文档内容
专题04 实际问题与一元二次方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
题型一 传播问题
题型二 增长率问题
题型三 与图形有关的问题
题型四 数字问题
题型五 营销问题
题型六 动态几何问题
题型七 工程问题
题型八 行程问题
题型九 图表信息题
题型十 其他问题
知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
知识点02 一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量
是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”).
知识点04 传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
知识点05 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
1
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= n（n−1）
2
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A 与 B 比赛在 A 的主场，B 与 A 比赛在 B 的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=
n（n−1）
【经典例题一 传播问题】
【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，
最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求
转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
1．（2024九年级·全国·竞赛）有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那
么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？
如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而
停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了
甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人感染几人?
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮感染后累计是否超过200人患了甲流?
3．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如今，每到春季，甲流便肆虑横行，成为当前主流流行疾病之一，
某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有36人患了甲
流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人?
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过200人患了甲流?
【经典例题二 增长率问题】
【例2】（2024年辽宁省大连市初中学业水平第三次五区模拟考试数学试题）某校为响应我市全民阅读活
动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三
个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校
图书馆能否接纳．
1．（2024·甘肃武威·三模）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014
年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增
长率．
2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一
段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示．
(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
(2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，
求平均每次降价的百分比．
3．（2024·辽宁锦州·二模）为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造
老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那
么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？
【经典例题三 与图形有关的问题】【例3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地
建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知 ， ，阴影部分设计为停车位，要
铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为 .
(1)求道路的宽是多少米?
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的
月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为
10120元，同时尽可能让利于居民?
1．（2024八年级下·浙江·专题练习）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
某农户承包了一块长方形果园 ，图1是果园的
平面图，其中 米， 米．准备在它的
素 四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为 米，
材 左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水
1 果．
出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12
米，且不小于5米．该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调
查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平
素
均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受
材
天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若
2
每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500
平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
问题解决
（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范
任 围．
务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
1 （2）若中间种植的面积是 ，则路
面设置的宽度是否符合要求．
任
解决果园种植的预期利润问题．
（3）若农户预期一个月的总利润为52万
务 元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少
2 （总利润 销售利润 承包费） 元？
2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围
墙如图（围墙的长足够长），另两边 和 由总长为80米长的篱笆组成．
(1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求 的长；
(2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
3．（2024·广东汕头·一模）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为 ，；如图2，长方形的两边长分别为 ， ．（其中m为正整数）
请解答下列问题：
(1)图1中长方形的面积 _______；图2中长方形的面积 _______；
(2)比较 与 的大小；
(3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求 的值．
【经典例题四 数字问题】
【例4】（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为 ，则 一定是偶数．
如： ， ， 为偶数．
(1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由；
(2)设两个相邻偶数为 和 ，请论证上述结论；
(3)若 ．求符合要求的偶数．1．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法
任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，
的最大值为 ．
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明
理由．
2．（2023·河南开封·一模）阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，
比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵
中所有的点数和称为三角数．则第n个三角数可以用 （ 且为整数）来表示．
(1)若三角数是55，则 ______；
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数
的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．
3．（23-24九年级上·重庆·期末）对于任意一个三位数 ，如果 满足各个数位上的数字都不为零，且十位
上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：
，因为 ，所以484是“方积数”．
(1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”．
(2)已知一个“方积数” （ ，其中 ， ， 为自然数），若 是一元二次
方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，且 ，求满足条件的
所有 的值．
【经典例题五 营销问题】
【例5】（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库
自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅
游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20
斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍，
(1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；
(2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m 元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量
增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．
1．（2024·江苏常州·一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．
为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天
就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，
求每本画册应降价多少元？
2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素
材 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
1
素 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平
材 均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适
2 当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素
据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均
材
每天销售量减少2件．
3
问题解决
任
计算所获 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销
务
利润 售该商品每天的毛利润各是多少元？
1
任
平衡市场 该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体
务
方案 店销售该商品每天的毛利润相等
2
任 拟定价格 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求务
方案 每件商品的网上销售价是多少元？
3
3．（2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发
布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批
发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾
客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量 （单位：个）与每个玩偶的降价 （单位：元）
之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)设商场销售 个玩偶所获利润为 （单位：元），请直接写出 与 之间的函数关系式：_____；
(3)若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？
【经典例题六 动态几何问题】
【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 为矩形的四个顶点， ，
cm，动点 、 分别从点 、 同时出发，都以1 的速度运动，其中点 由 运动到 停止，点 由
点 运动到点 停止．(1)求四边形 的面积；
(2) 、 两点从出发开始到几秒时， 、 、 组成的三角形是等腰三角形？
1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 为矩形的四个顶点， ， cm，动
点 、 分别从点 、 同时出发，都以1 的速度运动，其中点 由 运动到 停止，点 由点 运
动到点 停止．
(1)求四边形 的面积；
(2) 、 两点从出发开始到几秒时， 、 、 组成的三角形是等腰三角形？
2．（2024·江苏徐州·二模）已知 是等腰直角三角形， ．(1)当 时，
①如图①，将直角的顶点D放至 的中点处，与两条直角边分别交 于点E、F，请说明 为
等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至 边的某处，与 另两边的交点分别为点E、F，若 为等腰直角
三角形且面积为4，求 的长．
(2)若等腰直角 三个顶点分别在等腰直角 的三边上，等腰直角 的直角边长为1时，求等
腰直角 的直角边长的最大值．
3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在 中， ， ，D为 的
中点，点P在线段 上以 的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段 上由点C向点A运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过 后， 与 是否全等？请说明理由．
(2)若点Q的运动速度与点P不相同，当点Q的运动速度为多少时，能够使 与 全等？
(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都沿 的三边逆时针运
动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在 的什么位置上相遇．【经典例题七 工程问题】
