文档内容
专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优）
题型一 求抛物线与x轴的交点坐标
题型二 求抛物线与y轴的交点坐标
题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值
题型四 图象法确定一元二次方程的近似根
题型五 抛物线与x轴的交点问题
题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
题型七 求x轴与抛物线的截线长
题型八 直线与抛物线相切情况的问题
题型九 二次函数与一元二次方程问题综合
【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】
【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数 ，该二次函数的对称轴为 ，函数图象
与 轴其中一个交点为 ，若一元二次方程 在 范围内只有一个解，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
1．如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，顶点坐标为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
2．如图，抛物线 与 轴相交于点 ， ，与 轴相交于点 ，点 在该抛物线上，与点 关于对称轴对称，坐标为 ，则点A的坐标是 ．
3．已知抛物线 ，完成下列各题：
(1)求抛物线与 轴的两个交点 （ 在 的左侧）的坐标；
(2)若该抛物线顶点为 ，求 的面积
(3)在抛物线上是否存在点 ，使 的面积等于15？若存在，请直接写出 的坐标．若不存在，请说明
理由．
【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】
【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线 的部分图象，其过点
， ，且 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．该抛物线必过点
C．当 时，y随x增大而减小 D．当 时，
1．抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶
． 0 1 2 ．．．
．
．
0 4 6 6 4
从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线与 轴的一个交点坐标为
B．抛物线与 轴的交点坐标为
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小
2．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线
交抛物线于点 ，抛物线顶点为 ．若直线 交直线 于点 ，且 ，则 的值为 ．
3．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是抛物
线上一动点，过点M作直线 轴于点N，连接 ．
(1)求A，B，C三点的坐标．
(2)当点M在第四象限运动时，作点O关于直线 的对称点 ，连接 ．当 时，
求点M的坐标．
【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】
【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作垂直于 轴的直线 与抛物线
有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为 ，当 为锐角三角形时，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
1．已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线 （a为常数）．
（1）当抛物线经过 时， ．
（2）当 时， 时， ，则m的取值范围是 ．
3．如图，已知抛物线 经过点 ．
(1)求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．
【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数 ，已知函数与x轴相交于 ，且函数的对称轴为直线 ，则 的根 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．根据如表的对应值，可判断关于 的一元二次方程 必有一个根满足（ ）
… …
… …
A． B． C． D．
2．若关于x的方程 恰有三个根，则t的值为 ．
3．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法
复习日记卡片
内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日
举例：求一元二次方程 的两个解
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解
解方程： ．
解：
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解
如图所示，把方程 的解看成是二次
函数 ______的图象与x轴交点的
横坐标，即 ， 就是方程的解．
方法三：利用两个函数图象的交点求解
（1）把方程 的解看成是一个二次函数 _____的图象与一个一次函数 _____图象交点的横
坐标；
（2）画出这两个函数的图象，用 ， 在x轴上标出方程的解．【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】
【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数 与 轴有两个交点，且 为正
整数，当 时，对应函数值 的取值范围是 ，则满足条件的 的值是（ ）
A．2 B． C． D．
1．抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过 ， 两点，下列四个结论：
①一元二次方程 的根为 ， ；
②若点 ， 在该抛物线上，则 ；
③对于任意实数 ，总有 ；
④对于 的每一个确定值，若一元二次方程 （ 为常数， ）的根为整数，则 的值只
有两个．其中正确的结论有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若一次函数 的图像经过第二、三、四象限，则函数 与x轴的交点有个．
3．抛物线 与y轴交于点 ．
(1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标．
(2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？
(3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大．
【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数 （ ）的图像与 轴的正半轴交于点 ，对
称轴为直线 ．下面结论：① ； ② ； ③ ；④方程 （ ）必
有一个根大于 且小于0．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．将抛物线 位于直线 以下的图象沿直线 向上翻折所得的图象与不翻折的部分组
成新图象，若新图象与直线 的交点少于4个，则a的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
2．已知二次函数 的图象如图所示，有下列6个结论：① ；② ；③
；④ ；⑤若 ， ， 是抛物线上三点，则 ；
⑥关于 的方程 有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ．3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图象经过点 和 ．
(1)①求a，b之间的等量关系式．
②若 时，总有 ，求a的取值范围．
(2)函数 的图象经过两个不同的点 ， ．
若 ，求a的值：
①
若 ， ，请说明点M和点N都在函数 的图象上，并求出a的值．
②
【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】
【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线 与一次函数 交于 两点，则线段 的
长度为（ ）
