二模数学试题）已知关于x的一元二次方程 有
两个实数根 和 ，且 ，m的值为（ ）
A． 或1 B． 或0 C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，先根据根的情况得出判别式为非负数，
求出m的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，根据 ，得出 或
，然后代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个实数根，∴ ，
∴ ，
∵一元二次方程 有两个实数根 和 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，
当 时， ，解得 ；
当 ，即 时， ，解得 ，
综上， ，
故选：D．
6．（2024年浙江省杭州市西湖区公益中学中考三模数学试题）已知a、b为实数，且满足 ，
，则 ．
【答案】13
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知 、
是方程 ，即 的两个根，然后通过解方程求得① ， ；② ，
；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值．
【详解】解： 、 为实数，且满足 ， ，
， ，
、 是方程 ，即 的两个根，
或 ；
①当 ， 时， ，即 ；
②当 ， 时， ，即 ，不合题意；
综上所述， ；故答案为：13．
7．（2024年广东省佛山市禅城区中考三模数学试题）关于x的方程 的两根都是正整数且
，则方程的两根是 ．
【答案】2，24
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程 的两根为 ，根据根与系
数的关系得出 ，根据 ，得出 ，整理得出
，根据方程的解为正整数，求出结果即可．
【详解】解：设方程 的两根为 ，则
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
得 ，或 ．
解得： ，或 ．
∴方程的两根为：2，24．
故答案为：2，24．
8．（2024年内蒙古自治区乌兰察布市初中学业水平考试调研试卷（二）九年级数学试题）设 、 是一
元二次方程 的两个根，且 ，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系
得出 ，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次
方程根与系数的关系是解此题的关键．【详解】解： 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，
，
原方程为 ，
解得： ， ，
，
故答案为： ．
9．（2024年山东省临沂市河东区中考二模数学试题）关于 的一元二次方程 的两实数根
分别为 ， ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程和根的判别式，利用根与系数的关系
求出 ， ，根据 则有 ，最后求解验证即可，解题的关键是熟记：
一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
【详解】解：∵ ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，解得 或 ，
当 时， ，方程无实数根，舍去，
∴
故答案为： ．10．（2024年四川省泸州市叙永县九年级中考适应性训练数学试题）已知m，n满足 ，
（m，n是实数，且mn），则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由m，n满足 ，
（m，n是实数，且mn）知m、n是一元二次方程 的两个实数根，据此得 ，
，再代入计算即可
【详解】解：∵m，n满足 ， （m，n是实数，且mn），
∴m、n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
11．（浙江省杭州市上城区钱学森学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）关于 的方程
．
(1)已知 ， 异号，试说明此方程根的情况；
(2)若该方程的根是 ， ，试求方程 的根．
【答案】(1)理由见解析
(2) 或
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程—因式分解法，
（1）根据判别式公式得出 ，结合 ， 异号，得到 的正负情况，即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，把 和 用 表示出来，代入方程 ，整理后，解之即可；
解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系，解一元二次方程的方法．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∵ ， 异号， ， ，
∴ ，
∴此方程有两个不等实数根；
（2）∵关于 的方程 的根是 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵方程 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴方程 的根为 或 ．
12．（2024年甘肃省天水市秦安县秦安县兴丰中学联片教研三模数学试题）已知关于 的方程
有两个不相等的实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程 有两个不相等的实数根，得出 ，列出不等式求
解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出 ， ，然后代入 ，
列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根；以及一元二次方程 根与系数关系： ．
【详解】（1） 关于 的方程 有两个不相等实数根 ， ，
，
；
（2） ， ， ，
，
，
，
解得： 或 或 ，
，
．
13．（安徽省六安市霍邱县2023-2024学年八年级下学期月考数学试题）已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，熟悉掌握此公式是解题的关键．（1）利用根的判别式进行运算求解即可；
（2）利用韦达定理表示出 ， ，化简 后，代入运算即可．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得 ，
即 的取值范围为 ；
（2）∵ ， 是方程 的两个根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
14．（山东省烟台市莱山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）已知关于 的一元二次方程
有两个实数根 ， ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若方程的两实数根 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
（1）先把方程化为一般式得到 ，根据根的判别式的意义得到 ，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ， ，则 ，利用（1）的 的范围去
绝对值后解方程得到 的值，然后根据（1）中 的范围确定k的值．
解题的关键是掌握：若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 ，
．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法．
【详解】（1）解： ，
整理得： ，
∵该方程有两个实数根 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴实数 的取值范围是 ；
（2）∵ ， 是方程 的两实数根，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 可化简为： ，
∴ ，解得： （不合题意，舍去）， ，
∴ 的值为 ．
15．（山东省泰安市岱岳区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）阅读材料：如果关于x的一元二
次方程 有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方
程”，如方程 就是一个连根方程．
(1)问题解决：请你判断方程 是否是连根方程；
(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程 （m是常数）是连根方程，求m的值；
(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程 （b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间
的关系式．
【答案】(1)方程 是连根方程
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关
键．
（1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可；
（2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为 ，再根据根与系数的关系进行求解
即可；
（3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ 是连根方程．（2）
解：∵方程 （ 是常数）是“连根方程”，
设 的两个根为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
（3）解：方程 （b、c是常数）是“连根方程”，
设方程的两个根为： ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．