【例7】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采
用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多 ；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
1．（23-24八年级上·上海静安·期末）在今年 月 号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加
美化校园活动，如果八年级共青团员单独做 小时，九年级共青团员再单独做 小时，那么恰好能完成全
部任务的 ；如果九年级共青团员先做 小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团
员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多 小时，求八九年级共青团员单独完成美
化校园活动分别各需多少小时．
2．（2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从
桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成
本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多 万元．求a的值．
3．（2022·重庆·一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的
订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组
同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【经典例题八 行程问题】
【例8】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同
时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小
丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟
消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
1．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从
A地出发，匀速跑向距离 处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早
5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少
分钟．
2．（2021·安徽宣城·一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分
钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设
计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 、 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程 与时间 满足关系： （ ），乙以4 的速度匀
速运动，半圆的长度为21 ．
（1）甲运动4 后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
【经典例题九 图表信息题】
【例9】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，
在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如
表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日
10月8日 10月11日 10月12日
期
发布次
第1次 第2次 第3次
数
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
1、（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四
个数．(1)若圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为______（用含 的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
2．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我
校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查
发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是 人时，每位同学人均检测时间是 秒，而检测人数
每提高 人，人均就少耗时 秒（若每位大白的检测人数不超过 人，设人均少耗时 秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数（人）
人均检测时间
（秒）
(2)某位大白一节课（ ）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过
度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过 度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度
元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了 度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含 的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的 度是多少．
月
用电量/度 交电费总数/元
份
2月 80 25
3月 45 10
【经典例题十 其他问题】
【例10】（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．
这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之
间都赛两场），计划安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题：
线段 上的点数 （包括 、 两点） 图例 线段总条数
3
4
5
6(1)根据表中规律猜测线段总条数 与线段上点数 （包括线段的两个端点）的关系，用含 的代数式表示
，则 ___________．
(2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行
单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
(3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要
进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
2．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支
举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名
学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，
购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？
3．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污
水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10
斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ．
某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤
的污水．
(1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；
方案二：采用两次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次
用 斤清水，第二次用 斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）；
通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
(2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
__________．
1．（2024年安徽省马鞍山市含山县多校中考三模数学试题）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢
一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习
过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”
的百分比约为（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年黑龙江省佳木斯市中考三模数学试题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对
一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现
每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件
售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
3．（重庆市巴蜀中学2023-2024学年九年级下学期中考押题密卷数学试题）由著名导演张艺谋执导的电影
《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连
创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约
20亿元，设增长率为 ，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
4．（浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图，一张等腰直角三角形
纸片，已知 ，先裁剪出①号长方形 ，然后在剩余的大纸片三角形 中剪出②号长方形 ，且满足 ，当①号长方形的面积为 时，则②号长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（浙江省杭州市余杭区育海外国语学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷）一个矩形内
放入两个边长分别为 和 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的
部分（黑色阴影部分）的面积为 ；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为
，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（上海市上海市奉贤区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）“六一”儿童节上，某小队建议每
位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所
列方程为 ．
7．（浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图是一块长方形菜
地ABCD， ， ，面积为 ．现将边AB增加 ，边AD增加 ，若有且只有一个a的
值，使得到的长方形面积为 ，则S的值是 ．8．（上海市嘉定区迎园中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）某公司在2022年的盈利额为300
万元，预计2024年的盈利额将达到363万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在
2023年的盈利额为 万元．
9．（湖北省孝感市重点校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题）如图，在 中， ，
， 为 边上的高，动点 从点 出发，沿 方向以 的速度向点 运动．
设 的面积为 ，矩形 的面积为 ，运动时间为 ，则 时， ．
10．（2024年辽宁省沈阳市协作体中考数学零模后跟踪训练模拟预测题）某商店购进600个旅游纪念品，
进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200
个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价
不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格
全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元．
11．（2024年甘肃省武威市凉州区武威二十六中教研联片中考二模数学试题）某商场销售一批名牌衬衫，
平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当
的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均
每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？12．（2024年河北省石家庄市第二十八中学中考模拟数学试题）【观察思考】用同样大小的正方体木块依
次堆放成如图1、图2、图3所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去．
【规律总结】
（1）图4有______个正方体；
（2）图n有______个正方体（用含n的式子表示）；
【问题解决】
（3）是否存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不
存在，请说明理由．
13．（浙江省金华市东阳市横店镇四校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题）根据以
下素材，探索完成任务．
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智
素
能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生
材1
产144个．
素 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600
材2 个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任
求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
务1
任
为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
务214．（浙江省八年级下学期期中必刷压轴60题（21个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试
满分全攻略高频考点 重难点讲练与测试（浙教版））某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费
标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用 元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过 人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
15．（江苏省连云港市实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，矩形 中，
， ，动点 ， 分别从点 ， 同时出发，点 以 的速度向终点 移动，点 以
的速度向点 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为 ．
(1)当 时，四边形 面积是______
(2)当t为何值时，点P和点Q距离是 ？
(3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