A． B． C． D．20
1．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a
＝（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知y是关于x的二次函数： ，则下列描述正确的是 ．①当 时，函数图象的顶点坐标为 ；
②当 时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于 ；
③当 时，函数图象总过定点 ， ；
④若在函数图象上任取不同的两点 、 ，则当 时，函数在 时一定能使
成立．
3、．已知二次函数 ．
(1)若抛物线与y轴交于 ，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长；
(2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由．
【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】
【例8】（2024·山东临沂·一模）函数 的图象是由函数
的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④将图象向上平移2个单位后与直线 有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线 的图象位于直线 上方的部分向下翻折，
得到新的图象，若直线 与新图象只有四个交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数 的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，
所得新函数的图像如图所示．当直线 与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ．
3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过 两点．
(1)设直线 的解析式为 ．
①求直线与抛物线的解析式；
②直接写出不等式 的解集．
(2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的
取值范围．【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】
【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点 、 ，若二次函数
的图象与线段 只有一个交点，则（ ）
A．a的值可以是 B．a的值可以是
C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数 的三个结论：①对任意实数m，都
有 与 对应的函数值相等；②若 ，对应的y的整数值有4个，则 或
；③若抛物线与x轴交于不同两点 ， ，且若 ，当 时，
，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线 的对称轴为 ，经过点 ，顶点为
P，下列四个结论：①若 ，则 ；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程
一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线
始终过定点 其中正确的是 （填写序号）
3．（2024·浙江·二模）已知二次函数 ．(1)证明该二次函数过一定点．
(2)当 时， 有最小值 ，请直接写出此时 的取值范围．
(3)过 ， 的直线与二次函数图象的另一个交点为 ，若 ， ， 中，当其中一
个点是另两点连线的中点时，求 的值．1．已知二次函数 （ ， ， 是常数， ）的图象经过点 ，且对任意 的值，
始终成立，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．二次函数图象与 轴有两个交点且两交点距离为5
C．当 时，
D．直线 与二次函数图象有两个交点
3．已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论：
① ;② ;③ ;④ ;⑤方程 两根的和为2．其中正确
的有 ．4．已知一元二次方程 有两实根 ， ，且 ，则下列结论中正确的有（ ）
① ；②抛物线 的顶点坐标为 ；
③ ；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知二次函数 是常数，且 的图象过点 ， ，若 的长不
小于 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如表记录了二次函数 中两个变量 与 的 组对应值，其中 ，
… …
… …
根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数 （a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有 ，且当 时，
有 成立，又 时， ，则b的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．0
8．如图，二次函数 （ ）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线 ，点B坐标为 ．则下面的五个结论：① ；② ；③当 时，
或 ；④ ；⑤ （ 为实数且 ）．其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
9．方程 的两个不同的根满足 ，则 的取值范围是 ．
10．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
（1）方程 的根为 ；
（2）方程 的根为 ；
11．如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，对称轴为直线 ，下面结论：
① ；② ；③ ；④方程 必有一个根大于 且小于0．其中正
确的是 ．（填序号）12．如图所示是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴为直线 ，以下结论：
① ；② ；③当 时， ；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程
为常数， 的根为整数，则t的值只有3个．其中正确的是 ．
13．已知抛物线 的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴
上一点，且 ，则点M的坐标是 ．
14．定义：若x，y满足 ， （k为常数），且 ，则称点 为“优点”．
若 是“优点”，则 ；若抛物线 上至少存在一个“优点”，
则 的取值范围为 ．
15．在二次函数 中，
(1)若该二次函数图象经过 ，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)求证：不论 取何值，该二次函数图象与 轴总有两个公共点；
(3)若 时，点 ， ， 都在这个二次函数图象上且 ，求 的取值范围．16．如图，抛物线 经过坐标原点O和点A，点A在x轴上．
(1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标；
(2)连接 ， ，求 ；
(3)若点C在抛物线上，且 ，求点C的坐标．
17．已知二次函数 的图象和x轴有两个交点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)在（1）的前提下， 取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．
(3)在（2）的条件下，若 请直接写出 的取值范围．
18．在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）顶点为Q．(1)求抛物线顶点Q的坐标．
(2)在平面内有三点 ，点C是由点B向下平移4个单位得到的；
①直接写出点C的坐标；
②若抛物线 （ ）与三角形 有2个交点，结合图象，直接写出m的取值范围．
19．已知二次函数 ．
(1)若 ，试求该二次函数图像与 轴的交点坐标．
(2)若该二次函数图像的顶点坐标为 ，求证： ．
(3)若 ，且当自变量 满足 时， ，求 的值．
20．如图，抛物线 与直线 交于点A和点B，直线 与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式 的解集．
(3)若关于x的方程 在 的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的
取值范围．
